1. Trang chủ
  2. » Đề thi

Toàn cảnh đề thi THPT Quốc gia môn toán năm 2017, 2018, 2019

244 106 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 244
Dung lượng 3,21 MB

Nội dung

TỒN C NH Đ THI THQG MƠN TỐN Mục lục A Đề thi THQG 2019 1 Mã đề 101 1.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lơgarit 1.3 Giải tích 12 - Chương 3: Ngun hàm Tích phân ứng dụng 1.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 1.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 1.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 1.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 1.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 1.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng, cấp số nhân 1.10 Hình học 11 - Chương 3: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian Mã đề 102 2.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lơgarit 11 2.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 11 2.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 12 2.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 13 2.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 13 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG 2.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ khơng gian 14 2.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 14 2.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng, cấp số nhân 15 2.10 Hình học 11 - Chương 3: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc khơng gian15 Mã đề 103 17 3.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 17 3.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit 19 3.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 19 3.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 20 3.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 21 3.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 21 3.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ khơng gian 22 3.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 22 3.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng, cấp số nhân 23 3.10 Hình học 11 - Chương 3: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc khơng gian23 Mã đề 104 25 4.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 25 4.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit 27 4.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 27 4.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 28 4.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 29 4.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 29 4.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ khơng gian 30 4.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 30 4.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng, cấp số nhân 31 4.10 Hình học 11 - Chương 3: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc khơng gian31 Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG Đề minh họa THQG 2019 33 5.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 33 5.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit 35 5.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 36 5.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 36 5.5 Hình họa 12 - Chương 1: Khối đa diện 37 5.6 Hình họa 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 37 5.7 Hình họa 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ khơng gian 38 5.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 39 5.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng, cấp số nhân 39 5.10 Hình họa 11 - Chương 3: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc không gian39 5.11 Đại số 10- Chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình 39 B Đề thi THQG 2018 41 Mã đề 101 41 1.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 41 1.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lơgarit 42 1.