Tài liệu hội thảo ôn thi tốt nghiệp THPT 2020 môn Toán sở GD&ĐT Tây Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH TÀI LIỆU HỘI THẢO ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2020 MÔN TOÁN Tây Ninh, tháng năm 2020 - LƯU HÀNH NỘI BỘ - PHÂN TÍCH ĐỀ THAM KHẢO CỦA BỘ LẦN I MA TRẬN ĐỀ THAM KHẢO LẦN II SỐ CÂU THEO CHƯƠNG MỤC Nguyên hàm Tích phân: Số phức: Thể tích khối đa diện: Khối tròn xoay: 10 Hình tọa độ khơng gian: Tổ hợp Xác suất: 2 Dãy số, cấp số: Quan hệ vng góc: Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số: 12 Lũy thừa, mũ, lôgarit: III SỐ CÂU THEO MỨC ĐỘ NHẬN THỨC Nhận biết: 21 Thông hiểu: 17 Vận dụng thấp: Vận dụng cao: GV soạn: Huỳnh Quốc Hào Trường THPT chuyên Hoàng Lê Kha I CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài toán hàm số đơn điệu: Đề MH2 có câu chủ đề (1NB, 1VD) A Lý thuyết: Có hướng em hs cần nắm vững: Hướng 1: Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K ( ) ( ) + Nếu f ' x ≥ với x ∈ K f ' x = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f đồng biến K + Nếu f ' x ≤ với x ∈ K f ' x = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f ( ) ( ) nghịch biến K Chú ý: ax + b  d  x ≠ −  dấu " = " xét dấu đạo hàm y ′ không xảy cx + d  c Hướng 2: Giúp hs nhìn bảng biến thiên (hoặc bảng dấu y’) mà trả lời Đối với hàm phân thức= hữu tỉ y B Các ví dụ: Ví dụ (C10 MH2 2020) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B (0;1) C ( −1; 0) D ( −∞; 0) Hướng dẫn NX: BT BT đọc BBT Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến ( −1;0 ) Chọn C Ví dụ Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( −2; ) B ( −∞; ) C ( 0; ) D ( 2; + ∞ ) Hướng dẫn NX: BT BT đọc đồ thị - Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) Chọn C Ví dụ Hàm số sau nghịch biến khoảng ( −∞; + ∞ ) ? GV: Huỳnh Quốc Hào A y = x +1 x+3 B y =− x3 + x + C y = x −1 x−2 D y = − x3 + 3x − x Hướng dẫn NX: Đây BT cần tính tốn đạo hàm cấp để đơn điệu hàm số Vì tập xác định hàm phân thức nên hs cần biết để loại nhanh chúng - Hàm số y = − x3 + x − x có y′ =−3 x + x − =−3 ( x − 1) − < , ∀x ∈ ( −∞; + ∞ ) nên nghịch biến ( −∞; + ∞ ) Chọn D Ví dụ (C41 MH2 2020) f ( x) = Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số x + mx + x + đồng biến  ? A B C D Hướng dẫn NX: Bài thuộc cấp VD HS cần hiểu điều kiện HS đồng biến điều kiện tam thức không đổi dấu  + Tính f '( x ) = x + 2mx + ∆ ' ≤ + Hàm số cho đồng biến  ⇔ f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈  ⇔  a > m∈ ⇔ b '2 − ac ≤ ⇔ m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤  → m ∈ {−2; −1;0;1;2} Chọn A Ví dụ (C39 MH1 2020) Cho hàm số f ( x ) = hàm số cho đồng biến ( 0; +∞ ) ? mx − (m số thực) Có giá trị nguyên m để x−m C D Hướng dẫn NX: xét đơn điệu miền hàm phân thức 1/1 Vì ý điều: Đk tồn cho hs đạo hàm khơng có dấu A B + Trước hết theo yêu cầu toán ta phải có m ≤ − m2 f '( x) > ⇒ − m > ⇒ m ∈ ( −2; ) + Tiếp theo = ( x − m) Kết hợp ta có m ∈ {0; −1;} Chọn D C Các tập tương tự: (dành cho hs tự ôn) (C4 MH1 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞ ) B ( −1;0 ) C ( −1;1) D ( 