DS c3 he phuong trinh

Chương 33 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH § hệ phương trình bậc nhiều ẩn  HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:  Định nghĩa: a1x + b1y = c1 (1) với a2x + b2y = c2 (2)  Hệ phương trình bậc ẩn x y hệ có dạng (I ) :  2  a1 + b1 ≠ ×  2  a2 + b2 ≠ Cặp số (xo ; yo ) đồng thời thỏa phương trình (1) (2) gọi nghiệm hệ  Công thức nghiệm: Quy tắc Crame Ký hiệu: D = a1 b1 a2 b2 = a1b2 − a2b1 , Dx = c1 b1 c2 b2 = c1b2 − c2b1 , D y = Xét D c1 a2 c2 = a1c2 − a2c1 Kết qua Hệ có nghiệm D≠0 x= D=0 a1 Dy Dx , y= × D D Hệ vô nghiệm Dx ≠ hoặc Dy ≠ Hệ có vơ số nghiệm Dx = D y = Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số  Biểu diễn hình học tập nghiệm: Nghiệm (x; y) hệ (I ) tọa độ điểm M (x; y) thuộc đường thẳng: (d1): a1x + b1y = c1 (d2 ) : a2x + b2y = c2 • Hệ (I ) có nghiệm ⇔ (d1) (d2 ) cắt • Hệ (I ) vơ nghiệm ⇔ (d1) (d2 ) song song với • Hệ (I ) có vơ số nghiệm ⇔ (d1) (d2 ) trùng a1 b1 ≠ a2 b2 y y (d2 ) (d ) yo M O xo O Nghiệm a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 (d1) (d2 ) x Vô nghiệm y (d2 ) a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 (d1) x O Vơ số nghiệm HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Trang 1/15  a1x + b1y + c1z = d1  Hệ có dạng:  a2x + b2y + c2z = d2 × Một nghiệm hệ số (xo; yo ; zo) thỏa a x + b y + c z = d 3  phương trình hệ Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn § hệ phương trình bậc hai hai ẩn số  HỆ GỒM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax + by = c 2 dx + exy + fy + gx + hy = i (1) • Dạng tổng quát:  • Phương pháp giải: Từ phương trình bậc (1), rút x theo y (hoặc y theo x) vào phương trình lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y) (2) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ khơng thay đổi trật tự phương trình khơng thay đổi • Phương pháp giải: Biến đổi dạng tổng tích biến Đặt S = x + y, P = xy Giải hệ với ẩn S, P với điều kiện có nghiệm (x; y) S2 ≥ 4P Tìm nghiệm (x; y) cách vào phương trình X − SX + P =  Một số biến đổi để đưa dạng tổng – tích thường gặp: • o o x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = S2 − 2P o (x − y)2 = (x + y)2 − 4xy = S2 − 4P x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = S3 − 3SP o x + y = (x + y ) − 2x y = S − 4S P + 2P o 2 2 2 x4 + y4 + x2 y2 = (x2 − xy + y2 )(x2 + xy + y2 ) = ××××××××× HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ phương trình khơng thay đổi trật tự phương trình thay đổi (phương trình trở thành phương trình kia) • Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế phân tích thành nhân tử, lúc đưa dạng (x − y) f (x) = 0, tức ln