cơ học là khoa học nghiên cứu chuyển động cơ học của vật chất. Trong đó, chuyển động cơ học là sự dời chỗ của vật chất từ vị trí này sang vị trí khác trong không gian, theo thời gian.
-148-Chơng 12 Các định lý tổng quát của động lực học Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của Niu-Tơn. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các đại lợng do chuyển động của chất điểm hay cơ hệ với các đại lợng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất quan trọng của chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động đó. Vì thế nó cho phép ta giải thuận lợi một số bài toán của động lực học đặc biệt là bài toán về động lực học của cơ hệ mà nếu áp dụng phơng trình vi phân để giải thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn. 12.1. Các đặc trng hình học khối của cơ hệ và vật rắn. Khi khảo sát động lực học của cơ hệ ngời ta phải để ý đến khối lợng của chúng và sự phân bố khối lợng ấy trong không gian. Các đặc trng liên quan đến phân bố khối lợng của cơ hệ hay vật rắn là khối tâm và mô men quán tính. 12.1.1. Khối tâm của hệ Xét hệ N chất điểm M1, M2, .Mn có khối lợng m1, m2, .m.N. Véc tơ định vị chúng là: rr1, rr2, rrN.( Hình 12.1) .Ta có định nghĩa sau: Khối tâm của hệ là điểm C xác định bằng biểu thức: rrC rrn rr2 1rrCMn M2 M1 zOyrrC = MrmN1kkk=r ; (12-1) xVới M = . =N1kkmHình 12.1 Chiếu biểu thức (12-1) lên các trục -149-toạ độ oxyz (hình 10-1) ta đợc: xc = MxmN1kkk= yC = MymN1kkk= (12-2) zC = MzmN1kkk= Trong đó xC, yC, zC là toạ độ khối tâm C; xk, yk, zk là toạ độ của chất điểm thứ k trong cơ hệ. Trờng hợp đặc biệt trong trờng trọng lực hệ là vật rắn khối tâm sẽ trùng với trọng tâm của vật. 12.1.2. Mô men quán tính của vật 12.1.2.1. Mô men quán tính của vật đối với một tâm Mô men quán tính của vật đối với một tâm ký hiệu là Jo bằng tổng các tích số giữa các khối lợng của mỗi chất điểm với bình phơng khoảng cách giữa chất điểm đó với điểm O (hình 10-1) Jo = (12-3) =N1k2kkrm12.1.2.2. Mô men quán tính của vật đối với một trục Mô men quán tính của vật đối với một trục z ký hiệu là Jz bằng tổng các tích khối lợng mk của mỗi chất điểm trong vật với bình phơng khoảng cách dk từ chất điểm đến trục (hình 12-1). Jz = (12-4) =N1k2kkdmGọi toạ độ các chất điểm Mk trong hệ toạ độ oxyz là xk,yk, zk thì mô men quán tính của hệ đối với các trục toạ độ là ox, oy, oz và đối với gốc toạ độ O viết đợc: -150-Jx = + );zy(m2k2kkJy = + );zx(m2k2kkJz = (12-5) + );xy(m2k2kkJo = ++= ).zyx(mrm2k2k2kk2kkTừ đó suy ra: Jx + Jy + Jz = Jo. (12-6) Trong kỹ thuật ta tính mô men quán tính của vật đối với một trục theo biểu thức: Jz = M.2M là khối lợng của vật, gọi là bán kính quán tính của vật với trục z. 12.1.2.3. Mô men quán tính của một số vật đồng chất - Vật là một thanh mỏng đồng chất Gọi chiều dài của thanh là l, khối lợng của nó là M. Chọn trục Ax dọc theo