100 đề thi HSG toán 8

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com 100 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 8, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi toán lớp huyện nước có hướng dẫn giải cụ thể Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư môn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi lớp giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi toán lớp huyện nước Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (3 điểm) a) Phân tích đa thức a  b  c   b2  c  a   c a  b  thành nhân tử b) Cho a, b,c ba số đôi khác thỏa mãn:  a  b  c   a  b2  c 2 Tính giá trị biểu thức: P  a2 b2 c2   a  2bc b2  2ac c  2ab    c) Cho x  y  z  Chứng minh rằng: x5  y5  z5  5xyz x2  y  z2  Câu (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phƣơng 2  1  1 25 b) Cho a, b  thỏa mãn a  b  Chứng minh  a     b    b  a  Câu (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ phía ngoiaf hình bình hành tam giác BCE DCF Tính số đo EAF Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đƣờng cao AA', BB',CC' H trực tâm a) Chứng minh BC'.BA  CB'.CA  BC2 HB.HC HA.HB HC.HA   1 AB.AC BC.AC BC.AB c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đƣờng thẳng vng góc với DH cắt AB,AC b) Chứng minh rằng: lần lƣợt M N Chứng minh H trung điểm MN Câu (1 điểm) Cho hình vng ABCD 2018 đƣờng thẳng có tính chất chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có 505 đƣờng thẳng 2018 đƣờng thẳng đồng quy HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) a  b  c   b2  c  a   c  a  b   a  b  c   b2 a  c   c a  b   a  b  c   b2  a  b    b  c    c  a  b    a  b2   b  c  c   b2  a  b    a  b  a  b  b  c    b  c  b  c  a  b    a  b  b  c  a  b  b  c    a  b  b  c  a  c  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) a  b  c   a  b2  c  ab  ac  bc  a2 a2 a2   a  2bc a  ab  ac  bc  a  b  a  c  b2 b2 Tƣơng tự:  b  2ac  b  a  b  c  c2 c2  c  2ac  c  a  c  b  ; a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab a2 b2 c2     a  b  a  c   a  b  b  c  a  c  b  c    a  b  a  c  b  c    a  b  a  c  b  c  c) Vì x  y  z   x  y  z   x  y   z3 Hay x3  y3  3xy  x  y   z3  3xyz  x3  y3  z3 Do đó:       x  y  z   y z  x   z x  y  3xyz x2  y  z2  x  y  z x  y  z  x5  y5  z5 2 2 Mà x2  y2   x  y   2xy  z2  2xy  Vi 2 x  y  z  Tƣơng tự: y2  z2  x2  2yz; z2  x2  y2  2zx        Vì vậy: 3xyz x2  y2  z2  x5  y5  z5  x3 x2  2yz  y y  2zx  z3 z2  2xy     x5  y5  z5  2xyz x2  y  z2      Suy : x5  y5  z5  5xyz x2  y  z2  Câu a) Để n  18 n  41 hai số phƣơng  n  18  p2 n  41  q  p,q    p2  q   n  18    n  41  59   p  q  p  q   59 p  q  p  30  Nhƣng 59 số nguyên tố, nên:  p  q  59 q  29 Từ n  18  p2  302  900  n  882 Thay vào n  41, ta đƣợc 882  41  841  292  q Vậy với n  882 n  18 n  41 hai số phƣơng b) Có:  a  b    a  b2  2ab   a  b2  2ab (*) Dấu đẳng thức xảy a  b   25  1 Áp dụng  *  có:  a     5a   b b   Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ;   25  1  b  a    5 b  a      TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2   1   25 1     a     b    Suy ra:  a     b    b  a b  