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 43 1.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 44 1.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 44 1.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 45 1.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 45 1.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 46 1.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 4: Giới hạn 46 1.10 Đại số & Giải tích 11 - Chương 5: Đạo hàm 47 1.11 Hình học 11 - Chương 3: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian47 Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG Mã đề 102 49 2.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 49 2.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lơgarit 50 2.3 Giải tích 12 - Chương 3: Ngun hàm Tích phân ứng dụng 51 2.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 52 2.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 52 2.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 53 2.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 53 2.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 54 2.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 4: Giới hạn 55 2.10 Hình học 11 - Chương 3: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc không gian55 Đề minh họa 2018 57 3.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 57 3.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit 58 3.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 59 3.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 60 3.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 60 3.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 61 3.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ khơng gian 61 3.8 Đại số & Giải tích 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác 62 3.9 Đại số & Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp-xác suất 62 3.10 Đại số & Giải tích 11 - Chương 4: Giới hạn 62 3.11 Đại số & Giải tích 11 - Chương 5: Đạo hàm 62 3.12 Hình học 11 - Chương 3: Vectơ không gian Quan hệ vng góc khơng gian62 Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG C Đề thi THQG 2017 65 Mã đề 101 65 1.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 65 1.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lơgarit 66 1.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 67 1.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 68 1.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 68 1.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 69 1.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 69 Mã đề 102 72 2.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 72 2.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lơgarit 73 2.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 74 2.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 75 2.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 76 2.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 76 2.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 77 Đề minh họa 2017-Lần 79 3.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 79 3.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lơgarit 80 3.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 81 3.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 82 3.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 83 3.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 84 3.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 84 Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Đề minh họa 2017-Lần 87 4.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 87 4.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit 88 4.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 89 4.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 90 4.