GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ CÓ LỜI GIẢI

Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc mặt sấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện. Việc tung đồng xu đó là một phép thử còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố. Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.

ThS: Đặng Xuân Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 1: Các khái niệm lý thuyết xác suất 1.Giải tích tổ hợp 1.1.Quy tắc cộng Ta cần thực cơng việc có n phương án để thực +Phương án 1: Có n1 cách chọn +Phương án 2: Có n2 cách chọn ……………… +Phương án n: Có nn cách chọn Vậy để thực cơng việc ta có: n1+n2+…+nn cách chọn Ví dụ 1: Siêu thị A có bán loại sữa, siêu thị B có bán loại sữa, siêu thị C có bán loại sữa, mua loại sữa có cách mua? Giải: +Phương án 1: Đến siêu thị A: Có cách chọn +Phương án 2: Đến siêu thị B: Có cách chọn +Phương án 3: Đến siêu thị C: Có cách chọn Vậy để chọn mua loại sữa ta có: 2+3+4=9 cách chọn Ví dụ 2: Để từ tỉnh A đến tỉnh B ta phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa chuyến máy bay Hỏi ngày để từ tỉnh A đến tỉnh B có cách? Giải: +Phương án để ô tơ có 10 cách chọn +Phương án để tàu hỏa có cách chọn +Phương án để máy bay có cách chọn Vậy để từ tỉnh A đến tỉnh B ta có: 10+3+5=18 cách chọn 1.2.Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành qua k giai đoạn: +Giai đoạn 1: Có n1 cách chọn +Giai đoạn 2: Có n2 cách chọn ……………… +Giai đoạn k: Có nk cách chọn ThS: Đặng Xuân Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Vậy để thực cơng việc ta có: n1,n2,…,nn cách chọn Ví dụ 1: Một lớp có 30 học sinh Cần chọn BCH đồn (bí thư, p.bí thư, ủy viên) Có cách chọn BCH thế? Giải: Công việc chọn BCH đồn +Chọn bí thư: có 30 cách +Chọn p.bí thư: có 29 cách +Chọn ủy viên: có 28 cách Vậy để chọn BCH đồn ta có: 30.29.28=24 360 cách chọn Ví dụ 2: Có số tự nhiên lẻ có chữ số? Giải: Giả sử số có chữ số là: ABC ABC thuộc (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Cơng việc có cách xếp số tự nhiên +Chọn A: có cách (trừ phần tử 0) +Chọn B: có 10 cách +Chọn C: có cách (C thuộc: 1,3,5,7,9) Vậy ta có: 9.10.5=450 cách lập số lẽ 1.3.Hốn vị Giả sử có n phần tử xếp n vị trí Ta đổi chỗ phần tử cho Số cách đổi chỗ n phần tử cho gọi số hoán vị n phần tử Số cách chứng minh bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1 Quy ước 0! = Ví dụ 1: Có người : A, B, C xếp vào chỗ ngồi có cách xếp sau: ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC tất có 3! = 1.2.3 = cách xếp 1.4.Tổ hợp Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n), cho hai cách lấy gọi khác chúng có phần tử khác Số cách lấy k phần tử gọi tổ hợp chập k n Ký hiệu: Ckn bấm máy: nCr Công thức : Cnk  n! k!(n  k)! Chú ý: C nnk  n! n!   C nk số cách lấy k phần (n  k )!(n  n  k )! (n  k )!.k! tử từ tập hợp n phần tử số cách lấy n-k phần tử lại ThS: Đặng Xuân Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ C0n  Cnn  ; C1n  Cnn1  n Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên người nhóm người A,B,C ta có số cách chọn là: Giải: Số cách chọn : C3  cách chọn: AB, AC, BC Ví dụ 2: Một lớp có 20 học sinh Hỏi có cách chọn học sinh Giải: Để chọn học sinh tổ hợp chập 20 C20  20!  