a    2 2   1   25  1   a     b      a  b       b  a   a b    1   25 1 1  a     b         (Vi b  a  a b a  b  1) 1   4 a b ab Với a, b dƣơng , chứng minh a  b  1) (Vi Dấu xảy a  b 2  1   25 Ta đƣợc:  a     b      5.4 b  a  2  1  1 25 Dấu đẳng thức xảy  a  b   a     b    b  a  Câu A D C B F E Chứng minh đƣợc ABE  ECF Chứng minh đƣợc ABE  FCE  c.g.c   AE  EF Tƣơng tự: AF  EF  AE  EF  AF  AEF  EAF  600 Câu A C' H B' N M B Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp A' D C TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com BH  AB BH Chứng minh BHA' BCB'   BC Từ (1) (2)  BC'.BA  BA'.BC a) Chứng minh BHC' BAB'  BC'  BH.BB'  BC'.BA BB' BA'  BH.BB'  BC.BA' BB' (1) (2) Tƣơng tự : CB'.CA  CA'.BC  BC'.BA  CB'.CA  BA'.BC  CA'.BC   BA' A'C  BC  BC2 b) Có BH BC' BH.CH BC'.CH S BHC     AB BB' AB.AC BB'.AC S ABC Tƣơng tự:  AH.BH S AHB AH.CH S AHC  ;  CB.CA S ABC CB.AB S ABC HB.HC HA.HB HC.HA S ABC    1 AB.AC AC.BC BC.AB S ABC CDH  g.g   HM AH  HD CD AH HN Chứng minh AHN BDH  g.g    BD HD Mà CD  BD (gt) (5) c) Chứng minh AHM Từ   ,   ,    (3) (4) HM HN   HM  HN  H trung điểm MN HD HD Câu Gọi E,F,P,Q lần lƣợt trung điểm AB,CD, BC,AD Lấy điểm I,G EF K,H PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ     IF HQ GE KP Xét d đƣờng thẳng cho cắt hai đoạn thẳng AD, BC,EF lần lƣợt M,N,G' Ta có: AB  BM  AN  S ABMN 2 EG' 2       G  G' hay d qua G S CDNM G' F CD  CM  DN  Từ lập luận suy đƣờng thẳng thỏa mãn yêu cầu đề Câu qua điểm G,H,I,K Do có 2018 đƣờng thẳng qua điểm G,H,I,K theo nguyên lý Dirichle phải tồn  2018      505 đƣờng thẳng qua điểm điểm   Vậy có 505 đƣờng thẳng số 2018 đƣờng thẳng cho đồng quy (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (3 điểm)   1) Chứng minh :  x  y  x3  x2 y  xy  y  x4  y   2) Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x   x2  2x   3) Tìm a, b,c biết: a  b2  c2  ab  bc  ac a8  b8  c8  Câu (4 điểm) y2  x2 y2  xy  x2 Cho biểu thức: P    với x  0; y  0; x  y   2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị biểu thức P, biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2  y2  10   x  3y  Câu (4 điểm) 1) Giải phƣơng trình:  6x   6x   6x    72 2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x2  x   y Câu (2 điểm) Cho số a, b,c thỏa mãn  a, b,c  Chứng minh rằng: a  b2  c3  ab  bc  ca  Câu (5,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đƣờng chéo cắt O.Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM  900 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM CD , K giao điểm OM BN 1) Chứng minh BIO  CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a 2) Chứng minh BKM  BCO 3) Chứng minh 1   2 CD AM AN2 Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  , trọng tâm G Qua G vẽ đƣờng thẳng d cắt cạnh AB,AC theo thứ tự D E Tính giá trị biểu thức AB AC  AD AE HƯỚNG DẪN GIẢI Câu  1) Ta có:  x  y  x3  x2 y  xy2  y Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x4  x3 y  x2 y  xy  x y  x y  xy  y  x4  y4 Vậy đẳng thức đƣợc chứng minh      x  x   x  2x    x  2x x  2x     x    2) Ta có:  x  2x  x  2x    2x    x  1 3) Biến đổi a  b2  c2  ab  