thanh (hình 12-2). yBxmk dx xk Xét một phần tử của thanh có chiều dài dx ở vị trí cách A một đoạn xR, có khối lợng dm = 1.dx ở đây 1 là khối lợng riêng trên một đơn vị chiều dài của thanh = M/l AHình 12-2Biểu thức mô men quán tính của thanh lấy đối với trục Az vuông góc với thanh tại A là: JAz = 2Ml3l02il02313ldxxdmx === (127) AHình 12.3 B xD C dx x y -151-- Vật là một tấm phẳng hình chữ nhật (hình 12-3) Gọi các cạnh của hình là a, b, khối lợng của tấm phẳng là M. Chia hình thành nhiều giải nhỏ song song với trục o mỗi giải có bề rộng là dx, có mô men quán tính đối với trục Ax là Jk = 2kam31(theo hình 12-3) Trong đó mk là khối lợng của giải đang xét. Mô men quán tính của cả hình đối với trục Ax là : Jx = ;ma31am31Jn1kkn1k22kn1kkx===== Jx = Ma312 (12-8) Tơng tự suy ra: Jy = Mb312 (12- 9) y RC x- Vật là một vành tròn đồng chất Gọi bán kính và khối lợng của vành là R và M. Tính mô men quán tính của vành đối với trục Cz vuông góc với mặt phẳng của vành và đi qua tâm C. (hình 12-4). Hình 12.4 Ta có: xy RO drkrk Jcz = ;Rmrmn1k2kn1k2kk===Jcz = (12-10) .MRmR2n1kk2==Công thức (12-10) cũng dùng để tính mô men quán tính của một ống trục tròn đồng chất đối với trục của nó. Hình 12.5 -152-- Vật là một tấm phẳng tròn đồng chất Gọi bán kính và khối lợng của tấm là R và M. Ta có thể tính mô men quán tính đối với trục Cz ký hiệu là Jcz và mô men quán tính đối với trục Cx hay Cy trùng với đờng kính của nó ký hiệu là Jx, Jy. Chia tấm thành nhiều vành nhỏ cùng tâm C bán kính mỗi vành thứ k là rk. Bề rộng của mỗi vành thứ k là drk. Khối lợng của lớp vành thứ k là : mk = .2.rk.drkTrong đó là khối lợng riêng của tấm trên một đơn vị diện tích = .RM2 Theo công thức (12-10) mô men quán tính của lớp vành thứ k này đối với trục Cz viết đợc. Jkcz = mkrk2 = 2.rk3drkMô men quán tính của cả tấm đối với tục Cz viết đợc: Jcz = ===n1kk3kn1kkczdrr2Jhay: Jcz = .R21drr24Rok3k= Cuối cùng ta có: Jcz = 2MR21 (12-11) Để tính Jcz và Jcy ta có nhận xét mọi điểm của tấm có zx = 0, vì thế theo (12-5) viết đợc: Jcx = ===+n1k2kkn1k2k2kk;ym)zy(mJcy = ===+n1k2kkn1k2k2kk;xm)zx(m -153-Jcz = .)yx(mn1k2k2kk=+Từ các biểu thức trên suy ra trong trờng hợp này: Jcz = Jcx + Jcy. Do đối xứng nên sự phân bố khối lợng của tấm đối với trục cx và cy hoàn toàn nh nhau. Ta có: Jcx = Jcy = Jcz/2= MR2/4. (12-11) Công thức (10-11) cũng có thể tính mô men quán tính cho vật là một trục tròn đồng chất đối với trục của nó. 12.1.2.4. Mô men quán tính đối với các trục song song. -Định lý Huy-Ghen: Mô men quán tính của một vật đối với một trục z1 nào đó bằng mô men quán tính của nó đối với trục z song song với trục z1 đi qua khối tâm của vật cộng với tích khối lợng của vật với bình phơng khoảng cách giữa hai trục. Jz1 = Jcz + Md2 (12-12) Chứng minh: xz'zk dd'k dk BMk yCyk xk Theo định nghĩa Jz1 = (a) 2kk'dmKẻ trục cz song song với z1 và đi qua khối