Tài liệu gồm có 04 trang, tổng hợp tóm tắt đầy đủ những công thức Hình học 12 quan trọng nhất, thường được sử dụng trong giải toán, giúp học sinh tra cứu nhanh trong quá trình học tập chương trình Toán 12 và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.
CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Tên (m mặt) Tứ diện Hình lập phương Bát diện Thập nhị (12) mặt Nhị thập (20) mặt Loại {p;q} {3;3} {4;3} {3;4} {5;3} {3;5} Số đỉnh =mp/q 20 12 Số cạnh =mp/2 12 12 30 30 Hình vng cạnh a Số mp đối xứng 9 15 15 𝑹𝑹đ = CÁC LOẠI ĐÁY THƯỜNG GẶP Tam giác cạnh a Đường cao: Đáy hình chữ nhật 𝒂𝒂 × 𝒃𝒃 𝒂𝒂√𝟑𝟑 𝟐𝟐 Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 𝟑𝟑 Diện tích: Tam giác vng cân cạnh bên a 𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑 𝟒𝟒 Cạnh huyền: 𝒂𝒂√𝟐𝟐 Bán kính đường tròn ngoại tiếp: Diện tích: 𝟐𝟐 𝟐𝟐 Tỉ lệ cạnh: 𝟏𝟏: √𝟑𝟑: 𝟐𝟐 Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 𝒂𝒂 Đường cao ứng với cạnh huyền: 𝒂𝒂√𝟑𝟑/𝟐𝟐 Tam giác vng 𝟔𝟔𝟎𝟎𝒐𝒐 Diện tích: Tam giác cân có đỉnh 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒂𝒂√𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒐𝒐 Hình thang vng đặc biệt Nửa lục giác 𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟐𝟐 Diện tích: ab Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 𝟏𝟏 �𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝟐𝟐 Hình ghép hai tam giác Hình ghép hai tam giác cân 120 Diện tích ½ tích hai đường chéo = 𝟐𝟐 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝑩𝑩𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 = + 𝑨𝑨𝑯𝑯𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑩𝑩𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝒂𝒂√𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑 𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑 Đường cao = ½ cạnh bên Cạnh đáy = √𝟑𝟑 cạnh bên 𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂 Diện tích: Hình thoi có góc 𝟔𝟔𝟎𝟎𝒐𝒐 Tam giác vng Ghép hình vng tam giác vuông cân Ghép tam giác vuông cân Là tam giác ghép lại 𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂 Diện tích: 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝑩𝑩 = Tam giác thường Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717 𝒂𝒂√𝟑𝟑 Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717 𝑹𝑹đ = HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Diện tích: 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒑𝒑 = 𝒂𝒂+𝒃𝒃+𝒄𝒄 𝟐𝟐 : nửa chu vi , v.v 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝒎𝒎𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 = = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑩𝑩 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑪𝑪 = 𝟐𝟐𝑹𝑹đ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝑨𝑨 = 𝒓𝒓: bán kính đường tròng nội tiếp 𝑹𝑹đ : Bán kính đường tròn ngoại tiếp 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝟏𝟏 Diện tích: 𝒂𝒂 𝒉𝒉𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒃𝒃𝒃𝒃 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑨𝑨 = 𝒑𝒑 𝒓𝒓 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟒𝟒𝑹𝑹đ �𝒑𝒑(𝒑𝒑 − 𝒂𝒂)(𝒑𝒑 − 𝒃𝒃)(𝒑𝒑 − 𝒄𝒄) CÁC TRƯỜNG HỢP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP Cạnh bên vng đáy Đường cao cạnh bên Mặt bên vng với đáy Hai mặt vuông với đáy Đường cao giao tuyến hai mặt Các cạnh bên (cạnh bên tạo với đáy góc nhau) 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑 𝟒𝟒 Đường chéo vng góc với cạnh bên Hình bình hành Diện tích: 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶 Đường chéo ngắn: √𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 Đường chéo dài �𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 = Đường cao đường cao hạ từ đỉnh S tam giác mặt bên Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy GÓC CƠ BẢN VÀ KHOẢNG CÁCH CƠ BẢN Góc cạnh bên đáy Kẻ từ chân đường cao tới giao điểm cạnh bên với đáy Nối với S TỈ SỐ THỂ TÍCH Chóp tam giác Góc mặt bên đáy Kẻ từ chân đường cao tới giao tuyến mặt bên với đáy Nối với S Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt xiên Khoảng cách từ điểm thuộc đáy đến mặt thẳng đứng KHỐI LĂNG TRỤ Tách khối chóp khỏi lăng trụ Dịch chuyển đinh song song 𝑽𝑽𝑺𝑺 = 𝑽𝑽′𝑺𝑺 Khối trụ KHỐI CẦU 𝒂𝒂 = 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑨𝑨′ ; 𝒃𝒃 = 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑩𝑩′ ; 𝒄𝒄 = 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑪𝑪′ ; 𝒅𝒅 = 𝑺𝑺𝑫𝑫′ Có: 𝒂𝒂 + 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 + 𝒅𝒅 𝑽𝑽(𝑺𝑺𝑨𝑨′ 𝑩𝑩′ 𝑪𝑪′ 𝑫𝑫′ ) 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 + 𝒅𝒅 = 𝑽𝑽(𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺) 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 Dịch đỉnh không song song 𝑽𝑽𝑺𝑺 /𝑽𝑽𝑺𝑺′ = 𝑺𝑺𝑺𝑺/𝑺𝑺′𝑰𝑰 Dịch chuyển đáy: Khi thấy đáy nằm mặt phẳng mở rộng 𝑽𝑽𝟏𝟏 𝑺𝑺𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝟐𝟐 𝑺𝑺𝟐𝟐 Mặt phẳng cắt (S) theo đtr (H;r) 𝑺𝑺𝑺𝑺 Thầy Lục Trí Tun – 0972177717 Từ điểm kẻ vng góc với giao tuyến mặt với đáy Thầy Lục Trí Tun – 0972177717 Kẻ vng hai nhát: - Kẻ HI vuông với giao tuyến - Kẻ HK vng góc với SI 𝑽𝑽(𝑺𝑺 𝑨𝑨′ 𝑩𝑩′ 𝑪𝑪′ ) 𝑺𝑺𝑨𝑨′ 𝑺𝑺𝑩𝑩′ 𝑺𝑺𝑪𝑪′ = ⋅ ⋅ 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑽𝑽(𝑺𝑺 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨) - Thiết diện qua trục: Hình chữ nhật 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝒉𝒉 - Thiết diện song song trục HCN: dây cung × 𝒉𝒉 - Quan hệ: 𝒉𝒉 = 𝒍𝒍 - Diện tích xq: 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 - Diện tích tồn phần: 𝑺𝑺𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒓𝒓𝟐𝟐 - Thể tích 𝑽𝑽 = 𝑺𝑺đ 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒉𝒉 Chóp hình bình hành 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 𝝅𝝅𝑹𝑹𝟑𝟑 ; 𝑺𝑺 