1140 3!.17! 1.5.Chỉnh hợp: Ta lấy ngẫu nhiên k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử cho hai cách lấy gọi khác chúng có nhât phần tử khác thứ tự lấy phần tử khác Số cách lấy k phần tử gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Ký hiệu: Akn Công thức: Akn=n.(n-1)…(n-k+1) Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên người nhóm người A, B, C để làm nhiệm vụ Ai chọn làm nhóm trưởng Giải: Ta có cách chọn AB, AC, BC Do hai cách chọn khác kể đến thứ tự nên có thêm cách chọn: BA, CA, CB có tất cách chọn theo công thức: A32  3.2.1  Nhận xét: Mỗi cách chọn theo nghĩa tổ hợp, cách chọn theo nghĩa chỉnh hợp có kể tới thứ tự chọn ( có k! cách hốn vị k phần tử ) nên có: Ank  C nk k! n! n! * k!  n.(n  1) (n  k  1) k!(n  k )! (n  k )! 1.6.Luật tích: Nếu có cơng việc A1 A2 khác cho có k1 cách thực công việc A1, k2 cách thực công việc A2 số cách thực liên tiếp hai cơng việc A1 A2 k1.k2 Ví dụ 4: Có cách lấy từ 52 quân bàì tú lơ khơ cho có át 10 ThS: Đặng Xuân Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giải: Số cách lấy át: C4  Số cách lấy 10: C4  Số cách lấy át 10 là: C34 C24  4.6  24 1.7.Công thức Newton: n (a  b)n   Cnk an k b k  C0nan b0  C1nan 1b1  C2nan 2 b2   Cnn1ab n 1  Cnn b n k 0 2.Phép thử biến cố Khi tung đồng xu xuống đất có hai khả xẩy mặt sấp xuất mặt ngửa xuất Việc tung đồng xu phép thử việc xuất mặt biến cố Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có sảy hay khơng gọi phép thử, tượng xảy kết phép thử gọi biến cố Ví dụ 1: Từ lơ sản phẩm gồm phẩm phế phẩm lấy ngẫu nhiên sản phẩm Việc lấy ngâu nhiên sản phẩm phép thử việc lấy phẩm hay phế phẩm biến cố Vậy biến cố xảy phép thử gắn liền với thực Các loại biến cố: + Biến cố chắn: Là biến cố định xảy thực phép thử Ký hiệu: U Ví dụ 2: Thực phép thử tung xúc xắc Gọi U biến cố “Xuất mặt có số chấm nhỏ hay 6” U biến cố chắn + Biến cố khơng thể có: Là biến cố định không xảy thực phép thử Ký hiệu là: V Ví dụ 3: Thực phép thử tung xúc xắc Gọi V biến cố “Xuất mặt có số chấm nhỏ hay 7” V biến cố khơng thể có +Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố xảy không xảy phép thử thực Ký hiệu: A, B, C, …hoặc A1, A2, ….B1, B2, … ThS: Đặng Xuân Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ + Biến cố sơ cấp biến cố khơng thể phân tích Ví dụ 4: Khi tung xúc xắc, gọi Ai biến cố xuất mặt i chấm (i=1;2;3;4;5;6) Ai biến cố ngẫu nhiên Và thêm biến cố sơ cấp; gọi B biến cố “Xuất mặt có số chấm chẵn” B xảy A 2; A4, A6 xảy nên B khơng biến cố sơ cấp Ví dụ 5: Một hộp chứa bi đỏ, bi xanh Chọn ngẫu nhiên bi từ hộp  gồm : C73  35 phần tử Ví dụ 6: Gieo xúc xắc đồng thời đồng chất, quan sát số chấm xuất khơng gian mẫu   ? Ta có: 6.6=36 phần tử 3.Khái niệm định nghĩa xác suất Khi thực lặp lặp lại phép thử nhiều lần điều kiện, tính ngẫu nhiên biến cố dần khả xẩy biến cố thể theo quy luật định Từ cho thấy định lượng (đo lường) khả khách quan xuất biến cố Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả khách quan xuất biến cố thực phép thử 3.1.