0;1) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau GV: Huỳnh Quốc Hào Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B ( −1; +∞ ) C ( 0;1) D ( −1;0 ) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( −2; ) B ( 0; ) C ( 3; + ∞ ) D ( −∞;1) Cho đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề ? A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến (1; +∞ ) C Hàm số đồng biến ( −1; +∞ ) D Hàm số nghịch biến ( −∞; −1) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ? A ( 0; ) B ( −2; ) C ( −∞;0 ) D ( 2; +∞ ) Hàm số y = x − x − x + nghịch biến khoảng 1  A  −∞; −  3  B (1; + ∞ )   C  − ;1   Hàm số y = − x + x + đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −2 ) ( 2;+∞ ) B ( −2;2 ) 1  D  −∞; −  (1; + ∞ ) 3  C ( −∞; −2 ) ( 0;2 ) D ( −2;0 ) ( 2;+∞ ) Tìm tất giá thực tham số m để hàm số y = x − x − 6mx + m nghịch biến ( −1;1) 1 C m ≤ − D m ≥ 4 Cho hàm số y = x + x − mx − Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến A m ≥ B m ≥ khoảng ( −∞;0 ) GV: Huỳnh Quốc Hào B ( −∞; − 4] A ( −1; + ∞ ) C ( −∞; − 3] D ( −1;5 ) Cho hàm số: y = ( m − 1) x + ( m − 1) x − x + với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) ? A B C D 2 10 Hàm số y = −3 x − ( 3m − 3m + 1) x + 5m − 2m + nghịch biến khoảng nào? A ( 2; +∞ ) B ( 0;+ ∞ ) C ( −∞;0 ) D ( −4;+ ∞ ) Bài toán cực trị: Đề MH2 có câu chủ đề (1NB, 1TH) A Lý thuyết: (HS cần nắm quy tắc sau) Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f ′ x • Bước 2: Tìm điểm x i ( ) (i = 1;2; ) mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục đạo hàm • Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f ′ x Nếu f ′ x đổi dấu qua x i hàm số ( ) ( ) đạt cực trị x i Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f ′ x ( ( ) ( ) ) • Bước 2: Tìm nghiệm x i i = 1;2; phương trình f ′ x = ( ) ( ) • Bước 3: Tính f ′′ x tính f ′′ x i ( ) Nếu f ′′ ( x ) > hàm số f ∗ Nếu f ′′ x i < hàm số f đạt cực đại điểm x i ∗ i đạt cực tiểu điểm xi B Các ví dụ: Ví dụ (C13 MH2 2020) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đạt cực đại A x = −2 B x = C x = D x = −1 Hướng dẫn NX: hướng dẫn HS đọc bảng BBT để tìm điểm CĐ hs HS vào QT1 để tìm - Nhận thấy x = −1 y’ đổi dấu từ + sang - , nên x = −1 điểm cực đại hs Chọn D Ví dụ (C27 MH2 2020) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu f ′( x) sau: GV: Huỳnh Quốc Hào Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Hướng dẫn NX: hướng dẫn HS đọc bảng dấu f '( x ) để tìm số điểm cực trị hs HS vào QT1 để tìm Từ bảng xét dấu f ′ ( x ) ta thấy f ′ ( x ) hai lần đổi dấu, nên hs f ( x ) có điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số y =x − x + có đồ thị ( C ) Điểm cực tiểu đồ thị ( C ) A M ( 0;5 ) B M ( 2;1) C M ( 0;2 ) D M ( 2;0 ) Hướng dẫn NX: tìm điểm cực trị đồ thị hs HS vào QT1 (hoặc QT2) để tìm Và cần tính tung độ x = ′′ x − Hơn nữa, y′ =3x − x =0 ⇔  Ta có = y′ x − x y= x = Hơn nữa, y′′ ( ) > nên hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu Chọn B C Các tập tương tự: (dành cho hs tự ôn) 11 C8 MH1 2020 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C D −4 12 C18 