Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Đồng Nai

Luyện tập với Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Đồng Nai giúp các bạn hệ thống kiến thức đã học, làm quen với cấu trúc đề thi, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải đề giúp bạn tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời các bạn cùng tham khảo.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu (5,0 điểm) Cho hàm số y (m 4)x (4m 1)x x , với m tham số a) Hỏi có giá trị nguyên m để hàm số cho nghịch biến b) Tìm số thực m để hàm số cho đạt cực đại x  c) Tìm số thực m để giá trị nhỏ hàm số cho [ 2; 1] Giải a) y '  3x  2(4m  1)x  m  , Hàm số nghịch biến 2   'y '   (4m  1)2  3(m  4)   19m  8m  11    Vậy có hai giá trị nguyên m  m  11  m  19 m  b) Hàm số có cực đại x   y '(1)   m  8m     m  9 + Nếu m   y '  3x  6x    x  không cực đại  m  (loại) + Nếu m  9, y '  3x  74x  77, y ''  6x  74x, y ''(1)  80  nên hàm số có cực đại tạ x  Vậy m  9 (nhận) c) Vì Min y  suy giá trị hàm số y với  x  [2; 1] phải lớn hay [ 2;1]  m  4m   y(1)   m  4m      m 2 nghĩa  y(2)   m  16 m  13  m  16 m         x  2 Thử lại ta có y  x  7x  có y '  3x  14x    x  14  Suy hàm nghịch biến [2; 1] y  y(1)  Vậy m  thỏa mãn [ 2;1] Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình ( 10  3)x  ( 10  3)x  38 2) Giải phương trình sin2x cos2x sin x cos x Giải 1) Vì ( 10  3) ( 10  3)  (10  9)  x x x t t  19  10  ( 10  3)2  Ta : t   38  t  38t      ( 10  3)2 t t  19  10  ( 10  3)  ( 10  3)  ( 10  3)x  ( 10  3)2 x     ( 10  3)x  ( 10  3)2 x  2  2) sin 2x cos 2x sin x cos x cos x (2 sin x 1) sin2 x sin x Đặt t  ( 10  3)x (t  0)  ( 10  3)x   cos x(2 sin x  1)  (2 sin x  1)(sin x  2)   (2 sin x  1)(sin x  cos x  2)   sin x      sin x  cos x   ( VN )    x   k 2 (k  )  x    k 2  Câu (2,0 điểm) Một trang trại xây bể nước hình hộp chữ nhật khơng nắp tích 18, 432 m (tính thành đáy bể), biết đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Chi phí xây bể tính theo tổng diện tích thành (mặt bên ngoài) đáy bể với giá 800 nghìn đồng /m Tìm kích thước bể để chi phí xây bể nhỏ tính gần chi phí Giải Gọi chiều dài rộng, chiều dài chiều cao hình hộp chữ nhật 18, 432 x, 2x, h (x, h  0)  V  2x 2h  18, 432  h  2x 18, 432 55,296  2x  Tổng diện tích mặt (khơng có nắp) S  2x  6xh  2x  6x x 2x 55,296 27, 648 27, 648 27, 648 27, 648  2x    3 2x  34, 56 x x x x x 27, 648  x  2,  h  1, Dấu  xảy  2x  x Vậy ba kích thước chiều rộng, chiều dài chiều cao 2, ; 4, ; 1,2 Xét f (x )  2x  Chi phí 34,56.800000  27648000 (đồng) Câu (3,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc mặt phẳng đáy, SA  a Biết M , N hai điểm thay đổi thuộc hai cạnh AB AD cho AM  AN  a 1) Chứng minh thể tích S AMCN có giá trị khơng đổi 2) Tính theo a khoảng cách từ C đến (SMN ) Chứng minh mặt phẳng (SMN ) tiếp xúc với mặt cầu cố định Giải 1) Đặt AM  m, AN  n  m  n  a  ND  m, BM  n  am an  an am a a2 BM BC  , S NDC  ND.DC   SAMCN  a      a  (m  n )  2 2  2  a3 (không đổi) suy thể tích khối S AMCN  SAS (không đổi) AMN  DE ND m m2 m an  m (m  n )n  m 2) Ta có    DE   CE  a  DE  a    AM NA n n n n n 2 m  mn  n  n HC CE m  mn  n    k  d(C ,(SMN ))  k.d(A,(SMN )) HA MA mn Gọi G, K hình chiếu vng góc A MN SG S MBC  SG  AK  (SMN )  d(A,(SMN ))  AK AM AN m 2n  AM  AN m  n m 2n a 2 2 AG SA m 2n (m  n )2 m 2n (m  n )2 m  n AK    2  AG  SA2 m 2n m n  (m  n )2 (m  n ) m 2n  (m  n )2 [(m  n )2  2mn ] a m2  n2 m 2n (m  n )2 mn(m  n )   AK  2 [(m  n )  mn ] (m  n )2  mn AG  (m  n )(m  mn  n ) m n a (m  n )2  mn Cách khác: Chọn A(0;0;0), S (0;0;a),C (a;a;0), M (m;0;0), N (0; n;0)  d(C ,(AMN ))  k AK  SM  (m; 0; a ), SN  (0; n; a )  [SM , SN ]  (an;am; mn ) Phương trình (SMN ) : anx  amy  mnz  mna   d(C ,(SMN ))   a  mna a (n  m )  m 2n a(a  mn ) a  2amn  m 2n   a(a  mn ) a 2[(m  n )2  2mn ]  m 2n a(a  mn ) a  mn  a 2n  a 2m  mna (an )2  (am)2  (mn )2 a(a  mn ) a (a  2mn )  m 2n a Vì d(C ,(SMN ))  a cố định C cố định nên (SMN ) tiếp xúc mặt cầu cố định có tâm C bán kính R  a Câu (3,0 điểm) 1) Một tổ gồm học sinh An, Bình, Châu, Dũng, Em, Fin, Giang, Hạnh chuyến bay để dự đợt học tập, tham quan trải nghiệm ; đại lý dành cho tổ vé máy bay có số ghế 18A, 18B, 18C , 18D, 18E, 18F, 18G, 18H Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên vé Tính xác suất để có học sinh tổ mà bạn chọn vé có chữ số ghế trùng với chữ đầu tên 2) Cho n k hai số nguyên dương thỏa mãn n  k Chứng minh C nkC nk k số chẵn Giải 1) n()  8! Chọn học sinh học sinh, sau phát vé có chữ số ghế trùng với chữ tên học sinh có cách chọn Cịn học sinh cịn lại phát khơng đề bài, giả sử vé xếp sẵn theo thứ tự ABCD + Bạn có tên chữ B đứng đầu xếp vào vị trí ta có cách sau: BADC ; BCDA ; BDAC + Bạn có tên chữ C đứng đầu xếp vào vị trí ta có cách sau: CADB ; CDAB ; CDBA + Bạn có tên chữ D đứng đầu xếp vào vị trí ta có cách sau: DABC ; DCAB ; DCBA Vậy có C 84 1.9 (cách chọn) nên xác suất cần tìm là: C 84 8!  64 2) Ta có: n !(n  k )! (n  k )! (n  k )!(2k )! (n  k )!.2 k (2k  1)!    k ! k !(n  k )! n ! k ! k !(n  k )! k ! k !(n  k )!(2k )! (2k )!(n  k )! k !k ! (n  k )!.2 (2k  1)!   2C nnkk C 2kk 1 (2k )!(n  k )! [(2k  1)  k ]! k ! C nkC nk k  Câu (3,5 điểm)   1 1 1) Giải phương trình  x  log2  x      2  x  log2    x x   2) Cho ba số thực a,b, c thỏa mãn ab  bc  2ac  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  2b  c Giải   1 1  x  log2  x      2  x  log2    x x       2  x  x  x     x    Điều kiện x   x 2   x   2     x   x   (1) (1)  (  x  1)  log2    1 1  x         log2    x x    Xét hàm f (t )  (t  1)2  log2 t (t  0) , f '(t )  2t   Có thể xét f ''(t )   f ''(t )   t ln 2 ln   Lập bảng biến thiên suy f '(t )  f '    ln  Suy f '(t )  t   f (t ) đồng biến Ta 2  ln 2 2t  t ln 2 2 2  ln t ln 2 ln  ln 2  2  ln  x   3  13 2  x    x  2x  4x    (x  1)(x  3x  1)  x   x  3  13 x   3  13 2) Cho ba số thực a,b, c thỏa mãn ab  bc  2ac  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  2b  c So với điều kiện ta có nghiệm x  1, x  Ta có:  ab  bc  2ca  (  1).a.[(  1)b ]  (  1).c.[(  1)b ]  2ca  a  (  1)2b   c  (  1)2b    (  1)    (a  c )  (  1)      2     1 2 1 2 1 6 a  (  1)b  c  (a  2b  c ) 2 2 1 6 P  P  12(  1) - HẾT - ...   2     1 2 1 2 1 6 a  (  1)b  c  (a  2b  c ) 2 2 1 6 P  P  12(  1) - HẾT - ... Có thể xét f ''(t )   f ''(t )   t ln 2 ln   Lập bảng biến thi? ?n suy f '(t )  f '    ln  Suy f '(t )  t   f (t ) đồng biến Ta 2  ln 2 2t  t ln 2 2 2  ln t ln 2 ln  ln 2... sau phát vé có chữ số ghế trùng với chữ tên học sinh có cách chọn Cịn học sinh cịn lại phát khơng đề bài, giả sử vé xếp sẵn theo thứ tự ABCD + Bạn có tên chữ B đứng đầu xếp vào vị trí ta có cách