SKKN một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác

Mỗi điểm trên đường tròn là biểu diễn điểm cuối của vô số cung lượng giác và góc lượng giác.. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M t

MỤC LỤC

CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC 4

CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA VIỆC DẠY

HỌC CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG

3 Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến 34

XI DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU 37

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

GD&ĐT Giáo dục và đào tạo

HS Học sinh

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I LỜI GIỚI THIỆU

Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Vai tròcủa toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xãhội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tựđộng hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụthiết yếu của mọi khoa học Phương pháp giáo dục là phải phát huy tính tích cực, tựgiác, chủ động của học sinh, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên Một trongnhững nội dung đổi mới dạy học là đổi mới kiểm tra đánh giá Năm 2017, lần đầutiên Bộ GD&ĐT tổ chức thi môn toán theo hình thức trắc nghiệm Về kiến thứchàn lâm thì không thay đổi nhưng cách giải quyết vấn đề hoàn toàn thay đổi Trongmột bài thi học sinh phải giải quyết một lượng nhiều câu hỏi trải rộng trên nhiềuvấn đề chỉ trong một thời gian ngắn xuất hiện nhiều dạng toán mới lạ đòi hỏi họcsinh phải nắm vững kiến thức cơ bản trọng tâm và phải có kỹ năng làm bài thi trắcnghiệm Đặc biệt với các em học sinh lớp 11 có rất nhiều dạng toán mới đòi hỏicác em đã bắt đầu cần có xu hướng tư duy nghiên cứu và sáng tạo Lượng giác làmột phần toán rất quan trọng trong chương trình toán 11 Để có kĩ năng cho họcsinh giải bài tập trắc nghiệm phần lượng giác tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là “ Một

số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”

II TÊN SÁNG KIẾN

“Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”

III TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Doãn Hoài Nam

- Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc

- Số điện thoại: 0987272900

- Email: doanhoainam.c3yenlac@gmail.com

IV CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm

V LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học lượng giác lớp 11 THPT

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ

Ngày 10 tháng 10 năm 2019

VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận:

1.1 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan là gì?

Trắc nghiệm khách quan là một phương tiện kiểm tra, đánh giá về kiến thứchoặc để thu thập thông tin

1.2 Ưu điểm và nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan

- Ưu điểm:

 Khảo sát được số lượng lớn thí sinh

 Kết quả nhanh

 Điểm số đáng tin cậy

 Ngăn ngừa học tủ học lệch vì lượng kiến thức kiểm tra lớn

- Nhược điểm:

 Do có nhiều học sinh lười học nên có khuynh hướng khoanhbừa vì vậy không thấy rõ diễn biến tư duy của học sinh

 Biên soạn đề tốn công sức

1.3 Sự khác biệt giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm

Bài toán tự luận yêu cầu thí sinh phải trình bầy lời giải một cách tuần tự vớiđầy đủ các bước để giải quyết vấn đề

Bài toán trắc nghiệm khách quan có nhiều dạng, tuy nhiên trong bài thiTHPT quốc gia sẽ chỉ xuất hiện câu hỏi dạng lựa chọn 1 trong 4 phương án Tức làcho trước 4 phương án lựa chọn, đáp số bài toán là một trong bốn phương án A, B,

C, D Trong đó một phương án đúng các phương án còn lại là các phương án nhiễu.Lưu ý có hai loại phương án nhiễu

+) Loại 1: Nhiễu xa tức là phương án này tách biệt hoàn toàn vớiphương án đúng, thí sinh dễ dàng tìm được đáp án đúng

+) Loại 2: Nhiễu gần tức là phương án này gần giống phương án đúng,

có khả năng gây rối cao cho học sinh Để loại được phương án này thí sinhcần có kiến thức cơ bản tốt và suy luận tốt

2 Thực trạng:

+) Khó khăn của học sinh khi làm bài thi bằng hình thức trắc nghiệm Khó khăn lớn nhất là áp lực thời gian bởi thí sinh phải vận dụng cảkiến thức và kĩ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian ngắn

Khó khăn thứ hai là câu hỏi trắc nghiệm đa dạng từ dễ đến khó

+) Trước kia khi dạy học lượng giác mới chỉ có dạng bài tập giải phươngtrình lượng giác Học sinh chưa biết cách làm bài tập trắc nghiệm dựa vào lí thuyết lượng giác Để làm được điều này đòi hỏi học sinh phải rất vững về lí thuyết và thông qua bài tập trắc nghiệm rèn được học sinh tính sáng tạo, tư duy sâu sắc

Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm,thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các câu hỏi trắcnghiệm về lượng giác và kĩ năng giải quyết các câu hỏi đó Phần tiếp sau sẽ trìnhbày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo củabản thân tác giả.

