CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Kiến thức cơ bản. 1. Vòng tròn lượng giác. - Biết biểu diễn họ nghiệm trên vòng tròn lượng giác. 2. Mối liên hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau αα αα αα αα CotCot TanTan CosCos SinSin −=− −=− =− −=− )( )( )( )( ααπ ααπ ααπ ααπ CotCot TanTan CosCos SinSin −=− −=− −=− =− )( )( )( )( αα π αα π αα π αα π TanCot CotTan SinCos Sin =− =− =− =− ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( cos) 2 ( Cung hơn kém π Cung hơn kém 2/ π Đặc biệt ( Zk ∈ ) ααπ ααπ ααπ ααπ CotCot TanTan CosCos SinSin =+ =+ −=+ −=+ )( )( )( )( αα π αα π αα π αα π TanCot CotTan SinCos Sin −=+ −=+ −=+ =+ ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( cos) 2 ( απα απα απα απα CotkCot TankTan CoskCos SinkSin =+ =+ =+ =+ )( )( )2( )2( 3. Các công thức lượng giác. a. Các công thức cơ bản. 1cos 2 =+ αα Sin α α α Cos Sin Tan = α α α Sin Cos Cot = α α 2 2 1 1 Cos Tan =+ α α 2 2 1 1 Sin Cot =+ 1. = αα CotTan b. Công thức cộng. TanaTanb TanbTana SinaCossCosbbaCos SinbCosaSinaCosbbaSin 1 b)Tan(a Sinb)( )( ± =± =± ±=± c. Công thức nhân đôi. GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144. 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC d. Công thức nhân ba. CosaaCosaCos aSinSinaaSin 343 433 3 3 −= −= e. Công thức hạ bậc. 2 21 2 aCos aCos + = 2 21 2 aCos aSin − = aCos aCos aTan 21 21 2 + − = f. Công Thức biến đổi Tổng thành tích, tích thành tổng. g. Công thức suy ra. ) 4 (2) 4 (2 ) 4 (2) 4 (2 ππ ππ +−=−=− −=+=+ aCosaSinCosaSina aCosaSinCosaSina II. Phương trình lượng giác. 1. Phương trình lượng giác cơ bản. Bài 1. Giải phương trình. GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144. +. SinaCosaaSin 22 = aSin aCos aSinaCosaCos 2 2 22 21 12 2. −= −= −=+ +. aTan Tana aTan 2 1 2 2 − = aTan aTan aCos a 2 2 2 1 1 2 Tan1 Tan2a Sin2a + − = + = CosaCosb baSin baTan ba Sin ba SinCosbCosa ba Cos ba CosCosbCosa ba Sin ba CosSinbSina ba Cos ba SinSinbSina )( )( 22 2 22 2 22 2 22 2 ± =± −+ −=− −+ =+ −+ =− −+ =+ [ ] [ ] [ ] [ ] )()( 2 1 . )()( 2 1 . )()( 2 1 . )()( 2 1 . baCosbaCosSinbSina baCosbaCosCosbCosa baSinbaSinSinbCosa baSinbaSinCosbSina −−+−= −++= −−+= −++= 2 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. sin 3 sin( 2 ) 4 x x π = − 2. 03) 3 cos(2 =−+ π x 3. xx 2sin3cos = 4. = 1 sin 2 2 x 5. 03) 6 2sin(2 =+− π x 6. 2 cos( ) 4 2 x π − = − 7. tan(x+60 0 ) = - 3 8. tan(2x- 4 π ).tan( π - 2 x ) = 1 9. cot( 7 π -5x) = 3 1 10. tan(2x+ 3 π )=tan( 6 π -3x) 11.tan(2x- 3 π )+cot(x+ 4 π )= 0 12.cos(3x+20 0 )=sin(40 0 -x) Bài 2. Giải phương trình. 1. 2sin2x=1 với 0<x<2 π 2. cos3x=- 3 3 với - π <x< π 3. xsin (2cosx+1) = 0 4. x x cos 3cos22 − = 0 Bài3. (KD – 2002) Tìm [ ] 14;0 ∈ x nghiệm đúng phương trình 043243 =−+− CosxxCosxCos . Bài 4. (KD – 2004) Giải phương trình: ( ) SinxxSinCosxSinxCosx −=+− 2)2(12 . Bài 5. Giải phương trình: xCosxCosxSinxSin 423 2222 +=+ Bài 6. Giải phương trình: 23. 2 =− xTanTanxxTan Bài 7. (KD – 2003) Giải phương trình: 0 2 ). 42 ( 22 =−− x CosxTan x Sin π Bài 8. Giải phương trình: )2( 2 1 2 44 xCotTanx xSin xCosxSin += + 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Bài 1. Giải các phươn trình sau: 1. 2cos 2 x – 3cosx + 1 = 0 2. cos 2 x + sinx + 1 = 0 3. 2cos 2 x + 2 cosx – 2 = 0 4. cos2x – 5sinx + 6 = 0 5. cos2x + 3cosx + 4 = 0 6. 4cos 2 x - 4 3 cosx + 3 = 0 7. 2sin 2 x – cosx + 7 2 = 0 8. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0 9. 2sin 2 x + 5cosx = 5. 10. 2sin 2 x - cos 2 x - 4sinx + 2 = 0 11. cos 2 x - 5sin 2 x - 5cosx + 4 = 0 12. 5sinx(sinx - 1) - cos 2 x = 3 13. cos2x + sin 2 x + 2cosx + 1 = 0 14. tan 2 x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0 15. 3 3cot 3 2 sin x x = + GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144. 3 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 16. 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + − − = 17. cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1 sin 2 1 x x x x x x + + + = − . Bài 2. (KA – 2002). Tìm các nghiệm trên (0;2 π ) của phương trình: : 5 cos3x + sin3x sin + 1 2sin2x x ÷ + = cos2x + 3 Bài 3. (KA – 2005). Giải phương trình: cos 2 3xcos2x - cos 2 x = 0 Bài 4. (KD – 2005). Giải phương trình: cos 4 x + sin 4 x + cos(x - π 4 )sin(3x - π 4 ) - 3 2 = 0 Bài 5. (KB – 2004). Giải phương trình: xTanSinxSinx 2 )1(325 −=− . Bài 6. (KA – 2006). Giải phương trình: 0 22 )(2 66 = − −+ Sinx SinxCosxxSinxCos Bài 7. Giải phương trình: CosxxSinxCot )232(223 22 +=+ Bài 8. Giải phương trình: 1) 4 ( 3 −=− TanxxTan π . 3. Phương trình bậc nhất đối với Sinx và Cosx. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. 4sinx – 3cosx = 2 2. sinx - 3 cosx = 1 3. 3 sin3x + cos3x = 1 4. sin4x + 3 cos4x = 2 5. 5cos2x – 12cos2x = 13 6. 3sinx + 4cosx = 5 7. 3cos3 sin3 2x x+ = 8. cos7 3sin7 2x x− = − 9. 3 3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x− = + 10. cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x− = − 11. 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + . Bài 2. Tìm ∈ 7 6 ; 5 2 ππ x thoả mãn phương trình: 2737 −=− xSinxCos . Bài 3. Giải phương trình: )cos3(4cot3 xSinxxTanx +=− . 4. Phương trình đối xứng với Sinx và Cosx. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. (2 2)+ (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1 2. 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144. 4 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3. 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 4. sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5. sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 Bài 2. Giải các phương trình: 1. 2 (sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 2. (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 2 2 . 3. 1 1 10 cos sin cos sin 3 x x x x + + + = . 4. sin 3 x + cos 3 x = 2 2 . 5. sinx – cosx + 7sin2x = 1. 6. (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x+ − + = + . 7. sin 2 2 sin( ) 1 4 x x π + − = . 8. sin cos 4sin 2 1x x x− + = . 9. 1 + tgx = 2 2 sinx. 10. sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 11. 