Bộ lọc số

62 Chương 4: Bộ lọc số Trong các phần trước chúng ta đã tìm hiểu một số cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc, đó là những công cụ không thể thiếu trong việc mô tả hệ thống xử lí tín hiệu. Bộ lọc số là một hệ thống tuyến tính bất biến, vì vậy trong phần này chúng ta sẽ sử dụng các tính chất đã nghiên cứu ở các phần trước để tìm hiểu về bộ lọc số một trong những hệ thống được ứng dụng rất nhiều trong xử lí số tín hiệu. Các bộ lọc số dần đã thay thế các bộ lọc tương tự. §1. Các bộ lọc số lí tưởng 1. Khái niêm chung Bộ lọc số là một HT-TT-BB trong miền thời gian rời rạc sơ đồ khối có dạng: Trong miền tần số được đặc trưng bởi đáp ứng tần số: H(e jw ) H(e jw ) =DTFT [h(n)] = Y(e jw )/ X(e jw ) = Việc thiết kế các bộ lọc số thực tế đều đi từ lí thuyết các bọ lọc số lí tưởng. Chúng ta sẽ tìm hiểu 4 loại bộ lọc số tiêu biểu là: - Bộ lọc số thông thấp. - Bộ lọc số thông cao - Bộ lọc số thông dải. - Bộ lọc số chắn dải. h(n) y(n)= x(n)*h(n) x(n) 63 Lọc ở đây chúng ta hiểu là lọc tần số vì vậy tất cả các đặc trưng của bộ lọc số đều được cho theo đáp ứng biên độ 2. Các đặc trưng của bộ lọc số lí tưởng. a. Bộ lọc thông thấp lí tưởng Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lí tưởng được định nghĩa như sau: w c tần số cắt. [ -w c , w c ] dải thông. Nhận xét: Do là đối xứng do đó ta chỉ cần xét trong một nửa chu kì (p³w³0) là đủ và coi h(n) là thực. h(n) là biến đổi Fourier ngược của H(e jw ) hay : (4.1) b. Bộ lọc thông cao lí tưỏng Bộ lọc thông cao lí tưởng là bộ lọc mà đáp ứng biên độ của nó được định nghĩa như sau: w c -w c w p -p [H(e jw ) 1 64 w c tần số cắt. [-p, -w c ]; [w c , p] dải thông Nhận xét: Do là đối xứng do đó ta chỉ cần xét trong một nửa chu kì (p³w³0) là đủ và coi h(n) là thực. h(n) là biến đổi Fourier ngược của H(e jw ) hay : (4.2) d(n) được gọi là đáp ứng xung của bộ lọc thông tất. ( All Pass Fillter ). c. Bộ lọc thông dải lí tưởng. Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông dải lí tưởng được định nghĩa như sau: w c1 tần số cắt dưới. w c2 tần số cắt trên. [-w c2 , -w c1 ]; [w c1 , w c2 ] dải thông [H(e jw ) w c -w c w p -p 1 [H(e jw ) w c1 -w c1 w -p 1 -w c2 p w c2 65 Nhận xét: Do là đối xứng do đó ta chỉ cần xét trong một nửa chu kì (p³w³0) là đủ và coi h(n) là thực. Nếu có 2 bộ lọc thông thấp với tần số cắt là w c1 , và w c2 thì: H(e jw ) = H 2 (e jw )- H 1 (e jw ) suy ra h(n) = h 2 (n) – h 1 (n) (4.3) d. Bộ lọc chắn dải lí tưởng. Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lí tưởng được định nghĩa như sau: w c1 tần số cắt dưới. w c2 tần số cắt trên. [-p, -w c2 ]; [-w c1 , w c1 ] ;[w c2 , p ] dải thông Nhận xét: Nếu các bộ lọc thông tất và bộ lọc thông dải và bộ lọc chắn dải lí tưởng có cùng đáp ứng pha thì ta có các quan hệ sau: H(e jw ) = H A (e jw )- H T (e jw ) suy ra h(n) = h A (n) – h T (n) Trong đó: H A (e jw ) là đáp ứng tần số của bộ lọc thông tất H T (e jw ) là đáp ứng tần số của bộ lọc thông dải H(e jw ) là đáp ứng tần số của bộ lọc chắn dải và [H(e jw ) w c1 -w c1 