MH1 2020 Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu f ′ ( x ) sau: x +∞ −∞ −1 f ′( x) − + − + Số điểm cực trị đồ thị hàm số cho A B C D 13 Cho hàm số y = f ( x) xác định, lên tục  có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số có cực trị B Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = −1 C Hàm số đồng biến khoảng (0;1) D Hàm số có giá trị nhỏ 14 Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục  \ 2 có bảng biến thiên sau GV: Huỳnh Quốc Hào Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm số có giá trị cực tiểu B Hàm số đạt cực đại điểm x  đạt cực tiểu điểm x  C Hàm số có cực trị D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −15 15 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Hàm số cho có điểm cực trị? A B C D 16 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng xét dấu f ′ ( x ) sau: Tìm số cực trị hàm số y = f ( x ) A B C D 17 Cho hàm số = y x − x Khẳng định sau đúng? A Giá trị cực tiểu hàm số B Hàm số đạt cực đại x = C Giá trị cực đại hàm số −4 D Hàm số đạt cực đại x = 18 Cho hàm số y = x + m x + ( 2m − 1) x − Mệnh đề sau sai? A Đồ thị hàm số ln có điểm cực trị B ∀m > đồ thị hàm số có điểm cực trị C ∀m ≠ đồ thị hàm số có điểm cực trị D ∀m < đồ thị hàm số có điểm cực trị 19 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y= ( m + 1) x3 − x + ( 2m + 1) x + có cực trị         A m ∈  − ;0  B m ∈  − ;0  C m ∈  − ;0  \ {−1} D m ∈  − ;0  \ {−1}         20 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y =( m + 1) x − mx + có cực tiểu mà khơng có cực đại A m < −1 B −1 ≤ m ≤ C m > D −1 ≤ m < GV: Huỳnh Quốc Hào Bài toán min-max: Đề MH2 có câu chủ đề (1TH, 1VDC) A Lý thuyết: Định nghĩa ( ) Cho hàm số y = f x xác định tập D  f (x ) ≤ M , ∀x ∈ D Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f x D nếu:  M ∃x ∈ D, f (x ) = Kí hiệu: M = max f ( x) ( ) x∈D  f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f x D nếu:  m ∃x ∈ D, f (x ) = Kí hiệu: m = f (x ) ( ) x ∈D Phương pháp tìm GTLN,GTNN 2.1 Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp Bước 1: Tính f ′ ( x ) tìm điểm x 1, x , , x n ∈ D mà f ′ x = hàm số khơng có đạo ( ) hàm Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2.2 Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Bước 1: Hàm số cho y = f x xác định liên tục đoạn a;b  ( ) ( ) Tính f (a ) , f ( x ) , f ( x ) , , f ( x ) , f (b ) ( ) ( ) Tìm điểm x 1, x , , x n khoảng a;b , f ′ x = f ′ x không xác định Bước 2: n Bước 3: Khi đó: { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} f ( x ) = { f ( x ) , f ( x ) , , f ( x ) , f (a ) , f (b )} ( ) max f x = max f x , f x , , f x n , f a , f b a ,b  a ,b  n 2.3 Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Bước 1: Tính đạo hàm f ′(x ) Bước 2: Tìm tất nghiệm x i ∈ (a;b) phương trình f ′(x ) = tất điểm αi ∈ (a;b) làm cho f ′(x ) khơng xác định Bước Tính A = lim+ f (x ) , B = lim− f (x ) , f (x i ) , f (αi ) x →a x →b Bước So sánh giá trị tính kết luận M = max f (x ) , m = f (x ) (a ;b ) (a ;b ) Ghi chú: A, B GTLN hay GTNN Vậy so sánh mà số lớn (nhỏ nhất) rơi