Định nghĩa cổ điển xác suất: Xác suất xuất biến cố A phép thử tỉ số số trường hợp thuận lợi cho A tổng số trường hợp đồng khả xảy thực phép thử Ký hiêu : P(A) xác suất biến cố A, m số trường hợp thuận lợi cho A, n số trường hợp đồng khả phép thử Khi đó: P( A)  m n (1.1) 3.2.Các tính chất xác suất: a.0t  ta bác bỏ H      x   kết luận: > ; x   kết luận:    Ví dụ 1: Sở điện lực A báo cáo rằng: Trung bình hộ hàng tháng phải trả 250 000đ tiền điện, với độ lệch chuẩn là: 20 000đ, người ta khảo sát ngẫu nhiên 500 hộ tính trung bình hàng tháng hộ trả 252 000đ tiền điện Trong kiểm định giả thuyết H: “TB hộ phải trả hàng tháng 250 000đ tiền điện” với mức ý nghĩa   1%  0,01 Hãy cho biết giá trị thống kê t kết luận ? Giải : Theo ta coù H:   250, n=500, x  252 Độ lệch chuẩn: =20, =0,01, tính t-? t x  0 252  250 500  2,23 20    0,01 Ta coù: (t  )    0,495  t   2,57 2 Do t  t  ta chấp nhận H: =  250  n Trường hợp 2: n  30 chưa biết =? Ta làm theo TH1 thay =S Trường hợp 3: n t  f  p0 p.p0 f  p0 p.p    0.05   0.475  t   1,96 2 n maø p=1-p n 0.536  0.58 0.58(1  0.58) 1000  2,82 Do t  t  ta bác bỏ giả thuyết H Kết luận nghĩa là: p t   1,79, (t  )  1   0,4641    0,0718 Vậy mức ý nghĩa lớn   0,0718 H chấp nhận Ví dụ 11: Để kiểm tra loại súng thể thao, người ta cho bắn 1000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu, sau người ta cải tiến kỹ thuật kiểm tra lại thấy tỷ lệ trúng súng lúc 70% Trong kiểm định giả thuyết H: “Tỷ lệ bắn trúng súng thể thao 70%” với mức ý nghĩa 3% có giá trị thống kê t kết luận? Giải: Theo toán giả thuyết: n=1000; m=670 => f  m 670   0,67 n 1000 Giả thuyết H: p=3% Mức ý nghĩa   0,03 Ta có: t  f  p0 n p.p0 0,67  0,7 0,7(1  0,7) 1000  2,07 Để H chấp nhận thì: t  t  (t  )     0.03   0.485  t   2,17 (Tra bảng) 2 => t  t  H chấp nhận Ví dụ 12: Đo đường kính 100 trục máy nhà máy sản xuất có bảng số liệu sau đây: Đường kính (cm) 9,75 9,8 9,85 9,9 Số trục máy 37 42 16 a)Ước lượng đường kính trung bình trục máy với độ tin cậy 97% b)Nếu muốn ước lượng với độ xác lớn 0,003 với độ tin cậy 99% phải đo thêm trục nữa? Giải: Theo toán ta có: n=100>30    97%  0,97 Bấm máy tính ta có: x  9,83 S=0,04 a)Ta có: (t  )    0.97   0.485  t   2,17 (tra baûng) 2 62 ThS: Đặng Xuân Quỳnh   t S n  2,17 Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ 0,04  0,00868 10  Vậy khoảng ước lượng trung tình là: x  ; x    b)Độ xác lớn 0,003, sai số bé 0,003;   0,003 ta có:    0,99 theo (t  )    t   0.99   0.495  t   2,57 (tra baûng) 2 S n  0,003  2,57 0,04 n  0,003  n  1177 Vậy cần đo thêm số trục là: 1177-100=1077 trục 5.3.Kiểm định phân phối Để khảo sát biến định tính X, ta lấy mẫu quan sát gồm N cá thể phân chia thành k lớp (loại) bảng sau: (Li lớp thứ i, mi số lần X thuộc lớp i) Biến X L1 L2 Lk Tổng Tần số mi m1 m2 mk N   mi Từ lí thuyết đó, lí thuyết xây dựng chặt chẽ, có giải thích chế, hay lí thuyết mang tính kinh nghiệm, người ta đưa giả thiết H0 thể dãy tần suất