Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng – Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng SBC... có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng 60o..

KHOẢNG CÁCH

TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶT PHẲNG

Bài 1 Cho hình chóp S ABC có SAABC, ABC là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

Lời giải

+ Gọi D là trung điểm BC Do tam giác ABC đều nên ADBC

+ Trong tam giác SAD, kẻ AH SD  1

+ Do









 2

Từ  1 và  2 ta suy ra AH SBCd A SBC ,  AH

+ Theo giả thiết, ta có SAABa, 3

2

a

AD (đường cao trong tam giác đều cạnh a)

+ Tam giác SAD vuông nên:

a AH

Vậy     21

7

a

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B; AD2 ,a ABBCSAa; cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD.

H

D

C S

Lời giải

+ Gọi M là trung điểm của đoạnAD

+ Ta có:

2

AD

CM AM  a nên ACD vuông tại C và ACa 2

+ Kẻ AH SC tại H Ta có CDSAC nên AH CD

+ Suy ra: AH SCD tại H Suy ra: d A SCD ,  AH

+ SAC vuông tại A có:

AH  SA  AC a  a  a

+ Suy ra:     6

,

3

a

Bài 3 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng SBC 

Lời giải

Gọi M là trung điểm của cạnh BC  G AM và AM BC

Trong mp(SAM) kẻ GH SM H, khi đó ta có:

,

GH SM

GH BC do BC SAM GH SBC H

SM BC SBC









(*)

Ta có:

a

GM AM

AM a a

a

AG AM







2

9

a a

SG SA AG  a  

Xét tam giác SGM vuông tại G với đường cao GH:

H

B

S

C M

H M A

B

C G

S

2 2 2 2 2 2

a GH

GH  SG GM  a a  a   (**)

Từ (*) và (**) suy ra:     46

,

12

a

Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng

60o Tính khoảng cách từ giao điểm I của 2 đường chéo AC BD đến mặt phẳng , SAB 

Lời giải

Gọi M là trung điểm của cạnh ABIM AB

Trong mp(SIM) kẻ IH SM H , khi đó ta có:

,

IH SM

IH AB do AB SIM IH SAB H

SM AB SAB









(*)

Góc giữa cạnh bên SD và mp ABCD là góc   SDI 60o

Trong tam giác ABC có: 1

a

IM  BC Xét tam giác SIM vuông tại I với đường cao IH:

a IH

IH  SI IM  a a  a   (**)

Từ (*) và (**) suy ra:     42

I,

14

a

H

M I

C

A

D

B

S

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB AC a  , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC, mặt phẳng  SAB tạo với đáy một góc bằng  600 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SAB theo a.

Lời giải

Gọi K là trung điểm của ABHK AB 1  

Vì SHABC nên SH AB 2   Từ (1) và (2) AB SK

Do đó góc giữa SAB với đáy bằng góc 

giữa SK và HK và bằng SKH 60 0

Ta có SH HK.tanSKH a 3

2

Từ H kẻ HM SK tại M HMSABd H, SAB   HM

Ta có 1 2 12 12 162 HM a 3

4

HM HK SH 3a  

Vậy d H, SAB   a 3

4

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABClà tam giác vuông tại B, BA 3a, BC 4a, mặt phẳng SBC

vuông góc với mặt phẳng ABC Tam giác SBCcó đường cao SH, cạnh SB2a 3và góc SBCbằng

30o Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SACtheo a

Lời giải

Hạ HD AC D AC, HK SD K SDHK SACd H , SAC   HK

AC AB BC  a  a  a

600

K

H C

A

B S

M

Tam giác SBH có:

3

2

BH SB.cos SBC a  a,

 2  2

Ta có HCBCHB 4a 3aa

Mặt khác ABC HDC g g

AB AC AB.HC a.a a

HD

HD HC AC a

Xét tam giác vuông SHDcó

2

3 3

3 7 5

14 9

3 25

a

HK

a

14

a

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang vuông tại A và D biết ABAD 2a, CDa

Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCDbằng 60o Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng

SBIvà SCIcùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng

SBCtheo a

Lời giải

Ta có:





Dựng IH BC H BC (1)

Ta có SI ABCDSI BC(2)