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 91 4.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 92 4.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 92 Đề minh họa 2017-Lần 95 5.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 95 5.2 Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit 96 5.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng 97 5.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức 98 5.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện 99 5.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 100 5.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 100 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A ĐỀ THI THQG 2019 Mã đề 101 Toàn cảnh đề thi THQG NỘI DUNG ĐỀ 1.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số có bảng biến thiên sau: x y −∞ −2 − 0 + +∞ − +∞ + +∞ y 1 Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−2; 0) B (2; +∞) C (0; 2) D (0; +∞) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khoảng f (x) < 0, ∀x ∈ (0; 2) Vậy hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) Chọn đáp án C Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình y vẽ bên? A y = x3 − 3x2 + C y = x4 − 2x2 + B y = −x3 + 3x2 + D y = −x4 + 2x2 + O x Lời giải Đường cong cho đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a > Vậy hàm số thỏa mãn y = x3 − 3x2 + Chọn đáp án A Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ f (x) − −1 + +∞ +∞ − f (x) −3 −∞ Hàm số cho đạt cực tiểu A x = C x = −1 B x = D x = −3 Lời giải Theo bảng biến thiên, ta thấy f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x = −1 Vậy hàm số cho đạt cực tiểu điểm x = −1 Chọn đáp án C Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ −2 + f (x) 0 − +∞ + − f (x) −1 −∞ −∞ Số nghiệm thực phương trình 2f (x) − = A B C D Lời giải Ta có 2f (x) − = ⇔ f (x) = Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) đường thẳng y = Dựa vào bảng biến thiên f (x) ta có số giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) đường thẳng y = Do phương trình cho có nghiệm Chọn đáp án C Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Giá trị lớn hàm số f (x) = x3 − 3x + đoạn [−3; 3] A −16 B 20 C D Lời giải Hàm số f (x) = x3 − 3x + có tập xác định R, f (x) = 3x2 − Cho f (x) = ⇔ 3x2 − = ⇔ x = ±1 ∈ [−3; 3] Ta có f (1) = 0; f (−1) = 4; f (3) = 20; f (−3) = −16 Từ suy max f (x) = f (3) = 20 [−3;3] Chọn đáp án B Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x + 2)2 , ∀x ∈ R Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Lời giải Bảng biến thiên x −∞ −2 − f (x) +∞ − +∞ + +∞ f (x) fCT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số cho có điểm cực trị điểm cực tiểu x = Chọn đáp án D Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x −∞ Toàn cảnh đề thi THQG − y +∞ − + +∞ y +∞ −2 −4 Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A Lời giải B C D Hàm số y = f (x) có tập xác định D = R \ {0} Ta có lim f (x) = +∞ suy không tồn tiệm cận ngang x → +∞ x→+∞ lim f (x) = 2, suy đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận ngang y = x→−∞ lim f (x) = +∞; lim− f (x) = −4, suy đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận đứng x = x→0+ x→0 Vậy tổng số tiệm cận đứng ngang Chọn đáp án D Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số f (x), bảng xét dấu f (x) sau −∞ x −3 − f −1 + +∞ − 0 + Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến khoảng đây? A (4; +∞) B (−2; 1) C (2; 4) D (1; 2) Lời giải Ta có y = −2 · f (3 − 2x) Hàm số nghịch biến y ≤ ⇔ −2 · f (3 − 2x) ≤ ⇔ f (3 − 2x) ≥ ⇔ − ≤ − 2x ≤ −1 − 2x ≥ ⇔ ≤ x y≤=3f (x) x ≤ Vì hàm số nghịch biến (−∞; 1) nên nghịch biến (−2; 1) Chọn đáp án B Câu (THQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số y = f (x), hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình y vẽ bên Bất phương trình f (x) < x + m (m tham số thực) nghiệm với x ∈ (0; 2) A m ≥ f (2) − B m ≥ f (0) C m > f (2) − D m > f (0) O x Lời giải Ta có f (x) < x + m ⇔ f (x) − x < m Đặt g(x) = f (x) − x xét khoảng (0; 2) Do g (x) = f (x) − Từ đồ thị ta thấy g (x) = f (x) − < với x ∈ (0; 2) Suy hàm số g(x) = f (x) − x Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG Tìm tập nghiệm S phương trình log2 (x − 1) + log2 (x + 1) = A S = {−3; 3} B S = {4} C S = {3} D S ả â 10; 10 = Lời giải Điều kiện: x > Ta có log2 (x − 1) + log2 (x + 1) = ⇔ log2 (x − 1)(x + 1) = ⇔ x2 − = ⇔ x=3 x = −3 So với điều kiện, ta được: x = Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3} Chọn đáp án C Câu 18 (Đề minh họa 2017-Lần 3) √ … √ b Cho a, b số thực dương thỏa mãn a = 1, a = b loga b = Tính P = log √b a a √ √ √ √ A P = −5 + 3 B P = −1 + C P = −1 − D P = −5 − 3 Lời giải Cách 1: … Phương pháp tự luận ä b 1 Ä√ √ loga (loga b − 1) 3−1 √ 3−1 a 2 √ = √ P = = =√ = −1 − 3−2 b loga b − loga b − loga a Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm √ √ Chọn a = 2, b = Bấm máy tính ta P = −1 − Chọn đáp án C Câu 19 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Hỏi phương trình 3x2 − 6x + ln(x + 1)3 + = có nghiệm phân biệt? A B C D Lời giải Điều kiện: x > −1 Phương trình cho tương đương với 3x2 − 6x + ln(x + 1) + = Xét hàm số y = 3x2 − 6x + ln(x + 1) + liên tục khoảng (−1; +∞) 6x2 − 3 = y = 6(x − 1) + x+1 x + 1√ y = ⇔ 2x2 − = ⇔ x = ± (thỏa điều kiện) x √ − −1 + y y √ 2 − Ç √ å f − −∞ Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 223 Ç√ å f +∞ + +∞ https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG Ç√ å Ç √ å 2 > 0, f < lim y = +∞ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Vì f − x→+∞ 2 phân biệt Chọn đáp án C Câu 20 (Đề minh họa 2017-Lần 3) ln x Cho hàm số y = , mệnh đề đúng? x 1 1 A 2y + xy = − B y + xy = C y + xy = − D 2y + xy = x x x x Lời giải · x − ln x (ln x) · x − x · ln x − ln x x Cách y = = = · 2 x x x2 − · x2 − 2x (1 − ln x) −x − 2x (1 − ln x) + (1 − ln x) (1 − ln x) · x2 − (x2 ) (1 − ln x) = x = =− y = 4 x x x x3 − ln x =− · x3 − ln x − ln x − ln x − + ln x Suy 2y + xy = · −x = = − 2· x x x x Cách Ta có xy = ln x, lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta y + xy = · x Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế theo biến x biểu thức ta y + y + xy = − hay x 2y + xy = − · x Chọn đáp án A Câu 21 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Hỏi có giá trị m nguyên [−2017; 2017] để phương trình log(mx) = log(x + 1) có nghiệm nhất? A 2017 B 4014 C 2018 D 4015 Lời giải Điều kiện: x > −1 x = (x + 1)2 x x=1 (x + 1) x2 − Xét hàm: f (x) = (x > −1, x = 0); f (x) = = ⇔ x x2 x = −1( loại) Lập bảng biến thiên: log(mx) = log(x + 1) ⇔ mx = (x + 1)2 ⇔ m = x −1 − y +∞ − + +∞ +∞ y −∞ Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm m=4 m với phương trình loga f (x) = loga g(x) với < a = ta cần điều kiện f (x) > (hoặc g(x) > ) Chọn đáp án C 5.3 Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng Câu 22 (Đề minh họa 2017-Lần 3) x2 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x2 + x3 − + C A f (x) dx = x x3 + + C C f (x) dx = x Lời giải.Å ã x3 2 Ta có x + dx = − + C x x Chọn đáp án A x3 f (x) dx = − + C x x3 f (x) dx = + + C x B D Câu 23 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn y đường y = f (x), trục hoành đường thẳng x = −1, x = (như hình vẽ bên) Đặt a = f (x)dx, −1 b= f (x)dx Mệnh đề sau đúng? A S = b − a B S = b + a C S = −b + a D S = −b − a −1 x Lời giải |f (x)| dx = Ta có: S = −1 |f (x)| dx + −1 |f (x)| dx = − f −1 f (x)dx = −a + b f (x)dx + Chọn đáp án A Câu 24 (Đề minh họa 2017-Lần 3) √ Tính tích phân I = 2x x2 − 1dx cách đặt u = x2 − 1, mệnh đề đúng? A I = √ udu B I = √ udu C I = √ udu D I = 2 √ udu Lời