vào A, B, ta kết luận hàm số khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Chú ý: ( ) ( ) () ( ) () ( ) () () min f x = f a  a ;b  • Nếu y = f x đồng biến, liên tục a;b   f x =f b max  a ;b  min f (x ) = f b  a ;b  • Nếu y = f x nghịch biến, liên tục a;b     f x f a = max ( )  a ;b    GV: Huỳnh Quốc Hào B LUYỆN TẬP I Dãy số Bài (NB) 4 Cho dãy số (un) có số hạng đầu: 0; ; ; ; ; Số hạng tổng quát dãy số là: n B un = n +1 n +1 A un = n n2 − n D un = n +1 n −1 C un = n Giải: Phương án A sai n =1 u1=2 Phương án B sai khơng có giá trị n thuộc N* để u1=0 Phương án D sai cho n=2 u2=2/3 Đáp án C vì: n=2 => u2=1/2 n=1 => u1=0 n=4 => u4= 3/4 n=3 => u3=2/3 n=5 => u5=4/5 Bài (TH) Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm ? A Dãy số (un) với u n= −2 n C Dãy số (un) với un = (−1)n 3n +1 B Dãy số (un) với un = n n +1 D Dãy số (un) với un = 2n n Giải: Kiểm tra phương án A u n= −2 n −1   1  un  2 ⇒ u n +1 −= −  −  −= < 0, ∀n ∈ N *  n +1   n  n(n + 1) Đáp án A Phương án B sai u1=1/2 < u2=2/3 Phương án C sai u1= -9, u2=27, u3= -81 dãy khơng tăng khơng giảm Phương án D sai u1= u2=2 Bài (VD) Cho dãy số (un) với u1 = un + n un += Số hạng thứ n+2 dãy số (un) là: A un + 2= + (n + 2)(n + 1) B u n + 2= + C un + 2= + (n − 2)(n + 1) D un + 2= + Tính : u1= u3=5 +1+2 u5=5+1+2+3+4 u2= 5+1 u4=5+1+2+3 u6=5+1+2+3+4+5 128 (n + 2)(n - 1) (n + 2)(n + 1) n(n + 1) ⇒ u n = + + + + + (n − 1) Dùng công thức: + + + + n = n(n − 1) ⇒ đáp án: B D sai ⇒ u n =5 + Vậy số hạng tổng quát dãy ⇒ un =5 + n(n − 1) (n + 2)[(n + 2) − 1] (n + 2)(n + 1) Nên số hạng un+2 dãy là: u n + = 5+ 5+ = 2 Đáp án A II Cấp số cộng Bài Cho cấp số cộng có u1 = 2, công sai d = Số hạng thứ cấp số cộng là: A 12 B 17 C 11 D 162 Đáp án A Các phương án lại sai dùng sai cơng thức Bài (TH) Cho CSC : -2 ; u2 ; ; u4 Hãy chọn kết ? B u2 = ; u4 = C u2 = ; u4 = D u2 = ; u4 = 10 A u2 = -6 ; u4 = -2 Đáp án D Từ tính chất CSC ta có: u2 = u1 + u3 −2 + u2 + u4 + u4 u3 u4 10 ⇔= ⇔= = = ;= 2 2 Bài (TH) Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng?  u1 =  u1 = u1 = u = −1 B  C  D  A  u − u = u = u + u u = − u u n = + n + n  n + n  n n  n +1  n +1 Đáp án D Phương án A sai dãy có số hạng: 1; 0; -1; -2; -9;… Phương án B sai dãy có số hạng: 2; 3; 5; … Phương án C sai dãy có số hạng: 3; 7; 15;… Bài (VD) −1, d = 2, S n = 483 Hỏi CSC có số hạng? Cho CSC có n số hạng biết u1 = A n= 21 B n= -21; 23 C n=23 D n=24 Đáp án C Từ cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng: n(n − 1) nu1 + d = Sn ⇔ − n + n(n − 1) = 483 ⇔ n = −21; 23 Phương án A, D sai Phương án B sai số số hạng CSC số nguyên dương III Cấp số nhân Bài (NB) Cho cấp số nhân (un) với u1 = ; u2 = Công bội cấp số nhân cho bằng: A B C D 129 Đáp án: B Bài (TH) Cho cấp số nhân: -2; x; -18; y Kết sau đúng?  x=6  y=-54  x=-10  y=-26  x=-6  y=-54 B  A  C   x=-6  y=54 D  Đáp án C Theo tính chất CSN ta có: x2 =(-2)(-18) = 36 ⇔ x = ±6 u x= ⇒ q =2 = −3 , cấp số nhân là: -2; 6; -18; 54 Phương án: A, B, C, D sai u1 u −6; y = −54 Chọn đáp án C x =−6 ⇒ q = =3 , cấp số nhân là: -2; -6; -18; - 54 ⇒ x = u1 Hoặc: Kiểm tra kết x