Tài liệu giáo trình cơ học lý thuyết , chương 12 pptx

-148- Chơng 12 Các định lý tổng quát động lực học Các định lý tổng quát động lực học hệ định luật Niu-Tơn Nó thiết lập mối quan hệ đại lợng chuyển động chất điểm hay hệ với đại lợng đo tác dụng lực.lên chất điểm hay hệ Các định lý tổng quát động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất quan trọng chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động Vì cho phép ta giải thuận lợi số toán động lực học đặc biệt toán động lực học hệ mà áp dụng phơng trình vi phân để giải gặp nhiều khó khăn 12.1 Các đặc trng hình học khối hệ vật rắn Khi khảo sát động lực học hệ ngời ta phải để ý đến khối lợng chúng phân bố khối lợng không gian Các đặc trng liên quan đến phân bố khối lợng hệ hay vật rắn khối tâm mô men quán tính 12.1.1 Khối tâm cđa hƯ XÐt hƯ N chÊt ®iĨm M1, M2, Mn có khối lợng m1, m2, m.N Véc tơ định r r r vị chúng là: r 1, r 2, r N.( Hình 12.1) Ta có định nghĩa sau: Khối tâm hệ điểm C xác định r r2 z b»ng biÓu thøc: M1 r ∑ m k rk N r rC = k =1 M r r1 ; N ∑ mk k =1 ChiÕu biĨu thøc (12-1) lªn c¸c trơc C Mn r rC r rn O (12-1) Với M = M2 y x Hình 12.1 -149toạ độ oxyz (hình 10-1) ta đợc: N mk xk xc = k =1 M N ∑ mk yk yC = k =1 M (12-2) N ∑ mkzk zC = k =1 M Trong xC, yC, zC toạ độ khối tâm C; xk, yk, zk toạ độ chất điểm thứ k hệ Trờng hợp đặc biệt trờng trọng lực hệ vật rắn khối tâm trùng với trọng tâm vật 12.1.2 Mô men quán tính vật 12.1.2.1 Mô men quán tính vật tâm Mô men quán tính vật tâm ký hiệu Jo tổng tích số khối lợng chất điểm với bình phơng khoảng cách chất ®iĨm ®ã víi ®iĨm O (h×nh 10-1) N Jo = mk rk2 (12-3) k =1 12.1.2.2 Mô men quán tính vật trục Mô men quán tÝnh cđa vËt ®èi víi mét trơc z ký hiƯu Jz tổng tích khối lợng mk chất điểm vật với bình phơng khoảng cách dk từ chất điểm đến trục (hình 12-1) N Jz = mkd2 k (12-4) k =1 Gọi toạ độ chất điểm Mk hệ toạ độ oxyz xk,yk, zk mô men quán tính hệ trục toạ độ ox, oy, oz gốc toạ độ O viết đợc: -150Jx = ∑ m k (y k + z ); k Jy = ∑ m k (x k + z ); k Jz = ∑ m k (y k + x ); k Jo = ∑ m k rk2 = ∑ m k ( x k (12-5) + y + z ) k k Tõ ®ã suy ra: J x + J y + J z = J o (12-6) Trong kü thuËt ta tính mô men quán tính vật mét trơc theo biĨu thøc: Jz = M.ρ2 M lµ khối lợng vật, gọi bán kính quán tính vật với trục z 12.1.2.3 Mô men quán tính số vật đồng chất - Vật mỏng đồng chất Gọi chiều dài l, khối lợng M Chọn trục Ax dọc theo (hình 12-2) Xét phần tử có chiều dài dx vị trí cách A đoạn xR, có khối lợng dm = 1.dx y mk A xk khối lợng riêng đơn vị chiều dài = M/l Biểu thức mô men quán tính B dx Hình 12-2 D A lấy trục Az vuông góc với y x A là: JAz (127) = l3 x dm = ρ i ∫0x dx = ρ = Ml ∫0 3 l dx l B x C H×nh 12.3 x -151- Vật phẳng hình chữ nhật (hình 12-3) Gọi cạnh hình a, b, khối lợng