có x = y  Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa thức, sau trừ ta thường liên hợp • HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI • a1x2 + b1xy + c1y2 = d1 Dạng tổng quát:  2 a2x + b2xy + c2y = d2 • Phương pháp giải: (i) ⇔  2 d2(a1x + b1xy + c1y ) = d1.d2 2 d1(a2x + b2xy + c2y ) = d1.d2 (i ) (1) (2) − b2d1) ×xy + (c1d2 − c2d1) ×y2 = Đây phương trình đẳng Lấy (1) − (2) ⇒ (a1d2 − a2d1) ×x2 + (bd cấp bậc hai nên tìm mối liên hệ x, y  fm(x; y) = a với fm(x; y), fn (x; y), fk (x; y) biểu thức đẳng cấp bậc  fn (x; y) = fk (x; y)  Lưu ý: Dạng  Trang 2/15 m, n, k thỏa mãn m+ n = k Khi ta sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải Tức biến đổi hệ  a = f (x; y) m  ⇔ ↓ ⇒ fm(x; y) × fn (x; y) = a fk(x; y) phương trình đẳng cấp bậc a×f (x; y) = a×f (x; y) k  n k  x + y = Câu Nghiệm hệ:  là: 3 x + y = ( − 2; 2 − 3) C ( − 2;3 − 2 ) ( + 2; D ( − 2; A B ) − 3) −3 Lời giải Chọn C ( ) Ta có : y = − x ⇒ 3x + − x = ⇒ x = − ⇒ y = − 2 Câu Hệ phương trình sau có nghiệm A B 2 x + y = 4 x + y = 10 ( x; y ) :  C D Vơ số Lời giải Chọn A Ta có : x + y = 10 ⇔ x + y = Vậy phương trình có vơ số nghiệm 3 x + y = Câu Tìm nghiệm của hệ phương trình:  2 x − y =    17   17  17 A  ; − ÷ B  − ; ÷ C  − ; − ÷  23 23   23 23   23 23  Lời giải Chọn A − 3x − 3x 17 −7 ⇒ 2x − =1 ⇒ x = ⇒y= Ta có : y = 4 23 23 0,3 x − 0, y − 0,33 = Câu Tìm nghiệm ( x; y ) hệ :  1, x + 0, y − 0, = A ( –0, 7;0, ) B ( 0, 6; –0, ) C ( 0, 7; –0, )  17  D  ; ÷  23 23  D Vô nghiệm Lời giải Chọn C Ta có : y = 0,3 x − 0,33 0,3x − 0,33 ⇒ 1, x + 0, − 0, = ⇒ x = 0, ⇒ y = −0, 0, 0, x + y = Câu Hệ phương trình:  có nghiệm ? 3 x + y = A B C Lời giải Chọn D Ta có : = = ⇒ Hệ phương trình có vơ số nghiệm D Vơ số nghiệm Trang 3/15 2 x + y =  Câu Hệ phương trình :  x + z = + 2 có nghiệm là?  y + z = 2+ ( A 1; 2; 2 ) ( B 2;0; ) ( ) ( C −1;6; ) D 1; 2; Lời giải Chọn D Ta có : Thế y = − x vào phương trình y + z = + ta −2 x + z = −2 +  −2 x + z = −2 + Giải hệ  ta x = 1; z = ⇒ y =  x + z = + 2  x − y = 16 Câu Cho hệ phương trình  Để giải hệ phương trình ta dùng cách x + y = sau ? A Thay y = − x vào phương trình thứ B Đặt S = x + y , P = xy C Trừ vế theo vế D Một phương pháp khác Lời giải Chọn A Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai nên ta rút ẩn từ phương trình bậc vào phương trình bậc hai x − y = Câu Hệ phương trình  có nghiệm :  x y = 90 A ( 15;6 ) , ( 6;15 ) B ( –15; –6 ) , ( –6; –15 ) C ( 15; ) , ( –6; –15 ) D ( 15;6 ) , ( 6;15 ) , ( –15; –6 ) , ( –6; –15 ) Lời giải Chọn C Ta có : y = x − ⇒ x ( x − ) = 90 ⇒ x − x − 90 = ⇒ x = 15; x = −6 x = 15 ⇒ y = x = −6 ⇒ y = −15 ( )  + x + y = − Câu Nghiệm hệ phương trình  