Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 623 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
623
Dung lượng
13,39 MB
Nội dung
VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG MƠN TỐN CÁC TỈNH THÀNH NĂM 2018-2019 Mục lục Chuyên đề 1+2:Parabol toán quy hoạch Chuyên đề 3:Phương trình Chuyên đề 4:Bất hương trình .46 Chuyên đề 5:Hệ phương trình 56 Chuyên đề 6:Bất đẳng thức 101 Chuyên đề 7:Giá trị lớn giá trị nhỏ 124 Chuyên đề 8:Lượng giác 168 Chuyên đề 9:Bài toán đếm 193 Chuyên đề 10:Xác suất 197 Chuyên đề 11:Nhị thức Newton .218 Chuyên đề 12:Dãy số, giới hạn 229 Chuyên đề 13:Hàm số liên tục, đạo hàm 264 Chuyên đề 14:Khảo sát hàm số toán liên quan 271 Chuyên đề 15:Mũ, Logarit .343 Chuyên đề 16:Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân 353 Chuyên đề 17:Số phức 368 Chuyên đề 18:Véc tơ hình học phẳng 372 Chuyên đề 19:Tọa độ mặt phẳng 409 Chun đề 20:Hình học khơng gian túy 451 Chuyên đề 21: Nón, trụ, cầu 577 Chuyên đề 22:Tọa độ không gian 591 Chuyên đề 23:Số học 606 Lời nói đầu Với mục đích giáo viên, sinh viên, học sinh có nhìn tổng quan kỳ thi HSG tốn cấp tỉnh vòng Tơi xin bạo gan làm "Tồn cảnh đề thi HSG mơn tốn năm học 2018-2019 vòng 1" Lời giải tài liệu thành viên nhóm STRONG TEAM TOÁN VD-VDC thực Ngày 29/09/2019 Vũ Ngọc Thành Bản vàng Pheo- Mường So-Phong Thổ-Lai Châu Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 Chuyên đề TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Parabol toán quy hoạch Câu (HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Cho hàm số y x x có đồ thị (P) Tìm m để đường thẳng d : y 2 x m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc toạ độ) Lời giải Tác giả:Trần Thị Huệ ; Fb:Tran Hue Xét phương trình hoành độ giao điểm : x x 2 x m x 3x m (1) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A , B phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 4m 13 4m m 13 (*) Khi giả sử A( x1; 2 x1 m) ; B( x2 ; 2 x2 m) x x 3 Theo hệ thức Vi-et ta có: x1.x2 m x1.x2 (2 x1 m)(2 x2 m) Tam giác OAB vuông O OAOB x1 x2 m ( x1 x2 ) m 5(m 1) 6m m2 m m m 21 Kết hợp điều kiện (*) ta có m 21 thỏa mãn yêu cầu toán Câu (HSG10 YÊN PHONG năm 2018-2019) Cho hàm số y x 2m x 2m 1 1)Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 m 2)Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 3x hai điểm A, B phân biệt cho OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền 1)Khi m ta hàm số y x x *) Tập xác định: D 3 1 *) Tọa độ đỉnh: I ; 3 *) Sự biến thiên: Vì a nên hàm số đồng biến khoảng ; , nghịch biến 3 khoảng ; *) Bảng biến thiên Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 *) Điểm đặc biệt 3 1 *) Đồ thị : Đồ thị đường parabol có đỉnh I ; , hướng bề lõm lên nhận đường 3 thẳng x làm trục đối xứng 2)Phương trình hồnh độ giao điểm ĐTHS 1 đường thẳng y 3x là: x 2m x 2m x x2 2mx 2m * Để ĐTHS 1 cắt đường thẳng y 3x điểm phân biệt A, B phương trình * có nghiệm m 3 phân biệt m 1 x1 x2 2m Gọi x1, x2 nghiệm phương trình * ,ta có x1.x2 2m Đặt A x1 ;3 x1 1 , B x2 ;3 x2 1 OAB vuông O OAOB 10 x1x2 x1 x2 26m 31 m 31 ( thỏa mãn) 26 Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 Vậy m TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 31 26 Câu (HSG10 Kim Liên 2018-2019)Một cầu treo có dây truyền đỡ Parabol ACB hình vẽ Đầu, cuối dây gắn vào điểm A, B trục AA' BB' với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A' B' cầu 200 m Độ cao ngắn dây truyền cầu CC ' m Gọi Q ' , P ' , H ' , C ' , I ' , J ' , K ' điểm chia đoạn A' B' thành phần Các thẳng đứng nối cầu với đáy dây truyền QQ ' , PP ' , HH ' , CC ' , II ' , JJ ' , KK ' gọi dây cáp treo Tính tổng độ dài dây cáp treo ? Lời giải Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Giả sử Parabol có dạng : y ax bx c, a Vì Parabol qua điểm A 100;30 đỉnh C 0;5 nên ta có hệ phương trình: 10000a 100b c 30 a 400 b b 0 c 2a c Vậy (P): y x 400 Đoạn A' B' chia làm phần nhau, phần có độ dài 25 m Khi đó, tổng độ dài dây cáp treo là: OC y1 y2 y3 252 502 752 =78,75 m 400 400 400 Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1 , M sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I ; II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1, triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại I phải dùng máy M máy M Muốn sản xuất sản phẩm loại II phải dùng máy M máy M Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai sản phẩm Máy M làm việc không ngày, máy M ngày làm việc không Tổng số tiền lãi lớn đạt là: A 4, triệu B 7, triệu C 6,8 triệu D 5,7 triệu Lời giải Tác giả: Trịnh Thanh Hải; Fb: Trịnh Thanh Hải Chọn C Giả sử phân xưởng sản xuất ngày x (tấn) sản phẩm loại I y (tấn) sản phẩm loại II Số làm việc máy M là: 3x y Số làm việc máy M là: x y Số tiền lãi phân xưởng ngày T x 1, y (triệu) 3 x y x y Theo đề ta có hệ bất phương trình: x y Ta có miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OABC T đạt giá trị lớn nằm miền tứ giác OABC , đạt đỉnh Thử lại ta thấy T đạt giá trị lớn ( x, y ) tọa độ điểm B(1;3) Vậy T 2.1 3.1, 6,8 (triệu) Câu (HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019)Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn Lời giải Giả sử sản xuất x ( kg ) sản phẩm loại I y ( kg ) sản phẩm loại II Điều kiện x 0, y x y 200 x y 100 Tổng số máy làm việc: 3x 1,5 y Ta có 3x 1,5 y 120 Số tiền lãi thu T 300000 x 400000 y (đồng) x 0, y Ta cần tìm x, y thoả mãn: x y 100 (I) cho T 300000 x 400000 y đạt giá trị lớn 3 x 1,5 y 120 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng d1 : x y 100; d : 3x 1,5 y 120 y D B O E C A x Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A(100;0) , cắt trục tung điểm B (0;50) Đường thẳng d cắt trục hoành điểm C (40;0) , cắt trục tung điểm D 0;80 Đường thẳng d1 d cắt điểm E 20; 40 Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình (I) miền đa giác OBEC x x x 20 x 40 T 0; T 20000000 ; T 22000000 ; T 12000000 y y 50 y 40 y Vậy để thu tổng số tiền lãi nhiều xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I 40kg sản phẩm loại II Câu (HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 0;9 , 2 x y a B 3;6 Gọi D miền nghiệm hệ phương trình Tìm tất giá trị a 6 x y 5a để AB D Lời giải Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Phương trình đường thẳng AB : x y Trường hợp 1: Nếu AB đường thẳng a 2 x y Xét hệ 5a 6 x y a 12 a 12 Dễ thấy điểm C 7; AB C D 48 a 5a 48 a a 2 x y Trường hợp 2: Nếu AB đoạn thẳng Ta thay y x x 0;3 vào hệ 5a 6 x y a 3x 3x 27 Ta được: a 3x (*) 3x 27 a (*) x 0;3 Vậy 27 a0 27 a thỏa mãn yêu cầu toán Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề Phương trình Câu (HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Giải phương trình: ( x x 2) x Lời giải Tác giả:Nguyễn Đông ; Fb: Nguyễn Đơng Điều kiện phương trình có nghĩa: x x 1 x2 x ( x x 2) x x x x Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm phương trình là: S 1; 2 Câu (HSG10 YÊN PHONG năm 2018-2019) Giải phương trình: 3x x x3 3x 10 x 26 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hằng; Fb: Hang Nguyen 3x ĐKXĐ: 1 x 5 x Với ĐKXĐ ta có: 3x x x3 3x 10 x 26 3x 3 x 2 3x x x x x 12 x 2 2x 1 x x x 12 x 2 x x 12 2x 3x x x x 12 * 3x 2x 5 x , x x 12 0, x 1; nên phương trình * vơ nghiệm 2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S 2 Câu (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Phương trình x3 x có ba nghiệm phân biệt Tính tổng nghiệm A B C D 1 Lời giải Tác giả: Mai Hoàng Thái; Fb: Mai Hoàng Thái Chọn C Cách Hàm đặc trưng x3 x x3 x x x * Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 8 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Xét hàm f (t ) t 2t , t f '(t ) 3t 0, t f (t ) đồng biến Khi đó: * f ( x) f 2x 1 x x 2x 1 x x x 1 3 Vậy tổng nghiệm Cách Liên hợp x3 x x x x3 x x x 1 x2 x 2x 1 >0 x x2 x x x3 x 2x 1 2x 1 x3 x 1 x x 2x x 1 Câu (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) log x x log (1 x) x x x Lời giải Điều kiện: x Ta có log x x log (1 x) x x x log x x log (1 x) x x x log x x x x log (1 x) x (*) Xét hàm số f (t ) log t t , t Dễ thấy f (t ) t Suy hàm số đồng biến với t t ln Ta có f 1 x x x f (1 x) x x x x x x x x (1 x) x x 0 x2 x Vậy nghiệm phương trình x Câu (HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho phương trình sau với m tham số thực x2 2x 1 2 x x log x x 2011 m log 2019 ( x x 2011) 2019 Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 9 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn x 1 Lời giải x x ĐK x ;0 2; x x 2011 Ta có x x 2;0 2; 4 (*) PT x x log 2019 ( x x 2011) m 2 1 x x log 2019 ( x x 2011) 4 x x log 2019 ( x x 2011) m x x log 2019 ( x x 2011) 1 Đặt t x x log 2019 ( x x 2011) t' x 1 x2 2x log 2019 ( x x 2011) (2 x 2) x x ( x x 2011).ln 2019 log ( x x 2011) x2 x ( x 1) 2019 ( x x 2011) ln 2019 x2 x Do với x 2; 0 t ' , với x 2; t ' Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy, với t 0; cho ta hai giá trị x 2; 0 2; Như toán trở thành tìm m để phương trình sau có nghiệm t 0; t2 m Ta có t m m' 2.t 2.t m t2 (do t không nghiệm pt) 2.t 2t 2t , m' t 2 ( 2.t 1) Bảng biến thiên Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 10 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 2( x y ) xy x y x y xy 4( x xy y ) ( x y )( x y 4) xy xy x y x y 4 xy x y x y x y 3 x y 4 x y x y không thỏa x y không thỏa x y tìm x 1; y x 4; y Câu (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Xét phương trình x31 y z 2018 a) Chứng minh tồn vô số ba số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình b) Có tồn hay không ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình trên? Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Nương; Fb: Cô giáo Nương a) Chứng minh tồn vô số ba số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình Cho x phương trình trở thành y z 2018 Cho y a 2018 ( a số nguyên tùy ý) Suy z a Khi x, y , z 0, a 2018 , a thỏa mãn phương trình Vì a số nguyên tùy ý nên tồn tai vô số ba x, y, z ngun thỏa mãn phương trình b) Có tồn hay không ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình trên? Có tồn ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình 31 31m 2 Vì: Xét x 25 m , y 231m , m Khi đó: x31 y 25 m 2.2155 m 2155m 1 Mà theo đề ta có: x31 y z 2018 nên ta cần chọn m cho: 155m 2018n, n 1 Khi đó: z n Từ 1 suy ra: 2018n chia hết cho 155 Hay: 3n chia hết cho 155 Đặt: 3n 155k , k Suy ra: 155k chia hết cho Hay 156k k 1 chia hết cho Do đó: k chia hết cho Đặt: k 3q , q k 3q 1, q Từ suy ra: m 2018q 677 Như x, y , z 25 2018 q 677 , 231(2018 q 677) , 2155 q 52 , q nghiệm phương trình cho Câu (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) Cho hàm số f : thỏa mãn Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 609 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 f x x TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 f x f 2 x f x3 x với x a)Chứng minh f x đơn ánh b)Chứng minh f ( x ) 1 với x Lời giải a) Chứng minh f x đơn ánh Xét phương trình x3 x x x 0, x 1 Thay x vào điều kiện đề bài, ta có f 0 f 1 f f f f 1 f Suy f 1 f ; tức f 1; 2 Một cách tương tự, thay x 1, x 1 điều kiện thứ thay x 1, x điều kiện thứ hai, ta có f 1; 2 f 2 1; 2 Do đó, ba số f , f , f 2 phải có hai số nhau; điều chứng tỏ f x đơn ánh b)Chứng minh f ( x ) 1 với x Theo giả thiết suy f (2 x) ( f ( x3 x))2 2 với x nên f ( x) 2, x Từ f ( 2 x ) 3 f ( x x ) 4, x Suy f ( x) 4, x Ta xây dựng dãy số u1 2, un 1 3un 2, n Rõ ràng theo biến đổi với x , ta ln có f ( x) un , n Ta thấy u2 u1 nên u3 3u2 3u1 u2 , ta thấy dãy cho dãy số tăng ngặt Ngoài , phương pháp quy nạp toán học , ta thấy un 1 với n Thật vậy: Với n có u1 2 1 (mệnh đề với n ) Giả sử mệnh đề với n k (k ) tức uk 1 Ta chứng minh mệnh đề với n k Ta có: u k 1 3uk 3 3uk 3 3uk 1 uk 1 1 Từ dãy (un ) tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn , đặt L , L 1 Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 610 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta có L 3L , giải có L 1 Vì lim un 1 nên phải có f ( x) 1, , đpcm Câu (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho hàm số f liên tục , thỏa mãn i) f 2020 2019 ; ii) f x f x , x , kí hiệu f x f f f f x Hãy tính f 2018 Lời giải Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung Kí hiệu f x f f x , f x f f f x Gọi D f tập giá trị hàm số f x Từ i) suy 2019 D f Từ ii) suy f 2020 f 2020 2019 f 2020 f 2020 Df 2019 xf x , x D f ; 2019 D f nên f x , x D Do f liên tục D x 2019 Suy f đơn ánh D f liên tục nên f nghịch biến D Giả sử tồn x0 D cho f x0 1 x0 1 Do f hàm nghịch biến nên f x0 f x0 Và 1 1 1 f x0 f suy f f x0 x0 x0 x0 x0 Từ suy x0 f x0 hay f x0 f3 x0 , mâu thuẫn với 1 x0 Tương tự, ta chứng minh không tồn x0 D cho f x0 Vậy f x x0 1 , x D Do 2018 D nên suy f 2018 x 2018 Câu (HSG12 HCM ngày năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ tung độ số nguyên) A, B gọi “thân thiết” với A, B khác O 1 OA OB với O gốc tọa độ a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với x 19, y 19 thỏa mãn điểm M điểm Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 611 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 N (3; 7) “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều điểm nguyên đôi “thân thiết” với nhau? Lời giải a) Ta có điều kiện 1 3x y nên có ba trường hợp: (1) Nếu 3x y ( x, y ) (7t ,3t ) với t thỏa mãn Xét hệ ràng buộc sau 19 7t 19 2 t t nên có tất điểm 19 3t 19 (2) Nếu 3x y ( x, y ) (2 7t ,1 3t ) với t thỏa mãn Xét hệ ràng buộc 19 2 7t 19 2 t nên có tất điểm 19 3t 19 (3) Nếu 3x y 1 ( x, y ) (2 7t , 1 3t ) với t thỏa mãn Xét hệ ràng buộc 19 7t 19 3 t nên có tất điểm 19 1 3t 19 Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn 16 b) Gọi điểm cho Ai (ai ; bi ) với , bi , i 1, n ai2 bi2 Ta có ak bi bk với i k Ta thấy rằng: - Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox (1;0) (1; 0) - Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy (0;1), (0; 1) Ta chứng minh có khơng q điểm khơng thuộc Ox, Oy Giả sử ngược lại có ba điểm thỏa mãn đề A1 (a1 , b1 ), A2 (a2 , b2 ), A3 (a3 , b3 ) Ta có hai trường hợp: (1) Nếu có hai điểm thuộc góc phần tư, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 dấu, số b1 , b2 dấu nên a1a2 0, b1b2 a1a2 b1b2 , loại (2) Nếu khơng có điểm thuộc góc phần tư phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 trái dấu, số b1 , b2 trái dấu nên a1a2 0, b1b2 a1a2 b1b2 2 , không thỏa Do đó, điều giả sử sai, tức tổng cộng có khơng q điểm thỏa mãn đề Ta có A1 (0;1), A2 (0; 1), A3 (1;0), A4 (1;0), A5 (1;1), A6 (1;1) đôi “thân thiết” Câu 10 (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phổ thông Một hôm người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ” - Nghĩa: “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ” - Tuấn: “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ” - Phú: “ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều ” Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 612 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 - Thuận: “ Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt” Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phần phần sai đồng thời địa phương địa hộ học sinh Lời giải - Tính: “ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ” (1) - Nghĩa: “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ” (2) - Tuấn: “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ” (3) - Phú: “ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều ” (4) - Thuận: “ Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt” (5) Xét phát biểu (3) xảy hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu ý đầu (3) có nghĩa nhà Tuấn Cờ Đỏ Khi từ ý (2) nhà Tuấn Ơ Mơn sai nhà Nghĩa Cờ Đỏ Mâu thuẫn có hai bạn Tuấn Nghĩa Cờ Đỏ nên trường hợp loại Trường hợp 2: Nếu ý đầu (3) sai nhà bạn Phú Thốt Nốt dẫn đến ý đầu (5) nhà Thuận Ninh Kiều Khi ý đầu (4), nhà Phú Thới Lai sai Từ (1) có nhà Tính Cờ Đỏ từ (2) nhà Tuấn Ơ Mơn Vậy lại nhà bạn Nghĩa Thới Lai Trường hợp thỏa mãn giả thiết toán Kết luận: Nhà Phú Thốt Nốt, nhà Thuận Ninh Kiều, nhà Tính Cờ Đỏ, nhà Tuấn Ơ Mơn nhà Nghĩa Thới Lai Câu 11 (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) Tại hội nghị khoa học có 100 đại biểu tham dự Người ta nhận thấy đại biểu đơi quen Biết tồn số nguyên dương n cho đại biểu quen n đại biểu khác với k , k n có đại biểu quen k đại biểu khác Hãy tìm giá trị lớn n Lời giải Ta chứng minh nmax 66 Giả sử nmax 66 Cách 1: Khi tồn đại biểu A100 quen 67 đại biểu A1 , A2 ,…, A67 Gọi X tập hợp đại biểu A68 , A69 ,…, A99 X 32 Khi đại biểu A1 , A2 ,…, A67 quen A100 đại biểu thuộc X ( đại biểu Ai , A j với i j 67 quen nhau) Suy họ quen không 33 đại biểu Vì đại biểu quen 34, 35, …, 65, 66 đại biểu khác phải thuộc X Điều vô lý X 32 66 34 =33 Cách 2: Xét người A có 67 người quen Xét người B có lớn 34 người quen Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 613 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Nếu A quen B , 98 người lại có 66 người quen A lớn 33 người quen B Do 66 33 99 98 nên A , B phải có người quen chung (mâu thuẫn giả thiết ) Vậy A không quen B Vì có 33 người có số người quen tương ứng 34 , 35 ,…, 66 nên có 33 người khơng quen A Điều mâu thuẫn A quen với 67 người Vậy nmax 66 Ta xây dựng ví dụ thỏa mãn n 66 sau: A1 quen với B1 , B2 ,…, B66 , A2 quen với B2 , B3 ,…, B66 ,…, A34 quen với B34 ,…, B66 Khi khơng có người đơi quen Ak quen với 67 k người k 1, , 34 Bk quen với k người k 1, , 34 , Bk quen với 34 người k 35, , 66 Rõ ràng trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề Câu 12 (HSG12 tỉnh Bình Thuận vòng năm 2018-2019) Cho 2018 tập hợp mà tập chứa 45 phàn tử Biết hai tập hợp tùy ý tập có phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2018 tập hợp cho Lời giải Lấy tập A tùy ý, A có phần tử a thuộc 45 tập hợp khác Nếu không, số tập hợp không 45.44 1981 Suy a thuộc 46 tập A, A1 , A2 , A45 Với tập B bất kì, a khơng thuộc tập B tập Ai (1 i 45) có phần tử chung với B mà a Thành B khơng có phần tử chung với A , có phần tử chung phải thuộc tập Ai (1 i 45) nên A Ai (1 i 45) có hai phần tử chung.(Vơ lí) Nên a thuộc B , a thuộc 2018 tập cho Câu 13 (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2,3, 2019 Mỗi ab Chứng minh dù bước Thanh xóa hai số a b Trên bảng viết thêm số a b 1 xóa sau thực 2018 bước bảng ln lại số 2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung Cách Với tập T a1 ; a2 ; ; an số viết bảng đặt 1 1 A(T ) 1 1 1 an a1 a2 Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 614 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 1 A 1; 2; ; 2019 1 1 1 2020 1 2019 (a 1)(b 1) Ta thấy: 1 1 a b ab 1 ab a b 1 Suy xóa hai số a b thay ab tập T biến thành tập T ' thì: a b 1 A(T ) A(T ') Giả sử sau thực 2018 bước ta số thực x ta có: A({x}) 1 2020 x x 2019 Vậy bảng lại số 2019 Cách Ta có ab ab ab a b a b ab ab (a 1)(b 1) ab ab c ab abc (a 1)(b 1) - ab ;c Thực xóa a b 1 thêm ab c ( a 1)(b 1)(c 1) - abc (a 1)(b 1) - ab Sau 2018 lần thực hiện, bảng lại số là: 1.2.3 2019 2.3.4 2020 1.2.3 2019 2019 Câu 14 (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Cho bảng ô vuông gồm m hàng n cột Tại góc bên trái bảng người ta đặt quân cờ Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, lượt di chuyển di chuyển quân cờ sang phải ô xuống ô Người chơi đến lượt khơng di chuyển qn cờ thua Xác định điều kiện m, n để người thực lượt chơi người thắng Lời giải Trước hết, ta gọi người thứ người chơi đầu tiên, người lại người thứ hai Ta dùng hai màu trắng, đen tô ô vuông bảng (tô đan xen bàn cờ), với ô bên trái tô màu trắng Quy ước: ô thuộc hàng p , cột q gọi ô p; q Khi đó: + Nếu m, n tính chẵn, lẻ 1;1 màu với ô m; n + Nếu m, n khác tính chẵn, lẻ 1;1 khác màu với ô m; n Từ giả thiết tốn, người chơi di chuyển qn cờ sang phải xuống ô, ta nhận thấy hai người chơi phải di chuyển quân cờ sang ô khác màu với ô đứng Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 615 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Ở lượt di chuyển đầu tiên, người thứ di chuyển quân cờ sang ô màu đen, người thứ hai