giải Đặt u = x2 − ⇒ du = 2xdx Đổi cận x = ⇒ u = 0; x = ⇒ u = 3 √ √ Do đó: I = 2x x − 1dx = udu Chọn đáp án C Câu 25 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Cho ex 1+e dx = a + b ln , với a, b số hữu tỉ Tính S = a3 + b3 +1 A S = B S = −2 C S = D S = Lời giải Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 dx = x e +1 0 a=1 ⇒ b = −1 (ex + 1) − ex dx = ex + 1 d(ex + 1) = x − ln |ex + 1| ex + dx − Toàn cảnh đề thi THQG = − ln 1+e ⇒ S = a3 + b3 = Chọn đáp án C Câu 26 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = 3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 √ diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x 3x2 − √ 124π A V = 32 + 15 B V = Ä √ ä 124 C V = D V = 32 + 15 π Lời giải √ Diện tích thiết diện S(x) = 3x 3x2 − Suy thể tích vật thể tạo thành là: V = S(x)dx = x 3) thiết √ 3x 3x2 − 2dx 124 Sử dụng MTCT ta : V = Chọn đáp án C Câu 27 (Đề minh họa 2017-Lần 3) 1 (x + 1)f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) = Tính Cho hàm số f (x) thỏa mãn A I = −12 f (x)dx B I = D I = −8 C m = Lời giải u=x+1 Đặt ⇒ dv = f (x)dx du = dx Khi I = (x + 1)f (x) − v = f (x) Suy 10 = 2f (1) − f (0) − 1 f (x)dx f (x)dx ⇒ f (x)dx = −10 + = −8 f (x)dx = −8 Vậy Chọn đáp án D Câu 28 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + f (−x) = √ + cos 2x, ∀x ∈ R Tính I = 3π f (x)dx − 3π A I = −6 C I = −2 B I = D I = Lời giải Cách Tự luận Đặt t = −x ⇒ dt = −dx Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 226 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đổi cận x = − Toàn cảnh đề thi THQG 3π 3π 3π 3π 3π ⇒t= ;x= ⇒ t = − Suy I = 2 2 f (−t)dt 3π √ √ Mặt khác f (t) + f (−t) = + cos 2t = cos2 t = |cos t| (thay x = t) − 3π Ta có 2I = 3π − 3π 3π − − 3π 3π 3π |cos t| dt = − 3π π òã Å ï 3π 3π |cos t| dt Do |cos t| hàm số chẵn đoạn − ; 2 3π |cos t| dt + =2 3π |cos t| dt Suy I = I= |cos t| dt [f (t) + f (−t)] dt = cos tdt − |cos t| dt = π 3π π π cos tdt = sin t π − sin t 3π π = Cách Trắc nghiệm Ta có: f (x) + f (−x) = |cos x| ⇔ f (x) + f (−x) = |cos x| + |cos(−x)| nên ta chọn f (x) = |cos x| 3π |cos x| dx = (bấm máy) Suy I = − 3π Chọn đáp án D 5.4 Giải tích 12 - Chương 4: Số phức Câu 29 (Đề minh họa 2017-Lần 3) √ Kí hiệu a, b phần thực phần ảo số phức − 2i Tìm a, b √ √ √ A a = 3; b = B a = 3; b = 2 C a = 3; b = D a = 3; b = −2 Lời giải √ √ √ Số phức − 2i có phần thực phần ảo −2 Vậy a = 3; b = −2 Chọn đáp án D Câu 30 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M điểm biểu diễn Q y E số phức z (như hình vẽ bên) Điểm M hình vẽ điểm biểu diễn số phức 2z? A Điểm N B Điểm Q x C Điểm E N P D Điểm P Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG Lời giải Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Điểm biểu diễn z điểm M (a; b) ⇒ 2z = 2a + 2bi có điểm biểu diễn mặt phẳng Oxy M1 (2a; 2b) # » # » Ta có OM1 = 2OM suy M1 ≡ E Chọn đáp án C Câu 31 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Tính mơđun số phức z biết z = (4 − 3i)(1 + i) √ √ √ A |z| = 25 B |z| = C |z| = Lời giải Ta có z = (4 − 3i)(1 + i) = + i ⇒ |z| = D |z| = √ √ √ √ 50 = ⇒ |z| = Chọn đáp án C Câu 32 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z +z+1 = Tính giá trị P = z12 +z22 +z1 z2 A P = C P = −1 B P = D P = Lời giải Ta có P = z12 + z22 + z1 z2 = (z1 + z )2 − z1 z2 Theo vi-et ta có z1 + z2 = −1 z2 = Suy P = − = Chọn đáp án D Câu 33 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Hỏi có số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện |z − i| = z số ảo? A B C D Lời giải Đặt z = x + iy, x, y ∈ R |z − i| = ⇔ |x + iy − i| = ⇔ x2 + (y − 1)2 = ⇔ x2 + (y − 1)2 = 25 z số ảo hay (x + iy)2 số ảo ⇔ x2 + 2ixy − y số ảo ⇒ x2 − y = ⇔ x = ±y Vậy ta có hệ phương trình x2 + (y − 1)2 = 25 x2 + (y − 1)2 = 25 x=y x = −y ⇔ y + (y − 1)2 = 25 x=y ⇔ y − y − 12 = x=y ⇔ y=4 y = −3 y + (y − 1)2 = 25 x = −y y − y − 12 = x = −y y=4 x=4 x = −3 x = −4 Vậy ta có số phức thỏa mãn điều kiện y = −3 x = Chọn đáp án C Câu 34 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 228 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG √ Xét số phức z thỏa mãn |z + − i| + |z − − 7i| = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn |z − + i| Tính √ P = m√ + M √ √ √ √ + 73 A P = 13 + 73 B P = C P = + 73 Lời giải √ √ + 73 D P = Cách Gọi M (x; y) điểm biểu diễn z Các điểm A(−2; 1), B(4, 7), C(1; −1) √ √ √ Ta có |z + − i| + |z − − 7i| = ⇔ M A + M B = 2, mà AB = ⇒ M A + M B = AB Suy M thuộc đoạn thẳng AB Phương trình đường thẳng AB : y = x + 3, với x ∈ [−2; 4] Ta có |z −1+i| = M C ⇒ |z − + i|2 = M C = (x−1)2 +(y +1)2 = (x−1)2 +(x+4)2 = 2x2 +6x+17 Đặt f (x) = 2x2 + 6x + 17, x ∈ [−2; 4] f (x) = 4x + 6, f (x) = ⇔ x = − ( nhận ) Å ã 25 Ta có f (−2) = 13, f − = , f (4) = 73 2 Å ã 25 Vậy f (x)max = f (4) = 73, f (x)min = f − = 2 √ √ √ √ 5 + 73 ⇒ M = 73, m = ⇒P = 2 Cách Gọi M (x; y) điểm biểu diễn z Các điểm A(−2; 1), B(4, 7), C(1; −1) √ √ √ Ta có |z + − i| + |z − − 7i| = ⇔ M A + M B = 2, mà AB = ⇒ M A + M B = AB Suy M thuộc đoạn thẳng AB C A M B Phương trình đường thẳng AB : y = x + 3, với x ∈ [−2; 4] CMmin = d(C; AB) = √ √ √ √ CM = CB = 73 CB = 73; CA = 13 ⇒ max √ √ √ 73 + Vậy P = 73 + √ = 2 Chọn đáp án B 5.5 Hình học 12 - Chương 1: Khối đa diện Câu 35 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Tính thể tích √ V khối lặng trụ tam√giác có tất cạnh √ a √ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 Lời giải √ √ a2 a3 Ta có: V = B · h = a · = 4 Chọn đáp án D Câu 36 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 229 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG Hình đa diện hình vẽ bên có mặt? A B 10 C 12 D 11 Câu 37 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a πa3 πa3 πa3 B V = πa3 C V = D V = A V = Lời giải  √  a R = πa3 Do V = πR2 h = Vì khối trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a nên  h = a Chọn đáp án D Câu 38 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30◦ Tính thể tích V khối chóp S.ABCD √ √ √ √ 6a 6a 3a B V = 3a D V = A V = C V = 18 3 Lời giải S B A O D C ’ = 30◦ ⇒ SA = a · cot 30◦ = Góc SD mp (SAB) ASD √ 1 √ 3 Khi V = Bh = a a = a 3 Chọn đáp án D √ 3a Câu 39 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Cho khối tứ diện tích V Gọi V thể tích khối đa diện có đỉnh trung V điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V V V V V A = B = C = D = V V V V Lời giải Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG A Q P E B D F N M C Cách Đặc biệt hóa tứ diện cho tứ diện cạnh a Hình đa diện cần tính có cách a cắt góc tứ diện, góc là tứ diện có cạnh V V Do thể tích phần cắt bỏ V = = Å ã (Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thể tích giảm = ) V V Vậy V = ⇔ = V Cách Khối đa diện hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có đáy hình bình hành úp lại 1 Suy ra: V = 2VN.M EP F = 4.VN.M EP = 4.VP.M N E = V = V ( Do chiều cao giảm nửa, cạnh đáy giảm nửa nên diện tích giảm ) V V − VA.QEP − VB.QM F − VC.M N E − VD.N P F Cách Ta có = V V VA.QEP VB.QM F VC.M N E VD.N P F 1 1 1 1 1 1 =1− − − − =1− − − − = V V V V 2 2 2 2 2 2 Chọn đáp án A 5.6 Hình học 12 - Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Câu 40 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3πa2 bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l hình nón cho √ 5a A l = Lời giải √ B l = 2a C l = 3a D l = 3a Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = πrl = πal = 3πa2 ⇒ l = 3a Chọn đáp án D Câu 41 (Đề minh họa 2017-Lần 3) √ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 5a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD √ √ 25a A R = 3a B R = 2a C R = D R = 2a Lời