Một số bài toán hình học khó Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 0) và B(2; 2 3 ). Lập phương trình đường phân giác trong OD của OAB∆ . Giải tóm tắt Cách 1 · · 3 30tg AOB AOD= ⇒ = o 3 30 : 3 0 3 OD k tg OD x y⇒ = = ⇒ − = o . Cách 2 Gọi (1; 0) 1 3 ; 2 2 OD OA e OA u e f OB f OB = = ⇒ = + = = ÷ ÷ uuur r r r ur uuur ur . Nhận xét + Cách 1 cho kết quả nhanh nhưng chỉ dùng được với tam giác đặc biệt. + Cách 2 dùng được với trường hợp tổng quát và kể cả hình học giải tích không gian. Bài toán 2 (trích đề thi Đại học khối A–2002). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC∆ vuông tại A, biết phương trình của cạnh (BC) : x 3 y 3 0− − = . Điểm A, B thuộc Ox và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC ∆ . Giải tóm tắt + Xét trường hợp x C > x B Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC ∆ và H là hình chiếu của I trên Ox. B (BC) Ox B(1; 0)= ∩ ⇒ pt(BC) : 3x y 3 0− − = y 3x 3 k 3⇔ = − ⇒ = · 60ABC HBI⇒ = ⇒ ∆ o nửa đều 3 2 3BH IH⇒ = = . HA = IH = 2 ⇒ OA = OB + BH + HA 3 2 3 A(3 2 3; 0)= + ⇒ + AC Ox, C (BC) C(3 2 3; 6 2 3)⊥ ∈ ⇒ + + 7 4 3 6 2 3 G ; 3 3 + + ⇒ ÷ ÷ . + Xét trường hợp x C < x B Do hai tam giác trong hai trường hợp đối xứng nhau qua B nên áp dụng công thức trung điểm ta được 1 4 3 6 2 3 G ; . 3 3 − − − − ÷ ÷ Bài toán 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1; 0). Tìm tọa độ điểm B trên trục hoành và điểm C trên đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0 sao cho ABC ∆ đều. Giải tóm tắt 1 Một số bài toán hình học khó Vẽ đường cao CH suy ra H là trung điểm AB. ( ) (2 2; )C d C c c∈ ⇒ − ⇒ H(2c – 2; 0) ⇒ B Giải pt 1 ẩn AB = AC ta có kết quả. Nhận xét Nếu giải hệ AB = AC = BC với A(1; 0), B(b; 0) và C(2c – 2; 0) sẽ gặp khó khăn. Bài toán 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 4x = 0 và đường thẳng (d): x + 3 y – 4 = 0 cắt nhau tại A và B. Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn (C) sao cho ABM∆ vuông. Gợi ý + Giải hệ tìm tọa độ A và B. + Đường thẳng không qua tâm I của (C) nên ABM∆ chỉ có thể vuông tại A (hoặc B). Suy ra M đối xứng A (hoặc B) qua I. Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 1) 2 + y 2 = 4 và đường thẳng (d):x – 2y + 5 – 1 = 0 cắt nhau tại A, B. Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B và K(0; 2). Giải tóm tắt + Gọi (C’): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 là đường tròn cần lập, ( ') 4 4K C c b∈ ⇒ = − . + Pt trục đẳng phương của (C) và (C’) là (d’): (2a – 2)x + 2by – 4b + 1 = 0. + Cho (d’) trùng (d) ta được kết quả. Bài toán 6. Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có cạnh 1 đơn vị. Điểm M, N lần lượt di động trên cạnh AD, CD sao cho AM = m, CN = n và · 0 45MBN = . a. Chứng tỏ m + n = 1 – mn. b. Chứng tỏ đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm B. Giải tóm tắt Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1) ⇒ M(0; m), N(1 – n; 1). a. · · ( ) 45tg ABM CBN tg+ = o · · · · 1 1 . tg ABM tgCBN tg ABM tgCBN + ⇒ = ⇒ − đpcm. b. Lập pt MN ⇒ d(B, MN) = 1. Bài toán 7. Cho đường tròn 2 2 (C) : x y 2x 4y 0+ + − = , (d) : x y 1 0− + = . Tìm tọa độ điểm M trên (d) sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến MA, MB với (C) và · 0 AMB 60= (A, B là tiếp điểm). Giải tóm tắt Tâm I(–1; 2), R = 5 . Điểm M thuộc (d) nên M(m; m + 1). · 0 AMB 60= · 0 AMI 30 IM = 2R = 2 5⇒ = ⇒ 2 2 (m 1) (m 1) 2 5 m 3.⇔ + + − = ⇔ = ± Vậy M(3; 4) hoặc M( 3; 2).− − Bài toán 8. Lập phương trình tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn 2 2 1 (C ) : x y 2x 2y 2 0+ − + − = và 2 2 2 (C ) : x y 6x 2y 9 0.+ − − + = 2 Một số bài toán hình học khó Gợi ý 1 1 2 1 1 2 2 2 . . I P R R I P R I P I P R = ⇒ = uuur uuur ⇒ tọa độ P. Lập tiếp tuyến qua P với 1 trong 2 đường tròn trên. * Đối với bài toán tiếp tuyến chung trong ta giải tương tự chỉ cần để ý vector ngược chiều. Bài toán 9. Cho đường tròn 2 2 (C) : x y 4x 6y 12 0+ − + − = và điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C) tại A, B trong mỗi trường hợp sau: a. Đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất. b. Đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất. c. MA = 2MB. Giải tóm tắt Ta có tâm I(2;–3) và bán kính R = 5. Dễ thấy điểm M ở trong đường tròn (C). a. Đoạn AB có độ dài lớn nhất khi AB là đường kính, suy ra (d) đi qua I. b. Đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi AB vuông góc với IM. c. Ta có phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là: MA.MB 8 MA.MB 8 MB 2 AB 6= − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ = . Gọi (d): Ax + By + C = 0 ( 2 2 A B 0+ ≠ ), M thuộc (d) suy ra (d): Ax + By – A – B = 0. Gọi H là trung điểm của AB ta có: 2 2 2 2 A 4B IH R AH 4 A B − = − ⇔ = + 2 15A 8AB A 0 15A 8B.⇔ = − ⇔ = ∨ = − + Với A = 0: chọn B = 1 ta có (d): y – 1 = 0. + Với 15A = – 8B: chọn A = 8 suy ra B = – 15 ta có (d): 8x – 15y + 7 = 0. Vậy (d): y – 1 = 0 hoặc (d): 8x – 15y + 7 = 0. Bài toán 10. Tìm m để hệ phương trình 2 2 ( 1) 2 4 mx m y x y + + = + = có nghiệm thực. Giải tóm tắt Xét đường thẳng (d): mx + (m + 1)y – 2 = 0 và đường tròn 2 2 ( ) : 4C x y+ = tâm O(0; 0), R = 2. Suy ra hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (d) và (C) có điểm chung 2 2 2 ( ; ( )) 2 ( 1) d O d R m m ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + 2 2 2 0 1 0.m m m m⇔ + ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥ Bài toán 11. Cho hệ phương trình 2 2 (2 1) 2 5 8 0 6 8 0 m x my m x y x y − + + + = + + − = . Tìm m để hệ PT có hai cặp nghiệm thực (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) phân biệt sao cho 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )M x x y y= − + − đạt giá trị lớn nhất. Giải tóm tắt Xét đường tròn 2 2 ( ) : 6 8 0C x y x y+ + − = có tâm I(–3; 4), bán kính R = 5 và đường thẳng ( ) : (2 1) 2 5 8 0d m x my m− + + + = . Gọi A, B là hai giao điểm của (C) và (d) ta có A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) 3 Một số bài toán hình học khó 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) .M x x y y AB⇒ = − + − = Để M đạt giá trị lớn nhất thì (d) phải cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho AB có độ dài lớn nhất. Suy ra (d) đi qua tâm I hay: 11 (2 1)( 3) 8 5 8 0 . 7 m m m m− − + + + = ⇔ = − Bài toán 12. Cho hai đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 = 13 và (C 2 ): (x – 6) 2 + y 2 = 25 cắt nhau tại A(2 ; 3). Lập phương trình đường thẳng qua A cắt hai đường tròn hai dây cung có độ dài bằng nhau. Gợi ý M là trung điểm đoạn nối hai tâm Từ đó suy ra (d) đi qua A và vuông góc với MA. Bài toán 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip 2 2 (E) : 1 9 4 x y + = . Từ điểm M di động trên đường thẳng (d): x + y – 4 = 0 lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB với (E) (A, B là tiếp điểm). Chứng tỏ đường thẳng (AB) luôn đi qua một điểm cố định. Giải tóm tắt + M thuộc (d) nên M(m; 4 – m). + MA : 1 9 4 A A x x y y + = . Vì M ∈ MA nên 4mx A + 9(4 – m)y A – 36 = 0 (1). Tương tự : 4mx B + 9(4 – m)y B – 36 = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra pt AB : 4mx + 9(4 – m)y – 36 = 0. Đi qua I(9/4 ; 1) Bài toán 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x + y – 3 = 0 và elip 2 2 (E) : 1 4 x y+ = . Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) có khoảng cách đến (d) ngắn nhất. Gợi ý + Lập tiếp tuyến với (E) và song song (d) (có 2 tiếp tuyến). + Tìm tọa độ tiếp điểm (có 2 tiếp điểm). + Tính khoảng cách từ 2 tiếp điểm đến (d), suy ra M. Bài toán 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip 2 2 ( ) : 1 4 x E y+ = và đường thẳng ( ) : 2y∆ = . Lập phương trình tiếp tuyến với (E), biết tiếp tuyến tạo với (d) một góc 60 0 . Giải tóm tắt + (d) tạo với (∆) một góc 60 0 nên (d) tạo với trục hoành một góc 60 0 , suy ra ( 60 ) 3 tt k tg= ± = ± o , (d) : 3 0x y c± + = . + Từ điều kiện tiếp xúc suy ra c. Bài toán 16. Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elip 2 2 1 ( ) : 1 36 4 x y E + = , 2 2 2 ( ) : 1 16 9 x y E + = . Giải tóm tắt 4 Một số bài toán hình học khó Gọi M là giao điểm của hai elip, ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 144 9 36 180 180 13 ( ) : 36 13 13 9 16 144 13 M M M M M M M M x x y x y M C x y x y y = + = ⇒ ⇒ + = ⇒ ∈ + = + = = . GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. Ta thường gặp các dạng sau 1. Hình chóp tam giác a. Dạng tam diện vuông Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 Þ z M = 3. Tương tự Þ M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z 1 a b c + + = 1 2 3 M (ABC) 1 a b c Î Þ + + = (1). O.ABC 1 V abc 6 = (2). 3 1 2 3 1 2 3 (1) 1 3 . . a b c a b c Þ = + + ³ 1 abc 27 6 Þ ³ . (2) min 1 2 3 1 V 27 a b c 3 Þ = Û = = = . b. Dạng khác Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABCD vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hướng dẫn giải 5 Mt s bi toỏn hỡnh hc khú Chn h trc ta nh hỡnh v, ta cú: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) v H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuụng gúc vi SB ti I ct ng thng SC ti K, d thy [H, SB, C] = ( ) IH, IK uur uur (1). SB ( 1; 3; 4)= - - uur , SC (0; 3; 4)= - uur suy ra: ptts SB: x 1 t y 3 3t z 4t ỡ ù = - ù ù ù ù = - ớ ù ù ù = ù ù ợ , SC: x 0 y 3 3t z 4t ỡ ù = ù ù ù ù = - ớ ù ù ù = ù ù ợ v (P): x + 3y 4z 1 = 0. ( ) ( ) 5 15 3 51 32 I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 ị IH.IK cos[H, SB, C] IH.IK ị = uur uur = Chỳ ý: Nu C v H i xng qua AB thỡ C thuc (P), khi ú ta khụng cn phi tỡm K. Vớ d 3 (trớch thi i hc khi A 2002). Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a. Gi M, N l trung im SB, SC. Tớnh theo a din tớch D AMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC). Hng dn gii Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy ra O l trng tõm ABCD . Gi I l trung im ca BC, ta cú: 3 a 3 AI BC 2 2 = = a 3 a 3 OA , OI 3 6 ị = = Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA. t SO = h, chn h trc ta nh hỡnh v ta c: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3 A ; 0; 0 3 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ a 3 I ; 0; 0 6 ổ ử ữ ỗ ị - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , a 3 a B ; ; 0 6 2 ổ ử ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , a 3 a C ; ; 0 6 2 ổ ử ữ ỗ - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , a 3 a h M ; ; 12 4 2 ổ ử ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ v a 3 a h N ; ; 12 4 2 ổ ử ữ ỗ - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . 2 (AMN) ah 5a 3 n AM, AN ; 0; 4 24 ổ ử ộ ự ữ ỗ ị = = ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ở ỷ ố ứ uuur uuur r , 2 (SBC) a 3 n SB, SC ah; 0; 6 ổ ử ữ ộ ự ỗ = = - ữ ỗ ờ ỳ ữở ỷ ỗ ố ứ uur uur r 2 2 2 (AMN) (SBC) AMN 5a 1 a 10 (AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN 12 2 16 D ộ ự ^ ị = ị = ị = = ờ ỳ ở ỷ uuur uuur r r . 2. Hỡnh chúp t giỏc 6 Một số bài toán hình học khó a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SADD đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0), ( ) ( ) a a A ; 0; 0 , B ; b; 0 2 2 ( ) ( ) a a a 3 , C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; . 2 2 2 æ ö ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø 3. Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. Chú ý + Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy. + Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bài 2. Cho ABCD vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF. 1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE. Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi , , a b g lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC). 1. Chứng minh H là trực tâm của ABCD . 2. Chứng minh 2 2 2 2 1 1 1 1 . OH OA OB OC = + + 3. Chứng minh 2 2 2 cos cos cos 1.a + b+ g = 4. Chứng minh cos cos cos 3.a + b+ g £ Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. 1. Tính góc j giữa (OMN) và (OAB). 2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ANPD . 3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 2 2 2 1 1 1 . a b c = + 7 Một số bài toán hình học khó Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABCD vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2, · 0 (ABC),(SBC) 60= . 1. Tính độ dài SA. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C]. Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. 1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp. 2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Tính diện tích MABD theo a. 2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. 3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]. Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ABCD vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuông góc với CS. 2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABCD vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA a 3= . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( )a đi qua AB và vuông góc với SC. 1. Tìm điều kiện của h theo a để ( )a cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích ABKD . 3. Tính h theo a để ( )a chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tính diện tích D SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3= . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 3 2= cm. Mp ( )a đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 8 Một số bài toán hình học khó 2. Chứng minh BD song song với ( )a . 3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SACD . 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 4. Tìm điều kiện của a và b để · 3 cosCMN 3 = . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SADD đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD. 1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2. Mặt phẳng ( )a qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( )a cắt các cạnh SB, SD. 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và SO 2a 3= , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng ( )a qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B ', C', D' . 1. Chứng minh B'C 'D'D đều. 2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)£ £ . 1. Tìm vị trí điểm M để diện tích SBMD lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Cho a m 3 = , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM. Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]. Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). 2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). 3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2).< < a. Chứng minh MN song song (A’D’BC). b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB. Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa AM mAD, BN mBB' (0 m 1).= = £ £ uuur uuur uuur uuur Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp A 'BDD . 4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 9 Một số bài toán hình học khó 2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, · 0 BAD 60.= Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng ( )a qua B và vuông góc với B’C. 1. Tìm điều kiện của a, b, c để ( )a cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’). 2. Cho ( )a cắt CC’ tại I. a. Xác định và tính diện tích của thiết diện. b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy. 10 . Hỡnh chúp t giỏc 6 Một số bài toán hình học khó a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa. đáy. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy. + Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật. II. CÁC