y = giá trị x, y cần tìm −2 −18 Bài (VD) Tìm tích số dương a b cho a; a+2b; 2a+b lập thành cấp số cộng (b+1)2; ab+5; (a+1)2 lập thành cấp số nhân A 12 B C 18 D Theo tính chất CSC ta có 2(a+2b) = a+2a+b ⇔ a=3b Theo tính chất CSN ta có (ab+5)2 = [(a+1)(b+1)]2 ⇔ (3b + 5) = [(3b + 1)(b + 1)]2 Vậy a.b = ⇔b= ⇒a=  u1 =  u1 = u1 = B  C  D Đáp A  u u = + u u n = + u = u − 1 n n +  n n  n +1  n +1 án D u1 = −1  un +1 − un = CHỦ ĐỀ 10: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP GĨC TRONG KHƠNG GIAN I GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG Tóm tắt lý thuyết A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b ( số đo góc hai đường thẳng ln lớn hay 00 bé hay 900) Kí hiệu: a ; b) = ( a / ; b/ ) ( Cách xác định góc đường thẳng thực tế: Muốn xác định góc hai đường thẳng a b từ điểm A đường thẳng a kẻ đường thẳng b///b ( a; b) = ( a; b / ) Phương pháp giải: Cách 1: Dựa vào định nghĩa 130 Cách 2: Dựa vào cách xác định góc đường thẳng thực tế Cách 3: Dựa vào cách xác định góc vectơ phương Ví dụ minh hoạ: Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh= a, SA a 3, SA ⊥ BC Tính góc hai đường thẳng SD BC? A 900 B 600 C 450 D 300 Hướng dẫn giải: BC / /AD   Ta có: 900  ⇒ SAD = SA ⊥ BC  S    SD ; BC ) (= SD ; AD) SDA Do BC//AD ⇒ (= Xét tam giác SAD vng A ta có: D A B  =SA =a = ⇒ SDA  =600 tan SDA AD a Vậy góc hai đường thẳng SD BC 600 Vậy chọn B C Ví dụ Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình vng cạnh a, = SA a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính cos ( SB, AC ) A cos ( SB, AC ) = − 2 C cos ( SB, AC ) = − B cos ( SB, AC ) = 2 D cos ( SB, AC ) = Hướng dẫn giải Lấy M trung điểm SD Khi góc cần tìm góc OM OC Ta có MC trung tuyến ∆SCD ⇒ = MC 2 S M SC + DC SD −= 2a 2 A ⇒ MC = a D Xét ∆MOC có : 2  = MO + OC − MC = − cosMOC 2.MO.OC 2 O B Vậy chọn A C AA ' m ( m > ) Hỏi m Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB = 1, = để góc AB ' BC ' 600 ? A m = B m = C m = Hướng dẫn giải: 131 D m = Lấy M , N , P trung điểm BB ', B ' C ', AB MP//AB', MN//BC' C A P Suy góc cần tìm góc MP, MN MP = MN = m2 + Lấy Q trung điểm B m A ' B ' ⇒ PN = PQ + QN = = Suy cosPMN m2 + N A' PM + MN − PN = ± , từ 2.PM MN C' Q M tính m = Vậy chọn D II GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tóm tắt lý thuyết B' Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Kí hiệu: ( a ;( P )) = ( a; a / ) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Phương pháp giải M A H a' Muốn xác định góc đường thẳng a mặt phẳng (P) +Xác định giao điểm A đường thẳng a mp(P) +Lấy điểm M∈a (M≠A), xác định hình chiếu vng  a ;( P)) = MAH góc H M (P) đó: ( Ví dụ minh hoạ M A a' H (Trích đề thi TN THPT QG 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = 2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60° B 90° C 30° D 45° Giải: AB hình chiếu SB lên ( ABCD ) S Ví dụ ( ) ( )    ⇒ SB , ( ABCD ) = SB , AB = SBA AB a = = cos SBA = =⇒ SBA 600 SB 2a 2a Vậy chọn A D A a B 132 C Ví dụ Cho chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Gọi α góc đường SC mặt phẳng ( SAD ) H Tính tan α A B