giải Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 231 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG Gọi O tâm hình vuông ABCD, G trung điểm SD, S GI ⊥ SD, I ∈ SO √ √ √ Ta có cạnh đáy 2a nên BD = 2a = 6a, OD = 3a √ Xét SOD vuông O ta có: SO = SD2 − OD2 = 4a Ta có SGI đồng dạng với SOD (g-g), suy SO SD 25a = ⇒ 4a.R = (5a)2 ⇒ R = · SG SI G I A B D O C Chọn đáp án C Câu 42 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét mặt phẳng (P ) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn (C) Hình nón (N ) có đỉnh S nằm mặt cầu, có đáy đường tròn (C) có chiều cao h(h > R) Tính h để thể tích khối nón tạo nên (N ) có giá trị lớn √ √ 4R 3R B h = 2R C h = D h = A h = 3R Lời giải S O d I R M r Ta biết cho trước đường tròn (C) nằm mặt cầu, hình nón (N ) có đáy (C) đạt giá trị lớn điểm S thỏa mãn SO vng góc với mặt phẳng chứa (C) Vậy tốn ta xét hình nón đỉnh S với điểm S thỏa SO vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến (C) Thể tích khối nón tạo nên (N ) 1 1 V = h.S(C) = h.π.r2 = h.π [R2 − (h − R)2 ] = π(−h3 + 2h2 R) 3 3 Xét hàm f (h) = −h3 + 2h2 R, h ∈ (R, 2R), có f (h) = −3h2 + 4hR 4R f (h) = ⇔ −3h2 + 4hR = ⇔ h = h = Lập bảng biến thiên ta tìm max f (h) = 32 4R 32 R , h = Vậy thể tích khối nón tạo nên (N ) có giá trị lớn V = π R3 = 27 3 27 32 4R πR h = 81 C.ách khác: Gọi O tâm mặt cầu, I r bán kính đường tròn (C) Ta có OI = h − R r2 = R2 − OI = 2Rh − h2 Thể tích khối nón tạo nên (N ) 1 1 V = h.S(C) = h.π.r2 = h.π [R2 − (h − R)2 ] = πh2 (2R − h) 3 3 Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Å Ta có h.h.(4R − 2h) h + h + 4R − 2h ã3 Do V lớn h = 4R − 2h ⇔ h = Toàn cảnh đề thi THQG Å = 4R ã3 ⇒ h (2R − h) Å ã 4R 3 4R Chọn đáp án C 5.7 Hình học 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian Câu 43 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = 20 √ A I(−1; 2; −4), R = C I(1; −2; 4), R = 20 √ B I(−1; 2; −4), R = √ D I(1; −2; 4), R = Lời giải Pt mặt cầu (x − x◦ )2 + (y − y◦ )2 + (z − z◦ )2 = R2 có tâm I(x◦ ; y◦ ; z◦ ), bán kính là: R √ Do mặt cầu (x − 1)2 + (y − (−2))2 + (z − 4)2 = (2 5)2 có tâm I(1; −2; 4) bán kính √ R = Chọn đáp án D Câu 44 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trong không gian  với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  x = + 2t   ? đường thẳng d : y = 3t    z = −2 + t y z−2 x−1 y x+1 = = B = = A 1 x+1 y z−2 x−1 y C = = D = = −2 Lời giải phương trình tắc z+2 −2 z+2 Dựa vào phương trình tham số ta suy d qua A(1; 0; −2) có VTCP #» u = (2; 3; 1) nên suy d có x−1 y z+2 phương trình tắc = = Chọn đáp án D Câu 45 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; −4; 0), B(−1; 1; 3), C(3; 1; 0) Tìm tọa độ điểm D trục hồnh cho AD = BC A D(−2; 0; 0) D(−4; 0; 0) B D(0; 0; 0) D(−6; 0; 0) C D(6; 0; 0) D(12; 0; 0) D D(0; 0; 0) D(6; 0; 0) Lời giải Do D ∈ Oy nên D = (d; 0; 0) Khi AD = (d − 3)2 + (16), BC = Theo giả thiết AD = BC ⇔ (d − 3)2 + (16) = ⇔ (d − 3)2 + 16 = 25 ⇔ (d − 3)2 = d − = −3 d=0 D(0; 0; 0) ⇔ ⇔ ⇒ d−3=3 d=6 D(6; 0; 0) Chọn đáp án D Câu 46 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 6x − 2y + z − 35 = điểm Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 233 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG A(−1; 3; 6) Gọi A điểm đối xứng với A qua (P ) Tính OA √ √ √ B OA = C OA = 46 A OA = 26 D OA = √ 186 Lời giải Gọi d đườngthẳng qua A vng góc với mp (P ) nên d có VTCP u#»d = n# P» = (6; −2; 1)  x = −1 + 6t   PTTS d : y = − 2t    z = + t Gọi A mp (P ) Khi tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  H hình chiếu    x = −1 + 6t t=1         y = − 2t x = ⇔ Suy H(5; 1; 7)   z =6+t y=1           6x − 2y + z − 35 = z=7 Vì A điểm đối xứng A qua (P ) nên H trung điểm AA Suy A (11; −1; 8) √ Vậy OA = 186 Chọn đáp án D Câu 47 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; −1) qua điểm A(2; 1; 2) Mặt