bc  ca  a  b    b  c    c  a   2 Lập luận suy a  b  c Thay a  b  c vào a8  b8  c8  ta có: 3a8   a8   a  1 a  b  c  Vậy  a  b  c  1 Câu 1) Với x  0; y  0; x  y ta có:   2 2 xy  x y  x  y  x  y   xy  P  x   x  xy  y xy  x  y    xy xy  x  y    x  y  x  y    x xy  x  y  x  xy  y 2   2 xy  x  y  x  xy  y   x xy  x  y  x  xy  y  xy xy   x xy xy 2) Ta có: x2  y2  10   x  3y   x  2x   y  6y     x  1   y    2 x  (tm) Lập luận    y  3 Nên thay x  1; y  3 vào biểu thức P  Câu x  y   3    xy  3    1) Đặt 6x   t Ta có:  t  1 t  1 t  72  t  t  72  t  t  72   x    t  3   x    Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 5  Vậy phƣơng trình có tập nghiệm S   ;  3 3 2) x2  x   y2  4x2  4x  12  4y   2x  1  4y  11   2x  2y  1 2x  2y  1  11  2x  2y   x  3    2x  2y   11  y   2x  2y   1 x     2x  2y   11  y  3   2x  2y   11  x   2x  2y   1  y     2x  2y   11 x  3   2x  2y     y  3  Câu Vì b,c  0;1 nên suy b2  b; c  c Do : a  b2  c3  ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca (1) Lại có: a  b  c  ab  bc  ca   a  1 b  1 c  1  abc  (2) Vì a, b,c  0;1 nên  a  1 b  1 c  1  0; abc  Do từ    a  b  c  ab  bc  ca   3 Từ (1) (3) suy a  b2  c3  ab  bc  ca  Câu A E  I B O M K C N D  1) IBO  MCO  450 (Tính chất đƣờng chéo hình vng) BO  CO (tính chất đƣờng chéo hình vng) BOI  COM (cùng phụ với BOM)  BIO  CMO  g.c.g   S BIO  SCMO mà S BMOI  S BOI  S BMO Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 Do đó: S BMOI  SCMO  S BMO  S BOC  S ABCD  a 4 2) Ta có: BIO  CMO(cmt)  CM  BI  BM  AI Vì CN / /AB nên BM AM IA AM     IM / /BN CM MN IB MN Ta có: OI  OM  BIO  CMO   IOM cân O  IMO  MIO  450 Vì IM / /BN  BKM  IMO  450  BKM  BCO 3) Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE  ABM  g.c.g   AE  AM Ta có: ANE vng A có AD  NE SAEN  2 AD.NE AN.AE   AD.NE  AN.AE   AD.NE    AN.AE  2 Áp dụng định lý Pytago vào ANE ta có: AN2  AE2  NE2 AN2  AE2 1 1     2 2 AN AE AD AE AN AD2 1 Mà AE  AM CD  AD    2 CD AM AN2 Câu    AD2 AN2  AE2  AN2 AE  A D B E G I M d C K Gọi M trung điểm BC AB AI  AD AG AC AK Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với d cắt AM K, ta có:  AE AG AB AC AI  AK Từ (1) (2) suy   (3) AD AE AG Qua B vẽ đƣờng thẳng song song với d cắt AM I, ta có: (1) (2) Mặt khác : AI  AK   AM  MI    AM  MK   2AM   Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 342 Website:tailieumontoan.com 4) Ta có: Q  x  x  x  x    x  x  x   x  x  x   x2  x2  x    x2  x   x  2  x2  x   Vậy Q  Câu 3)  x 1  x x 1     x  x   x  x   x  x    4026 Ta có: R    x   x  2  ĐK: x x     Khi đó: R   x 1 x 1      4026  x  x  x    x  1 x     x  1 x     x  4    4026 x 4 4026 x  2013 x  Vậy R xác định  R  2013  x  2 4) +Nếu x  2, phƣơng trình cho trở thành :  x   x  1 x  1 x      x  1 x     x  x   x  x     x  (ktm)    x  (tm)   x   (ktm) x  2, phƣơng trình cho trở thành:   x  x  1 x  1 x    +)Nếu   x   x  1 x  1 x    4   x  1 x    4  x4  5x2   5    x     vơ nghiệm 2  Phƣơng trình có nghiệm x  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 343 Website:tailieumontoan.com Câu 3) Ta có: n  n  n  n  1 n  1 Vì n  1; n; n  ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho   Do n  n (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với 1 ;   suy n  n  24  dpcm  m  2 2 Suy  n    2009  m  m   n    2009   m  n  2 m  n    2009 4) Giả sử n  4n  2013  m 2 Mặt khác 2009  2009.1  287.7  49.41 m  n   m  n  nên có trƣờng hợp sau: m  n   2009 m  1005 TH 1:   m  n    n  1002 m  n   287 m  147 TH :   m  n    n  138 m  n   49 m  45 TH 3:   m  n   41  n  Vậy số cần tìm 1002;138;2 Câu B A H I D E C 3) c) Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân Từ suy AB  AD  a, BC  2a Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 344 Website:tailieumontoan.com Diện tích hình thang AB  CD  AD  a  2a .a 3a  ABCD S    2 d) ADH  ACD(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tƣơng ứng vng góc) Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có: AD IB   , hai tam giác ADC IBD đồng dạng DC BC Suy ACD  BDI (2) Từ 1 ,    ADH  BDI Mà ADH  BDH  45  BDI  BDH  45 hay HDI  45 0 4) M A B D C Gọi AD đƣờng phân giác góc A, qua C kẻ đƣờng thẳng song song với AD cắt đƣờng thẳng AB M Ta có: BAD  AMC (hai góc vị trí đồng vị) DAC  ACM (hai góc vị trí so le trong) Mà BAD  DAC nên AMC  ACM hay ACM cân A, suy AM  AC  b AD BA c   CM BM b  c c AD 11 1 Mà CM  AM  AC  2b        b  c 2b la  b c  1 1 1 1 Tƣơng tự ta có:     (2);     (3) lb  c a  lc  a b  Cộng 1 ;   ;  3 vế theo vế ta có điều phải chứng minh Do AD / /CM nên Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp (1) TÀI LIỆU TỐN HỌC 345 Website:tailieumontoan.com Câu Ta có: a   2a; b   2b  a  b   2a  2b  a  b  2 2 Chứng minh đƣợc với hai số dƣơng x, y 1   x y x y    1 2 a  b  a   b    Vậy GTLN S 1, dạt đƣợc a  b  Do đó: S    (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 99 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (4 điểm)   a  12  2a  4a  a  4a Cho biểu thức M    : a3   4a  3a   a  1 a) Rút gọn M b) Tìm a để M  c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phƣơng trình sau: x x x6 x8    98 96 94 92 b) x  x   2) Tìm m để phƣơng trình sau vơ nghiệm  x x  2 x  m    xm xm m2  x 2 3) Tìm a, b cho f ( x)  ax  bx  10 x  chia hết cho đa thức g ( x)  x  x  a) Câu (4 điểm) 1) Cho x  y  z  x  y  z  Tính A  x  y 2015  z 2015 2) Một ngƣời dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km / h, nhƣng sau đƣợc ngƣời nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km / h để 3 2015 đến B định Tính quãng đƣờng AB ? Câu (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C ) Tia AM cắt đƣờng thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE  CM Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 346 Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh : ME / / BN c) Từ C kẻ CH  BN  H  BN  Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Câu (2 điểm) a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c  P   2015  a 2016  b 2017  c Cho số thực dƣơng HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2 điểm) a) Điều kiện: a  0; a    a  12  2a  4a  a  4a Ta có: M     : a3  a  1 4a  3a   a  1   a  12  2a  4a  4a     2  a  a   a  1  a  a  1 a   a  a    a  1    2a  4a  a  a   