tâm c (hình 12-6) Ta có: 2k'd = dk2 + d2 - 2dkdcosk. Gọi toạ độ của điểm Mk là xk, yk, zk. xk = dkcosk suy ra: d'k2 = dk2 + d2 - 2dxkHình 12.6 Thay kết quả vào biểu thức (a) sẽ đợc: Jz1 = mk(dk2 + d2 - 2xkd) = mkdk2 +mkd2 - 2mkdxk), -154-trong đó: mkdk2 = Jcz; mkd2 = Md2 còn mkdxk = dmkxk = dMxC Do gốc toạ độ trùng với khối tâm c nên xC =0. Do đó: mkdxk = 0 Cuối cùng đợc: Jz1 = Jcz + Md2. Định lý đã đợc chứng minh. 12.2. Định lý động lợng và định lý chuyển động của khối tâm 12.2.1. Định lý động lợng 12.2.1.1. Động lợng của chất điểm và của hệ Động lợng của chất điểm là một đại lợng véc tơ ký hiệu là kr bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc của chất điểm. kr = m . (12-14) vrĐộng lợng của hệ là đại lợng véc tơ ký hiệu Kr bằng tổng hình học động lợng các chất điểm trong hệ. Kr = =n1kkrk = m=n1kvvrk. (12-15) Đơn vị đo động lợng là kgm/s Ta cũng có thể biểu diễn động lợng của hệ qua khối lợng và vận tốc khối tâm của hệ. Từ (12-1) suy ra: mkrrk = M rrc. Đạo hàm hai vế theo thời gian nhận đợc: mkvrk = Mvro. Động lợng của hệ bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc khối tâm của hệ. -155-12.2.1.2. Xung lợng của lực (xung lực) Lực tác dụng trong một khoảng thời gian nhỏ bé dt thì đại lợng véc tơ đo bằng tích giữa lực với khoảng thời gian vô cùng bé đó là xung lợng phần tử của lực ký hiệu là dFrsr = .dt. (12-17) FrNếu lực Fr tác dụng trong khoảng thời gian hữu hạn từ to đến t thì đại lợng véc tơ tính bằng tích phân các xung lực phần tử trong khoảng thời gian đó gọi là xung lợng của lực trong khoảng thời gian từ tFro đến t và ký hiệu là sr. sr = (12-18) =ttottodtFsdrrTheo (10-18) nếu lực = const thì: Frsr = . Frở đây = t - to12.2.1.3. Định lỹ động lợng Định lý 12.1: Đạo hàm theo thời gian động lợng của chất điểm bằng hợp lực các lực tác dụng lên chất điểm. )vm(dtdr = (12-19) =n1iiFrChứng minh: Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động với vận tốc v dới tác dụng của hệ lực (Fr1, Fr2, . Frn). Phơng trình cơ bản viết cho chất điểm: m= Wr=n1iiFr Thay = Wrdtvdr vào biểu thức trên sẽ đợc: m= Wr==n1iiF)vm(dtdrr Định lý đợc chứng minh. Biểu thức (12-19) thực chất là phơng trình cơ bản viết dới dạng động lợng cho chất điểm. -156-Định lý 12.2: Biến thiên động lợng của chất điểm trong khoảng thời gian từ to đến t1 bằng tổng hình học xung lợng của các lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. mvr1 - mvro = ===n1kkn1k1ttokSdtFrr (12-20) Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra: d(m) = vr=n1k1ttokdtFrTích phân hai vế phơng trình này tơng ứng với các cận tại to và t1 sẽ có: ====n1k1tto1tton1kk1mvmvo;dtFdtF)vm(drrr mvr1 - mvro = =n1kkSrĐịnh lý đã đợc chứng minh. Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng của hệ bằng véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ. ==N1kkeFdtKdrr (12-21) Chứng minh: Xét hệ gồm N chất điểm. Ký hiệu hợp ngoại lực và hợp nội lực đặt lên chất điểm thứ k là Frke và Frki. Phơng trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm đó là: mk( = )WkrFrke + Frki (a) Viết cho N chất điểm của hệ ta sẽ có N phơng trình (a) nghĩa là k = 1 .N Cộng vế với vế của N phơng trình trên với nhau ta sẽ đợc: ===+=N1kkiN1kkeN1kkkFFWmrrr Theo định luật Niu Tơn các lực tác dụng tơng hỗ bằng nhau về độ lớn, -157-cùng phơng nhng ngợc chiều vì vậy tổng hình học các nội lực ( các lực tác dụng tơng hỗ cuả các chất điểm trong hệ) luôn luôn bằng không. Ta có: Frki = 0 Còn lại: ===N1kkeN1kkkFWmrr Thay ,KdtdvmdtvdmWmN1kkkN1kkkN1kkkvrrr====== Ta có: ==N1kkeFKdtdrv. Định lý đã đợc chứng minh. Định lý 12.4: Biến thiên động lợng của hệ trong khoảng thời gian từ to đến t1 bằng tổng hình học xung lợng các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó. kr1 - kr0 = (12-22) =N1kkeSrChứng minh: Từ phơng trình (12-10) suy ra: dkr = dtFN1kke=rTích phân hai vế biểu thức này tơng ứng với các cận tại thời điểm đầu và cuối sẽ đợc: ==1ttoke1ttoke1kkodtFdtFdkrr; kr1 - kro = srke . Định lý đã đợc chứng minh. Chý ý rằng các biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) và (10-22) là các biểu [...]... r lo = m o Fke dt k =1 ( ) Ta dã chứng minh đợc biểu thức (1 2-3 1) Chiếu biểu thức (1 2-3 1) lên trục z sẽ đợc biểu thức (1 2-2 3) Định lý 1 2-7 đã đợc chứng minh Chú ý: Nội lực không có trong định lý 1 2-7 nên có thể nói rằng nội lực không làm thay đổi mô men động lợng của hệ 12. 3.3 Định luật bảo toàn mô men động lợng Từ biểu thức (1 2-3 1) và (1 2-3 2) ta thấy r r r khi m o( F ke) = 0 thì l o = const n r khi... (1 2-2 6) k= 1 (1 2-2 7) -1 66Khi hệ là vật rắn quay quanh một trục z với vận tốc góc (hình 1 2-1 1) ta có: z B lkz = r2kmk Gọi = z ta có : lkz = r kmkz 2 Thay vào biểu thức (1 2-2 7) ta có: n lz = n n k=1 k=1 r rm v vk k k rk k= 1 lzk = r2kmkz = z mkr2k A n Thay mkr2k = Jz ta đợc: Hình 12. 11 k= 1 Jz = Jz z Thờng ngời ta chọn hớng dơng của trục quay để z = khi đó ta có: lz = Jz. (1 2-2 8) 12. 3.2 Định lý. .. m.v) = r xm.v; r l z = m z ( m.v) = m.v'.h (1 2-2 3) (1 2-2 4) r Trong các biểu thức (1 2-2 3), (1 2-2 4) thì m là khối lợng, v là vận tốc -1 6 5- r chất điểm, v' là hình chiếu của v trên mặt phẳng vuông góc với trục z Biểu thức (1 2-2 4) lấy dấu + khi nhìn từ chiều dơng của trục z sẽ thấy v' có chiều quay vòng quanh z theo chiều ngợc chiều kìm đồng hồ và lấy dấu - trong trờng hợp ngợc lại Tơng tự nh mô men lực... M2 có các lực tác dụng tơng hỗ là F12 và F21 Các lực này hớng theo đờng M1M2 và ngợc chiều nhau F12 = - F21 Tổng công nguyên tố của hai lực này là: r r r r r r r r dA11 + dA21 = F 12 d r 1 + F 21d r 2 = F 12d r - F 12d r 2 r r r r r r = F 12( d r 1 - d r 2) = F 12( v 1 - v 2)dt Theo động học có: r r r r r r VM1 = V M2 + V M1M2 hay V 1 = V 2 + V