C O

CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP

TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC

1 Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác:

1.1 Lí thuyết về đường tròn lượng giác

+) Đường tròn định hướng là một đường tròn

trên đó đã chọn một chiều chuyển động gọi

là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm

Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay

của kim đồng hồ là chiều dương

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B

Điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B

Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung

lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung như vậy để được ký hiệu là

Nhận xét: Đường tròn lượng giác, cung lượng giác, góc lượng giác là khái niệm rất khó đối với học sinh phổ thông

Mỗi điểm trên đường tròn là biểu diễn điểm cuối của vô số cung lượng giác

và góc lượng giác.

+) Góc lượng giác

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác

Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D

tạo nên cung lượng giác nói trên

Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O

từ vị trí OC tới vị trí OD Ta nói tia OM

tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC,

tia cuối là OD Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC ,OD).

+) Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyvẽ đường tròn

định hướng tâm O bán kính R=1

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại 4

điểm A(1;0), A '(−1;0), B(0 ;1), B' (0;−1)

Ta lấy A(1;0) làm điểm gốc của đường tròn đó

Đường tròn xác định như trên được gọi là

đường tròn lượng giác (gốc A)

+) Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khácnhau một bội của 2π Ta viết: sđ ¿α +k 2π ,k ∈ Z

+) Số đo của góc lượng giác (OA ,OC) là số đo của cung lượng giác

tương ứng

Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

+) Chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trêNđường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M thuộc cung này Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức: sđ ¿α

1.2 Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác

1.2.1 Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong các câu hỏi về tính đồng

biến nghịch biến của hàm lượng giác cần nắm rõ tính chất như sau:

Hàm đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên phải trục tung,

nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trái trục tung

Hàm đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên dưới trục hoành,nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trên trục hoành

Hàm đồng biến trên các khoảng không chứa điểm ( về hình ảnhkhoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trái hoặc bên phải trục tung)

Hàm nghịch biến trên các khoảng không chứa điểm ( về hình ảnhkhoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trên hoặc bên dưới trục hoành)

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A nghịch biến trong B đồng biến trong

C đồng biến trong D nghịch biến trong Lời giải: Dựa vào nhận xét trên có ngay đáp án là A

Ví dụ 2: Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải: Dựa vào đường tròn lượng giác có đáp án là D

7π

4

Ví dụ 3: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số nghịch biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải: Dựa vào đường tròn lượng giác có đáp án là D

1.2.2 Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong câu hỏi về phương trình

lượng giác học sinh cần thành thạo kĩ năng biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn

+) Kĩ năng nhận dạng số điểm biểu diễn:

Luôn viết góc lượng giác dưới dạng Khi đó n là số điểm biểu diễn

Ví dụ 1: được biểu diễn 6 điểm trên đường tròn lượng giác Khi đó ta lấy mốc là điểm rồi chia đường tròn làm 6 phần

+) Kĩ năng xem một khoảng là bao nhiêu vòng quay:

Ví dụ 2: Khoảng có điểm xuất phát và điểm cuối là điểm A, B và quay 5,75 vòng

+) Khi đó dựa vào câu hỏi của đề bài để xử lí câu trả lời

Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình trên đoạn

Đoạn được biểu diễn bằng 5,75 vòng

Vậy số nghiệm của phương trình là 12

Đáp án : A

A B C D

Lời giải:

Vẽ đường tròn lượng giác

Suy ra nghiệm trên đoạn là

Lời giải: Vẽ đường tròn lượng giác ta thấy

đường thẳng cắt đường tròn tại

2 điểm suy ra phương trình có 2 nghiệm

là và

Vậy tổng nghiệm là

Đáp án : A

Ví dụ 8: Phương trình có hai công thức nghiệm dạng ,

với , thuộc khoảng Khi đó, bằng

Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa

Khi đó, phương trình (1) (2)

Dấu X biểu thị điểm cuối của góc bị loại (*),

dấu .biểu thị điểm của góc tìm được (2) Nhìn trên đường tròn ta được nghiệm là

Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn của phương trình (1) là:

Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình: (1)

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác

điểm cuối của góc bị loại là dấu X

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm cuối của góc (2) là .