a  1  a  a  1 4a a 4 a  3a  3a    2a  4a  a  a  4a  a 4  a  1  a  a  1  a  4a 4a  a3  a  a  b) M   4a   a  Kết hợp với điều kiện suy M  a  a  a     a  4a    a  2 4a  c) Ta có: M   1 a 4 a2  a 4  a  2 Vì a2   a  2  với a nên   a  2 Dấu "  " xảy a2   với a a2  Vậy MaxM  1khi a  0a2 Câu 1) a) Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 347 Website:tailieumontoan.com x2 x4 x6 x8    98 96 94 92  x2   x4   x6   x8    1    1    1    1  98   96   94   92  1     x  100      0  98 96 94 92  1 1 Vì    0 98 96 94 92 Do đó: x  100   x  100 Vậy phƣơng trình có nghiệm : x  100 b) Ta có: x  x3     x3  1 x3      x  1  x  x  1  x    x  x    * 1  Do x  x    x     x  x    x  1   với x 2  Nên *   x  1 x     x 1;2  x x  2 x  m    (1) xm xm m2  x ĐKXĐ: x  m  x  m   x  m  1  x  x  m    x   x  m     x  m  2)   2m  1 x  m  * 3 ta có: *  x  (vơ nghiệm) 2 m2 +Nếu m  ta có *  x  2m  - Xét x  m m2   m  m   2m  m 2m  +Nếu 2m    m  1   2m  2m    m  m     m     2  2 (Khơng xảy vế trái ln dƣơng) Xét x  m Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 348 Website:tailieumontoan.com m2  m  m   2m2  m 2m   m2   m  1 Vậy phƣơng trình vơ nghiệm m  m  1 2 3) Ta có: g ( x)  x  x    x  1 x    Vì f ( x)  ax  bx  10 x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  2 Nên tồn đa thức q( x) cho f ( x)  g ( x).q( x)  ax3  bx  10 x    x  . x  1 q( x) Với x   a  b    b  a  1 Với x  2  2a  b     Thay 1 vào   ta có: a  4 b  2 Câu Từ x  y  z    x  y  z   1) Mà x  y  z  3   x  y  z   x3  y  z    x  y  z   z   x3  y     x  y  z  z   x  y  z    x  y  z  z  z    x  y   x  xy  y       x  y   x  y  z  xy  yz  xz  xz  yz  z  z  x  xy  y     x  y   3z  3xy  yz  xz     x  y  3 y  z  x  z   x  y  x   y   y  z    y  z    x  z   x   z * Nếu x   y  z   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu y   z  x   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu x   z  y   A  x 2015  y 2015  z 2015  2) Gọi x  km  độ dài quãng đƣờng AB ĐK: x  Thời gian dự kiến hết quãng đƣờng AB: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp x (giờ) 30 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 349 Website:tailieumontoan.com Quãng đƣờng đƣợc sau giờ: 30(km) Quãng đƣờng lại : x  30  km  x  30 (giờ) 40 x x  30 Theo ta có phƣơng trình: 1  30 40  x  30.5  3. x  30   x  60 (thỏa mãn) Thời gian quãng đƣờng lại: Vậy quãng đƣờng AB 60km Câu E A O D a) B M H' H C N Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có : OB  OC Và B1  C1  45 BE  CM  gt  Suy OEM  OMC (c.g.c)  OE  OM O1  O3 Lại có: O2  O3  BOC  90 tứ giác ABCD hình vng  O2  O1  EOM  900 kết hợp với OE  OM  OEM vuông cân O b) Từ giả thiết ABCD hình vng  AB  CD AB / /CD AM BM  AB / /CD  AB / /CN   (định lý Ta-let) * MN MC Mà BE  CM  gt  AB  CD  AE  BM thay vào * AM AE   ME / / BN (theo Định lý Talet đảo) MN EB c) Gọi H ' giao điểm OM BN Ta có: Từ ME / / BN  OME  MH ' B Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 350 Website:tailieumontoan.com Mà OME  45 OEM vng cân O  MH ' B  45  C1 0  OMC  BMH '  g.g  OM MC  , kết hợp OMB  CMH ' (hai góc đối đỉnh) BM MH  OMB CMH '(c.g.c)  OBM  MH 'C  450 Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  90  CH '  BN Mà CH  BN  H  BN   H  H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Câu Ta có: 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c    2015  a 2016  b 2017  c b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031    2015  a 2016  b 2017  c P Đặt 2015  a  x 2016  b  y 2017  c  z b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   2015  a 2016  b 2017  c yz zx x y y x x z y z          x y z x y z x z y P 2 y x z x y z 2 2 6 x y x z z y (Co  si ) a  673, b  672, c  671 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P a  673, b  672, c  671 Dấu "  " xảy x  y  z suy (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 100 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Bài (4,5 điểm) 6x       :  x  2  x 1 x 1 x  x 1 a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q Cho biểu thức : Q   Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 351 Website:tailieumontoan.com b) Tìm x Q  c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài (4,5 điểm) 2x  2x  x2  x  a) Giải phƣơng trình :  1 2x  2x   x  1 x   b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  x  c) Tìm giá trị x, y nguyên dƣơng cho : x  y  y  13 2 Bài (4,0 điểm) ab  bc  ca    Chứng minh a  b  c b c a n b) Cho số tự nhiên n  Chứng minh  10a  b  a, b  ,0  b  10  a) Cho abc  1 tích ab chia hết cho Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đƣờng cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC  DH DA b) Chứng minh rằng: HD HE HF    AD BE CF c) Chứng minh rằng: H giao điểm đƣờng phân giác tam giác DEF d) Gọi M , N , P, Q, I , K lần lƣợt trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB , EF , FD, DE Chứng minh ba đƣờng thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Bài (1,0 điểm) AB  AC  b; BC  a Đƣờng phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b   b a  a  b 2 Cho tam giác ABC cân A có Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    2 1 b 1 c 1 a HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) ĐK: x  1; x  2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 352 Website:tailieumontoan.com x2  x   x   x   x   x  1 Q   x3  x   x  1 x    x  x  1 x  x  b)  x  1 1   x  x    x  x       x  x2  x   So sánh với điều kiện suy x  Q  1 3  c) Q  ; Vì  0; x  x    x      2 4 x  x 1  Q đạt GTLN  x2  x  1đạt GTLN  x  x    x   tm  Lúc Q  4 Vậy GTLN Q Q  x  1 7 ;x  Câu a) ĐK: x  2  x  3 x     x  5 x  1   x   x  1  x  x   x  1 x    x   x  1  x   x  1  x   x  1 x  20 x  21  x  12 x  x  16 x   x  x     x   x  1  x   x  1 x  16 2 x  x  16    x   x  1  2x  7  x  16  2 x  x  16  x  x   x  x  1   x  (tm)  1 x  (ktm)  Vậy phƣơng trình có nghiệm x  b) Ta có x3  x  x    x3  x    x    x  x     x     x   x  1 x  1 c) Ta có: x  y  y  13  x   y  1  12   x  y  1 x  y  1  12 Do x  y    x  y  1  y  số chẵn x, y  * nên x  y   x  y  Do x  y  x  y  1là hai số nguyên dƣơng chẵn Từ suy có trƣờng hợp : x  y   x  y   Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 353 Website:tailieumontoan.com  x  y  Vậy  x; y    4;1 Câu a) Từ ab  bc  