C D Giải : CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ SA S Ta có  Tức D hình chiếu vng góc C lên ( SAD ) a  ⇒ Góc SC ( SAD ) CSD SD = SA2 + AD = a ; CD  tan CSD = = SD D A a Đáp án B B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , tam giác SAB tam giác Tính tan góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) A 15 B C Giải: Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD) ( SAB ) ⊥ ( ABCD)  Ta có ( SAB ) ∩ ( ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)  SH ⊂ (SAB), SH ⊥ AB  Do HC hình chiếu vng góc SC lên 15 15 D S B   ,( ABCD)) = SCH mp(ABCD).⇒ ( SC C H Mà ta có: SH = a ; BH= AB= a , 2 A D tam giác BHC vuông B ⇒ HC =  = tan SCH HB + BC= 2 a a   + a= 2 SH a a = : = HC 2 15 Chọn A III GĨC GIỮA MẶT PHẲNG tóm tắt lý thuyết Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng a P 133 b Q Phương pháp giải Cách : • Chọn điểm O thuộc giao tuyến α β OB ⊂ (β ) OA ⊂ (α ) • Dựng qua O :   OB ⊥ ∆ OA ⊥ ∆  • ((= α ),(β )) (OA = ;OB ) ϕ Chú ý: * ≤ ϕ ≤ 90o ( ) * (α ) ⊥ ( β ) ⇒ ( α ),(β ) = 900 Cách 2: • Tìm giao tuyến d (α) (β) • Từ điểm M (β) kẻ MH⊥(α) (H∈(α)) • Từ điểm H kẻ HK⊥d (K∈d)⇒  ((α ),( = β )) MKH = ϕ β M K α H Ví dụ minh hoạ Ví dụ (Trích đề thi tham khảo năm 2019) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Góc ( A′B′CD ) ( ABC ′D′ ) A 30° 90° B 60° C 45° D Giải Ta có: CD ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒ CD ⊥ BC ′ Và:  BC ′ ⊥ CD ⇒ BC ′ ⊥ ( A′B′CD ) ⇒ ( ABC ′D′ ) ⊥ ( A′B′CD )  ′ ′ ⊥ BC B C  Góc ( A′B′CD ) ( ABC ′D′ ) 90° Vậy chọn D Ví dụ Cho chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Gọi α góc ( SBC ) ( SCD ) Tính góc α A α = 300 B α = 600 C α = 450 D α = 900 Hướng dẫn giải: 134 Dễ chứng minh góc ( SCD ) S  = 450 nên SA = a đáy SDA Lấy M, N trung điểm SB, SD Dễ N chứng minh AN ⊥ ( SCD ) , AM ⊥ ( SBC ) suy M 45° a góc ( SBC ) ( SCD ) góc AM D A AN AM = AN = MN = Vậy chọn A DB a = = ⇒ MAN 600 2 B C Ví dụ Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = 3a Các cạnh bên có độ dài 5a Gọi α góc ( SBC ) ( ABCD ) Tính tan α A tan α = B tan α = Gọi H tâm hình chữ nhật ABCD SH ⊥ ( ABCD) Lấy I trung điểm C tan α = D tan α = Hướng dẫn giải: S AB = a suy góc ( SBC ) 5a  Tính ( ABCD ) SIH = tan SIH 4a B A Vậy chọn C 3a I H D C KHOẢNG CÁCH Dạng 1: Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng a: B Phương pháp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M tới đường thẳng a Độ dài đoạn MH = d ( M , a ) Ví dụ Cho tứ diện SABC SA, SB, SC đơi vng góc với SA = 3a, SB = a, SC=2a Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC a 7a 7a 7a D A B C 5 5 Giải: Từ S kẻ SH ⊥BC (H∈BC)(1) Ta có SA⊥SB SA⊥SC ⇒SA⊥(SBC) 135 BC ⊥ SA d (A ; BC ) ⇒ BC ⊥ A H ⇒ A H = BC ⊥ SH A mặt khác ta có :  Trong tam giác SBC vng S ta có: SB.SC a.2a 2a SH = = = SB + SC a + (2a) S C Trong tam giác SAH vng S ta có : H AH = SA + SH =  2a  7a Chọn đáp án B (3a)2 +   =     B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥(ABCD), SA= 2a, ABCD hình vng cạnh a Gọi O tâm ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC a a a A B C Giải: Gọi E trung điểm SC, suy OE / / SA S OE= SA = a Do SA ⊥ AC ⇒ OE ⊥ AC ⇒ ∆OEC vuông 2a O OH Kẻ OH ⊥ EC ⇒ d ( O, SC ) = D a E a OE.OC Ta có: OH = a = 2 OE + OC Vậy chọn A D H A O a a 2 B C Dạng 2: Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng: 1.Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M tới mp(α) độ dài đoạn vng góc MH hạ từ M xuống mp(α) Kí hiệu: d ( M ,(α ) ) 2.Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M tới mp(α) : Dựng MH ⊥ (α ) , H ∈ (α ) tính MH ⇒ d ( M,(α)) = MH Có thể dựng MH theo hai phương pháp sau: Cách1: Nếu có đường thẳng d ⊥ (α ) ta dựng đường thẳng ∆ qua M ∆ / /d Đường thẳng cắt ( α ) H ⇒ MH ⊥ (α ) M d H α 136 Cách 2: Chọn mặt phẳng (P) qua M ( P) ⊥ (α ) , mặt phẳng (P) cắt ( α )theo giao tuyến d Trong mặt phẳng (P) dựng MH ⊥ d,( H ∈ d ) MH ⊥ (α ) P M H α Chú ý: Khi biết khoảng cách từ điểm A (khác M) đến ( α ) + Nếu MA//( α )thì d ( M ,(α ) ) = d ( A,(α ) ) M A H K α + Nếu MA ∩ (α ) = I ( I ≠ A) d ( M ,(α ) ) IM = d ( A,(α ) ) IA M A I H K α Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Tính d ( A,( SBC )) theo a α a B d ( A, ( SBC )) = cos α a sin α D d ( A, ( SBC )) = a A d ( A, ( SBC )) = sin α C d(A,(SBC)) = 137 a cos α Giải: + Gọi I trung điểm BC + Ta có: S BC ( SBC ) ∩ ( ABC ) =   SI ⊂ ( SBC ), SI ⊥ BC  AI ⊂ ( ABC ), AI ⊥ BC  H C A  SBC );( ABC= )) AIS = α (( ⇒  BC ⊥ ( SAI ) I B Keû A H ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒ AH ⊥ (SBC) Do d ( A, ( SBC )) = AH BC ⊥ AH BC ⊥ (SAI) + = = AH AI sin α + Mặt khác, xét tam giác vng AHI có: = )) AH Vậy d ( A, ( SBC= a sin α a sin α Vậy chọn C Ví dụ (Trích đề thi tham khảo 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , = 60° , SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng BAD (SCD ) A 21a B 15a Chọn A C Giải: 21a D S Ta có AB ⊄ ( SCD ) AB // CD nên AB // ( SCD) Do d( B ;( SCD ) ) = d( A;( SCD ) ) H Trong ( ABCD ) kẻ AE ⊥ CD với E ∈ CD Trong ( SAE ) kẻ AH ⊥ SE ( H ∈ SE ) (1) D C E Ta có SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ CD AE ⊥ CD suy CD ⊥ ( SAE ) Do CD ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ ( SCD ) Suy d( A;( SCD )) = AH A Trong tam giác vng AED ta có = AE AD= sin 60° 15a a (vì  = 60° ) ADE= BAD Trong tam giác vuông SAE ta có SA.AE a 21 AH = = Vậy 2 SA + AE d ( B;( SCD= ) ) d ( A;( SCD= ) ) AH = a 21 138 B Ví dụ (Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B , AB = a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) A 5a B 5a Chọn A C 2a Giải: D 5a S H A C B Trong tam giác SAB dựng AH vng góc SB AH ⊥ ( SBC ) khoảng cách cần tìm AH Ta có: 1 SA AB 2a = 2+ = 2= suy AH = 2 2 AH SA AB 4a SA + AB Dạng 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1.Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d + Khi = d(d, d ') d(d, = (P)) d(A, (P)) với A điểm thuộc d (Cách dựng (P): qua điểm B ∈ d ' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) Chú ý: Nếu a, b chéo vng góc với - Dựng mp(P) ⊃ b mp(P) ⊥ a A - Dựng AB vng góc với b B, đó: d(a, b) = AB Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB = a, tất cạnh lại 3a Tính d ( AB, CD ) A a B a C a 26 Giải: + Gọi I, J trung điểm CD AB + Vì ACD ACD tam giác nên: CD ⊥ AI , CD ⊥ BI ⇒ CD ⊥ ( AIB) ⇒ CD ⊥ IJ (1) Mặt khác, AIB cân I Do đó, IJ ⊥ AB (2) 139 D a 26 ∆ACD = ∆ACD nên tam giác + Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD + Ta có: A J D B I C IJ = 2  3a   a  a 26 a 26 Vậy d ( AB, CD) =   −  = 2   2 AI − AJ = Đáp án: D Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N a Tính trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH ⊥ ( ABCD), SH = d( DM,SC ) A a B a 288 19 C a 30 D a 95 10 Giải: + Trong mp(SCH) kẻ + Mặt khác, HK ⊥ SC (1), (K ∈ SC) S SH ⊥ (ABCD)   ⇒ SH ⊥ DM (*) DM ⊂ (ABCD) K Xét hai tam giác vuông AMD DNC có AM=DN, AD=DC ⇒ ∆AMD = ∆DNC Từ ta có:    AMD = DNC       = DCN = 900 ADM  ⇒ DNC + ADM   900  AMD +  ADM =   900 hay DM ⊥ CN (**) ⇒= NHD D N A C H M B Từ (*), (**) suy ra: DM ⊥ (SCH) ⇒ DM ⊥ HK (2) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC CD a2 2a = = + Ta có: ∆HCD  ∆DCN ⇒ HC = 2 CN CD + DN Xét tam giác vuông SHC ta có: = + = 19 ⇒ HK = a 288 19 HK HC HS 12a a 288 = ) HK = Vậy d ( DM , SC Đáp án B 19 Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d(AD, SB) 140 A a 42 B a 21 C  AD ⊄ ( SBC )  ⇒ AD / / ( SBC ) Ta có:  AD / / BC  BC ⊂ ( SBC )  a Giải: D 3a S Do ta chọn (SBC) chứa SB song song AD Suy ra: d ( AD; SB ) khoảng cách từ điểm AD đến (SBC) Gọi I, J trung điểm AD BC  BC ⊥ IJ Khi đó, ta có:  ⇒ BC ⊥ (SIJ)  BC ⊥ SH K C D I J H A B Mà BC ⊂ ( SBC ) nên ( SBC ) ⊥ ( SIJ ) theo giao tuyến SJ Trong mp(SIJ) kẻ IK ⊥ SJ , K ∈ SJ Khi IK ⊥ (SBC) , hay IK = d ( AD,SB ) Tam giác SJC vng J có: SJ = 1 SH IJ = S SIJ = SH IJ IK SJ Suy ra: IK = = 2 SJ Vậy: d ( AD, SB ) = 2 SC − JC = a2 a 2a − = ⇒ 2 a a a 42 = a a 42 Đáp án A Ví dụ (Đề tham khảo Bộ năm 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ có cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD A’C’ 3a A 3a B a C D 2a A C B A′ Đáp án B Cách 1: Ta có BD // ( A′B′C ′D′ ) Giải: D B′ D′ C′ ⇒ d ( BD, A′C ′ ) = d ( BD, ( A′B′C ′D′ ) ) = d ( B, ( A′B′C ′D′ ) ) = BB′ = a Cách 2: Gọi O , O′ tâm hai đáy Ta có: OO′ đoạn vng góc chung C ′ ) OO =′ a BD A′C ′ Do d ( BD, A′= 141 Ví dụ Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh đường thẳng AB CD A 5cm B 4cm C 3cm Hướng dẫn: Áp dụng ví dụ 1, ta chọn câu D IJ đường vng góc chung AB CD IJ = 2cm Tính khoảng cách hai D 6cm AI − AJ = 6cm A J D B I C 142 ... ′ không xảy cx + d  c Hướng 2: Giúp hs nhìn bảng biến thi n (hoặc bảng dấu y’) mà trả lời Đối với hàm phân thức= hữu tỉ y B Các ví dụ: Ví dụ (C10 MH2 2020) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thi n... cho hs tự ôn) (C4 MH1 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thi n sau: Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞ ) B ( −1;0 ) C ( −1;1) D ( 0;1) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thi n sau... B C Các tập tương tự: (dành cho hs tự ôn) 11 C8 MH1 2020 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thi n sau: Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C D −4 12 C18 MH1 2020 Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu