Các bài toán số học (QVN)

PhÇn 3 C¸c bµi to¸n sè häc: I. Sè nguyªn tè: 1. LÝ thut: §Ĩ kiĨm tra mét sè nguyªn a d¬ng cã lµ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia sè nguyªn tè tõ 2 ®Õn a . NÕu tÊt c¶ phÐp chia ®Ịu cã d th× a lµ sè nguyªn tè. VÝ dơ 1 : §Ĩ kiĨm tra sè 647 cã lµ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia 647 lÇn lỵt cho c¸c sè 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. c¸c phÐp chia ®Ịu cã d khi ®ã ta kÕt ln sè 647 lµ sè nguyªn tè. VÝ dơ 2 : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó. Gi¶i: C¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè ®ỵc lËp tõ 3 sè 1; 2; 3 lµ: 27 sè 111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133; 211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233 311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333; VÝ dơ 3: Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số, được viết ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia hết cho 2. H·y tính các số n, k, m. Gi¶i: VÝ dơ 4 Bài 4: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi 2 3 thùng thứ nhất ; 3 4 thùng thứ hai và 4 5 thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau. Tính số táo lóc đầu của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông : Thùng thứ nhất là 60 Thùng thứ hai là Thùng thứ ba là Gi¶i: Gäi sè t¸o cđa 3 thïng lÇn lỵt lµ: a; b; c (qu¶) §iỊu kiƯn ( ) 0 ; ; 240a b c< < Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh: 240 1 1 1 3 4 5 a b c a b c + + =    = =   ⇔ 240 1 1 3 4 1 1 4 5 a b c a b b c   + + =   =    =   ⇔ 240 1 1 0 0 3 4 1 1 0 0 4 5 a b c a b c a b c   + + =   − + =    + − =   Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh nµy ta ®ỵc: a = 60 ; b = 80; c = 100 VËy Thïng thø nhÊt cã 60 (qu¶); Thïng thø hai cã 80 (qu¶); Thïng thø ba cã 100 (qu¶). II. ¦CLN; BCNN: 1. LÝ thut: §Ĩ t×m ¦CLN, BCNN cđa hai sè A vµ B ta rót gän ph©n sè A a B b = Tõ ®ã : ¦CLN (A; B) = A : a BCNN(A; B) = A .b = A × B UCLN(A,B) 2. VÝ dơ: Cho hai số A = 1234566 và B = 9876546 a) Tìm ƯCLN(A, B) và BCNN(A,B) ? b) Gọi D = BCNN(A,B) Tính giá trò đúng của D 3 ? Tính và ghi kết quả vào ô vuông. ¦CLN(A, B) = BCNN(A,B) = D 3 = a) VÝ dơ 1: T×m ¦CLN; BCNN cđa A = 209865 vµ B = 283935 Gi¶i: Ta cã: 209865 17 283935 23 A a B b = = = ⇒ ¦CLN (A; B) = A : a = 209865: 17 = 12345 BCNN (A; B) = A .b = 209865.23 = 4826895.  §¸p sè: (A; B)= 12345 ; [ ] ; 4826895A B = Ta cã Gọi D = BCNN(A,B)= 4826895 ⇒ 3 3 D = 4826895 §Ỉt a = 4826 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 D = a. 10 + 895 a. 10 3 a. 10 .895 3. a. 10 . 895 895= + + + b) VÝ dơ 2: T×m UCLN cđa 40096920, 9474372 vµ 51135438 Gi¶i: (Nªu ®ỵc c¬ së lý thut vµ c¸ch gi¶i 2 ®iĨm; KÕt qu¶ 3 ®iĨm) Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình này để tìm Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) Ta có : b a B A = ( b a tối giản) ƯSCLN(A;B) = A ÷ a Ấn 9474372 : 40096920 = Ta được: 6987 : 29570 ƯSCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c ) Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 ) Ấn 1356 : 51135438 = ⇒ Ta được: 2 : 75421 Kết luận : ƯSCLN của 9474372 ; 40096920 và 51135438 là : 1356 ÷ 2 = 678 ĐS : 678 c) VÝ dơ 3: Cho ba số A = 1193984 ; B = 157993 ; C = 38743 a) Tìm UCLN của A , B , C b) Tìm BCNN của A , B , C với kết quả đúng. Gi¶i: a) Đáp số: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53 b) ( , )E BCNN A B= = ⇒ A × B = 323569644; BCNN(A,B,C) = BCNN(E,C) = 326529424384 UCLN(A,B) Bµi tËp ¸p dơng: 1. Bµi 1: Tìm ƯCLN và BCNN của hai số A = 1234566 và B = 9876546 (ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502) 2. Bµi 2: T×m ¦CLN vµ BCNN cđa c¸c cỈp sè sau: a) 12356 vµ 546738 b) 20062007 vµ 121007 c) 2007 vµ 2008 vµ 20072008. 3. Bµi 3: Tìm UCLN, BCNN của A = 45563, B = 21791, C = 182252 . Gi¶i A : B = 23 : 11 ⇒ UCLN(A,B) = A : 23 = D UCLN( C,D) = 1981 ⇒ BCNN(A,B) = 45563x11 = E BCNN(C,E) = 46109756 UCLN(A,B,C) = 1981 BCNN(A,B,C) = 46109756 4. Bµi 4: T×m ¦CLN vµ BCNN cđa c¸c cỈp sè sau: a)12356 vµ 546738 b)20062007 vµ 121007 c)2007 vµ 2008 vµ 20072008. 5. Bµi 5: Cho hai số A = 2419580247 và B = 3802197531 a) Tìm ƯCLN(A, B) ? b) Tìm BCNN(A,B) ? Tính và ghi kết quả vào ô vuông . ƯCLN(A, B) = . . . . . . . . . . BCNN(A,B) = . . . . . . . . . 6. Bµi 6: Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 vµ 51135438. DS: 678 Gi¶i Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình này để tìm Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) Ta tinh : A a B b = ( a b tối giản) ⇒ ƯSCLN : A ÷ a Ấn 9474372 ÷ 40096920 = Ta được: 6987 ÷ 29570 ⇒ ƯSCLN (9474372; 40096920) = 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c ) Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 ) n: 1356 ÷ 51135438 = 2 ÷ 75421 Kết luận : ƯSCLN ( 9474372 ; 40096920 ; 51135438 )= 1356 ÷ 2 = 678 ĐS : 678 7. Bµi 7: a) Tỡm tng cỏc c s l ca s 7677583 b) Tìm ớc số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất của hai số 12705, 26565. USCLN: 1155 BSCNN: 292215 c) Tìm ớc số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất của hai số 82467, 2119887. USCLN: 4851 BSCNN: 36.038.079 Giải: a) Ta có Ư(7677583) = { } 83;92501 Tổng các ớc dơng của số 7677583 là: 83 + 92501 = 92584 b) Ta có: 12705 11 26565 23 = ệSCLN(12705; 26565) = 12705 ữ 11 = 1155 Vậy USCLN: 1155 Ta có 12705 x 26565 ( , ) 292215E BCNN A B= = = A ì B = UCLN(A,B) 1155 Vậy BSCNN: 292215 c) Ta có: 82467 17 2119887 437 = ệSCLN(82467, 2119887) = 82467ữ 17 = 4851 Vậy USCLN: 4851 Ta có 82467 x 2119887 ( , ) 36 038 079E BCNN A B= = = A ì B = UCLN(A,B) 4851 Vậy BSCNN: 36.038.079 3. Tìm số d của phép chia A cho B: a. Lí thuyết: Số d của phép chia A cho B là: : . A A B B (trong đó: A B là phần nguyên của thơng A cho B) b) Ví dụ 1: Tìm số d của phép chia 22031234 : 4567 Ta có: 22031234 4824,005693 4567 A B = = 4824 A B = . 22031234 4567.4824 26 A A B B = = Đáp số : 26 c) Ví dụ 2 : Tìm số d của phép chia 22031234 cho 4567 Ta cã: 22031234 4824,005693 4567 A B = = ⇒ 4824 A B   =     ⇒ . 22031234 4567.4824 26 A A B B   − = − =     §¸p sè : 26 Bµi 1: a) Tìm số dư r khi chia 39267735657 cho 4321 b) dư r 1 trong chia 186054 cho 7362 c) Tìm số dư r 2 trong chia + − + 3 2 2 11 17 28x x x cho ( ) + 7x d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r 1 , chia r 1 cho 209 có số dư là r 2 . Tìm r 1 và r 2 ? Gi¶i: a) Ta cã: 39267735657 9087650,002 4321 A B = = ⇒ 9087650 A B   =     ⇒ . 39267735657 4321.9087650 7 A A B B   − = − =     §¸p sè : r =7 Bµi 2: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047 c) Tìm số dư r của phép chia 2345678901234 cho 4567 Gi¶i: a) Qui tr×nh tÝnh sè d khi chia 20052006 cho 2005105 20052006 10, 00047678 2005105 A B = = ⇒ 10 A B   =     ⇒ Sè d cđa phÐp chia A cho B lµ: . 20052006 - 2005105 10 = 956 A A B B   − = ×     Ta lµm nh sau: Ên 20052006 ÷ 2005105 = Ta cã kÕt qu¶ 10, 00047678 LÊy 20052006 - 2005105 10× = Ta ®ỵc kÕt qu¶: 956 VËy sè d cđa phÐp chia lµ: 956 4. íc vµ béi: a) LÝ thut: b) Ví dụ: Tìm tất cả các ớc của 120 +) Sử dụng máy tính CASIO 500MS Ta ấn các phím sau: 1 Shift STO A / 120 : A = / A + 1 Shift STO A /= / = / . . . chọn các kết quả là số nguyên Kết quả: Ư(120) = Giải: Quy trình tìm các ớc của 60 trên máy tính Casio 570 Esv là 1 SHIFT STO A Ghi lên màn hình A = A + 1: 120 Aữ sau đó ấn CLR ấn dấu = liên tiếp để chọn kết quả là số nguyên Kết quả: Ư (60) = { } 1; 2; 3; 5; 6; 8 10 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120 V. Tính chính xác giá trị của biểu thức số: Lí thuyết: Ví dụ 1 : (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dơng) Bài 5(2, 0 điểm) Tìm giá trị chính xác của 1038471 3 . Giải: Đặt 1038a = ; 471b = Khi đó D = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 1038471 .10 .10 3. .10 . 3 .10 .a b a a b a b b= + = + + + 3 9 2 6 2 3 3 .10 3. .10 3 . 10a a b a b b= + + + Lập bảng giá trị ta có: ( ) 3 3 .10a 1 1 1 8 3 8 6 8 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 3 3. .10 .a b 1 5 2 2 4 2 8 3 7 2 0 0 0 0 0 0 ( ) 3 2 3 .10 .a b 6 9 0 8 1 2 8 7 4 0 0 0 3 b 1 0 4 4 8 7 1 1 1 D 1 1 1 9 9 0 9 9 9 1 2 8 9 3 6 1 1 1 1 Tớnh trờn mỏy kt hp vi giy ta cú: D = 1038471 3 =1119909991289361111 Ví dụ 2: (5 điểm) Cho a thc Q(x) = ( 3x 2 + 2x 7 ) 64 . Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị. Gi¶i: Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chÝnh là giá trị của đa thức tại x = 1. Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7) 64 = 2 64 . Để ý rằng : 2 64 = ( ) 2 32 2 = 2 4294967296 . Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = 5 2 2 10 5 2 ( X.10 +Y) = X .10 + 2XY.10 + Y Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: X 2 .10 10 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2XY.10 5 = 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0 Y 2 = 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6 A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6 VËy A = 18446744073709551616  VÝ dơ 3 : Cho x 1000 + y 1000 = 6,912; x 2000 + y 2000 = 33,76244 Tính A = x 3000 + y 3000 Gi¶i: Đặt a = x 1000 , b = y 1000 . Ta có: a + b = 6,912; a 2 + b 2 = 33,76244 Khi đó : a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) = (a + b) 3 - 3. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b a b + − + ⋅ + Đáp số : A = 184,9360067 4 ) VÝ dơ 4 : Cho: 17 16 15 P(x) =ax + bx + cx + . . . + m biÕt: P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17. Tính P(18) Bµi tËp: 1. Bµi 1: TÝnh kÕt qu¶ ®óng ( kh«ng sai sè ) cđa c¸c tÝch sau: a) 2 123456789P = ; b) 20082008.20092009Q = Gi¶i: a) Ta cã: ( ) 2 4 12345.10 6789P = + ( ) 2 4 4 2 12345.10 2.12345.10 .6789 6789P = + + = … b) ( ) ( ) 4 4 2008.10 2008 . 2009.10 2009Q = + + = 2. Bµi 2: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau a) P = 13032006 × 13032007 b) Q = 3333355555 ì 3333377777 Giải: a) Đặt 1303a = ; 2006b = , 2007c = Khi đó ta có: P = 13032006 ì 13032007 = ( ) ( ) 4 4 10 . 10a b a cì + ì + = 2 8 4 10 ( ). 10 .a b c a b c= ì + + ì + Lập bảng giá trị ta có: 2 8 10a ì 1 6 9 7 8 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 4 ( ). 10b c a+ ì 5 2 2 8 9 3 9 0 0 0 0 .b c 4 0 2 6 0 4 2 P 1 6 9 8 3 3 1 9 3 4 1 6 0 4 2 Tớnh trờn mỏy kt hp vi giy ta cú: P = 169833193416042 b) Đặt 33333a = ; 55555b = , 77777c = Khi đó ta có: Q = 3333355555 ì 3333377777 = ( ) ( ) 5 5 10 . 10a b a cì + ì + 2 10 5 10 ( ). 10 .a b c a b c= ì + + ì + Lập bảng giá trị ta có: 2 10 10a ì 1 1 1 1 0 8 8 8 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 ( ). 10b c a+ ì 4 4 4 4 3 5 5 5 5 6 0 0 0 0 0 .b c 4 3 2 0 9 0 1 2 3 5 P 1 1 1 1 1 3 3 3 3 2 9 8 7 6 5 0 1 2 3 5 Tớnh trờn mỏy kt hp vi giy ta cú: P = 169833193416042 Q = 11111333329876501235 3. Bài 3: Tớnh S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 . 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10 + + + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ chớnh xỏc n 4 ch s thp phõn. Giải: S dng mỏy tớnh Casio 570 MS, Gỏn s 1 cho cỏc bin X, B, C. Vit vo mn hỡnh ca mỏy dóy lnh: X=X+1: A = 1 ữ X : B = B + A : C = C . B ri thc hin n phớm = liờn tip cho n khi X = 10, lỳc ú ta cú kt qu gn ỳng chớnh xỏc n 4 ch s thp phõn ca S l: 1871,4353 4. Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau: 2 A = 20072008 và 77777888885555566666 ì= B A = B = a- Tính kết quả đúng của các tích sau: M = 3333355555 ì 3333366666 N = 20052005 ì 20062006 b) Tớnh C = 1 ì 1! + 2 ì 2! + 3 ì 3! + + 16 ì 16! c) Tớnh keỏt quaỷ ủuựng cuỷa tớch A = ì2222288888 2222299999 c) Tớnh keỏt quaỷ ủuựng cuỷa tớch A = 2 20082009 d) Tớnh ì + = 22 25 18 2,6 7 47 53 9 28 16 h h h B . 5. Bài 5: So sánh các cặp số sau: a) 5555 222 ì= A và 4442 333 ì= B b) 1 1 2007 2006 2008 2007 + + = A và 1 1 2008 2007 2009 2008 + + = B . c) ( ) 1.20082.2007 .2006.32007.22008.1 )2008 321( )321(211 +++++ +++++++++++ = A và B = 1 6. Bài 6: Tính tổng các phân số sau: a) 49.47.45 36 7.5.3 36 5.3.1 36 +++= A . b) . 10000 1 1 16 1 1. 9 1 1. 3 1 1 = B c) n C 333 .333 .3333333333 +++++= . . : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó. Gi¶i:. Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số, được viết ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia hết