ca  1 1   a b c b c a b c a Do đó: 1 bc 1 ca 1 a b a b    ;b  c    ;c  a    c b bc a c ac b a ab  a  b  b  c  c  a  Suy :  a  b  b  c  c  a   a 2b2c   a  b  b  c  c  a   a 2b2c  1    a  b  b  c  c  a   (do abc  1 ) Suy a  b  c b) Ta có:  10a  b  b  ab n (1) Ta chứng minh ab (2) Thật , từ đẳng thức  10a  b  có chữ số tận b n n Đặt n  4k  r  k , r  ,0  r  3 ta có:  16 n   k r Nếu r    16  10  tận n r r k n  2r  Suy b   10a    16   a  ab r n r r k Từ 1   suy ab Câu A E Q P F N H K I B a) Chỉ đƣợc BDH Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp D M ADC ( g g )  C BD DH   BD.DC  DH DA AD DC TÀI LIỆU TOÁN HỌC 354 Website:tailieumontoan.com S HBC HD.BC HD b) Ta có:   S ABC AD.BC AD HE S HAC HF S HAB  ;  Tƣơng tự BE S ABC CF S ABC Do đó: HD HE HF S HBC  S HAC  S HAB S ABC     1 AD BE CF S ABC S ABC c) Chứng minh đƣợc AEF ABC  c.g.c   AEF  ABC Tƣơng tự: DEC  ABC Do đó: AEF  DEC Mà AEF  HEF  DEC  HED  90 nên HEF  HED  EH phân giác ngồi góc EFD Do H giao đƣờng phân giác tam giác DEF d) Do BEC vuông E, M trung điểm BC nên EM  cạnh huyền), Tƣơng tự: FM  BC (trung tuyến ứng với BC Do đó: EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ  EF  MQ đƣờng trung trực EF hay MQ đƣờng trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tƣơng tự, chứng minh đƣợc NI PK đƣờng trung trực tam giác DEF nên ba đƣờng thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Câu A H D B C Vẽ BH đƣờng cao tam giác ABC Tam giác BAD cân B  BA  BD  có BH đƣờng cao nên đƣờng trung tuyến AD Tam giác ABC có BD đƣờng phân giác, ta có:  AH  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 355 Website:tailieumontoan.com DA AB b DA DC DA  DC AC b b2         DA  DC BC a b a ab ab ab a b Tam giác HAB vuông H, theo định lý Pytago ta có: AD AB  BH  AH  BH  b  (1) Tam giác HBC vuông H, theo định lý Pytago, ta có: 2 2 BC  BH  HC  BH  BC   AC  AH  2 2 2 AD    a  b     2 AD  BH  a  b  b AD  (2) 2 Từ (1) (2) ta có: AD AD 2 b   a  b  b AD   b  a  b.AD  b 4 ab a b b 1 b   b  a  b  a        2 ab ab  a  b b a a  b Vậy toán dƣợc chứng minh Câu Do a, b   b2  2b với b nên: a ab2 ab2 ab  a   a   a   b2  b2 2b b bc c ca Tƣơng tự ta có:  b  ;  c   c2  a2 a b c ab  bc  ca Mà a  b  c  nên    3 2 1 b 1 c 1 a (1) Cũng từ a  b  c    a  b  c    a  b2  c2   ab  bc  ca   Mà a  b  2ab; b  c  2bc; c  a  2ac nên a  b  c  ab  bc  ca 2 2 2 2 Suy 3 ab  bc  ca    ab  bc  ca    a b c 3    3  2 1 b 1 c 1 a 2 Đẳng thức xảy  a  b  c  Từ 1 ,   suy  dpcm  (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 356 Website:tailieumontoan.com _HẾT _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC ... nguyên tố, nên:  p  q  59 q  29 Từ n  18  p2  302  900  n  88 2 Thay vào n  41, ta đƣợc 88 2  41  84 1  292  q Vậy với n  88 2 n  18 n  41 hai số phƣơng b) Có:  a  b    a... 322; 511;700; 266; 455 ; 644; 83 3; 399; 588 ; 777; 966 Vậy có 18 số thỏa mãn Câu tốn: 707; 5 18; 329;770; 581 ; 392 ;133; 322; 511;700 ; 266 ; 455; 644; 83 3; 399; 588 ;777; 966 b) Vì x  y  z  nên:... riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi tốn lớp huyện nước Mặc dù có đầu tư lớn thời gian,