w -p 1 -w c2 p w c2 66 (4.4) §2. Bộ lọc số FIR Trong thực tế các bộ lọc số có đáp ứng tần số ở dạng: + d 1 độ gợn ở dải thông + d 2 độ gợn ở dải chắn + w p tần số giới hạn dải thông + w s tần số giới hạn dải chắn Dw = w s - w p : dải quá độ. 1. Bộ lọc FIR thực tế -Trong thực tế ta chỉ xác định được N hệ số của đáp ứng xung h(n). Vì vậy khi các bộ lọc FIR được xây dụng dựa trên các bộ lọc số lí tưởng thì chúng ta phải : + Hạn chế chiều dài của đáp ứng xung bằng cách dùng các hàm cửa sổ có chiều dài N ( rect N (n) ). + Chuyển h(n) từ dạng không nhân quả sang dạng nhân quả bằng cách tịnh tiến đi một số mẫu. 2. Các đặc trưng của bộ lọc FIR pha tuyến tính. [H(e jw ) w p w s p 1+d 1 1-d 1 d 2 w qđ 67 Coi bộ lọc FIR có đáp ứng tần số là H(e jw ) có pha tuyến tính, do đó nếu biết đáp ứng pha của nó ta sẽ biết tín hiệu qua bộ lọc với độ trễ nhất định đã biết. Hệ thống FIR là hệ thống luôn luôn ổn định: Bộ lọc FIR có pha tuyến tính nếu: (4.5) a. Trường hợp b =0 Từ (4.5) ta có: Suy ra: Suy ra: (*) (**) Từ (*) và (**) ta có: + Nếu a = 0 thì: = suy ra h(n) = 0 với mọi n ¹ 0 và giá trị h(0) tuỳ ý với n=0. Đây là trường hợp h(n) tầm thường, không cho chúng ta kết quả gì. + Nếu a ¹ 0 thì ta viết lại như sau: 68 Đưa sina.w , cosa.w vào trong tổng ta có: Vậy ta có: Phương trình này có dạng của một chuỗi Fourier. Nghiệm của nó có dạng như sau: Nhận xét: - Với một giá trị của N, chỉ có duy nhất một giá trị a để đảm bảo q(w)=-aw là tuyến tính. - Với giá trị a này đáp ứng xung h(n) = h(N-1-n) là đối xứng. - Nếu N lẻ thì a là một số nguyên và tâm đối xứng của h(n) là mẫu thứ (N-1)/2. Ta có bộ lọc FIR loại 1. - Nếu N chẵn thì a là một số không nguyên và tâm đối xứng của h(n) nằm giữa mẫu thứ (N-1)/2 và N/2. Ta có bộ lọc FIR loại 2. Đặc điểm quan trọng của bộ lọc số FIR loại 1 và 2 là tính đối xứng của đáp ứng xung h(n) có rất nhiều ứng dụng quan trọng ta sẽ xét sau. Ví dụ: N=6, 7 b. Trường hợp b ¹ 0. Chứng minh tương tự như trường hợp a ta có: và nghiệm duy nhất của nó như sau: 69 Nhận xét: - Với một giá trị của N, chỉ có duy nhất một giá trị a để đảm bảo q(w)=b - aw là tuyến tính. - Với giá trị a này đáp ứng xung h(n) = -h(N-1-n) là phản đối xứng. - Nếu N lẻ thì a là một số nguyên và tâm phản đối xứng của h(n) là mẫu thứ (N-1)/2. Ta có bộ lọc FIR loại 3. - Nếu N chẵn thì a là một số không nguyên và tâm phản đối xứng của h(n) nằm giữa mẫu thứ (N-1)/2 và N/2. Ta có bộ lọc FIR loại 4. Đặc điểm quan trọng của bộ lọc số FIR loại 3 và 4 là tính phản đối xứng của đáp ứng xung h(n) có rất nhiều ứng dụng quan trọng ta sẽ xét sau. Ví dụ: N=6, 7. 3. Tổng hợp bộ lọc FIR có pha tuyến tính sử dụng phương pháp cửa sổ. Việc nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR ở phần này chúng ta chỉ dừng lại ở việc tính toán các hệ số của h(n). Các hệ số của h(n) được tính toán sao cho toả mãn các chỉ tiêu kĩ thuật đã cho. Bộ lọc FIR có ưu điểm hơn bộ lọc IIR là nó luôn ổn định, chúng ta sẽ xét các bộ lọc FIR có pha tuyến tính (Đáp ứng xung h(n) đối xứng hoặc phản đối xứng). Các hệ thống thực hiện được về mặt vật lý là các hệ thống nhân quả, ổn định. Có 3 phương pháp chính để tổng hợp bộ lọc số FIR là: - Phương pháp cửa sổ. - Phương pháp lấy mẫu tần số. - Phương pháp lặp. Trong chương trình chúng ta chỉ tìm hiểu phương pháp thứ nhất. a. Nhận xét. Ta đã biết đáp ứng tần số của bộ lọc FIR nhân quả bậc N là: ; + Gọi h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc số lí tưởng, vì vậy h(n) có chiều dài vô hạn nên không thể thực hiện được. L[h(n) ] = [-¥; +¥] + h(n) không nhân quả, vì thế không thể thực hiện được. + Để cho đáp ứng xung của bộ lọc số lí tưởng trở thành đáp ứng xung của bộ lọc FIR thì ta phải làm cho h(n) nhân quả và hạn chế chiều dài của nó. 70 + Để hạn chế chiều dài của h(n) ta sẽ sử dụng hàm cửa sổ, hay được gọi là cửa sổ là cửa sổ nhân quả có chiều dài là N. b. Các bước chính. Phương pháp cửa sổ đựoc thực hiện cho bộ lọc số loại 1. - Bước 1: Chọn 4 chỉ tiêu kĩ thuật của bộ lọc số thực tế: w p ,w s ,d 1 ,d 2 . Để tìm w c , trong chương trình cho w c . - Bước 2: Chọn dạng cửa sổ và chiều dài cửa sổ N, trong miền N cửa sổ có tâm đối xứng tại , có pha tuyến tính là . - Bước 3: Chọn loại bộ lọc số lí tưởng có đáp ứng xung là h(n), h(n) có tâm đối xứng tại ,có pha tuyến tính là . ( Thay ). - Bước 4: Nhân cửa sổ với h(n) thu được đáp ứng xung thực tế của bộ lọc FIR loại 1. h d (n)= .h(n) L[ ] = N L[h(n) ] =¥ L[h d (n) ]= N - Bước 5: Sau khi có h d (n) thử lại trong miền tần số xem đã đạt chỉ tiêu kĩ thuật chưa, nếu chưa đạt làm lại với N lớn hơn. ( Bước này ta bỏ qua) c. Một số cửa sổ điển hình. c 1 . Cửa sổ chữ nhật. Trong miền n cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau: Như vậy ta thấy cửa sổ chữ nhật chính là dãy chữ nhật rect N (n). 71 Như vậy: c 2 . Cửa sổ Hanning và Hamming. Trong miền n cửa sổ Hanning và Hamming được định nghĩa như sau: Nếu a = 0.5 thì ta có cửa sổ Hanning: Nếu a = 0.54 thì ta có cửa sổ Hanning: Đồ thị của các cửa sổ này như sau: Ví dụ với N = 9 W Han (n) 9 và w Ham (n) 9 đối xứng tại n = 4 0 4 9 n 1 W Han ( 0.5 0.85 0.15 [...]... Cửa sổ tam giác, Blackman (Giáo trình) Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp với các chỉ tiêu kĩ thuật, c = /2, N = 9 dùng cửa sổ Hanning Vẽ sơ đồ bộ lọc số: Cửa sổ Hanning wHan(n) có N = 9 là cửa sổ nhân quả có tâm đối xứng tại Chọn bộ lọc số lí tưởng thông thấp cũng có tâm đối xứng tại tần số cắt c = /2 Vậy ta có: Do đó đáp ứng xung của bộ lọc số thực tế là: Minh hoạ bằng đồ thị ta có: WHan( 1 0.85... hoạ bằng đồ thị ta có: WHan( 1 0.85 0.5 0.15 0 4 9 72 n và h(n) 1/ … … 1/ 0 4 8 n 8 -1/3 n hd(n) 1/ 0.85/ 4 -0.15/3 Vậy ta có: Từ đây ta có sơ đồ mạch như sau: 73 x(n) D y(n) + D D + D + D + D D + §3 Bộ lọc số IIR Mở đầu 74 . các bộ lọc số thực tế đều đi từ lí thuyết các bọ lọc số lí tưởng. Chúng ta sẽ tìm hiểu 4 loại bộ lọc số tiêu biểu là: - Bộ lọc số thông thấp. - Bộ lọc số. Bộ lọc số thông dải. - Bộ lọc số chắn dải. h(n) y(n)= x(n)*h(n) x(n) 63 Lọc ở đây chúng ta hiểu là lọc tần số vì vậy tất cả các đặc trưng của bộ lọc số