phẳng M Chia hình thành nhiều giải nhỏ song song với trục o giải có bề rộng dx, có mô men quán tính ®èi víi trơc Ax lµ Jk = m k a (theo hình 12-3) Trong mk khối lợng giải xét Mô men quán tính hình trục Ax : Jx = n n n 1 J kx = ∑ m k a = a ∑ m k ; ∑ k =1 k =1 k =1 Jx = a M (12-8) T−¬ng tù suy ra: Jy = b M y (12- 9) R - Vật vành tròn đồng chất Gọi bán kính khối lợng vành R C x M Tính mô men quán tính vành trục Cz vuông góc với mặt phẳng vành qua Hình 12.4 tâm C (h×nh 12-4) Ta cã: n Jcz = ∑ k =1 y m k rk2 n R = ∑ mkR ; drk k =1 n Jcz = R ∑ m k = MR (12-10) k =1 x rk O Công thức (12-10) dùng để tính mô men quán tính ống trục tròn đồng chất trục Hình 12.5 -152- Vật phẳng tròn đồng chất Gọi bán kính khối lợng R M Ta tính mô men quán tính trục Cz ký hiệu Jcz mô men quán tính đối víi trơc Cx hay Cy trïng víi ®−êng kÝnh cđa nã ký hiƯu lµ Jx, Jy Chia tÊm thµnh nhiỊu vành nhỏ tâm C bán kính vành thứ k rk Bề rộng vành thứ k drk Khối lợng lớp vành thứ k : mk = .2.rk.drk Trong khối lợng riêng đơn vị diện tích = M πR Theo c«ng thøc (12-10) m« men quán tính lớp vành thứ k trục Cz viết đợc Jkcz = mkrk2 = 2.rk3drk Mô men quán tính tục Cz viết đợc: n Jcz = n k =1 k =1 k ∑ J cz = ∑ 2πρrk3 drk hay: Jcz = R ∫o 2πρrk3 drk = πρR Cuèi cïng ta cã: Jcz = MR 2 (12-11) Để tính Jcz Jcy ta có nhËn xÐt mäi ®iĨm cđa tÊm cã zx = 0, theo (12-5) viết đợc: n Jcx = m k (y k =1 k n + z ) = ∑ mk y2 ; k k k =1 n Jcy = n k =1 k =1 ∑ m k (x + z ) = ∑ m k x ; k k k -153n Jcz = ∑ m k (x k k =1 + y ) k Từ biểu thức suy trờng hợp này: Jcz = Jcx + Jcy Do đối xứng nên phân bố khối lợng trục cx cy hoàn toàn nh Ta cã: Jcx = Jcy = Jcz/2= MR2/4 (12-11) Công thức (10-11) tính mô men quán tính cho vật trục tròn đồng chất trục 12.1.2.4 Mô men quán tính trục song song -Định lý Huy-Ghen: Mô men quán tính vật trục z1 mô men quán tính đối víi trơc z song song víi trơc z1 ®i qua khối tâm vật cộng với tích khối lợng vật với bình phơng khoảng cách hai trục Jz1 = Jcz + Md2 (12-12) Chứng minh: Theo định nghĩa Jz1 = z ∑ m k d' k z' (a) B αk dk d KỴ trơc cz song song với z1 qua khối Mk tâm c (hình 12-6) d'k Ta cã: xk yk C d' = dk2 + d2 - 2dkdcosk k Gọi toạ độ ®iĨm Mk lµ xk, yk, zk x xk = dkcosαk suy ra: d'k2 = dk2 + d2 - 2dxk H×nh 12.6 Thay kết vào biểu thức (a) đợc: Jz1 = ∑ mk(dk2 + d2 - 2xkd) = ∑ mkdk2 + ∑ mkd2 - ∑ mkdxk), y -154trong ®ã: ∑ mkdk2 = Jcz; ∑ mkd2 = Md2 cßn ∑ mkdxk = d ∑ mkxk = dMxC Do gèc toạ độ trùng với khối tâm c nên xC =0 Do đó: mkdxk = Cuối đợc: Jz1 = Jcz + Md2 Định lý đà đợc chứng minh 12.2 Định lý động lợng định lý chuyển động khối tâm 12.2.1 Định lý động lợng 12.2.1.1 Động lợng chất điểm hệ r Động lợng chất điểm đại lợng véc tơ ký hiệu k tích khối lợng véc tơ vận tốc chất điểm r r k = m v (12-14) r Động lợng hệ đại lợng véc tơ ký hiệu K tổng hình học động lợng chất điểm hệ r K= n ∑ k=1 r kk = n r ∑ mv v k (12-15) k=1 Đơn vị đo động lợng kgm/s Ta biểu diễn động lợng hệ qua khối lợng vận tốc khối tâm hệ Tõ (12-1) suy ra: r ∑mk r k = M r r c Đạo hàm hai vế theo thời gian nhận đợc: r r mk v k = M v o Động lợng hệ tích khối lợng véc tơ vận tốc khối tâm hệ -15512.2.1.2 Xung lợng lực (xung lực) Lực tác dụng khoảng thời gian nhỏ bé dt đại lợng véc tơ đo tích lực với khoảng thời gian vô bé xung lợng phần tư cđa r r r (12-17) lùc F ký hiƯu lµ d s = F dt r NÕu lùc F tác dụng khoảng thời gian hữu hạn từ to đến t đại lợng véc tơ tính tích phân xung lực phần tử khoảng thời gian r r gọi xung lợng lực F khoảng thời gian từ to đến t ký hiƯu lµ s r s = r tr d s = ∫to Fdt ∫to t (12-18) r Theo (10-18) nÕu lùc F = const th×: r r s = F = t - to 12.2.1.3 Định lỹ động lợng Định lý 12.1: Đạo hàm theo thời gian động lợng chất điểm hợp lực lực tác dụng lên chất điểm d r (mv) = dt n r ∑ Fi (12-19) i =1 Chøng minh: Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động víi vËn tèc v r r r d−íi t¸c dơng cđa hƯ lùc ( F 1, F 2, F n) Phơng trình viết cho chất điểm: r mW = n r ∑ Fi i =1 r r dv Thay W = vào biểu thức đợc: dt n r r d r m W = (mv) = Fi dt i =1 Định lý đợc chứng minh Biểu thức (12-19) thực chất phơng trình viết dới dạng động lợng cho chất điểm -156Định lý 12.2: Biến thiên động lợng chất điểm khoảng thời gian từ to đến t1 tổng hình học xung lợng lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian r n r r Fk dt = ∑ S k ∑ ∫to n r mv1 - mvo = t1 k =1 (12-20) k =1 Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra: n r d(m v ) = r ∑ ∫to Fk dt t1 k =1 Tích phân hai vế phơng trình tơng ứng với cận to t1 cã: n t1 n r t1 r r d (mv) = ∫to ∑ Fk dt = ∑ ∫to Fdt; ∫mvo mv1 k =1 r r n mv1 - mvo = k =1 r Sk k =1 Định lý đà đợc chứng minh Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng hệ véc tơ ngoại lực tác dụng lên hệ r dK N r = ∑ Fke dt k =1 (12-21) Chøng minh: Xét hệ gồm N chất điểm Ký hiệu hợp ngoại lực hợp nội r r lực đặt lên chất điểm thứ k F ke F ki Phơng trình động lực học viết cho chất ®iĨm ®ã lµ: r r r (a) mk( Wk ) = F ke + F ki ViÕt cho N chÊt điểm hệ ta có N phơng trình (a) nghÜa lµ k = N Céng vÕ víi vÕ N phơng trình với ta đợc: N r N r r m k Wk = ∑ Fke + ∑ Fki ∑ N k =1 k =1 k =1 Theo định luật Niu Tơn lực tác dụng tơng hỗ độ lớn, -157cùng phơng nhng ngợc chiều tổng hình học nội lực ( lực tác dụng tơng hỗ cuả chất điểm hệ) luôn không r F ki = Ta có: Còn lại: N r r ∑ m k Wk = ∑ Fke N k =1 k =1 r N N r dv k d v r Thay ∑ m k Wk = ∑ m k = ∑ m k v k = K, dt dt k =1 k =1 k =1 N d v N r Ta cã: K = ∑ Fke dt k =1 Định lý đà đợc chứng minh Định lý 12.4: Biến thiên động lợng hệ khoảng thời gian từ to đến t1 tổng hình học xung lợng ngoại lực tác dụng lên hệ khoảng thêi gian ®ã r r k1 - k0 = r N ∑ S ke (12-22) k =1 Chøng minh: Tõ phơng trình (12-10) suy ra: r dk = N r ∑ Fke dt k =1 TÝch ph©n hai vÕ biĨu thức tơng ứng với cận thời điểm đầu cuối đợc: r t1 t1 r dk = ∫to ∑ Fke dt = ∑ ∫to Fke dt ; ∫ko k1 r r k1 - ko = r s ke Định lý đà đợc chứng minh Chý ý biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) (10-22) biểu -175phẳng (hình 10-18) r r r Theo ®éng häc ta cã: v M = v A + v MA nÕu vËt cã vËn tèc gãc lµ ω th× : r r r r r v M = v A + ω x r víi r = AM Thay vào biểu thức tính vi phân công ta đợc: r dA = F.V.dt = FvAdt + F ( ωx r )dt r r r r dA = F d r + ω( r xF) dt ; ω A r r r r = F d r + m A (F) ω dt r vA r F r r Nếu gọi góc hợp mA(F) với trục quay M Hình12-18 r r r r m A(F) ω = m A( F ) ω.cosα Hay mA(F)cos = mz(F) ta đợc: r r r dA = F d r A + mz( F ).dϕ Víi dϕ = ωdt Trong tr−êng hỵp chän cùa A trïng với khối tâm C ta đợc: r r r dA = F d r C + mc( F )dϕ (12-45) Công lực tác dụng lên vật rắn chuyển động song phẳng tổng công nguyên tố lực chuyển động tính tiến theo khối tâm công nguyên tố lực chuyển động quay quanh trục qua khối tâm vuông góc với mặt r r v Q phẳng sở - Công lực ma sát: Đối với ma sát trợt tính chÊt cña lùc r F ms dϕ r N Mms r P ma sát cản lại trợt, dễ dàng tính: Hình 12-19 dA = - Fms.ds (12-46) ds -176Đối với ma sát lăn, mô men ma sát Mms chống lại chuyển động lăn vật nên tính đợc : dA = -Mmsd (12-47) Nh công lực ma sát công âm - Công nội lực vật rắn Xét hai chất điểm M1 M2 có lực tác dụng tơng hỗ F12 F21 Các lực hớng theo đờng M1M2 ngợc chiều F12 = - F21 Tổng công nguyên tố hai lực là: r r r r r r r r dA11 + dA21 = F 12 d r + F 21d r = F 12d r - F 12d r r r r r r r = F 12(d r - d r 2) = F 12( v - v 2)dt Theo ®éng häc cã: r r r r r r VM1 = V M2 + V M1M2 hay V = V + V M1M2 r r r suy V - V = V M1M2 Véc tơ luôn vuông góc với M1M2 Vì ta có F12.VM1M2 = Nghĩa : dA11 + dA21 = Suy tỉng c«ng cđa tất nội lực vật rắn với chuyển động không n dAki = k=1 Cần ý hệ vật rắn VM1M2 không vuông góc với M1M2 F12.VM1M2 suy ra: dAki 12.4.3 Định lý động Định lý 12-7 Vi phân động chất điểm tổng công nguyên tốc lực tác dụng lên chất ®iÓm ®ã -177mv d( )= N ∑ dA i (12-48) i =1 r Chøng minh: XÐt chÊt điểm khối lợng m chịu tác động lực ( F 1, r r F 2, F n) Phơng trình động lực học viết đợc: r mW = N r ∑ Fi hay i= r dv m = dt N r ∑ Fi r Nhân vô hớng hai vế với d r ta đợc : i= r r r r dv md r = m vdv = dt r r ∑ Fi d r = N i= N ∑ dA1 i= mv Thay m.v.dv = d( ) ta đợc biểu thøc: mv d( )= N ∑ dA1 i= Định lý đà đợc chứng minh Định lý 12-8: Biến thiên động chất điểm đoạn đờng tổng công lực tác dụng lên chất điểm đoạn đờng 2 mv1 mv − = 2 N ∑ dAi (12-49) i= Chứng minh: Giả thiết chất điểm chuyển động đoạn đờng