So sánh với điều kiện bằng đường tròn lượng giác ta được đáp án C

Ví dụ 3: Cho phương trình Tính diện tích đa giác có cácđỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượnggiác

A B C D

Lời giải:

Điều kiện:

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc bị loại là 2 điểm

Phương trình tương đương:

(*)Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc nghiệm (*)là 6 điểm.

Trong đó có 2 điểm trùng với góc bị loại

Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là

Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật Đó là hình chữ nhật

như hình vẽ, trong đó

Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là

A Điểm , điểm B Điểm , điểm

C Điểm , điểm D Điểm , điểm

Câu 3 Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn là:

Câu 4 Phương trình có bao nhiêu nghiệm ?

A 2 nghiệm B 1 nghiệm C 4 nghiệm D Vô sốnghiệm

Câu 5 Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn

Câu 11 Biết các nghiệm của phương trình có dạng và

, ; với là các số nguyên dương Khi đó bằng

Câu 12 Phương trình có số nghiệm thuộc đoạn là

và là phân số tối giản Khi đó bằng

Câu 14 Nghiệm lớn nhất của phương trình trong đoạn là:

Câu 15 Cho hai phương trình (1); (2) Tập các nghiệm của

phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là

Câu 16 Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là

nghiệm của phương trình

Câu 24 Phương trình có bao nhiêu nghiệm trong khoảng

Câu 37 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên đường

tròn lượng giác ta được số điểm cuối là

các nghiệm thuộc đoạn của phương trình trên Tính tổng các phần

tử của

Câu 44 Số nghiệm của phương trình trong khoảng

là:

Câu 45 Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là :

Câu 53 Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là:

2 Kĩ năng dùng công thức lượng giác:

2.1 Công thức lượng giác:

Công thức nhân đôi, nhân ba:

Công thức tổng thành tích:

Công thức tích thành tổng:

2.2 Kĩ năng dùng công thức lượng giác:

Dùng công thức lượng giác để biến đổi điều kiện phù hợp với bài toán

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình là:

Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình Giải phương trình được

với Đáp án : B

Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình là:

Vậy nghiệm của phương trình là

Đáp án: B

Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình là:

Đáp án: A

Nhận xét: Khi biến đổi lượng giác cần phải biết biến đổi theo nhiều hướng phù hợp

với đáp án bài toán nếu không rất khó nhận biết đáp án nào đúng Từ đây giáo viêncũng có thể ra đề trắc nghiệm gây nhiễu cho học sinh

Ví dụ 8: Nghiệm của phương trình là:

Kết hợp điều kiện suy ra phương trình tương đương

Đáp án: C

Nhận xét: Trong ví dụ này có rất nhiều cách biến đổi Tuy nhiên việc biến đổi như

trên giúp loại nghiệm rất đơn giản Ngoài ra nếu hs thành thạo đường tròn lượnggiác thì cũng khá nhanh

Ví dụ 9: Nghiệm của phương trình là:

Nhận xét: Nếu bài toán này học sinh làm theo cách biến đổi sau thì khó có thể nhận

ra đáp án vì vậy khi làm bà tập trắc nghiệm kĩ năng biến đổi lượng giác theo nhiềuhướng khác nhau là rất quan trọng

Phương trình tương đương với phương trình

Đây là phương trình đẳng cấp chia 2 vế cho ta được phương trình

Câu 3 Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là:

Câu 4 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

trên ta được kết quả là:

Câu 5 Tính tổng các nghiệm thuộc của phương trình

Câu 6 Cho phương trình Tính diện tích đa giác có các

đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường trònlượng giác

diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác?

Câu 12 Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

là

Bảng biến thiên của hàm số lượng giác:

 Bảng biến thiên của hàm số y=sin x

3.2 Kĩ năng dùng hàm số lượng giác:

Chủ yếu sáng kiến đưa ra kĩ năng dùng hàm số lượng giác đặc biệt là dùng bảng biến thiên của hàm số lượng giác trong bài tập chứa tham số

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có 3 nghiệm thuộc đoạn

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm thuộc đoạn khi

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có 3 nghiệm thuộc đoạn

Lời giải:

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn là:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm thuộc đoạn khi

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn khi

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn

Lời giải:

Ta có bảng biến thiên của hàm số là:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn khi

của để phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc

y=cos4 x 0 0 0

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khi

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng ?

Với mỗi giá trị thì phương trình có 3 nghiệm của thuộc

Với mỗi giá trị thì phương trình có 2 nghiệm của thuộc

Với thì phương trình có 1 nghiệm của thuộc

, nghiệm của phương trình này là hoành độ giao điểm của đường thẳng y=mvà đồ thị hàm số

13 4