di chuyển quân cờ sang ô màu trắng Cờ đưa ô m; n Để người thứ thắng quân cờ phải di chuyển vào ô m; n ô m; n phải tô màu đen (trùng với màu mà người thứ di chuyển lượt đầu tiên) Điều xảy m, n khác tính chẵn, lẻ Ngược lại, m, n tính chẵn, lẻ lập luận tương tự trên, người thứ hai thắng Vậy m, n khác tính chẵn, lẻ người thứ thắng Câu 15 (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho đa giác lồi n đỉnh Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k Lời giải Dễ thấy kmin n , k n hiển nhiên có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh tô màu TH1 Nếu n số chẵn gọi màu cần tô 0,1, , n Ta tô màu sau: Ai Aj tô màu i j mod n 1 i, j n Ai An1 tô màu 2i mod n 1 i n Cách tô màu thỏa mãn đề Thật + Nếu Ai Aj , Ai Ak i, j , k n tơ màu j k mod n 1 Vơ lí ! + Nếu Ai An 1 , Ai Aj i, j n tô màu i j mod n 1 Vơ lí ! + Nếu Ai An 1 , A j An 1 i, j n màu 2i j mod n 1 i j mod n 1 Vơ lí ! Vậy cách thỏa mãn yêu cầu toán Như kmin n (1) TH2: Nếu n số lẻ giả sử tơ với n màu 0,1, , n Khi đó, tất đoạn thẳng có màu n 1 1, , n xóa hết lại đoạn thẳng có màu Suy deg Ai deg A n (Vì i i 0 tổng số bậc lần số cạnh) Điều vơ lí Do k n Với k n ta tô màu sau: Gọi n màu cần tô 0,1, , n Ai Aj tơ màu i j mod n Cách tô thỏa mãn yêu cầu toán Thật Ai Aj , Ai Ak tơ màu i j mod n vơ lí Như kmin n (2) n 1 Từ (1) (2) suy kmin Câu 16 (HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho bảng ô vng kích thước 100 100 mà điền ký tự A, B, C , D cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh nằm cạnh bảng bốn ô vng đơn vị bốn góc điền đủ bốn ký tự A, B, C , D “bảng tốt” Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 616 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 a) Hỏi cách điền trên, có cách điền mà bảng ô vuông 1 4, có chứa đủ ký tự A, B, C , D ? b) Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho: i) Ln có cột bảng mà từ chọn 76 cặp tốt ii) Ln có bảng tốt Lời giải Tác giả: Vũ Hồng Anh; FB: Vũ Hồng Anh a) Khơng tính tổng quát, giả sử ô cột điền A , B , C , D Khi đó, thứ hai cột phải điền D thuộc hai hình vng 2x2 chứa sẵn A , B , C Do đó, ta điền tiếp cột theo thứ tự C , D , A , B Cứ ta điền tiếp cho cột 3, A C A C B D B D C A C A D B D B Tuy nhiên, ta thấy hàng khơng thỏa mãn chứa hai loại ký tự Vậy nên khơng có cách điền thỏa mãn điều kiện nêu b) i Tồn hai cột Giả sử phản chứng cặp cột tùy ý có 25 cặp ký tự Cố định cột 1, xét 99 cột lại Gọi T số a; b cột a có thứ b từ xuống ký tự Theo giả sử T 99.25 Mặt khác theo giả thiết T 100.24 (tính theo hàng) Suy 100.24 99.25 , điều vô lý chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, tức chọn hai cột thỏa mãn đề ii Tồn bảng tốt Giả sử phản chứng khơng có hàng, cột cắt tạo thành hình chữ nhật thỏa mãn Xét cột chọn trên, giả sử có cặp A; B , A; C khơng có C ; D , B; D Ta có hai khả năng: - Nếu có A; D khơng có B; C , cặp 76 cặp có ký tự A ; số lần ký tự A xuất tối đa 50, vơ lý - Nếu có B; C khơng có A; D , 76 cặp có 76.2 152 số lần xuất ký tự A , B , C , số lần xuất ký tự A , B , C tối đa 76 cặp 150, vô lý Từ ta có đpcm Câu 17 (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn khơng học ngoại ngữ Biết trường dạy hai ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 617 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải Gọi A, P , K tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp không học ngoại ngữ Khi n A P K 60, n A 40, n P 30, n A P 20 Ta có n A P K n A n B n K n A P n A K n P K n A P K Nên 60 40 30 n K 20 n K 10 Gọi X biến cố “2 sinh viên chọn không học ngoại ngữ” Ta có n C602 , n X C102 Do P X n X C102 n C6 118 Câu 18 (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phổ thông Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ” - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn” - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt” - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt” Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phần phần sai đồng thời địa phương địa hộ học sinh Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ”.(1) - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn”.(2) - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt”.(3) - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều”.(4) - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt”.(5) Nếu ý đầu (3) nhà Tuấn Cờ Đỏ Do đó, hai ý (2) sai Vậy ý đầu (3) sai Do ý sau (3) hay nhà bạn Phú Thốt Nốt Do ý đầu (1) sai ý sau (5) sai hay ý sau (1) ý đầu (5) Suy nhà bạn Tính Cờ Đỏ nhà bạn Thuận Ninh Kiều Vì nhà bạn Tính Cờ Đỏ nên ý đầu (2) sai hay ý sau (2) Suy nhà bạn Tuấn Ơ Mơn Còn lại nhà bạn Nghĩa Thới Lai Kết luận: Nhà bạn Phú Thốt Nốt, nhà bạn Tính Cờ Đỏ, nhà bạn Thuận Ninh Kiều, nhà bạn Tuấn Ơ Mơn, nhà bạn Nghĩa Thới Lai Câu 19 (HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Tìm tất số nguyên dương m, n số Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 618 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 nguyên tố p thỏa mãn m m 40 m 11 p n Lời giải Tác giả: Trịnh Quang Hồng; Fb: Hồng DeMon Phương trình cho tương đương với m 1 m 10 22 p n TH1: n , thử trực tiếp với m 1, 2,3, 4,5 không thỏa mãn Với m 4m 22, m2 10 22 Do (4m 1) p, (m2 10) p vơ lí n TH2: n , thử trực tiếp với m 1, 2,3, 4,5 không thỏa mãn Với m 4m 22, m2 10 22 Do (4m 1) p, (m2 10) p 4m 11x p a Suy x, y 0,1 ; x y 1; a, b * y b m 10 2.11 p Dễ thấy m * ta có m 10 4m +) Nếu b a 11 m2 10 mod 4m 1 11m 110 mod 4m 1 11.16m2 1760 mod 4m 1 11 1760 mod 4m 1 (do 16m 1mod 4m 1 ) 1771 mod 4m 1 4m 77 m 19 Mà 4m 1 mod , 1771 7.11.23 4m 161 m 40 4m 253 m 63 Thử lại không thỏa mãn 4m p a +) Nếu b a y 1, x b m 10 2.11 p p | 4m p7 Do p | m 10 m m 1 40 m p | 4m 160 p |161 p 23 p | m 10 + Nếu p 23 22.23b 23a 22 23a b vơ lí a b * + Nếu p 22.7b a 22 a b a b 4m 7b 1 Khi ta có: m 12 k m 10 22.7 Thay vào phương trình ban đầu tìm n Vậy m; n; p 12;3; Câu 20 (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018- Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 619 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 2019)Cho S tập hợp a1 , a2 , , a164 hoán vị 164 số nguyên dương a) Có hốn vị a1 , a2 , , a164 thuộc S cho với i 1, 2, ,164 ta ln có i i mod 41 ? b) Tồn hay khơng hốn vị ( a1 , a2 , , a164 ) thuộc S cho với i {1, 2, ,164} tồn số nguyên bi {0,1,, 40} thỏa mãn a1 a2 bi2 (mod 41) ? Lời giải +) Chia số từ 1, 2, ,164 thành 41 nhóm theo số dư, chia cho 41 rõ ràng nhóm có số ( số vị trí , 41 , 82 , 123 với i 1, 41 hoán vị) Các số hốn vị đổi vị trí cho +) Ta thấy với x1 , x2 , x3 , x4 , ta có cách hốn vị là: ( x2 , x1 , x4 , x3 ),( x2 , x3 , x4 , x1 ),( x2 , x4 , x1 , x3 ), ( x3 , x1 , x4 , x2 ),( x3 , x4 , x1 , x2 ),( x3 , x4 , x2 , x1 ), ( x4 , x1 , x2 , x3 ),( x4 , x3 , x2 , x1 ),( x4 , x3 , x1 , x2 ) khơng có phần tử nằm vị trí ban đầu +) Vì có tất 941 hốn vị thỏa mãn đề 1 1 Lưu ý: Nếu thí sinh dùng công thức D4 4! cho điểm tối đa 2! 3! 4! b) Tồn hay khơng hốn vị ( a1 , a2 , , a164 ) thuộc S cho với i {1, 2, ,164} tồn số nguyên bi {0,1,, 40} thỏa mãn a1 a2 bi2 (mod 41) ? *Bổ đề: Với p số nguyên tố có dạng 3k {13 , 23 , , p } lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo mod p Chứng minh bổ đề: Giả sử có hai số i j cho i j (mod p ) i k j k (mod p ) Theo định lý Fermat nhỏ i k 1 j k 1 (mod p ) nên i k 1 j k 1 j j k j i k (mod p ) kéo theo i k (i j ) p hay i j (mod p ) , vơ lý i, j {1, 2, , p} i j (Bổ đề chứng minh) * Ta xây dựng hoán vị thỏa mãn đề cho i (mod 41) với i 164 Với 41 số đầu tiên, theo nhận xét số {13 , 23 , , 413 } có số dư đơi khác chia cho 41 nên ta xếp chúng để số dư thay đổi từ 41 Các số 42 82; 83 123; 124 164 thực hoán vị tương tự Hốn vị thỏa mãn i (i 1) a1 a2 i (mod 41) 3 Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 620 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Lưu ý: Ta dễ dàng chứng minh phương pháp qui nạp kết sau: Với số tự nhiên n n n 1 n 3 3 Câu 21 (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho p số nguyên tố có dạng 12k 11 Một tập S tập M 1; 2; 3; ; p 2; p 1 gọi “tốt” tích tất phần tử S khơng nhỏ tích tất phần tử M \ S Ký hiệu S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia S cho p p 1 xét tập tốt M có chứa phần tử Lời giải p 1 p3 ; ; ; p 2; p 1 rõ ràng S tập tốt Trước hết, xét tập S S ( 1) p 1 p 1 p 1 p 1 ! ! 