M0M1 Tại r r vị trí ban đầu Mo chất điểm có vận tốc V o.và vị trí M1 có vân tốc V Theo ®Þnh lý 12-7 ta cã: mv d( )= N ∑ dAi i= NÕu lÊy tÝch ph©n hai vế phơng trình theo cận tơng ứng vị trí đầu vị trí cuối quÃng đờng ta cã: N mv ∫ ( ) = ∫M M1 ∑ dA i i −1 vo v1 -178- Hay: 2 N mv mv − = dA i 2 i =1 Đây biểu thức (12-49) Định lý 12-9: Vi phân động hệ tổng vi phân công ngoại lực nội lực tác dụng lên hệ N dT = ∑ dAk i N + k=1 ∑ dAke k=1 Chøng minh: XÐt hƯ N chÊt ®iĨm Gäi néi lực ngoại lực tác dụng lên r r chất ®iĨm thø k lµ F ki vµ F ke Theo định lý 12-7 viết đợc: mk v2 k d( ) = dAki + dAek Viết phơng trình cho N chất điểm hệ, nghĩa cho k = N ta đợc hệ N phơng trình Cộng vế với vế phơng trình đợc: mk v2 ∑ d( k ) = k=1 N N Hay: d ∑ k=1 ∑ dAik + k=1 mk v2 k = N dT = N ∑ dAik + k=1 N ∑ dAke k=1 N ∑ dAik k=1 N + dAke k=1 N dAke k=1 Đây kết cần chứng minh Định lý 12-10: Biến thiên động hệ đoạn đờng hữu hạn MoM1 tổng công nội lực ngoại lực tác dụng lên hệ đoạn đờng N T1 - T0 = ∑ Aik + k=1 N ∑ Ake (12-51) k=1 Chøng minh: LÊy tÝch ph©n hai vế biểu thức (12-50) theo cận ứng với -179vị trí ban đầu cuối đoạn đờng MoM1 ta đợc: T1 N N i e ∫ dT = ∑ ∫ dA k + ∑ ∫ dA k k =1 MoM1 To k =1 MoM1 N Hay T1 - To = ∑ Aik + k=1 N ∑ A ke k=1 Chó ý: khác với định lý khác đà trình bày định lý động hệ có kể đến nội lực Trừ trờng hợp hệ vật rắn tuyệt đối bỏ qua ảnh hởng nội lực đến biến đổi động Thí dụ 12-7: Vật nặng treo vào đầu sợi dây có chiều dài l (hình 12-20) đợc thả từ vị trí Mo tơng ứng có góc hợp dây với đờng thẳng đớng o vận tốc ban đầu Tìm vận tốc vật thời điểm sợi dây hợp với đờng thẳng góc Bài giải: Xét chuyển động vật nặng M Các lực O tác dụng lên vật gồm trọng lực P, lực căng T dây áp dụng định lý biến thiên động r T M0 h vật rắn ®o¹n ®−êng tõ M0 ®Õn M ta cã: N mv mv = = ∑ A M M1 2 i =1 M r P H×nh 12-20 vo = 0; công lc căng T không lực vuông góc với phơng tiÕp tun C«ng cđa träng lùc P theo biĨu thøc (10-42) viết đợc A(P) = + hP h độ cao điểm đầu so với điểm cuối quÃng đờng Từ hình vẽ ta có: h = l(cosϕ - cosϕo) Do ®ã A(P) = Pl(cosϕ - cosϕ0) Biểu thức biến thiên động -180trờng hợp viết đợc: mv = lP(cos - coso) Suy ra: v= 2gl(cos ϕ − cos ϕ o ) ThÝ dụ 12-8: Một vật nặng đợc thả từ độ cao H so với mặt ngang xà đàn hồi với vận tốc ban đầu không điểm rơi gữa xà (hình 12-21) Khi để vật nằm tĩnh xà xà võng xuống đoạn ft Hỏi độ võng fd xà vật rơi xuống xà nh bỏ qua trọng lợng xà giả thiết vật nặng rơi Mo xuống không bị bắn lên không bị H nhiệt A Bài giải: B Khảo sát chuyển động vật nặng (coi nh chất điểm chuyển động) Trên đoạn đờng rơi tự H chịu tác M1 ft Hình 12-21 dụng có trọng lực P Khi chạm xà chuyển động với xà đoạn đờng lác tác dụng lên vật trọng lực có phản lực đàn hồi F áp dụng định lý biến thiên động