lí thuyết f1,f2, ,fk biến X Căn vào tần suất lí thuyết fi tần số thực tế mi phải đưa hai kết luận: a.Chấp nhận H0 tức xem tần số thực tế phù hợp với lí thuyết nêu (thể tần suất fi) b.Bác bỏ H0 tức dãy tần số thực tế mi không phù với lí thuyết nêu Việc kiểm định thực với mức ý nghĩa  , tức giả thiết H0 xác suất để bác bỏ cách sai lầm H0  Các bước cần làm gồm: Bước 1: Tính tần số lí thuyết theo cơng thức: ti=Nfi (7.1) Bước 2: Tính khoảng cách hai số mi t i theo cách tính khoảng cách 2 m tức tính  ti  i ti 63 ThS: Đặng Xuân Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bước 3: Tính khoảng cách hai dãy tần số thực tế mi tần số lí thuyết ti theo cơng thức: n 2tn   m  ti  i ti c 1 (7.2) Bước 4: tính giá trị tới hạn bảng (cột  , dòng k-1, kí hiệu là: 2  ,k  1 ) Bước 5: 2tn  2  ,k  1 chấp nhận H0: “Dãy tần số thực tế mi phù hợp với lí thuyết nêu” Nếu 2tn  2  ,k  1 bác bỏ H0, tức : “Dãy tần số thực tế mi khơng phù hợp với lí thuyết nêu” Ví dụ 1: lai đậu đỏ (gen trội A) hạt trơn (gen trội B) với đậu hoa trắng (gen lặn a) hạt nhăn (gen lăn b) Đến hệ F2 ta kiểu hình: Kiểu hình AB Ab aB ab N Tần số mi 59 18 26 12 115 Hỏi số liệu thí nghiệm lai đậu có phù hợp với luật phân li thứ Mendel hay không? Giải: gọi H0 giải thiết: Dãy số liệu thí nghiệm phù hợp với luật phân li thứ Mendel” Dựa vào tỉ lệ 9:3:3:1 luật phân li, ta có tần suất lí thuyết: fi ti 9/16 3/16 3/16 Tổng 1/16 115.9/16=64,7 115.3/16=21,6 115.3/16=21,6 115.1/16=7,2 n 2tn   c1 115  m  t    59  64,6   18  21,6   26  21,6   12  7,2  i 2 i ti 64,7 21,6 21,6 7,2  5,198 Bậc tự do: Df=4-1=3 Giá trị tới hạn: 2  ,k  1  2 (0,05;3)  7,815 Kết luận 2tn  2 (0,05;3) nên chấp nhận H0: “Số liệu thí nghiệm lai đậu phù hợp với định luật phân li thứ Mendel” 64 ThS: Đặng Xuân Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ 2: trồng chậu hai hoa, số sống ghi bảng (biến X có lớp: “0 sống” „1 sống” „2 sống”) Tất có 500 chậu Kiểm định giả thiết H0: „‟biến X phân phối nhị thức B(2;0,3)” (tức coi chậu hai kiện, thứ „sống” kiện thứ hai „sống” hai kiện độc lập có xác suất 0,3) Từ giả thiết H0 ta suy tần suất lí thuyết tần suất tương ứng: Tần suất fi 0,72 2.0,3.0,7 0,32 Tần số lí thuyết ti 245 210 45 500  2tn  248  245 190  210  245 210  62  45 8,364 45 Bậc tự Df=3-1=2, giá trị tới hạn 2  ,k  1  2 (0,05;2)  5,991 Kết luận: bác bỏ H0, số sống chậu không tuân theo luật nhị thức B(2;0,3) 65 ... Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ 1: Trong phân xưởng có máy hoạt động, xác suất để ca máy bị hỏng 0,1 Tìm xác suất để ca có máy bị hỏng Giải: Ta coi hoạt động máy phép thử độc lập Trong phép thử có. .. nhân xác suất 4.1.Định lý: Xác suất tổng hai biến cố không xung khắc tổng xác suất biến cố trừ xác suất tích biến cố P( A + B)= P(A) + P(B) – P(A.B) Ví dụ 1: lớp học có 50 học sinh Trong có 20... Một hộp có 10 sản phẩm, có phẩm phế phẩm lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Tìm xác suất để: a Cả sản phẩm lấy phẩm b Trong sản phẩm lấy có phẩm ThS: Đặng Xn Quỳnh Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giải: