BAI VIET 1

SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NguyÔn Hµ Tuyªn THCS Hoµng Hoa Th¸m, CÇu Gå, Yªn ThÕ, B¾c Giang Có nhiều phương pháp để giải phương trình vô tỉ một trong số đó là phương pháp “ sử dụng bất đẳng thức”. Hi vọng rằng qua bài viết này bạn đọc có thể tự rút ra kinh nghiệm cho mình. Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Giải phương trình: 2 2 2 2010 2 2011 4019x x x x− + + − + = (1) Giải: Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2010 1 2009 2009; 2 2011 1 2010 2010x x x x x x− + = − + ≥ − + = − + ≥ => 2 2 2 2010 2 2011 2009 2010 2009 2010 4019x x x x− + + − + ≥ + > + = . Vậy phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ 2: giải phương trình: 2 1 1 4 2 1 x x x x + + = + (2) Giải: Điều kiện: x>0 áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: 2 1 2 1 2 1 4 4 2 1 2 1 x x x x x x x x + + + ≥ × = + + Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 1 5 1 5 4 2 1 0 ; 4 4 4 2 1 x x x x x x x x + + − = ⇔ − − = ⇔ = = + ( loại) Vậy phương trình (2) có nghiệm: 1 5 4 x + = Ví dụ 3: giải phương trình: 2 7 1 6 13x x x x− + + = − + (3) Giải: Điều kiện: 1 7x− ≤ ≤ Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcôpki Ta có: ( ) ( ) 2 7 1 2 7 1 16 7 1 4x x x x x x− + + ≤ − + + = ⇒ − + + ≤ Mặt khác: ( ) 2 2 6 13 3 4 4x x x− + = − + ≥ Vậy 2 7 1 6 13x x x x− + + = − + <=> x=3 Vậy x=3 là nghiệm của phương trình (3). Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 222523252 =+−−+−−+ xxxx (4) Giải Điều kiện: 2 5 ≥x Nhân cả hai vế của pt với 2 rối biến đổi pt về dạng ( ) ( ) 43521524352152 22 =−−++−⇔=−−++− xxxx (5) Áp dụng BĐT baba +≥+ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0. ≥ ba Ta có: 4523152523152 =−−++−≥−−++− xxxx . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( )( ) 7 2 5 35205230523152 ≤≤⇔≤−⇔≥−−⇔≥−−+− xxxxx Vì x Z∈ nên x=3;4;5;6;7 Ví dụ 5: Giải phương trình: 4 4 4 1 1 2 8x x x x+ − + + − = + (6) Giải: ĐK: 0 1x≤ ≤ Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcôpki Ta có: ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x+ − ≤ + − = => + − ≤ (I) ( ) ( ) 2 4 4 4 4 4 1 2 1 2 2 1 2 2 8x x x x x x+ − ≤ + − ≤ => + − ≤ = (II) Từ (I) và (II)=> 4 4 4 1 1 2 8x x x x+ − + + − ≤ + Đẳng thức xảy ra <=>x=1-x <=>x=0,5 Vậy x=0,5 là nghiệm của phương trình (6) Ví dụ 5: Giải phương trình: 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ − + − + + = − + (7) Giải: ĐK: 5 1 5 1 2 2 x − + ≤ ≤ Áp dụng BĐT Côsi: 2 2 1 1x x x x+ − + − + + = 2 2 2 2 1 1 1 1 1( 1) 1( 1) 1 2 2 x x x x x x x x x + + − − + + + − + − + + ≤ + = + (*) Ta lại có: (x-1) 2 ≥ 0 => x 2 +1 ≥ 2x => x 2 +2 ≥ 2x+1 => x 2 -x+2 ≥ x+1 (**) Do đó từ (*) và (**) => 2 2 1( 1) 1( 1)x x x x+ − + − + + ≤ x 2 -x+2 Đẳng thức xảy ra khi x=1. Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x=1 Sau đây là một số bài toán áp dụng: 1) 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + 2) 4 4 2 2x x+ − = 3) 2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = 4) 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − 5) 2 2 4 4 4 3 4 x x x x = − + − + . 2 1 1 2x x x x x x+ − + − + + = − + (7) Giải: ĐK: 5 1 5 1 2 2 x − + ≤ ≤ Áp dụng BĐT Côsi: 2 2 1 1x x x x+ − + − + + = 2 2 2 2 1 1 1 1 1( 1) 1( 1) 1 2 2. họa: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 2 010 2 2 011 4 019 x x x x− + + − + = (1) Giải: Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 010 1 2009 2009; 2 2 011 1 2 010 2 010 x x x x