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0. Bài 3. Giải phương trình: ) 24 (8 )1(3 3 2 2 3 x Cos xCos Sinx TanxxTan −= + +− π Bài 4. Giải phương trình: xCosxSinxCos x 2 33 =+ . Bài 5. Giải phương trình: 0244tan43 22 =++++ xCotCotxxxTan . 5. Phương trình đẳng cấp. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. 2 2 sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5+ . 2. xSinxSinxCos 22 123 +=− 3. 1 3 sin cos cos x x x + = ; 4. 1 4sin 6cos cos x x x + = . 5. 5 2 3sin (3 ) 2sin( )cos( ) 2 2 x x x π π π − + + + 3 2 5sin ( ) 0 2 x π − + = . 6. 3sin 2 x - 3 sinxcosx + 2cos 2 x = 2 7. 4 sin 2 x+ 3 3 sinxcosx - 2cos 2 x=4 8. 3 sin 2 x + 5 cos 2 x - 2cos2x - 4sin2x = 0 . Bài 2. Giải phương trình: 0Sinx34 233 =+−− xCosxSinxSinxCos . 6. Một số đề thi Đại Học gần đây. 1. KA_03. Giải phương trình: cotx - 1 = cos2x 1 + tanx + sin 2 x - 1 2 sin2x 2. KA_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; π) của phương trình: GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144. 5 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4sin 2 x 2 - 3 cos2x = 1 + 2cos 2 (x - 3π 4 ) 3. KA_05_dự bị 2. Giải pt: 2 2 cos 3 ( x - π 4 ) - 3cosx - sinx = 0 4. KD_05_dự bị 1. Giải pt: tan( 3π 2 - x) + sin 1 cos x x+ = 2 5. KD_05_dự bị 2. Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 6. KA_06_dự bị 1. Giải pt: cos3xcos 3 x - sin3xsin 3 x = 2 + 3 2 8 7. KA_06_dự bị 2. Giải pt: 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2x + 6cosx = 0 8. KB_06_dự bị 1. Giải pt: (2sin 2 x - 1)tan 2 2x + 3(2cos 2 x - 1) = 0 9. KB_06_dự bị 2. Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 10. KD_06_dự bị 1. Giải pt: cos 3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1 11. KD_06. Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 12. KA_07. Giải phương trình: (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x 13. KB_07. Giải phương trình: 2sin 2 2x + sin7x - 1 = sinx 14. KD_07. Giải phương trình: (sin 2 x 2 + cos 2 x 2 ) 2 + 3 cosx = 2 15. CĐ_07. Giải phương trình: 2sin 2 ( π 4 - 2x) + 3 cos4x = 4cos 2 x - 1 16. KA_08. Giải phương trình: 1 1 7π + = 4sin - x 3π sinx 4 sin x - 2 ÷ ÷ 17. KB_08. Giải phương trình: sin 3 x - 3 cos 3 x = sinxcos 2 x - 3 sin 2 xcosx 18. KD_08. Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 19. CĐ_08. Giải pt: sin3x - 3 cos3x = 2sin2x. 20. KA_09. Giải pt: 3 )1)(21( )21( = −+ − SinxSinx CosxSinx . 21. KB_09. Giải pt: )4(2332. 3 xSinxCosxCosxSinCosxSinx +=++ 22. KD_09. Giải pt: 023253 =−− SinxxxCosSinxCos 23. KA_2010. Giải pt: ( ) x Tanx xSinxSinx cos 2 1 1 ) 4 (2cos1 = + +++ π 24. KB_2010. Giải pt: 0sin2cos2cos)2cos2( =−++ xxxxxSin 25. KD_2010. Giải pt: 01cossin32cos2 =−−+− xxxxSin . GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144. 6 . mãn phương trình: 2737 −=− xSinxCos . Bài 3. Giải phương trình: )cos3(4cot3 xSinxxTanx +=− . 4. Phương trình đối xứng với Sinx và Cosx. Bài 1. Giải các phương. nghiệm đúng phương trình 043243 =−+− CosxxCosxCos . Bài 4. (KD – 2004) Giải phương trình: ( ) SinxxSinCosxSinxCosx −=+− 2)2(12 . Bài 5. Giải phương trình: xCosxCosxSinxSin