đoạn đờng từ lức bắt đầu rơi xà võng xuống ta đợc: 2 mv1 mv − = A(P) + A(F) 2 (a) trogn ®ã vo = 0; v1 = A(P) = P(H+fd) fd độ võng xà cần phải xác định A(F) = - cf d với c độ cứng xà -181Để xác định c ta ý vật đặt tĩnh lên xà độ võng xà nh đà cho ft Từ điều kiện cân trạng th¸i tÜnh ta cã: P = c.ft suy c = P/ft Thay kết tìm đợc vào biểu thức (a) ta đợc: P(H+fd) - P f d = 2f t Hay fd2 - 2ftfd- 2Hft = 0; fd = ft + f t2 + 2Hf t fd đợc gọi độ võng động, lớn gấp nhiều lần so với độ võng tĩnh ft Từ biểu thức xác định fd ta thấy độ cao H =0 đà có fd = 2ft H lớn fd lớn , thí dụ động võng tĩnh ft = 1mm, độ cao H = 20m fd = 21mm = 21.ft nghĩa gấp 21 lần ft v Thí dụ 12-9: Một ô tô có trọng lợng kể bánh Q Mỗi bánh xe có RC Mm Md Mm trọng lợng P bán kính r bán kính quán tính Trên bánh xe chủ ®éng C Fms Fms nhËn mét m« men chđ ®éng từ động C Hình 12-22 Md làm cho ô tô chuyển động từ trạng thái đứng yên Cho biết trục bánh xe chịu mô men ma sát Mms; Lực cản không khí tû lƯ bËc hai víi vËn tèc cđa « t« Rc = - àv2 Xác định vận tốc tới hạn ô tô (hình 12-22) Bài giải: Để xác định vận tốc tới hạn ô tô ta áp dụng định lý vi phân động Động T ô tô xác định đợc theo biểu thức: 1Q 1 ρ2 2 T= v + 4( J o ω ) = (Q + P ) v 2g 2g r vo lµ vËn tốc tâm bánh xe vận tốc ô tô -182r Ngoại lực tác dụng lên ô tô gồm: trọng lực P , phản lực pháp tuyến r r r r mặt đờng N , lực ma sát F ms, lực cản R C Trong lực có lực cản R C sinh công đó: dA = - RCdso = -àv2 dso Nội lực hệ gồm có mô men chủ động Md mô men ma sát Mms Công lực tính đợc: dAi = (Md-Mms) d = (Md - Mms) ds r Thay kết tìm đợc vào biểu thức (12-50) đợc: dv 1 ds (Q + 4P ) v o = (M d − M ms − µv r ) g dt r dt r Thay vo = ds vµ rót gọn ta đợc: dt g (Q + 4P ) w = (M d − M ms − àv r ) r r Khi vo đạt tới giá trị tới hạn có nghÃi gia tố wo =0 suy ra: Md = Mms- àrv2gh = Hay vgh = Md − 4M ms µr Đây vận tốc tới hạn ô tô Thí dụ 12-10: Bộ truyền đai có sơ đồ nh hình vẽ (12-23) Bánh đai A quay với vận tốc góc o Trọng lợng chung hai bánh đai A B P Trọng lợng dây đai Q Để hÃm hệ thống dừng lại ta dùng lực phanh F tác dụng vào má phanh, cho biết hệ số ma sát má phanh bánh đai A f Xác định số r F A r PA r F ms ω r Q H×nh 12-23 B r PB -183vòng quay bánh đai A từ lúc bắt đầu phanh dừng hẳn Bài giải: Xét chuyển động hệ bao gồm hệ hai bánh đai A,B dây đai áp dụng định lý biến thiên động cho hệ khoảng thời gian từ bắt đầu phanh cÊu dõng h¼n ta cã: T - To = ∑Aek + Ak1 (a) ứng với thời điểm cuối T = Tại thời điểm đầu To = TA + TB + Td Giả thiết đai trợt ta có vận tốc đai V = R0 vận tốc góc B bánh đai B là: B = R o r Trong r bán kính bánh đai B Ta cã: TA= P 2 ( R )ω ; 2g 2 PB PB R ω o PB 2 R ωo TB= ( r )ω B = ( r ) = 2g g 2g r Động dây đai: Td = 1Q 1Q 2 v = R ωo 4g 4g Thay kết tìm đợc vào