phẳng tiếp xúc với (S) A? A x + y − 3z − = B x − y − 3z + = C x + y + 3z − = D x + y − 3z + = Lời giải Gọi (P ) mặt phẳng cần tìm Khi (P ) tiếp xúc với (S) A khi (P ) qua A(2; 1; 2) #» nhận vectơ IA = (−1; −1; 3) làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (P ) −x − y + 3z − = ⇔ x + y − 3z + = Chọn đáp án D Câu 48 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z + = đường thẳng x−1 y+2 z−1 ∆: = = Tính khoảng cách d ∆ (P ) 2 A d = B d = C d = D d = 3 Lời giải Đường thẳng ∆ qua điểm M (1; −2; 1) có vectơ phương #» u = (2; 1; 2) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến #» n = (2; −2; −1) Ta có #» u #» n = 2.2 + 1.(−2) + 2.(−1) = Thế tọa độ M (1; −2; 1) vào phương trình mặt phẳng (P ) ta có + − + = ( vô lý) Vậy ∆ (P ) |2.1 − 2.(−2) − + 1| Suy d (∆, (P )) = d (M, (P )) = = 22 + (−2)2 + (−1)2 Chọn đáp án D Câu 49 (Đề minh họa 2017-Lần 3) x−1 y+5 z−3 = = Phương trình −1 phương hình hình chiếu vng góc d mặt phẳng x + = ? Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   x = −3   A y = −5 − t    z = −3 + 4t Lời giải Toàn cảnh đề thi THQG   x = −3   B y = −5 + t    z = + 4t   x = −3   C y = −5 + 2t    z =3−t   x = −3   D y = −6 − t    z = + 4t Cách 1: Đường thẳng d qua điểm M0 (1; −5; 3) có VTCP #» u d = (2; −1; 4) Gọi (Q) mặt phẳng chứa d vng góc với (P ) : x + = Suy mặt phẳng (Q) qua điểm M0 (1; −5; 3) có VTPT [ #» n P ; #» u d ] = (0; 4; 1) ⇒ (Q) : 4y + z + 17 = Phương trình hình chiếu  vng góc d mặt phẳng (P )  x = −3   4y + z + 17 = hay y = −6 − t  x+3=0   z = + 4t Cách Trắc nghiệm Gọi I = d ∩ (α), suy I(−3; −3; −5) Dễ thấy có đáp án D thỏa mãn Chọn đáp án D Câu 50 (Đề minh họa 2017-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = mặt cầu (S) : x2 + y + z + 2x − 4y − 2z + = Giả sử điểm M ∈ (P ) N ∈ (S) cho phương với #» u = (1; 0; 1) khoảng cách M N lớn Tính M N √ √ A M N = B M N = + 2 C M N = D M N = 14 Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) bán kính R = | − − + − 3| Ta có d (I, (P )) = = > R nên (P ) không cắt (S) 12 + (−2)2 + 22 Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P ) Gọi T giao điểm d mặt cầu (S) thỏa d (T ; (P )) > d (I; (P )) T N I P Mo M H H Ta có d (T, (P )) = d (I, (P )) + R = + = 1.1 − 2.0 + 1.2 √ Ta có cos #» u , n# (P») = =√ 2 2 2 + (−2) + + + Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 235 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG Đường thẳng M N có véctơ phương #» u nên ta có #» # » sin (M N, (P )) = |cos ( u , nP )| = √ ⇒ (M N, (P )) = 45◦ √ NH Gọi H hình chiếu N lên (P ) Ta có M N = = N H sin 45◦ Do M N lớn N H lớn Điều xảy N ≡ T H ≡ H với H hình chiếu I lên (P ) √ √ Khi N Hmax = T H = M Nmax = N Hmax = Chọn đáp án C Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 236 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tồn cảnh đề thi THQG ĐÁP ÁN B 11 B B 12 C A 13 C A 14 C B 15 C A 16 C A 17 C A 18 C A 19 C 10 A 20 A 21 C 22 A 23 A 24 C 25 C 26 C 27 D 28 D 29 D 30 C 31 C 32 D 33 C 34 B 35 D 36 D 37 D 38 D 39 A 40 D 41 C 42 C 43 D 44 D 45 D 46 D 47 D 48 D 49 D 50 C Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 237 https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian 100 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A ĐỀ THI THQG 2019 Mã đề 101 Toàn cảnh đề thi THQG NỘI DUNG ĐỀ 1.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng... https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG Mã đề 102 NỘI DUNG ĐỀ 2.1 Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Câu (THQG 2019- Mã đề 102) Đồ thị hàm số có dạng... khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian47 Sưu tầm biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Toàn cảnh đề thi THQG Mã đề 102

Ngày đăng: 16/06/2020, 18:05

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w