Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
3,45 MB
Nội dung
Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN Tham gia Nhóm: Chun đề Toán THCS để cập nhật nhiều Tại: https://www.facebook.com/groups/chuyen.de.toan.thcs/ Câu : Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM Chứng minh : ∆OEM vuông cân Chứng minh : ME // BN Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Hướng dẫn giải a Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC �C � 450 Mặt khác: BE = CM ( gt ) Và B 1 Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) �O � � OE = OM O � O � BOC � 900 tứ giác ABCD hình vng Lại có O Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT � O � EOM � O 900 kết hợp với OE = OM � ∆OEM vuông cân O b Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng � AB = CD AB // Chọn đáp án D + AB // CD � AB // CN � AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD � AE = BM thay vào (*) Ta có : AM AE � ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) MN EB c Gọi H’ giao điểm OM BN � OH � ' E ( cặp góc so le trong) Từ ME // BN � OME � 450 ∆OEM vng cân O Mà OME � ' B 450 C � � MH � ∆OMC : ∆BMH’ (g.g) � OM MH ' � CMH � ' ( hai góc đối đỉnh) ,kết hợp OMB OB MC � ∆OMB ∽ ∆CMH’ (c.g.c) � � ' C 450 � OBM MH � ' C BH � ' M MH � ' C 900 � CH ' BN Vậy BH Mà CH BN ( H � BN) � H �H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? Chứng minh : CH.CD = CB.CK Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Hướng dẫn giải a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO ( g c g ) Suy ra: BE = DF Do : Tứ giác BEDF hình bình hành Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT � KDC � b Ta có: � ABC � ADC � HBC Chứng minh : CBH : CDK ( g g ) � CH CK � CH CD CK CB CB CD H C B F O A E K D c Chứng minh : AFD : AKC ( g g ) � Chứng minh : CFD : AHC ( g g ) � Mà : CD = AB � AF AK � AD AK AF AC AD AC CF AH CD AC CF AH � AB AH CF AC AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC (đfcm) Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD a Chứng minh: b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Hướng dẫn giải a Chứng minh: AE FM DF � AED DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi � ME MF a không đổi � SAEMF ME.MF lớn � ME MF (AEMF hình vng) � M trung điểm BD Câu 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Hướng dẫn giải a Lập luận để có Lập luận để có OM OD , AB BD ON OC AB AC OD OC DB AC OM ON OM = ON AB AB b, Xét ABD để có OM DM AB AD (1), xét ADC để có OM AM DC AD Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) (2) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Từ (1) (2) OM.( 1 AM DM AD 1 ) AB CD AD AD từ có (OM + ON) ( 1 1 ) 2 AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S S AOB BOC S AOB S DOC S BOC S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC C Chứng minh S AOD S BOC S AOB S DOC ( S AOD ) Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009 Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) Câu 5:Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: Hướng dẫn giải + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung + CD CA (CDE CE CB ∽ CAB đồng dạng) Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Tốn THCS-THPT Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) � � Suy ra: BEC ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên � AEB 450 tam giác ABE vng cân A Suy ra: BE AB m 2 Ta có: BM BE AD � � (do BEC BC BC AC ∽ ADC ) mà AD AH (tam giác AHD vuông vân H) nên BM AD AH BH BH � � (do ABH : CBA ) BC AC AC AB BE � � 1350 � � Do BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC AHM 450 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC Suy ra: GB AB AB ED AH HD ABC : DEC ED // AH , mà GC AC AC DC HC HC Do đó: GB HD GB HD GB HD � � GC HC GB GC HD HC BC AH HC Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF Hướng dẫn giải a Tứ giác ABCK có: Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT AB // CK (AB // CD, K � CD) AK // BC (gt) � ABCK hình bình hành � CK = AB � DK = CD – CK = CD – AB (1) Chứng minh tương tự, ta có DI = AB � IC = CD – DI = CD – AB (2) Từ (1) (2) suy ra: DK = IC A B F E D K I C b DEK có AB // DK, theo hệ định lý Ta-let ta có: AE AB = EK DK (3) FIC có AB // IC, theo hệ định lý Ta-let ta có: AF AB = FC IC (4) Mà: DK = IC (câu a) Từ (3), (4), (5) suy ra: AKC có (5) AE AF = EK FC AE AF � EF // KC (định lý Ta-lét đảo) = EK FC � EF // CD c Ta có: AB CK = (vì AB = CK) CD CD (6) BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có: CK BE = CD BD BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có: Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) (7) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT BE EF = BD DI Mà DI = AB BE EF = BD AB Suy ra: AB CK BE EF = = = CD CD BD AB Từ (6), (7), (8) suy ra: � (8) AB EF � AB2 = CD EE = CD AB Câu 7: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải � � (cùng phụ BAH � ) Ta có DAM = ABF AB = AD ( gt) � = ADM � BAF = 900 (ABCD hình vng) � ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành � = 900 (gt) Mặt khác DAE Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT b Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH � = HBC � � ) Lại có HAB (cùng phụ ABH � ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) � 2 SΔCBH SΔCBH �BC � BC � = (gt) � � = � �, mà = nên BC2 = (2AE)2 � � S SΔEAH �AE � ΔEAH �AE � � BC = 2AE � E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: � AD AM AD CN = � = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: � MN MC AB MC AD MC = � = = hay AN AB AN MN AN MN Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT 2 2 AD � �AD � �CN � �CM � CN + CM MN � � = =1 � �+ � �= � �+ � �= MN MN �AM � �AN � �MN � �MN � (Pytago) 2 1 AD � �AD � � � � �+ � �= AM AN AD �AM � �AN � (đpcm) Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị khơng đổi c) Kẻ Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh Hướng dẫn giải a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) - Từ suy EB ED � EA.EB ED.EC EC EA b) Kẻ MI vng góc với BC ( I �BC ) Ta có BIM đồng dạng với BDC (g- g) � BM BI � BM BD BI BC (1) BC BD Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) � CM CI � CM CA CI BC (2) BC CA Từ (1) (2) suy BM BD CM CA BI BC CI BC BC ( BI CI ) BC (khơng đổi) Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT E D A M Q B P I H C c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) � BH BD BP BD BP BD � � DH DC DQ DC DQ DC � DCQ � - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) � BDP � PDC � 90o � CQ PD � PDC � 90o � DCQ mà BDP Câu 9:Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh OM=ON b) Chứng minh c) Biết Tính ? d) Nếu Chứng minh BD > AC Hướng dẫn giải a/ Ta có OA OB OM ON OM=ON Do MN//DC AC BD DC DC b/ Do MN//AB CD Do đó: OM AM OM DM CD AD AB AD OM OM AM MD (1) DC AB AD Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Tương tự: ON ON 1 (2) DC AB Từ (1);(2) MN MN 1 2 DC AB DC AB MN c/ Hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích tam giác tỉ số cạnh đáy tương ứng Do : Nhưng S AOB OB S AOD OA S AOD OD S COD OC S S OB OA AOB AOD S AOD S COD OD OC S AOD S AOB S COD a b nên S AOD ab Tương tự S BOC ab Vậy S ABCD a b d/ Hạ AH, BK vng góc với CD H K Do Dˆ Cˆ 90 nên H, K nằm đoạn CD Ta có AEˆ D BCˆ D Cˆ Dˆ AD AE Tứ giác BCEA hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC DH>KC DK > CH Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 2 DB BK DK AH CH AC (Do AH BK ) � BD AC ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021 Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Bợ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo) Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online biểu mẫu: https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Tốn THCS-THPT Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF cắt H