biểu thức động hệ ý PA + PB = P ta đợc: To = P + 2Q 2 R o g Các lực tác dụng lên hƯ gåm träng lùc, lùc ma s¸t Fms ë phanh Trong có lực ma sát Fms sinh công, ta có: -184Ai = Ae = A(Fms) = -(f.F.R). = - f.F.R.2N (vòng) Thay vào (a) ta ®−ỵc: To = P + 2Q 2 R ω o = f.F.R.2ω.N g Suy ra: N = P + 2Q 2 R ω o (vßng) 2gfF Thí dụ 12-11: Một xe goòng đợc kéo lên dốc lực F = 16KN Trọng lợng cha kể bánh P = 18KN Trọng lợng bánh xe goòng Q = 2KN (hình 12-24) r F Xác định vận tốc goòng thời điểm xe goòng đà đợc S đoạn s = 4m Cho biết lúc đầu xe goòng đứng yên tức vo = Xác định gia tốc r r P +4 Q xe goòng Giả thiết bánh xe chuyển động lăn không trợt ma sát Hình 12-24 trục không đáng kể, góc nghiêng = 300 Bài giải: Để xác định vận tốc v1 xe goòng ta áp dụng định lý biến thiên động cho xe đoạn đờng s Ta cã: T1 - To = ∑A0k T1 = víi To = 1P 3Q 2 v + 4( v1 ) = (P + 6Q) v 2g 4g 2g Ngoại lực tác dụng lên xe goòng gồm : lực kéo F, trọng lợng P 4Q, lực ma sát Fms mặt đờng lên bánh xe Trong lực lực ma sát không sinh công bánh xe lăn không trợt -185Ta cã: ∑Ao = A(F) + A(P) + 4A(Q) = QS - (P+4Q)h = FS + (P+4Q)sinα Thay vµo biĨu thøc ban đầu đợc: (P + 4Q) v1 = [F + (P+4Q)sinα]S 2g (b) Suy ra: v1 = 2g[F + (P + 4Q)]S = 9,445 m/s P + 6Q Để xác định gia tốc ta đạo hàm bậc theo thời gian hai vế phơng trình (b) đợc: ds dv ( P + 4Q ) v = [F + (P + 4Q) sin α] dt g dt Thay ds dv = W vµ = v ta suy dt dt W= F − (P + 4Q) sin g = 0,98 m/s2 P + 6Q 12.4.4 Định luật bảo toàn 12.4.4.1 Trờng lực trờng lực Trờng lực khoảng không gian vật lý mà chất điểm đặt chịu tác dụng lực phụ thuộc vào vị trí cuả chất điểm Trờng lực trờng lực mà công lực đặt lên chất điểm không phục thuộc vào dạng quĩ đạo chuyển động mà phụ thuộc vào vị trí đầu vị trí cuối quÃng ®−êng di chun cđa chÊt ®iĨm Lùc tr−êng lùc thÕ gäi lµ lùc cã thÕ Tr−êng träng lùc, tr−êng lực đàn hồi ví dụ trờng lực có thế; Trọng lực lực đàn hồi lực 12.4.4.2 Thế Xét chất điểm M đặt trờng lực Nếu gọi vị trí M0 " vị trí -186không" hay gọi mốc, vị trí xét M(1) ( Hình 12.25 ) ta có định nghĩa sau: Thế chất điểm vị trí M(1) công lực tác dụng lên chất điểm dời chỗ từ vị trí M(1) O vị trí M Ký hiệu vị trí M π (1) (1) x z1 Ta cã: π(1) = A1-0 M H Theo định nghĩa trờng lực thi công lực phụ thuộc vào toạ độ điểm xét suy (1) = (x1,y1,z1) h z Hàm đợc gọi hàm Chú ý điểm M0 vị trí chọn Hình 12-25 o tuỳ ý chọn vị trí M khác chất điểm vị trí sai khác số Từ kết ta viết biểu thức tính lực trọng trờng lực đàn hồi Đối với lực trọng tr−êng T ta cã: π(1) = AM1M0(P) = ±Ph Trong ®ã h lµ ®é cao cđa ®iĨm ci so víi điểm đầu ta chọn hệ toạ độ có gốc O trùng với vị trí không trục oz trục hớng thẳng đứng xuống dới ký hiệu H độ cao điểm o, z1 toạ ®é cu¶ ®iĨm ®ang xÐt ta cã: ±h = H - z1 Suy biểu thức tính năng: (1) = P(H-z1) (12-52) Theo biĨu thøc (12-52) nÕu chän ®iĨm M0 nằm mặt đất vật ë ®é cao z1 sÏ tÝnh b»ng: π(1) = Pz1 §èi víi lß xo: lùc cã thÕ F = - cx với c hệ số cứng lò xo -187Chọn vị trí M(0) vị trí mà lò xo trạng thái tự nhiên (không bị nén hay gi·n) Khi vËt ë vÞ trÝ M(1) ta cã : AM1M0 = cx r F Do ®ã suy ra: π(1) cx (12-53) x A Mo M1 Hình 12-26 Trên đà tính qua biểu thức tính công, ngợc lại chóng ta cịng cã thĨ biĨu diƠn c«ng qua thÕ nh sau: Xét chất điểm đặt trờng lực dời chỗ từ vị trí M(1) đến vị trÝ M(2) Khi ®ã ta cã: A1-2 = A1-0 + A0-2 = A1-0 - A2-0 Thay A1-0 = π1 , A2-0 = π2 th× A1-2 = π1 - π2 Nh− công lực đặt vào chất điểm chuyển dời đoạn đờng hiệu chất điểm vị trí cuối đoạn đờng Mặt khác thấy hai điểm M(1) M(0) gần nghĩa là: M(1)(x1,y1,z1) điểm M(2)(x1 + dx,y1 + dy,z1 + dz) th× cã thĨ viÕt: dA = π(1) - π(2) = - dπ Thay dA = Xdx + Ydy+ Zdz X,Y,Z thành phần lực hớng theo trục toạ độ oy Mặt khác = (x,y,z) nªn ta cã: dπ = ∂π ∂π ∂π dx + dy + dz x y z Đối chiếu biĨu thøc dA vµ dπ ta rót ra: X= ∂π ;Y= ;Z= x y z (12-55) -18812.4.4.3 Định luật bảo toàn Xét hệ đặt trờng lực Định lý động viết đợc: n n n k= k= k= T1 - To = ∑ Aek + ∑ Aki = ∑ Ak Khi hệ chuyển động từ vị trí không đến vị trí ta cã : n ∑ Ak = πo - k= Trong hƯ néi vµ ngoµi lùc Ta cã: T1 - To = π0 - π1 Hay To + π0 = T1 + π1 Khi hƯ chun ®éng tr−êng lùc thÕ tổng động hệ vị trí không đổi ký hiệu E E=T+ Hệ chất điểm nghiệm định luật bảo toàn đợc gọi hệ bảo toan, lực tác động lên hệ gọi lực bảo toàn Thí dụ 12-12: Khảo sát lắc (hình vẽ 12-27), chuyển động từ vị trí A ban đầu xác định góc với vận tốc không o = Pz0 Trong P trọng lợng lắc, o Co zo toạ độ trọng tâm lắc z thời điểm ban đầu Bỏ qua lực cản, biết mô men quán tính lắc điểm treo A JA Xác định vận tốc góc lắc vị trí khối tâm C có độ cao z Bài giải: C zo Hình 12-27 -189áp dụng định luật bảo toàn cho lắc ta có: To + πo = T1 + π1 (a) To vµ o động lắc thời điểm đầu tơng ứng với vị trí tâm c có độ cao zo T1 động lắc vị trí khảo sát Theo đề To = 0; = Pz0;π1 = Pz; T1 = JAω2/2 Thay vµo (a) ta đợc: Pzo = JA2/2 + Pz Suy ra: = 2P (z o − z) JA KÕt qu¶ cho thÊy giá trị phụ thuộc vào vị trí l¾c ... z ( m.v) = ± m.v''.h (12- 23) (12- 24) r Trong biểu thức (12- 23 ), (12- 24) m khối lợng, v vận tốc -165- r chất điểm, v'' hình chiếu v mặt phẳng vuông góc với trục z Biểu thức (12- 24) lấy dấu + nhìn... thức (12- 31) Chiếu biểu thức (12- 31) lên trục z đợc biểu thức (12- 23) Định lý 12- 7 đà đợc chứng minh Chú ý: Nội lực định lý 12- 7 nên nói nội lực không làm thay đổi mô men động lợng hệ 12. 3.3... ∑ mkdxk = Cuèi cïng đợc: Jz1 = Jcz + Md2 Định lý đà đợc chứng minh 12. 2 Định lý động lợng định lý chuyển động khối tâm 12. 2.1 Định lý động lợng 12. 2.1.1 Động lợng chất điểm hệ r Động lợng chất