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑 BA CƠNG THỨC BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP Chóp lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy 𝑹𝑹đ : Là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐đ + 𝟒𝟒 Làm việc với lăng trụ cần làm việc với hình chóp THỂ TÍCH KHỐI CHĨP VÀ LĂNG TRỤ Thể tích khối chóp 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏/𝟑𝟑 𝑺𝑺đ 𝒉𝒉 Thể tích lăng trụ 𝑽𝑽 = 𝑺𝑺đ 𝒉𝒉 KHỐI NÓN VÀ KHỐI TRỤ - Thiết diện qua trục: 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 � - Góc đỉnh: 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 - Quan hệ: 𝒍𝒍𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 - Diện tích xq: 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙 = 𝝅𝝅 𝒓𝒓 𝒍𝒍 - Diện tích tồn phần: 𝑺𝑺𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅 + 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 - Thể tích 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝑺𝑺đ 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟑𝟑 𝟑𝟑 Khối nón 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐�𝑶𝑶;(𝑷𝑷)� Chóp có cạnh bên (nón) 𝑺𝑺𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐đ 𝑹𝑹 = = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 Cạnh bên bình chia hai lần đường cao Chóp lăng trụ có mặt bên vng với đáy 𝑹𝑹𝒃𝒃 : bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên 𝑮𝑮𝑮𝑮: Là giao tuyến mặt bên đáy 𝑮𝑮𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐đ + 𝑹𝑹𝟐𝟐𝒃𝒃 − 𝟒𝟒 TỌA ĐỘ VECTOR VÀ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN Ứng dụng tích có hướng hai vector �⃗ = (𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 ; 𝒛𝒛𝟐𝟐 ) �⃗ = (𝒙𝒙𝟏𝟏 ; 𝒚𝒚𝟏𝟏 ; 𝒛𝒛𝟏𝟏 ) 𝒃𝒃 Cho 𝒂𝒂 �⃗ ± �𝒃𝒃⃗ = (𝒙𝒙𝟏𝟏 ± 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒚𝒚𝟏𝟏 ± 𝒚𝒚𝟐𝟐 ; 𝒛𝒛𝟏𝟏 ± 𝒂𝒂 𝒛𝒛𝟐𝟐 ) �⃗ = (𝒌𝒌𝒙𝒙𝟏𝟏 ; 𝒌𝒌𝒚𝒚𝟏𝟏 ; 𝒌𝒌𝒛𝒛𝟏𝟏 ) 𝒌𝒌 𝒂𝒂 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 �⃗ = �𝒃𝒃⃗ ⇔ �𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝒛𝒛𝟏𝟏 = 𝒛𝒛𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝟏𝟏 = 𝒌𝒌𝒙𝒙𝟐𝟐 |𝒂𝒂 �⃗| = �𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒛𝒛𝟏𝟏 �⃗ ∥ �𝒃𝒃⃗ ⇔ �𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒌𝒌𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒂𝒂 �⃗ = 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟐𝟐 �⃗ ⋅ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 𝒛𝒛𝟏𝟏 = 𝒌𝒌𝒛𝒛𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 �⃗ �⃗⋅𝒃𝒃 𝒂𝒂 �⃗, �𝒃𝒃⃗� = ⇔ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜�𝒂𝒂 = = �⃗� |𝒂𝒂 �⃗|⋅�𝒃𝒃 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒛𝒛𝟐𝟐 Cho 𝑨𝑨(𝒙𝒙𝑨𝑨 ; 𝒚𝒚𝑨𝑨 ; 𝒛𝒛𝑨𝑨 ); 𝑩𝑩(𝒙𝒙𝑩𝑩 ; 𝒚𝒚𝑩𝑩 ; 𝒛𝒛𝑩𝑩 ); 𝑪𝑪(𝒙𝒙𝑪𝑪 ; 𝒚𝒚𝑪𝑪 ; 𝒛𝒛𝑪𝑪 ) 𝑴𝑴(𝒙𝒙𝑴𝑴 ; 𝒚𝒚𝑴𝑴 ; 𝒛𝒛𝑴𝑴 ) trung điểm 𝐀𝐀𝑩𝑩 𝑮𝑮(𝒙𝒙𝑮𝑮 ; 𝒚𝒚𝑮𝑮 ; 𝒛𝒛𝑮𝑮 ) trọng tâm tam giác 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 ������⃗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 = (𝒙𝒙𝑩𝑩 − 𝒙𝒙𝑨𝑨 ; 𝒚𝒚𝑩𝑩 − 𝒚𝒚𝑨𝑨 ; 𝒛𝒛𝑩𝑩 − 𝒛𝒛𝑨𝑨 ) 𝒙𝒙𝑨𝑨 + 𝒙𝒙𝑩𝑩 𝒚𝒚𝑨𝑨 + 𝒚𝒚𝑩𝑩 𝒛𝒛𝑨𝑨 + 𝒛𝒛𝑩𝑩 𝑴𝑴 � ; ; � 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝑨𝑨 + 𝒙𝒙𝑩𝑩 + 𝒙𝒙𝑪𝑪 𝒚𝒚𝑨𝑨 + 𝒚𝒚𝑩𝑩 + 𝒚𝒚𝑪𝑪 𝒛𝒛𝑨𝑨 + 𝒛𝒛𝑩𝑩 + 𝒛𝒛𝑪𝑪 ; ; � 𝑮𝑮 � 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟑𝟑 TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR - ỨNG DỤNG Định nghĩa �⃗� = vec tơ có: �⃗, 𝒃𝒃 �𝒂𝒂 �⃗ �⃗ 𝒃𝒃 + Hướng vng góc với 𝒂𝒂 + Độ lớn: �⃗�� = |𝒂𝒂 �⃗� 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�𝒂𝒂 �⃗� �⃗, 𝒃𝒃 �⃗|�𝒃𝒃 �⃗, 𝒃𝒃 ��𝒂𝒂 + Độ lớn độ lớn diện tích hình bình hành hai cạnh hai �⃗ �𝒃𝒃⃗ vector 𝒂𝒂 Công thức tọa độ 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 �⃗ , �𝒃𝒃⃗� = ��𝒚𝒚 𝒛𝒛 � ; �𝒛𝒛 𝒙𝒙 � ; �𝒙𝒙 �𝒂𝒂 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟔𝟔 Khoảng cách từ 𝑴𝑴 đến đường phẳng (AB): ������⃗, �������⃗ ��𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨�� 𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝑨𝑨𝑨𝑨)� = ������⃗� �𝑨𝑨𝑨𝑨 Khoảng cách từ 𝑴𝑴 đến mặt phẳng (𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨): ������⃗, �����⃗ �������⃗� ��𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨� 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨)� = �����⃗�� ������⃗, 𝑨𝑨𝑨𝑨 ��𝑨𝑨𝑨𝑨 Khoảng cách hai đường chéo 𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑪𝑪𝑪𝑪: �����⃗� ������⃗, 𝑪𝑪𝑪𝑪� 𝑨𝑨𝑨𝑨 ��𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒅𝒅(𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑪𝑪𝑪𝑪) = ������⃗, ������⃗ ��𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑪𝑪𝑪𝑪�� PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG Vector pháp tuyến �𝒏𝒏⃗ �⃗, �𝒃𝒃⃗� Chọn �𝒏𝒏⃗ ∥ �𝒂𝒂 �⃗) (ký hiệu (𝑷𝑷)~(𝑨𝑨, 𝒏𝒏 �⃗)) Mặt phẳng (P) xác định cặp (𝑨𝑨, 𝒏𝒏 nghĩa 𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝑨𝑨(𝒙𝒙𝟎𝟎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 ; 𝒛𝒛𝟎𝟎 ) � �𝒏𝒏⃗ = (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄) Phương trình: 𝒂𝒂(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 ) + 𝒃𝒃(𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 ) + 𝒄𝒄(𝒛𝒛 − 𝒛𝒛𝟎𝟎 ) = 𝟎𝟎 Ngược lại, mặt phẳng có dạng 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 Thì có vector pháp tuyến �𝒏𝒏⃗ = (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄) thay 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 hai số giải 𝒛𝒛 ta điểm 𝑨𝑨 ∈ (𝑷𝑷) Phương trình mặt chắn: 𝑨𝑨(𝒂𝒂; 𝟎𝟎; 𝟎𝟎), 𝑩𝑩(𝟎𝟎; 𝒃𝒃; 𝟎𝟎), 𝑪𝑪(𝟎𝟎; 𝟎𝟎; 𝒄𝒄) 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 (𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨): + + = 𝟏𝟏 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 Với 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎 �⃗ Vector phương 𝒖𝒖 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟐𝟐 �� Chọn vector pháp tuyến �⃗ ∥ 𝒂𝒂 �⃗: - Nếu biết 𝒏𝒏 Chọn �𝒏𝒏⃗ = �𝒂𝒂⃗ �⃗: �⃗ ⊥ 𝒂𝒂 �⃗ 𝒏𝒏 �⃗ ⊥ 𝒃𝒃 - Nếu biết 𝒏𝒏 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Thầy Lục Trí Tun – 0972177717 CƠNG THỨC TỌA ĐỘ PHÉP TOÁN 𝟐𝟐 𝟏𝟏 �����⃗� 𝑨𝑨𝑨𝑨 ������⃗, 𝑨𝑨𝑨𝑨 ������⃗� Thể tích tứ diện 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨: 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = ��𝑨𝑨𝑨𝑨 Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717 Cho 𝑨𝑨(𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄) Tọa độ hình chiếu vng góc 𝑨𝑨 lên: 𝑶𝑶𝑶𝑶: (𝒂𝒂; 𝟎𝟎; 𝟎𝟎) 𝑶𝑶𝑶𝑶: (𝟎𝟎; 𝒃𝒃; 𝟎𝟎) 𝑶𝑶𝑶𝑶: (𝟎𝟎; 𝟎𝟎; 𝒄𝒄) (𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶): (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝟎𝟎) (𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶): (𝒂𝒂; 𝟎𝟎; 𝒄𝒄) (𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶): (𝟎𝟎; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄) �⃗) (ký hiệu Đường thẳng (d) xác định cặp (𝑨𝑨, 𝒖𝒖 �⃗)) nghĩa là: (𝒅𝒅)~(𝑨𝑨, 𝒖𝒖 𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝑨𝑨(𝒙𝒙𝟎𝟎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 ; 𝒛𝒛𝟎𝟎 ) � �𝒖𝒖⃗ = (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄) Phương trình tham số: 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝒂𝒂𝒂𝒂 �𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝟎𝟎 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 (𝒕𝒕 ∈ ℝ ) 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛𝟎𝟎 + 𝒄𝒄𝒄𝒄 Phương trình tắc 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎: 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 𝒛𝒛 − 𝒛𝒛𝟎𝟎 = = 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 �⃗� 𝒄𝒄 �⃗ , �𝒃𝒃⃗, �⃗ �⃗, 𝒃𝒃 �⃗ = 𝟎𝟎 Điều kiện 𝒂𝒂 𝒄𝒄 đồng phẳng: �𝒂𝒂 𝟏𝟏 ������⃗ Diện tích tam giác 𝐀𝐀𝑩𝑩𝑩𝑩: 𝑺𝑺𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = ��𝑨𝑨𝑨𝑨, �����⃗ 𝑨𝑨𝑨𝑨�� �⃗ độ - vector đơn vị: 𝒊𝒊⃗, 𝒋𝒋⃗, 𝒌𝒌 dài đơi vng góc - Trục Oz: trục cao - Tọa độ vector: �⃗ = (𝒙𝒙; 𝒚𝒚; 𝒛𝒛) ⇔ 𝒂𝒂 �𝒂𝒂⃗ = 𝒙𝒙 𝒊𝒊⃗ + 𝒚𝒚 𝒋𝒋⃗ + 𝒛𝒛 �𝒌𝒌⃗ - Tọa độ điểm 𝑨𝑨 ������⃗ tọa độ 𝑶𝑶𝑶𝑶 �⃗) Cho đường 𝒅𝒅𝟏𝟏 ~(𝑨𝑨𝟏𝟏 , ����⃗), 𝒖𝒖𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 ~(𝑨𝑨𝟐𝟐 , ����⃗), 𝒖𝒖𝟐𝟐 𝒅𝒅~(𝑨𝑨, 𝒖𝒖 Cho mặt phẳng (𝑷𝑷)~(𝑩𝑩, 𝒏𝒏 �⃗), (𝑷𝑷𝟏𝟏 )~(𝑩𝑩𝟏𝟏 , 𝒏𝒏 ����⃗), ����⃗) 𝟏𝟏 (𝑷𝑷𝟐𝟐 )~(𝑩𝑩𝟐𝟐 , 𝒏𝒏 𝟐𝟐 Vị trí 𝒅𝒅𝟏𝟏 ≡ 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟏𝟏 ∥ 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟏𝟏 ⊥ 𝒅𝒅𝟐𝟐 (𝑷𝑷𝟏𝟏 ) ≡ (𝑷𝑷𝟐𝟐 ) (𝑷𝑷𝟏𝟏 ) ∥ (𝑷𝑷𝟐𝟐 ) (𝑷𝑷𝟏𝟏 ) ⊥ (𝑷𝑷𝟐𝟐 ) 𝒅𝒅 ∥ (𝑷𝑷) 𝒅𝒅 ⊂ (𝑷𝑷) 𝒅𝒅 ⊥ (𝑷𝑷) Đường mặt cắt 𝒅𝒅 thỏa mãn (*) Chọn vector pháp tuyến �⃗ ∥ �𝒂𝒂⃗: - Nếu biết 𝒖𝒖 Chọn �𝒖𝒖⃗ = �𝒂𝒂⃗ �⃗ ⊥ �𝒂𝒂⃗ 𝒖𝒖 �⃗ ⊥ �𝒃𝒃⃗: - Nếu biết 𝒖𝒖 �⃗, �𝒃𝒃⃗� Chọn �𝒖𝒖⃗ ∥ �𝒂𝒂 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Khoảng cách 𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝑷𝑷)� |𝒂𝒂 𝒙𝒙𝑴𝑴 + 𝒃𝒃𝒚𝒚𝑴𝑴 + 𝒄𝒄𝒛𝒛𝑴𝑴 + 𝒅𝒅| = √𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 �⃗, �������⃗ 𝑨𝑨𝑨𝑨�� ��𝒖𝒖 𝒅𝒅(𝑴𝑴, 𝒅𝒅) = �⃗| |𝒖𝒖 ����������⃗ ����⃗, ����⃗] �[𝒖𝒖 𝟏𝟏 𝒖𝒖 𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 � 𝒅𝒅(𝒅𝒅𝟏𝟏 , 𝒅𝒅𝟐𝟐 ) = |[𝒖𝒖 ����⃗, 𝒖𝒖𝟐𝟐 𝟏𝟏 ����⃗]| Điều kiện ����⃗ 𝒖𝒖 ∥ ����⃗ 𝒖𝒖𝟐𝟐 ⇔ � 𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∈ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ����⃗ ∥ ����⃗ 𝒖𝒖 𝒖𝒖𝟐𝟐 ⇔ � 𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∉ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ⇔ ����⃗ 𝒖𝒖𝟏𝟏 ⊥ ����⃗ 𝒖𝒖𝟐𝟐 ����⃗ 𝒏𝒏 ∥ ����⃗ 𝒏𝒏𝟐𝟐 ⇔ � 𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 ∈ (𝑷𝑷𝟐𝟐 ) ����⃗ 𝒏𝒏 ∥ ����⃗ 𝒏𝒏𝟐𝟐 ⇔ � 𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 ∉ (𝑷𝑷𝟐𝟐 ) ����⃗𝟐𝟐 ⇔ �𝒏𝒏⃗ ⊥ 𝒏𝒏 �𝒖𝒖⃗ ⊥ 𝒏𝒏 �⃗ ⇔� 𝑨𝑨 ∉ (𝑷𝑷) �⃗ ⊥ 𝒏𝒏 �⃗ 𝒖𝒖 ⇔� 𝑨𝑨 ∈ (𝑷𝑷) ⇔ �𝒖𝒖⃗ ∥ �𝒏𝒏⃗ - Tham số điểm cắt 𝑴𝑴(𝒕𝒕) - Từ (*) giải PT ẩn 𝒕𝒕 Góc 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒅𝒅𝟏𝟏 , 𝒅𝒅𝟐𝟐 ) = |𝒖𝒖 ����⃗ ����⃗| 𝟏𝟏 𝒖𝒖 𝟐𝟐 |𝒖𝒖 |𝒖𝒖 ����⃗| 𝟏𝟏 ����⃗| 𝟐𝟐 |𝒏𝒏 ����⃗ 𝒏𝒏𝟐𝟐 𝟏𝟏 ����⃗| |𝒏𝒏 ����⃗| ����⃗| 𝟏𝟏 |𝒏𝒏 𝟐𝟐 |𝒖𝒖 �⃗ 𝒏𝒏| 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�𝒅𝒅, (𝑷𝑷)� = |𝒖𝒖 �⃗| |𝒏𝒏| 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜�(𝑷𝑷𝟏𝟏 ), (𝑷𝑷𝟐𝟐 )� = MẶT CẦU Mặt cầu (S) tâm 𝑰𝑰(𝒙𝒙𝟎𝟎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 ; 𝒛𝒛𝟎𝟎 ), bán kính 𝑹𝑹: (𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 )𝟐𝟐 + (𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 )𝟐𝟐 + (𝒛𝒛 − 𝒛𝒛𝟎𝟎 )𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐 Ngược lại, mặt cầu (S) có phương trình: 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒛𝒛𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 Với điều kiện 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 có: tâm 𝑰𝑰(−𝒂𝒂; −𝒃𝒃; −𝒄𝒄) bán kính 𝑹𝑹 = √𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒅𝒅 Mặt cầu (S) tiếp xúc mp(P) Mặt cầu (S) cắt mp(P) CÁC CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH TÚ DIỆN 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑪𝑪𝑪𝑪) 𝟔𝟔 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐 𝑺𝑺𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑺𝑺𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨) 𝟑𝟑 𝑨𝑨𝑨𝑨 Cơng thức tính góc nhị diện biết góc tam diện: 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝝋𝝋 = 𝑽𝑽 = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜸𝜸 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜷𝜷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �𝟏𝟏 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝜶𝜶 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝜷𝜷 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝜸𝜸 + 𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜸𝜸 𝟔𝟔 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨′ 𝑨𝑨𝑨𝑨′ ; 𝒃𝒃 = 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑩𝑩′ 𝑩𝑩𝑩𝑩′ ; 𝒄𝒄 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪′ 𝑪𝑪𝑪𝑪′ 𝒂𝒂 = DỊCH CHUYỂN KHOẢNG CÁCH VÀ DÙNG THỂ TÍCH 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨′ 𝑨𝑨𝑨𝑨′ ; 𝒃𝒃 = 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑩𝑩′ 𝑩𝑩𝑩𝑩′ ; 𝒄𝒄 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪′ 𝑪𝑪𝑪𝑪′ ; 𝑴𝑴𝑴𝑴 ∥ (𝜶𝜶 ) ⇒ 𝒅𝒅𝑴𝑴 = 𝒅𝒅𝑵𝑵 𝑽𝑽𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′.𝑨𝑨𝟏𝟏𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 = 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨.𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′ 𝟑𝟑 𝑽𝑽𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′𝑫𝑫′.𝑨𝑨𝟏𝟏𝑩𝑩𝟏𝟏𝑪𝑪𝟏𝟏𝑫𝑫𝟏𝟏 𝒂𝒂 + 𝒄𝒄 = 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨.𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′𝑫𝑫′ 𝟐𝟐 𝒃𝒃 + 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 PHƯƠNG PHÁP TRẢI PHẲNG TÌM QNG ĐƯỜNG MIN Hình chóp 𝒏𝒏 giác có góc đỉnh mặt bên 𝝅𝝅 𝜶𝜶 < 𝒏𝒏 Gọi 𝑲𝑲 trung điểm 𝑺𝑺𝑺𝑺 Tìm quãng đường ngắn từ 𝑨𝑨 đến 𝑲𝑲 mà phải qua mặt bên hình chóp Giải Trải phẳng mặt bên hình chóp Chú ý 𝑨𝑨′ 𝑨𝑨 Quãng đường ngắn 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝚫𝚫𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 Tính 𝑨𝑨𝑨𝑨 sử dụng định lý hàm số cos tam giác 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 với � = 𝒏𝒏𝒏𝒏, hai cạnh bên 𝒍𝒍 𝒍𝒍 , với 𝒍𝒍 cạnh bên hình 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝟐𝟐 chóp Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717 MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 𝒂𝒂 = Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717 - ĐK: 𝒅𝒅�𝑰𝑰, (𝑷𝑷)� < 𝑹𝑹 - ĐK: 𝒅𝒅�𝑰𝑰, (𝑷𝑷)� = 𝑹𝑹 - Thiết diện đường tròn tâm 𝑯𝑯 hình chiếu 𝑰𝑰 lên - Tiếp điểm hình chiếu 𝑰𝑰 lên (P) (P) bán kính 𝒓𝒓 = √𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒅𝒅𝟐𝟐 Chú ý: - Tương tự vị trí mặt cầu đường thẳng Chỉ khác trường hợp đường cắt mặt cầu dây cung - Vị trí tương đối hai mặt cầu tương tự vị trí tương đối hai đường tròn THCS Chỉ khác cắt thiết diện đường tròn TỈ SỐ THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Đặt Đặt 𝑴𝑴𝑴𝑴 ∩ (𝜶𝜶 ) = 𝑰𝑰 ⇒ 𝒅𝒅�𝑨𝑨, (𝑷𝑷)� = 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒅𝒅𝑵𝑵 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟑𝟑𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑺𝑺𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 TÍNH GĨC NÂNG CAO Dùng khoảng cách từ điểm M 𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝜶𝜶)� 𝑴𝑴𝑴𝑴 Diện tích hình chiếu 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�𝒂𝒂, (𝜶𝜶)� = 𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝜶𝜶)� 𝒅𝒅(𝑴𝑴, 𝚫𝚫) Dich chuyển song song 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�(𝜶𝜶), (𝜷𝜷)� = Khi dịch chuyển đường hay mặt song song góc khơng đổi NGUN TẮC TỌA ĐỘ HĨA HÌNH KHƠNG GIAN Chọn 𝑶𝑶𝑶𝑶 𝑶𝑶𝑶𝑶 hai đường vng góc đáy: - Sẵn có với tam giác vng, hình chữ nhật, vuông, thoi - Kẻ trung tuyến với tam giác - Như dễ xác định tọa độ điểm đáy Khơng cần kẻ 𝑶𝑶𝑶𝑶 cao độ chiều cao 𝒉𝒉 hình - Tọa độ S suy từ tọa độ H