là:  x − − y = 2 1 1   A  1; − ÷ B  −1; ÷ C ( 1; ) 2 2   Lời giải Chọn D Ta có : y = − − ( ) + x ⇒ 2x − ( ( ) )( −1 −1 − ( D ( 1; −2 ) ) ) +1 x = 2 ⇒ x = ⇒ y = −2 Câu 10 Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: 3 x − my =   −mx + y = m − A m ≠ hay m ≠ −3 B m ≠ m ≠ −3 Trang 4/15 C m ≠ D m ≠ −3 Lời giải Chọn B Ta có : D = −m = − m2 −m Phương trình có nghiệm D ≠ ⇔ m ≠ ±3 Câu 11 Với giá trị m hai đường thẳng ( d1 ) : ( m2 –1) x – y + 2m + = A m = −2 giá trị m sau trùng ( d ) : x – y + = B m = C m = hay m = −2 D Khơng có Lời giải Chọn A Ta có : Hai đường thẳng d1 d trùng m − −1 2m + = = −1 m − =  m = ±2 ⇔ ⇔ ⇔ m = −2  m = −2  2m + = x + y = S Câu 12 Để hệ phương trình :  có nghiệm , điều kiện cần đủ :  x y = P A S – P < B S – P ≥ C S – P < D S – P ≥ Lời giải Chọn D Ta có : x, y nghiệm phương trình X − SX + P = Hệ phương trình có nghiệm ∆ = S − P ≥  x y + x + y = 11 Câu 13 Hệ phương trình  2  x y + xy = 30 A có nghiệm ( 2;3) ( 1;5 ) B có nghiệm ( 2;1) ( 3;5 ) C có nghiệm ( 5;6 ) D có nghiệm ( 2;3) , ( 3; ) , ( 1;5 ) , ( 5;1) Lời giải Chọn D Đặt S = x + y , P = xy (S − 4P ≥ 0)  S + P = 11 ⇒ S ( 11 − S ) = 30 ⇒ − S + 11S − 30 = Hệ phương trình tương đương  SP = 30  ⇒ S = 5; S = Khi S = P = suy hệ có nghiệm ( 2;3) , ( 3; ) Khi S = P = suy hệ có nghiệm ( 1;5 ) , ( 5;1)  x2 + y2 = Câu 14 Hệ phương trình  có nghiệm : y = x + m A m = B m = − C m = hoặc m = − D m tùy ý Lời giải Chọn C 2 Ta có : x + ( x + m ) = ⇔ x + 2mx + m − = ( *) Trang 5/15 Hệ phương trình có nghiệm phương trình ( *) có nghiệm ⇒ ∆ ' = m2 − m2 + = ⇔ m = ±  ( x + y ) + ( x − y ) = Câu 15 Hệ phương trình :  Có nghiệm ( x + y ) + ( x − y ) =  13  A  ; ÷ 2   13   13  B  − ; − ÷ C  ; ÷  2  2 Lời giải  13  D  − ; − ÷  2 Chọn B Đặt u = x + y, v = x − y  2u + 3v = ⇒ ( − 2v ) + 3v = ⇒ v = ⇒ u = −7 Ta có hệ  u + 2v =  x + y = −7 13 ⇒ ⇒ x + x − = −7 ⇒ x = − ⇒ y = − 2 x − y =  x − + y = Câu 16 Hệ phương trình:  có nghiệm ?  x − y = A x = −3; y = B x = 2; y = −1 C x = 4; y = −3 D x = −4; y = Lời giải Chọn B  x −1 = − 2x ⇔ x = ⇒ y = −1 Ta có : x − + x − = ⇔ − x ≥ ∩   x − = −5 + x  mx + y = 2m − Câu 17 Phương trình sau có nghiệm với giá trị m :   x + (m + 2) y = m + A m ≠ C m ≠ hoặc m ≠ −3 B m ≠ −3 D m ≠ m ≠ −3 Lời giải Chọn D Ta có : D = m ( m + ) − = m + 2m − Phương trình có nghiệm D ≠ ⇔ m ≠ m ≠ −3  mx + ( m + ) y = Câu 18 Cho hệ phương trình :  Để hệ vơ nghiệm, điều kiện thích  m ( x + y ) = − y hợp cho tham số m : A m = B m = hay m = 1 C m = −1 hay m = D m = − hay 2 m = Lời giải Chọn A  mx + ( m + ) y = ⇒ D = m ( m + 1) − m ( m + ) = −3m Ta có : Hệ trở thành   mx + ( m + 1) y = Hệ vô nghiệm ⇒ D = ⇒ m = Thử lại thấy m = thoả điều kiện Trang 6/15  x2 − y + 6x + y = Câu 19 Cho hệ phương trình  Từ hệ phương trình ta thu x + y = phương trình sau ? A x + 10 x + 24 = B x + 16 x + 20 = C x + x – = D Một kết khác Lời giải Chọn D Ta có : y = − x ⇒ x − ( − x ) + x + ( − x ) = ⇒ 20 x − 48 =  x − 3xy + y + x + y − = Câu 20 Hệ phương trình  có nghiệm : 2 x − y = A ( 2;1) B ( 3;3) C ( 2;1) , ( 3;3) D Vô nghiệm Lời giải Chọn C Ta có : y = x − ⇒ x − 3x ( x − 3) + ( x − 3) + x + ( x − 3) − = ⇒ − x + x − = ⇒ x = 2; x = x = ⇒ y =1 x = ⇒ y = x + y = Câu 21 Hệ phương trình  có nghiệm ? x + y = A B C D Lời giải Chọn B Ta có : y = − x ⇒ x + ( − x ) = ⇒ x − x − = ⇒ x = −1; x = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm 2  x + y = 13  Câu 22 Hệ phương trình  có nghiệm là:  + = 12  x y 1 A x = ; y = − Chọn B 2 x +  Ta có :  3 +  x 1 1 B x = ; y = C x = − ; y = 3 Lời giải D Hệ vô nghiệm 1 = 13  x = y 1 ⇔ ⇔ x= ,y= 2 1 = = 12  y y  x + y = 10 Câu 23 Hệ phương trình  có nghiệm là:  x + y = 58 x = x = x = x = A  B  C  ,  y = y = y = y = khác Lời giải D Một đáp số Trang 7/15 Chọn C Đặt S = x + y , P = xy ( S − P ≥ )  S = 10 ⇒ P = 21 (nhận) Ta có :   S − P = 58 Khi : x, y nghiệm phương trình X − 10 X + 21 = ⇔ X = 7; X = Vậy nghiệm hệ ( 7;3) , ( 3;7 )  ax + y = a Câu 24 Tìm a để hệ phương trình  vơ nghiệm:  x + ay = A a = B a = hoặc a = −1 Khơng có a Lời giải Chọn C Ta có : D = a − , Dx = a − , Dy = a − a Hệ phương trình vơ nghiệm ⇒ D = ⇔ a = ±1 C a = −1 D a = ⇒ Dx = Dy = ⇒ Hệ phương trình vơ số nghiệm a = −1 ⇒ Dx = −2 ⇒ Hệ phương trình vơ nghiệm x + y + z =  1 1 Câu 25 Nghiệm hệ phương trình :  + + = x y z  xy + yz + zx = 27 A ( 1;1;1) B ( 1; 2;1) C ( 2; 2;1) D ( 3;3;3) Lời giải Chọn D 1 Ta có : + + = ⇔ xy + yz + zx = xyz ⇒ xyz = 27 x y z ⇒ x, y, z nghiệm phương trình X − X + 27 X − 27 = ⇔ X = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 3;3;3)  x + y + xy = Câu 26 Hệ phương trình  có nghiệm : x + y = A ( 2;1) B ( 1; ) C ( 2;1) , ( 1; ) D Vô nghiệm Lời giải Chọn C Đặt S = x + y , P = xy ( S − P ≥ ) S + P = ⇒ S − ( − S ) = ⇒ S + 2S − 15 = ⇒ S = −5; S = Ta có :  S − 2P = S = −5 ⇒ P = 10 (loại) S = ⇒ P = (nhận) Khi : x, y nghiệm phương trình X − X + = ⇔ X = 1; X = Vậy hệ có nghiệm ( 2;1) , ( 1; ) Trang 8/15   x + y + xy = Câu 27 Hệ phương trình  có nghiệm :  x y + xy =  A ( 3; ) ; ( −2;1) B ( 0;1) , ( 1;0 ) C ( 0; ) , ( 2;0 )  1 1  D  2; ÷;  ; ÷  2 2  Lời giải Chọn D Đặt S = x + y , P = xy ( S − P ≥ )   S + P = Ta có :   SP =  ⇒ S , P nghiệm phương trình 5 X + = ⇔ X = 1; X = 2 Khi S = 1; P = (loại) Khi S = ; P = x, y nghiệm phương trình X2 − X2 − X + = ⇔ X = 2; X = 2  1 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm  2; ÷;  ; ÷  2 2   x + y + xy = Câu 28 Hệ phương trình  có nghiệm :  x + y + xy = A ( 2;3) hoặc ( 3; ) B ( 1; ) hoặc ( 2;1) C ( −2; −3) hoặc ( −3; −2 ) D ( −1; −2 ) hoặc ( −2; −1) Lời giải Chọn B Đặt S = x + y , P = xy ( S − P ≥ ) S + P = ⇒ S − ( − S ) = ⇒ S + S − 12 = ⇒ S = 3; S = −4 Ta có :  S − P = Khi S = ⇒ P = x, y nghiệm phương trình X − X + = ⇔ X = 1; X = Khi S = ⇒ P = (loại) Vậy hệ có nghiệm ( 1; ) hoặc ( 2;1)  x + y + xy = 11 Câu 29 Hệ phương trình  có nghiệm :  x + y + 3( x + y ) = 28 A ( 3; ) , ( 2;3) B ( −3; −7 ) , ( −7; −3) C ( 3; ) ; ( −3; −7 ) D ( 3; ) , ( 2;3) , ( −3; −7 ) , ( −7; −3 ) Lời giải Chọn D Trang 9/15 Đặt S = x + y , P = xy ( S − P ≥ )  S + P = 11 ⇒ S − ( 11 − S ) + 3S = 28 ⇒ S + 5S − 50 = ⇒ S = 5; S = −10 Ta có :   S − P + 3S = 28 Khi S = ⇒ P = x, y nghiệm phương trình X − X + = ⇔ X = 2; X = Khi S = −10 ⇒ P = 21 x, y nghiệm phương trình X + 10 X + 21 = ⇔ X = −3; X = −7 Vậy hệ có nghiệm ( 3; ) , ( 2;3) , ( −3; −7 ) , ( −7; −3 )  x = x + y Câu 30 Hệ phương trình  có nghiệm ( x; y ) với x ≠ y ≠ :  y = y + x ( C ( − )( A − 11; − 11 ; ) ) ( D ( 11; 11 )( 11;0 ) B 0; 11 ; 11;0 ) 11;0 Lời giải Chọn A  x = x + y ⇒ x − y = −5 x + y ⇒ ( x − y ) ( x + xy + y + ) = Ta có :   y = y + x x = y ⇒ 2  x + xy + y + = Khi x = y x − 11x = ⇔ x = 0; x = ± 11   Khi x + xy + y + = ⇔  x + y ÷ + y + = (phương trình vơ nghiệm)   ( )( Vậy hệ có nghiệm − 11; − 11 ; ) 11; 11  x = x − y Câu 31 Hãy cặp nghiệm khác hệ phương trình:   y = y − x A ( 3;3) B ( 2; ) ; ( 3;1) ; ( −3;6 ) C ( 1;1) , ( 2; ) , ( 3;3 ) D ( −2; −2 ) , ( 1; −2 ) , ( −6;3 ) Lời giải Chọn A  x = x − y ⇒ x2 − y = x − y ⇒ ( x − y ) ( x + y − ) = Ta có :   y = y − x Khi x = y x − x = ⇔ x = 0; x = Khi y = − x x − x + 14 = (phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 3;3)  x + y = Câu 32 Hệ phương trình  có nghiệm ?  y + x = A B C Lời giải Chọn C D Trang 10/15  x + y = ⇒ x − y + y − x = ⇒ ( x − y ) ( x + y − 1) = Ta có :  y + x =  Khi x = y x + x − = ⇔ x = −3; x = Khi y = − x x − x + = (phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( −3; −3) ( 2; )  x = 3x − y Câu 33 Hệ phương trình  có cặp nghiệm ( x; y ) ?  y = y − x A B C D Lời giải Chọn B  x = 3x − y ⇒ x − y = x − yX ⇒ ( x − y ) ( x + y − 1) = Ta có :   y = y − x Khi x = y x − x = ⇔ x = 0; x = Khi y = − x x − x + = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 0;0 ) , ( 2; ) x + y = Câu 34 Cho hệ phương trình  Khẳng định sau ? 