De chon Doi tuyen HSG du thi Cap tinh 92010-2011)

TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 12 - NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (5.0 điểm) 1/ Cho hàm số ( ) 2 3 1 1x m m x m y x m − + + + = − . Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy nhất một điểm vừa là điểm cực đại của đồ thị ứng với m nào đó vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của m. 2/ Tìm m để phương trình ( ) 4 3 2 2 1 0x mx m x mx− + + − + = có nghiệm duy nhất 1x ≥ . Bài 2. (5.0 điểm) 1/ Giải phương trình: 3 8 .2 2 0 x x x x − − + − = (1) 2/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = 4a. Các mặt bên ( ) ( ) ( ) , ,SBC SAB SAC lần lượt tạo với đáy các góc 0 0 0 , 90 30 , 60 . Tính thể tích của khối chóp. Bài 3. (5.0 điểm) 1/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM: 2 1 0x y+ + = và phân giác trong CD: 1 0x y+ − = . Viết phương trình đường thẳng BC. 2/ Cho dãy { } 1 2 , , ., n x x x với 0 1 n x< < và ( ) 1 1 1 4 n n x x + − > . Chứng minh rằng: 1 lim 2 n x = Bài 4. (5.0 điểm) 1/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 12 xy A x y x x y = + + + với ,x y∈¡ 2/ Chứng minh rằng: 2 cos sin cos 1,x x x x+ + ≥ ∀ ∈ ¡ ------------------------Hết----------------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh:…………. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Lời giải sơ lược Bài 1. a) ( ) 2 2 2 2 1 ' x mx m y x m − + − = − ; 1 2 1 ' 0 1 x m y x m = −  = ⇔  = +  BBT: x - ∞ m-1 m m+1 + ∞ y’ + 0 - - 0 + y CĐ - ∞ - ∞ + ∞ + ∞ CT Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 3 y f x x m m y x x x x x y f x x m m y x x x x x = = − + ⇒ = − + + = − − − = = − + ⇒ = − − = − +  CĐ ( ) 1 P∈ : 2 2y x x= − − − ; CT ( ) 2 P∈ : 2 3y x x= − + ( ) 1 P ∩ ( ) 2 P = A 1 7 ; 2 4 −   −  ÷   Vậy điểm A vừa là điểm cực đại và vừa là điểm cực tiểu ứng với các giá trị m khác nhau.( ĐPCM). b) ( ) 4 3 2 2 1 0x mx m x mx− + + − + = 2 1 1 0x m x m x x     ⇔ + − + + =  ÷  ÷     Đặt 1 , | | 2t x t x = + ≥ . Với 1 2x t ≥ ⇒ ≥ Cần tìm m để phương trình theo t: 2 0t mt m− + = có nghiệm 2t ≥ ta có pt: 2 0t mt m− + = 2 1 t m t = − , ( ) 2 1 t f t t = − với 2t ≥ Dựa vào đồ thị hàm số f(t) ta có 4m ≥ 1 1 0,5 1 1 0,5 Bài 2 a) ) D = R. PT: 8 – x. 2 x + 3 2 x− - x = 0  8 – x. 2 x - 8 2 x - x = 0  8(1+ 1 ) 2 x - x( 2 x +1) = 0  8 (2 1) (2 1) 0 2 x x x x+ − + =  ( 2 x +1)( 8 8 ) 0 2 2 x x x x− = ⇔ = Vế trái nghịch biến, vế phải đồng biến ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất x=2 1 1 0,5 b). 2,5 B A C S H I K ( ) ( ) ( ) 0 0 ; , 30 , 60 SBC ABC SH BC SH ABC HI AB HK AC SIH SKH ∧ ∧ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ = = Tính HK hoặc HI để suy ra SH 3 8 3 3 3 SABC SH a V a= => = Bài 3: a) C ( ) : 1 0 ;1CD x y C t t∈ + − = => − Vì M trung điểm AC => 1 3 ; 2 2 t t M + −    ÷   MK: M :2 1 0BM x y∈ + + = => t = -7 => C(-7;8). Kẻ AK ⊥ CD cắt CD tại I ( K BC∈ ). => Pttq của AK: 1 0x y− + = => I ( ) 0;1 Ngoài ra: ACK∆ cân tại C => K(-1;0) Đường BC qua C,K nên có pt: 4 3 4 0x y+ + = b) Vì * 0 1, n x n N< < ∀ ∈ , nên dãy đã cho bị chặn. Mặt khác ( ) ( ) 1 1 1 1 4 n n n n x x x x + − > ≥ − và 0 1 n x< < nên 1n n x x + > Dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn Đặt lim n a x= . Ta có ( ) 1 1 1 4 n n x x + ≤ − Nên ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 lim 1 lim .lim 1 1 0 4 4 2 n n n n x x x x a a a a a + +   ≤ − = − ⇔ ≤ − ⇔ − ≤ ⇔ =   ÷     1 1 0,5 0,5 1 1 a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ó : . : 3 1 1 12 1 1 12 1 1 1 3 12 1 3 1 1 12 3 1 1 12 1 1 12 1 1 . : 1 12 ( 1) 3 ( ) 3 12 4 3 1 1 '( ) 0 3 ( ) (3) 3 6 y Ta c A t x x y y x t t t A t t t t t t t u u t u A f u t u u f u A f u f u = =          ÷  + ÷ + +  ÷  ÷  ÷  ÷         − + ⇒ = = =   + − + + + + + +  ÷   + − − = = + ≥ ⇒ = = + + = −  ⇒ = ⇔ ⇒ = ≤ = ⇒  =  1 ax . 18 à : lim ( ) 0 0 u M A V f u MinA →∞ = = ⇒ = b) Trên mặt phẳng toạ độ ta chọn : ( ) ( ) ( ) cos ;0 ; 0;cos ; sin ;0A x B x C x− => ( ) ( ) ( ) cos ;cos ; sin ; cos ; cos sin ;0AB x x BC x x CA x x → → → = − = − − + Ta có: 2 cos ; 1; sin cosAB x BC CA x x= = = + Và 1.AB CA BC VT+ ≥ => ≥ 0,5 1 1 1 0,5 I B A C M D K Dấu bằng xảy ra <=> A, B, C thẳng hàng osx=0 cosx=-sinx c  ⇔   2 4 x k x k π π π π  = +  <=>   = − +   với k ∈ ¢ 1 Chú ý: Mọi cách giải khác nếu đúng cho điểm tối đa . TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 12 - NĂM HỌC 2010 - 2011. 1x m m x m y x m − + + + = − . Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy nhất một điểm vừa là điểm cực đại của đồ thị ứng với m nào đó vừa là điểm