2 ! 2a (mod p ) , p 1 a ! thỏa mãn p | a theo định lý Wilson Ta xét trường hợp: - Nếu a (mod p) S (mod p) p 1 p 1 p 1 (mod p ) dễ thấy dấu 2 S thay đổi thành Khi đó, hai trường hợp, ta tập tốt có - Nếu a 1 (mod p) tập S , thay S (mod p) Ta chứng minh không tồn S tốt cho S (mod p) S (mod p ) Xét tập tốt S gọi a, a tích phần tử S M \ S Theo định lý Wilson aa ( p 1)! 1 (mod p) Khi đó, a a (mod p) p | a , vơ lý ta biết a khơng có ước nguyên tố dạng 3 4k Còn a a (mod p ) (2a 1)2 3 (mod p ) , vơ lý 1 theo giả p thiết p 11 (mod 12 ) Vậy giá trị nhỏ cần tìm Câu 22 (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019 (2)) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp G n * : f (m) f (n), m , m n gọi pi số nguyên tố thứ i (i * ) 1) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n 2) Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn k pm M ( p1 p2 pm 1 ) k Chứng minh rằng: Nếu n M n thuộc G n chia hết cho pm Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 621 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải 1) Giả sử n p1k1 p2k2 paka (k i N,i 1, a ) f(n) (k1 1)(k 1) (k a 1) Giả sử n chia hết cho pm , tồn i thỏa mãn i m a mà n không chia hết cho pi Suy km 1, ki Xét n0 n pi ta có: pm n0 n f (n0 ) f( n) (k i 2) k m 2km f (n) (k i 1)(k m 1) km Do km 2km km nên f (n0 ) f (n) mâu thuẫn Vậy n chia hết cho pi với i 1, 2, , m 2) Xét n G n M Giả sử khơng chia hết cho pm ước n thuộc tập p1 , p2 , , pm 1 ( Thật vậy, giả sử n có ước p j pm theo ý (a) n chia hết cho p1 , p2 , , pm , , p j Mâu thuẫn.) Suy : n p1k1 p2k2 pmkm11 (k i N,i 1, m 1) Vì n M nên tồn tại: i m cho ki 2k Đặt n1 n n0 n1 pm Do pik k pm suy n0 n k pi f(n) (k1 1)(k 1) (k t 1) f(n ) (k1 1)(k 1) (k i 1 1)(k i k 1)(k i 1 1) (k t 1).2 Vì ki 2k 2(k i k 1) k i f (n ) f(n) Mâu thuẫn Vậy có điều cần chứng minh Câu 23 (HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m3 m 12n3 n , chứng minh m n lập phương số nguyên Lời giải Ta có m m 12 n n m n m mn n 1 8n Giả sử p ước nguyên tố chung m n, 4m2 4mn 4n2 p số lẻ 4m 4mn 4n2 lẻ Mà 8n3 p nên suy n p hay từ ta có m p m n p Mà 4m 4mn 4n2 chia hết cho p nên 1 p , điều vô lý Vậy m n , 4m mn 4n 1 hay suy m n lập phương số nguyên Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 622 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 24 (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Tìm tất số nguyên tố a thỏa mãn 8a số nguyên tố Lời giải Tác giả : Ngô Quốc Tuấn, FB: Quốc Tuấn Vì a số nguyên tố nên a Ta xét trường hợp + Trường hợp 1: với a 8a 33 chia hết cho 11 , loại trường hợp a + Trường hợp 2: với a 8a 73 số nguyên tố + Trường hợp 3: với a a 3k 8a 9k 6k 24k 16k chia hết cho , loại trường hợp a Vậy a giá trị cần tìm Câu 25 (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Tìm tất n, k , p với n, k số nguyên lớn p số nguyên tố thỏa mãn n5 n4 2n3 2n2 p k Lời giải Tác giả: Nguyễn Đình Thịnh n n n 2n p k n n 1 n n 1 p k Từ giả thiết n, k n3 n 1, n n 1, n Ta có: n n 1 n n 1 n 1 n n 0, n r n n p s n n p r s r s k n3 n 1 n n n3 n n 1 n n 1 n n n 2 n n 1 Mặt khác: n n 1 n n 0, n n n n 0, n p Từ 1 , suy n , p k 25 k Vậy số cần tìm là: n, k , p 2, 2, Địa truy cập click vào http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 623 ... log 2 019 ( x x 2 011 ) m 2 1 x x log 2 019 ( x x 2 011 ) 4 x x log 2 019 ( x x 2 011 ) m x x log 2 019 ( x x 2 011 ) 1 Đặt t x x log 2 019 ( x... 2 019 ( x x 2 011 ) t' x 1 x2 2x log 2 019 ( x x 2 011 ) (2 x 2) x x ( x x 2 011 ).ln 2 019 log ( x x 2 011 ) x2 x ( x 1) 2 019 ( x x 2 011 ) ln 2 019 x2 x ... t x1 x1 x2 x3 x4 tx3 t x1 x1 tx1 x1 tx1 x tx a x1 tx1 a 1 Thế vào hệ (I) ta được: 2 t x1 t x1 12 t ( x1 tx1 ) 12 t x t x b 2 1 t x1 t x1