2 x + y = m A Hệ phương trình có nghiệm với m B Hệ phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ C Hệ phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ D Hệ phương trình ln vơ nghiệm Lời giải Chọn B x + y = 16 − m2 2 Ta có :  ⇒ P = ⇒ − P = m 2 x + y = m ⇒ S − P = 16 − ( 16 − m2 ) = 2m − 16 ≥ ⇔ m ≥ 2 3 x − xy + y = 17 Câu 35 Cho hệ phương trình :  Hệ thức biểu diễn x theo y rút  y − x = 16 từ hệ phương trình ? y−2 y+2 A x = hay x = 2 y −1 y +1 C x = hay x = 2 y −3 y+3 hay x = 2 D x = y hay x = y 13 B x = Lời giải Chọn 3 x − xy + y = 17 ⇒ 16 ( x − xy + y ) = 17 ( y − x ) ⇔ 65 x − 64 xy + 15 y = Ta có :  2  y − x = 16 ⇔ ( 13x − y ) ( x − y ) = ⇔ x = y hay x = y 13 Trang 11/15  mx + y = Câu 36 Cho hệ phương trình :  Các giá trị thích hợp tham số m để  x + my = 2m + hệ phương trình có nghiệm nguyên : A m = 0, m = –2 B m = 1, m = 2, m = C m = 0, m = D m = 1, m = –3, m = Lời giải Chọn A Ta có : D = m − , Dx = m − , Dy = 2m + m − D Dx 2m − = ,y= y = D m +1 D m +1 Hệ phương trình có nghiệm ngun m = 0; m = −2 Hệ phương trình có nghiệm x =  x + y = Câu 37 Các cặp nghiệm ( x; y ) hệ phương trình :  : 7 x + y =  11 23  A ( 1;1) hay  ; ÷  19 19  B ( −1; −1) hay  11 23   − ; ÷  19 19   11 23  C ( 1; −1) hay  − ; ÷  19 19   11 23  D ( −1;1) hay  ; ÷  19 19  Lời giải Chọn C x + y = 11 19 ⇔ x = − ;y = Khi x, y ≥ hệ trở thành  (loại) 9 7 x + y = − x − y = 19 −23 ⇔ x= ,y= Khi x, y < hệ trở thành  (loại) 9 7 x + y = x − y = ⇔ x = 1; y = −1 (nhận) Khi x ≥ 0, y < hệ trở thành  7 x + y = − x + y = 11 23 ⇔ x=− ;y= Khi x < 0, y ≥ hệ trở thành  (nhận) 19 19 7 x + y =  xy + x + y = Câu 38 Nghiệm hệ phương trình :  là: x y + y x = A ( 1; ) , ( 2;1) B ( 0;1) , ( 1; ) C ( 0; ) , ( 2;0 )  1 1  D  2; ÷,  ; ÷  2 2  Lời giải Chọn A Đặt S = x + y , P = xy ( S − P ≥ ) P + S = Ta có :   PS = ⇒ S , P nghiệm phương trình X − X + = ⇔ X = 2; X = Khi S = 2, P = (loại) Khi S = 3, P = x, y nghiệm phương trình X − X + = ⇔ X = 1; X = Trang 12/15 Vậy nghiệm hệ ( 1; ) , ( 2;1)  x + y + 3xy = 12 Câu 39 Cho hệ phương trình :  Các cặp nghiệm dương hệ 2  2( x + y ) − y = 14 phương trình là: A ( 1; ) , ( ) 2; B ( 2;1) , ( ) 3;   2   1   ; 3÷ C  ;3 ÷,  3, D  ;1÷,  ÷ ÷ 3 3   2    Lời giải Chọn A 2 2  x + y + 3xy = 12 2 x + y + xy = 12 ⇔ ⇒ xy = ⇒ y = Ta có :  2 x  2( x + y ) − y = 14 2 x + y + xy = 14  x2 = 4 ⇔ ⇒ x + + = 12 ⇔ x − x + = ⇔ x = ±1; x = ±  x x = 2 Vậy cặp nghiệm dương hệ phương trình ( 1; ) , ( ) 2;  x − x = y − y Câu 40 Hệ phương trình  có nghiệm ?  x + y = 27 A B C Lời giải Chọn 3 2 Ta có : x − x = y − y ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) − ( x − y ) = D x = y ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y − 3) = ⇔  2  x + xy + y − =  27 27  ;±6 Khi x = y hệ có nghiệm  ± ÷ 2 ÷   Khi x + xy + y − = ⇔ x + y = − xy , ta có x + y = 27 ⇔ ( x + y ) ( x − x y + y ) = 27 ⇒ ( − xy ) ( − xy ) − x y  = 27 ⇔ ( xy ) + 27 xy =    xy = ⇔ (vơ lí) ( xy ) = −9 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x + y − = Câu 41 Hệ phương trình  có cặp nghiệm ( x; y ) ?  y + x − = A B Vô nghiệm C Lời giải D Chọn A Điều kiện : x, y ≥  x + y − = ⇒ 2x − y + y −1 − x −1 = ⇒ ( x − y ) + Ta có :   y + x − =  ⇒ ( x − y)  −   y−x y −1 + x −1 =  ÷= y −1 + x −1 ÷  Trang 13/15   x≤  x ≤ x = y ⇔ ⇔ x=0 Khi x + x − = ⇒ x − = − x ⇔  x −1 = ( − 2x ) 4 x − x =   1 x + y + = ⇒ x + y = (vô nghiệm x, y ≥ ) 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 0;0 ) Khi y −1 + x −1 = x + y = m +1 Câu 42 Cho hệ phương trình  mệnh đề : 2  x y + y x = 2m − m − (I) Hệ có vơ số nghiệm m = −1 (II) Hệ có nghiệm m > (III) Hệ có nghiệm với m Các mệnh đề ? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Chỉ (I) (III) Lời giải Chọn D x + y = ⇒ hệ có vơ số nghiệm ⇒ ( I ) Khi m = −1 hệ trở thành  2 x y + y x = x + y = m +1 ⇒ xy ( m + 1) = 2m2 − m − ⇒ xy = 2m − Ta có:  2  x y + y x = 2m − m − ⇒ S − P = ( m + 1) − ( 2m − 3) = m − 6m + 13 > 0, ∀m 2  xy + y − x − y + = Câu 43 Hệ phương trình  có nghiệm :  xy + y − x − 14 y + 16 = A x bất kỳ, y = ; x = , y = B x = 3, y = 2; x = 3, y = –1; x = 2, y = – C x = 5, y = 2; x = 1, y = 3; x = , y = 2 D x = 4, y = 2; x = 3, y = 1; x = 2, y = Lời giải Chọn A 2 xy + y − x − y + =  xy + y − x − y + = ⇒ ⇒ y − 25 y + 30 = Ta có :   2  xy + y − x − 14 y + 16 = 2 xy + y − x − 28 y + 32 = ⇒ y = 3; y = Khi y = x = Khi y = x tuỳ ý  x + y = 2a + Câu 44 Cho hệ phương trình  Giá trị thích hợp tham số a 2  x + y = a − 2a + cho hệ có nghiệm ( x; y ) tích x y nhỏ : A a = B a = −1 C a = D a = −2 Lời giải Chọn B Trang 14/15 Đặt S = x + y , P = xy ( S − P ≥ )  S = 2a + 3a + 6a − ⇒P= Ta có :  2  S − P = a − 2a + Hệ phương trình có nghiệm S − P ≥ ⇔ ( 2a + 1) − ( 3a + 6a − ) ≥ ⇔ 5a − 8a − ≥ 3 1 3 1 P =  a + 2a + ÷ =  ( a + 1) − ÷ ≥ − 2 2 2 2 Đẳng thức xảy a = −1 (nhận) ( a + b ) x + ( a − b ) y = Câu 45 Cho hệ phương trình :  3 3 2 ( a + b ) x + ( a − b ) y = ( a + b ) ) Với a ≠ ±b , a.b ≠ , hệ có nghiệm : 1 ,y= a+b a −b a b ,y= D x = a −b a −b A x = a + b, y = a – b C x = B x = a b ,y= a+b a+b Lời giải Chọn B 3 3 2 Ta có : D = ( a + b ) ( a − b ) − ( a + b ) ( a − b ) = 2ab ( a − b ) Dx = ( a − b3 ) − ( a + b ) ( a − b ) = 2ab ( a − b ) Dy = ( a − b ) ( a + b ) − ( a − b3 ) = 2ab ( a + b ) D Dx 1 = ;y= y = D a+b D a −b 2 x − y = − a Câu 46 Cho hệ phương trình :  Các giá trị thích hợp tham số a để x + y = a +1 Hệ có nghiệm x = tổng bình phương hai nghiệm hệ phương trình đạt giá trị nhỏ : 1 A a = B a = −1 C a = D a = − 2 Lời giải Chọn C 5−a  x=  2 x − y = − a 4 x − y = − 2a  ⇒ ⇒ Ta có :  x + y = a +1 x + y = a +1  y = 3a  2 10a − 10a + 25 1   9  − a  9a ⇒ x + y = = = ( 2a − 2a + ) =   a − ÷ + ÷ + ÷ ≥ 10 25 25 5    2÷    Đẳng thức xảy a = 2 Trang 15/15  mx − (m + 1) y = 3m  Câu 47 Cho hệ phương trình :  x − 2my = m + Để hệ phương trình có nghiệm, giá x + y =  trị thích hợp tham số m 5 A m = B m = − C m = 2 Lời giải Chọn C Ta có : D = −2m + m + , Dx = −5m + 3m + , Dy = m − m Hệ phương trình có nghiệm D ≠ ⇔ m ≠ 1; m ≠ − D m = − D Dx −5m + m = ;y= y = D −2 m + D −2 m + −5m + 2m + =4 ⇔m= Thế vào phương trình x + y = ta −2m + −2m +  mx + (m + 2) y = Câu 48 Cho hệ phương trình :  Để hệ phương trình có nghiệm âm,  x + my = 2m + giá trị cần tìm tham số m : 5 A m < hay m > B < m < 2 5 C m < − hay m > −2 D − < m < −1 2 Lời giải Chọn D Ta có : D = m − m − , Dx = −2m − 2m − , Dy = 2m + 3m − Nghiệm hệ x = Hệ phương trình có nghiệm D ≠ ⇔ m ≠ −1; m ≠ Hệ có nghiệm x = −2 m − m − 2m + 3m − , y = m2 − m − m2 − m −  m − m − >  m < −1 ⇔ ∩− < m ⇔− < m < −1 2  x + xy − y = Câu 49 Cho hệ phương trình :  Các cặp nghiệm  x − xy − y + x + y + = cho x, y số nguyên : A ( 2; −2 ) , ( 3; −3) B ( −2; ) , ( −3;3) C ( 1; −1) , ( 3; −3) ( x; y ) D ( −1;1) , ( −4; ) Lời giải Chọn C x = − y Phương trình ( 1) ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = ⇔  2 x = y x = Trường hợp 1: x = − y thay vào ( ) ta x − x + = ⇔  Suy hệ x = phương trình có hai nghiệm ( 1; −1) , ( 3; −3) Trang 16/15 Trường hợp 2: 2x = y thay vào ( ) ta −5 x + 17 x + = phương trình khơng có nghiệm ngun Vậy cặp nghiệm ( x; y ) cho x, y số nguyên ( 1; −1) ( 3; −3) Câu 50 Nếu ( x; y )  x − xy + y = nghiệm hệ phương trình:  Thì xy bao  y − xy = nhiêu ? A C B −4 D Không tồn giá trị xy Lời giải Chọn D ( x − y ) = + xy Ta có : ( 1) ⇔ x − xy + y = ⇒  ( x + y ) = + xy 2 ( ) ⇔ y − 3xy = ⇔ ( x + y ) − ( x − y ) − xy − = 2 2 1  1  ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) − ( x − y ) − ( x − y ) − = ⇔  x + y − ÷ +  x − y + ÷ + = khơng 2  2  có giá trị x , y thỏa nên không tồn xy Trang 17/15 ... gx + hy = i (1) • Dạng tổng quát:  • Phương pháp giải: Từ phương trình bậc (1), rút x theo y (hoặc y theo x) vào phương trình lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y) (2) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG... dùng cách x + y = sau ? A Thay y = − x vào phương trình thứ B Đặt S = x + y , P = xy C Trừ vế theo vế D Một phương pháp khác Lời giải Chọn A Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai nên ta... ) = 2m − 16 ≥ ⇔ m ≥ 2 3 x − xy + y = 17 Câu 35 Cho hệ phương trình :  Hệ thức biểu diễn x theo y rút  y − x = 16 từ hệ phương trình ? y−2 y+2 A x = hay x = 2 y −1 y +1 C x = hay x = 2