Đề thi HSG môn Toán lớp 12 cấp trường - THPT Đồng Đậu

Để giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi HSG môn Toán lớp 12 cấp trường - THPT Đồng Đậu dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi.

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU LẦN NĂM HỌC 2019 – 2020 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = điểm cực trị đồ thị ( C ) x − x + có đồ thị ( C ) Tính diện tích tam giác có đỉnh 2x −1 có đồ thị ( C ) Tìm m để đường thẳng d : y =− x + m cắt x +1 ( C ) hai điểm phân biệt A B cho ∆PAB đều, biết P ( 2;5) Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 25m , chiều rộng AD = 20m chia thành hai phần vạch chắn MN ( M , N trung điểm BC AD ) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch chắn MN , biết làm đường miền ABMN làm 15m làm miền CDNM làm 30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C Câu (1,0 điểm) Tính tổng nghiệm x ∈ [ −π ; π ] phương trình: 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + Câu (1,0 điểm) Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đoàn trường THPT Đồng Đậu tổ chức vào tháng 11 năm 2019 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11và tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12 Câu (1,0 điểm) Cho dãy số (𝑢𝑢𝑛𝑛 ) với 𝑢𝑢𝑛𝑛 = e 1+ 1 + n ( n +1)2 Tính u1.u2u3 u2019 Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD A1B1C1D1 có cạnh AB = AD = 2, AA =  = 60 Gọi M , N trung điểm cạnh A D A B góc BAD 1 1 Chứng minh AC1 vng góc với mặt phẳng ( BDMN ) AB 3,= BC 6, mặt Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có= phẳng ( SAB ) vng góc với đáy, mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) tạo với mặt phẳng ( ABCD ) góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD Tính thể tích khối chóp S ABCD cosin góc hai đường thẳng SA BD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( Oxy ) , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J ( 2;1) Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC có phương trình: x + y − 10 = D ( 2; −4 ) giao điểm thứ hai AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm B thuộc đường thẳng có phương trình x + y + = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực a, b thỏa mãn điều kiện < b < a < Tìm giá trị nhỏ biểu thức = P log a ( 3b − 1) + 8log 2b a − a - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu khơng sử dụng máy tính cầm tay SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 12 LẦN NĂM HỌC 2019– 2020 MƠN: TỐN Câu Điểm Nội dung trình bày x − x + có đồ thị (C) Tính diện tích tam giác có đỉnh 1,0 điểm cực trị đồ thị (C) Cho hàm số y = x = Ta có y ' =x − x; y ' =0 ⇔  x =2  x = −2 0.25 Suy điểm cực trị A(−2; −3); B (0;1); C (2; −3) Các điểm cực trị tạo thành tam giác ABC cân B 0.25 Gọi H trung điểm AC ⇒ H (0; −3) BH ⊥ AC   Ta có BH (0; −4) ⇒ BH = 4; AC (4;0) ⇒ AC = 0.25 Vậy diện tích cần tìm: = S 1 BH= AC = 4.4 (đvdt) 2 2x −1 có đồ thị ( C ) Tìm m để đường thẳng d : y =− x + m cắt ( C ) x +1 hai điểm phân biệt A B cho ∆PAB đều, biết P ( 2;5 ) 1,0 Hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C ) nghiệm phương trình 2x −1 =− x + m ⇔ x − (m − 3) x − m − =0 (1) ( x = −1 không nghiệm (1)) x +1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình (1) có 0,25 hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m − 2m + 13 > ⇔ m ∈  0,25 Cho hàm số y = 0.25  x1 + x2 = m − Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1), ta có:   x1 x2 =−m − Giả sử A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m ) Khi ta có:= AB ( x1 − x2 ) PA = ( x1 − ) + ( − x1 + m − 5) PB = ( x2 − ) + ( − x2 + m − 5) 2 ( x1 − ) + ( x2 − ) = 2 0,25 ( x2 − ) + ( x1 − ) = , Suy ∆PAB cân P Do ∆PAB ⇔ PA2 = AB ⇔ ( x1 − ) + ( x2 − ) = ( x1 − x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = 2  m =1 Vậy giá trị cần tìm m = 1, m = −5 ⇔ m + 4m − = ⇔   m = −5 Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 25m , chiều rộng AD = 20m chia thành hai phần vạch chắn MN ( M , N trung điểm BC AD ) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch 0,25 1,0 chắn MN , biết làm đường miền ABMN làm 15m làm miền CDNM làm 30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C M B C Giả sử đường từ A đến C gặp vạch chắn MN E đặt NE = x(m)( x ∈ [0; 25]) ⇒ AE = CE = x + 102 ; (25 − x) + 102 25m 0,25 E x A 20m D N Thời gian làm đường từ A đến C t ( x) = = t '( x) x 15 x + 100 − (25 − x) 30 (25 − x) + 100 AE CE + = 15 30 (25 − x) + 100 x + 100 + ( h) 15 30 0,25 ; t '( x) =0 ⇔ x (25 − x) + 100 =(25 − x) x + 100  x(25 − x) ≥ ⇔ 2 2 4 x [(25 − x) + 100] = (25 − x) ( x + 100) 0 ≤ x ≤ 25 0 ≤ x ≤ 25 ⇔ ⇔  2 2 2 4(25 − x) ( x − 25) + x [400 − (25 − x) ]=0 ( x − 5)[4(25 − x) ( x + 5) + x (45 − x)]=0 ⇔x= 5; 20 + 725 10 + 725 , t (25) ,= = t (5) ⇒ Thời gian ngắn làm đường từ 30 30 A đến C (giờ) Phương trình cho ⇔ cos2x + sin x =cosx − sin x π k 2π  π  ⇔ cos  x − = x , k ∈ =  cos  + x  ⇔ 3  3  0,25 = t (0) 2π −2π Vì x ∈ [ −π ; π ] nên= thỏa mãn x1 0;= x2 ; x3 = 3 0,25 0,5 0,5 Vậy tổng nghiệm x ∈ [ −π ; π ] phuơng trình cho S = Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11và tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12 Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên Ω Số phần tử không gian mẫu là: n( Ω )= C125 = 792 Gọi A biến cố “ Chọn tiết mục cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12'' Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A : + tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 1,0 0,25 0,25 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = C42 C32 C51 + C42 C31.C52 + C43 C31.C51 = 330 330 Xác suất cần tìm là= P = 792 12 Cho dãy số (𝑢𝑢𝑛𝑛 ) với 𝑢𝑢𝑛𝑛 = e 1+ 1 + n ( n +1)2 0,25 0,25 1,0 Tính u1.u2u3 u2019 Ta có: n (n + 1) + (n + 1) + n = n (n + 1) 1 1+ + = n (n + 1) 1 n2 + n + 1+ 1+ − = = = n(n + 1) n(n + 1) n n +1 Khi ta có u1.u2u3 u2019 = e =e 2019 − 2018.2020 2019 1 + + + 1.2 2.3 2018.2019 0.25 0.25 0.25 Cho hình hộp đứng ABCD A1B1C1D1 có cạnh AB góc = AD = 2, AA =  = 600 Gọi M , N trung điểm cạnh A D A B Chứng BAD 1 1 minh AC1 vng góc với mặt phẳng ( BDMN ) 1,0 Ta có: BD ⊥ AC , BD ⊥ AA1 ⇒ BD ⊥ mp ( ACC1 A1 ) ⇔ AC1 ⊥ BD 0,5              Mặtkhác: AC1.BN = AB + BC + CC1  BB1 + BA  = − AB + BA.BC + BB1 = 2     −2 − + =0 Suy AC1 ⊥ BN ( ) ( ) Từ (1) ( ) ⇒ AC1 ⊥ ( BCMN ) 0.25 n∈ N* ) 1 1 2019 +1− + − + + − 2 2018 2019 2019 = e= e 2019 + ( n + 2n3 + 3n + 2n + n (n + 1) AB 3,= BC 6, mặt Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có= 0,5 phẳng ( SAB ) vng góc với đáy, mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) tạo với 1,0 mặt phẳng ( ABCD ) góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD Tính thể tích khối chóp S ABCD cosin góc hai đường thẳng SA BD Hạ SH ⊥ AB ( H ∈ AB ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) 0.25 Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD ) ⇒ tứ giác HBCK hình chữ nhật  Ta có: BC ⊥ ( SAB ) ⇒ Góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) là: SBH  CD ⊥ ( SHK ) ⇒ Góc mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) là: SKH  = SKH  ⇒ ∆SHB = ∆SHK ( g − c − g ) ⇒ HK = HB = BC = Theo giả thiết: SBH Do A trung điểm HB Ta thấy  ABDK hình bình hành ⇒ BD / / AK ⇒ BD / / ( SAK ) mà SA ∈ ( SAK ) Suy d ( BD, SA )= d ( BD, ( SAK ) )= d ( D, ( SAK ) )= d ( H , ( SAK ) )= h= h Do tam diện H SAK vuông H nên: = ⇒ SH = 6 1 1 1 + + ⇔= + + 2 2 HS HA HK HS 36 1 SH= S ABCD = 6.3.6 36 (dvtt) 3 Gọi α góc hai đường thẳng SA BD= ⇒α 0.25 0.25 Suy V= S ABCD , SA ) ( AK , SA ) ( BD= 0.25 Ta có: = SA 2, = SA AK = Trong tam giác SAK có: AS + AK − SK 45 + 45 − 72  = = = cos SAK AS AK 2.3 5.3 5  Vậy= α SAK = arccos Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( Oxy ) , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J ( 2;1) Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC có phương trình: x + y − 10 = D ( 2; −4 ) giao điểm thứ hai AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm B thuộc đường thẳng có phương trình x + y + = 1,0 AJ qua J ( 2;1) D ( 2; −4 ) nên AJ có phương trình : x − = 0.25 Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ : = x − = x ⇔ ⇒ A ( 2;6 )  − 10 = 2 x + y= y Gọi E giao điểm thứ hai BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  ⇒ DB = DC EA  = DC  = EC  Ta có DB ) ( ( 0.25 ) 1  + sd DB   ⇒ ∆DBJ cân D   + sd DC  DBJ = sd EC = sd EA = DJB 2 DB = DC = DJ hay D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Suy B, C nằm đường tròn tâm D ( 2; −4 ) bán kính JD = + 52 = có phương 0.25 trình ( x − ) + ( y + ) = 25 Khi tọa độ B hệ nghiệm: 2 2  B ( −3; −4 ) −3  x = 25  x = ( x − ) + ( y + ) = ⇔ ∨ ⇒  −4  y = −9  B ( 2; −9 ) y =  x + y + = Do B có hồnh độ âm nên B ( −3; −4 ) BC qua B ( −3; −4 ) vng góc AH nên có phương trình: x − y − = 0.25 ( x − )2 + ( y + )2 = 25 Khi C nghiệm hệ:  ⇒ C ( 5;0 )  x − y − = Vậy A ( 2;6 ) , B ( −3; −4 ) , C ( 5;0 ) 10 Cho số thực a, b thỏa mãn điều kiện < b < a < Tìm giá trị nhỏ biểu thức = P log a ( 3b − 1) 1,0 + 8log 2b a − a Có 𝑃𝑃 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 4(3𝑏𝑏−1) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 + 8𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏2 𝑎𝑎 − 4(3𝑏𝑏−1) + 𝑎𝑎 (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑏𝑏−1)2 −1 0,25 4(3𝑏𝑏−1) Ta có ⇒ = 𝑏𝑏 − 4 (𝑏𝑏 − )2 ≥ ⇒ − ≤ 𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏 0,25 4(3𝑏𝑏 − 1) 4 4 = 𝑏𝑏 − ≤ 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏2 9 3 Vì < 𝑎𝑎 < nên 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 4(3𝑏𝑏−1) Đặt 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑡𝑡 (𝑡𝑡 ∈ (1; +∞) ⇒𝑃𝑃 ≥ 2𝑡𝑡 + (𝑡𝑡−1)2 − ≥ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑏𝑏2 = 2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑏𝑏 0,25 Xét hàm số: 𝑓𝑓(𝑡𝑡 ) = 2𝑡𝑡 + (𝑡𝑡−1)2 − (1; +∞) 16 16 Có 𝑓𝑓 ′ (𝑡𝑡 ) = − (𝑡𝑡−1)3 ; 𝑓𝑓 ′ (𝑡𝑡 ) = ⇒ − (𝑡𝑡−1)3 = ⇔𝑡𝑡 = ∈ (1; +∞) Ta có min𝑓𝑓 (𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 (3) = ⇒ 𝑃𝑃 ≥ Dấu “=” xảy ⇔� 𝑏𝑏 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 0,25 ⇔� 𝑏𝑏 = 3 𝑎𝑎 = � Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa  ...SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 12 LẦN NĂM HỌC 2019– 2020 MƠN: TỐN Câu Điểm Nội dung trình bày... cho S = Trong thi: "Thi t kế trình diễn trang phục dân tộc" Đồn trường THPT tổ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết... mục khối 12 Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên Ω Số phần tử không gian mẫu là: n( Ω )= C125 = 792 Gọi A biến cố “ Chọn tiết mục cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12' ' Chỉ