Tính tổng: Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Hướng dẫn giải a Trước hết chứng minh: Tương tự có: Nên S ( HBC ) HD = S ( ABC ) AD HE S ( HCA) HF S ( HAB) ; BE S ( ABC ) CF S ( ABC ) S ( HBC ) S ( HCA) S ( HAB ) HD HE HF HD HE HF � = =1 S ( ABC ) AD BE CF AD BE CF b Trước hêt chứng minh BDH : BEC � BH.BE = BD.BC Và CDH : CFB � CH.CF = CD.CB � BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm) A E F H M I B K N D C O c Trước hết chứng minh: AEF : ABC � � AEF � ABC Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT � CBA � Và CDE : CAB � CED � � � mà EB AC nên EB phân giác góc DEF AEF CED Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) d Gọi O giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC, � � (1) ta có OMH = ONC (c.c.c) � OHM OCN � OCH � (2) Mặt khác ta có OCH cân O nên: OHC � OHB � � HO phân giác góc BHC Từ (1) (2) ta có: OHC Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC p/giác góc BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O Câu 11: Cho hình vng ABCD ( AB = a ), M điểm cạnh BC Tia Ax vng góc với AM cắt đường thẳng CD K Gọi I trung điểm đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI N 1/ Tứ giác MNKE hình ? Chứng minh 2/ Chứng minh: AK2 = KC KE 3/ Chứng minh điểm M di chuyển cạnh BC tam giác CME ln có chu vi khơng đổi 4/ Tia AM cắt đường thẳng CD G Chứng minh khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Hướng dẫn giải + Từ MN // AB // CD MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE + Chỉ tam giác AMK vng cân A để có AE KM + Tứ giác MNKE hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nên MNKE hình thoi Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT A B M N I D K 2: E + Từ tính chất hình vng có ACK = 45 C G + Chứng minh hai tam giác AKE CKA đồng dạng, suy ĐPCM 3: + Từ hai tam giác ABM ADK ta có MB = DK nên EK = MB + ED + Tam giác AMK vng cân A có MI = IK Nên AI trung trực MK Do ME = EK + Từ ME = MB + ED, suy ME + CM + CE = 2a 4: + Tam giác AMK vuông cân A nên AM = AK; 1 1 2 = AM AG AK AG + Tam giác AKG vuông A nên AK AG = KG AD = dt AKG, AK2 AG2 = KG2 AD2 + Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 AD = a nên ta có 1 AK AG AK AG = a ( AK + AG ), hay , suy = 2 AK AG a2 AK AG a2 2 2 Câu 12: Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh a Một điểm M chuyển động cạnh DC (MD, MC) chọn điểm N cạnh BC cho MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN E F Chứng minh: ABF AMC 2.Chứng minh AFM = AEN = 90o Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Chứng minh SAEF = SAMN Chứng minh chu vi CMN không đổi M chuyển động DC Gọi H giao điểm MF NE Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2 Hướng dẫn giải A B F N H I E K D M C Chứng minh: ABF ∽ AMC -Ta cm: � ABF � ACM 450 � � � 450 450 ) - BAF ( cộng với góc CAN MAC suy : ABF ∽ AMC Chứng minh: � AFM � AEN 90o Từ ABF ∽ AMC (g.g) => AF AB AF AM (1) AM AC AB AC � BAC � 450 (2) Có MAF Từ => AFM ∽ ABC => � AFM � ABC 90o C/M hồn tồn tơng tự có: � AEN 900 vậy: � AFM � AEN 90o S AEF = 1/2 S AMN Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Có AFM ∽ AEN => AF AE AM AN => AEF = AMN (c.g.c) => SAEF AF ( ) (1) SAMN AM � Có: FAM 450 , � AFM 900 => AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 => ( AF ) = AM Thay vào (1) ta đợc SAEF = hay: S AEF = 1/2 S AMN SAMN C/M chu vi CMN không đổi Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BN � � ADK = ABN => AK = AN BAN DAK AMN = AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi CMN không thay đổi M chuyển động cạnh DC Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2 Kẻ HI MN I - Cm: MHI ∽ MNF => MH.MF =MI.MN - Cm: NHI ∽ NME => NH.NE =NI.NM - suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI ) = MN - áp dụng định lí Pitago vào CMN ta có: MN2 = MC2 +CN2 Vậy: MH.MF + NH.NE = MC2 +CN2 Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Câu 13: Cho tam giác ABC nhọn (AB