D

H

B

C A

S

K

K

I A

D

B

C S

H

Từ (1) và (2) suy ra BCSH SBC , ABCD   SHI 60O

Dựng IK SH d I , SBC   IK

 Tính IH

3 2

ABCD

2

ABI

S  AI ABa ,

2

1

IDC

a

Mà

2

3 2

IBC ABCD ABI IDC

a

Gọi E là trung điểm của AB suy ra tứ giác AECD là hình chữ nhật

5

BC EC EB a

Ta có

IBC

BC

 Tính IK

2 10 5

Vậy     3 15

10

a

Bài 8 Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ACD

Lời giải

Gọi OACBDDOAC tại O do ABCD là hình vuông

Kẻ DH OD tại H

Ta có AC DO AC ODD

AC DD



Ta có DH AC DH ACD 

DH OD



 tại H d D ACD ,  DH

ABCD là hình vuông cạnh a nên 2

BD a

OD 

ODD

 vuông tại D có DH là đường cao nên:

2

2 2

DH OD DD  a a  a a a

 

3

, 3

a

DH d D ACD

Bài 9 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABa, AD a 2, AA 2a Tính khoảng cách từ điểm

C đến mặt phẳng AB C 

Lời giải

Gọi I BCB C

Ta có d C ,AB C  C I.d B AB C ,   d B AB C ,  

BI



Kẻ BH AC tại H , BK B H tại K

Ta có AC BH AC BB H

AC BB





mà BK BB H  ACBK

Ta có BK B H BK AB C

BK AC





 tại K, do đó d B AB C ,   BK

BB H

 vuông tại B có BK là đường cao nên:

BK  BB BH

 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

BK  BB  BA BC

 (ABC vuông tại B có BH là đường cao)

,

a

BK d C AB C

BK  a a  a  a     

Bài 10 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D    ' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2

2

a

Gọi , '

O O lần lượt là tâm của hai đáy Tính khoảng cách từ O tới O CD' .

Lời giải

Gọi M là trung điểm của CD

A

D

A'

B'

D'

C' O'

M O

H

Theo giả thiết O O' ABCDOO' CD

Ta có

' '

CD O O O OM

CD OM O OM

OM O O O









 CDO OM' 

mà CDO CD'  O CD'   O OM' theo giao tuyến O M'

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên O M' OHO M'

suy ra OH O CD'  tại H nên d O O CD , '  OH

2

a

O OAA  Trong O OM' vuông tại O, ta có:

OH OM OO  a  a  a

6

a

, '

6

a

Bài 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, AA  3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC 

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BCAM BC

Do AA ABCAA BC suy ra BC AA M 

Kẻ AH A M H  A M AH BC

Do đó AH A BC tại H hay d A A BC ;    AH

2



AM (đường cao của tam giác đều cạnh bằng 1)

Suy ra 1 2 12 1 2 1 4 5

3 3 3



AH AA AM

3 15 5 5

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC  bằng 15

5

Bài 12 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D    có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, ABC120 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng AA C ' 

Lời giải

Gọi O là tâm hình thoi ABCD BOAC

Do ABCD A B C D     là hình lăng trụ đứng nên AAABCDAABO

Ta có: BO AC

BO AA





 BOAA C d B AA C( , (  ))BO Hình thoi ABCD có ABC120 AB AD, ABD600  ABD là tam giác đều

BO a BO

Vậy ( ,( ))

2

a

d B AA C BO

Bài 13 Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; 3

' 2

a

A D ; hình chiếu vuông góc của A' trên ABCD trùng với trung điểm  H của cạnh AB Tính khoảng cách từ điểm H

đến mặt phẳng A CD ' 

Lời giải

O

C

C' D'

A'

C B

B B'

Theo đề bài, ta có: A H' ABCDA H' CD

Gọi I là trung điểm của CD HI a

HI CD





Suy ra

a a

HD AH AD   a 

 

 

a a

A H A D HD   a

'

CD HI

CD A HI A CD A HI

CD A H



Trong A HI , kẻ '  HK A I K' , A I'  Ta có:

' '

'

A CD A HI

A CD SHI A I

HK A CD

A HI HK

HK A I





d H A CD HK

Trong tam giác vuông A HI' , có:

2 '

HK

, '

2

a

d H A CD 