M1M2 r r r suy ra V 1 - V 2 = V M1M2 Véc tơ này luôn luôn... và vuông góc với mặt r r v Q phẳng cơ sở - Công của lực ma sát: Đối với ma sát trợt do tính chất của lực r F ms d r N Mms r P ma sát là cản lại sự trợt, dễ dàng tính: Hình 1 2-1 9 dA = - Fms.ds (1 2-4 6) ds -1 76Đối với ma sát lăn, mô men ma sát Mms chống lại sự chuyển động lăn của vật nên cũng tính đợc : dA = -Mmsd (1 2-4 7) Nh vậy công của lực ma sát là những công âm - Công của các nội lực trong vật rắn... (1 2-2 9) đã đợc chứng minh Chiếu biểu thức (1 2-2 9) lên trục z ta sẽ đợc biểu thức (1 2-3 0) Định lý 1 2-7 : đạo hàm theo thời gian mô men động lợng của hệ đối với một tâm hay một trục bằng tổng mô men của các ngoại lực tác dụng lên hệ đối với tâm (hay trục đó) n r d r lo = m o ( Fke ); dt k =1 (1 2-3 1) n r r d r lz = m z ( Fke ); dt k =1 (1 2-3 2) Chứng minh: Xét cơ hệ có N chất điểm Tách một chất điểm thứ... 2 ( 2 ) = M 0 M1 dA i i 1 vo v1 -1 7 8- Hay: 2 2 N mv 1 mv 0 = dA i 2 2 i =1 Đây chính là biểu thức (1 2-4 9) Định lý 1 2-9 : Vi phân động năng của hệ bằng tổng vi phân công của ngoại lực và nội lực tác dụng lên hệ N dT = dAk i N + k=1 dAke k=1 Chứng minh: Xét hệ N chất điểm Gọi nội lực và ngoại lực tác dụng lên r r chất điểm thứ k là F ki và F ke Theo định lý 1 2-7 viết đợc: mk v2 k d( ) = dAki +... minh Định lý 1 2-1 0: Biến thiên động năng của hệ trên một đoạn đờng hữu hạn MoM1 nào đó bằng tổng công của nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ trên đoạn đờng đó N T1 - T0 = Aik + k=1 N Ake (1 2-5 1) k=1 Chứng minh: Lấy tích phân hai vế biểu thức (1 2-5 0) theo các cận ứng với -1 79vị trí ban đầu và cuối đoạn đờng MoM1 ta đợc: T1 N N i e dT = dA k + dA k k =1 MoM1 To k =1 MoM1 N Hay T1 - To = Aik... theo biểu thức : -1 74z r r F = -c r M1 M Trong đó c là hệ số tỷ lệ đợc gọi là hệ r số cứng, còn r là véc tơ định vị của chất điểm so với tâm của lực đàn hồi (hình 1 2-1 6) Mo r r r r1 r ro O r Công của F r trên đoạn đờng M0M1 có y x thể viết : Hình 1 2-1 6 AM0M1 = r1 c r1 2 dA = F.dr = crdr 2 d(r ) M 0 M1 r0 r0 r0 AM0M1 =- r1 c 2 c 2 c r1 2 2 2 d(r ) = 2 (r1 r0 ) = 2 (r0 r1 ) 2 r0 (1 2-4 3) Nếu gọi... = 0 ta có: k= 1 n r r M W C = F ke k= 1 -1 61Định lý đợc chứng minh Từ phơng trình véc tơ (1 2-2 1) khi chiếu lên các trục toạ độ oxyz ta đợc phơng trình vi phân chuyển động của khối tâm viêt dới dạng sau: M d2XC d 2 YC k= 1 dt 2 n dt 2 = Xk ; M n d 2 ZC k= 1 dt 2 = Yk ; M n = Zk k= 1 (1 2-2 2) - Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm: Từ biểu thức (1 2-2 1) suy ra: n r Nếu F k = 0 thì Wc = 0 và . ;v.xmr)v.m(mloorrrrr== (1 2-2 3) h'.v.m)v.m(mlzz==r (1 2-2 4) Trong các biểu thức (1 2-2 3), (1 2-2 4) thì m là khối lợng, là vận tốc vr -1 65-chất điểm, v'. -1 48-Chơng 12 Các định lý tổng quát của động lực học Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của Niu-Tơn. Nó thiết