GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á ThS NGUYỄN HỒNG NHUNG GIÁO TRÌNH TỐN ỨNG DỤNG LƯU HÀNH NỘI BỘ Đà Nẵng, 2013 CHƯƠNG I HÀM MỘT BIẾN Hàm số biến số 1.1 Khái niệm hàm số 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho X ⊂ R, X = ∅ Một hàm số f từ X vào R quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với số thực y Kí hiệu f : X −→ R x −→ y hay y = f (x)với x ∈ X Số x gọi biến số độc lập y = f (x) gọi giá trị hàm số f x Tập X gọi tập xác định hàm f Đặt Y = f (X) với f (X) = {y ∈ R | y = f (x), x ∈ X} Khi Y gọi tập giá trị hàm f Đồ thị hàm f tập hợp tất điểm M (x, f (x)) (x ∈ X) mặt phẳng tọa độ Đềcác vuông góc Oxy Ví dụ Cho hàm số f (x) = x3 + Tìm f (1), f (−2) Giải f (1) = 13 + = ; f (−2) = (−2)3 + = −7 Ví dụ Hàm số f : R −→ R x −→ x2 có tập xác định R, tập giá trị [0; +∞) Hình 1: y = x2 1.2 Hàm số đơn điệu - Hàm số bị chặn - Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn 1.2.1 Hàm số đơn điệu Định nghĩa i) Ta nói hàm số f (x) gọi tăng (giảm) khoảng (a, b) nếu: ∀x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )(f (x1 ) ≥ f (x2 )) ii) Hàm f (x) gọi tăng ngặt (giảm ngặt) khoảng (a, b) ∀x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )(f (x1 ) > f (x2 )) iii) Hàm số tăng (ngặt) hay giảm (ngặt) gọi chung hàm đơn điệu (ngặt) Đồ thị hàm số tăng đường lên từ trái sang phải Đồ thị hàm số giảm đường xuống từ trái sang phải Ví dụ π π 1) Hàm y = sin x tăng ngặt − , 2 Hàm y = cos x giảm ngặt [0, π]  x ∈ Q 2) Hàm y = không tăng không giảm R  x ∈ /Q 1.2.2 Hàm số bị chặn Định nghĩa i) Hàm số f gọi bị chặn trên tập D ⊂ R tồn số M cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ii) Hàm f gọi bị chặn tập D ⊂ R tồn số m cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ D iii) Hàm f vừa bị chặn vừa bị chặn D gọi bị chặn D Ví dụ > 0, ∀x ∈ (0, +∞) x Vậy (0, +∞), hàm số f (x) = bị x chặn không bị chặn Ta có: Hình 2: y = 1.2.3 x Hàm số chẵn - hàm số lẻ Định nghĩa Hàm số f (x) xác định tập X đối xứng (tức x ∈ X −x ∈ X) Hàm f gọi chẵn f (−x) = f (x), ∀x ∈ X Hàm f gọi lẻ f (−x) = −f (x), ∀x ∈ X Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua truc Oy Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O Ví dụ 1) Hàm số y = x2 hàm số chẵn 2) Hàm số y = hàm số lẻ x Hình 3: y = x2 1.2.4 Hình 4: y = x Hàm số tuần hoàn Định nghĩa Hàm số f (x) xác định tập X gọi tuần hoàn tồn số t thỏa mãn: ∀x ∈ X x + t ∈ X f (x + t) = f (x) Số T dương, nhỏ thỏa mãn đẳng thức gọi chu kì hàm số tuần hồn Ví dụ 1)Hàm số y = cos x xác định ∀x ∈ R tuần hoàn với chu kì 2π π kπ 2) Hàm số y = tan 2x xác định tập D = R \ { + } tuần hoàn với π chu kì Hình 5: y = cos x 1.3 1.3.1 Hình 6: y = tan2x Hàm số hợp - Hàm số ngược Hàm số hợp Định nghĩa Cho hai hàm số f (x) xác định tập X, g(x) xác định tập Y cho f (X) ⊂ Y (tập xác định g chứa tập giá trị f ) Hàm hợp f g hàm, kí hiệu F = gof ; F (x) = gof (x) = g(f (x)), ∀x ∈ X Ví dụ Cho hai hàm f (x) = x2 + 1, ∀x ∈ R g(x) = cos x, x ∈ [0, 2π] Khi hàm hợp f [g(x)] = cos2 (x) + 1, x ∈ [0, 2π] 1.3.2 Hàm số ngược Bây giờ, giả sử f hàm xác định D đơn điệu ngặt D Khi đó, với y ∈ D = f (D) ta xác định x ∈ D cho f (x) = y Từ ta có khái niệm hàm ngược sau: Định nghĩa Cho hàm xác định D, đơn điệu ngặt D có tập giá trị D (D = f (D)) Hàm ngược hàm f hàm (ký hiệu f −1 ) có tập xác định D , tập giá trị D xác định f −1 : D −→ D y −→ x với f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y với y ∈ D Đồ thị hai hàm số f f −1 đối xứng với qua đường phân giác thứ Cách tìm hàm ngược hàm f 1.3.3 Bước 1: Viết y = f (x) Bước 2: Giải phương trình cho x theo y (nếu có thể) Bước 3: Biểu diễn f −1 hàm số theo x cách đổi x thành y y thành x Phương trình kết y = f −1 (x) Ví dụ Tìm hàm ngược hàm f (x) = x3 + 2, x ∈ R Giải: Ta có y = x3 + ⇔ x3 = y − ⇔ x = y − Đổi x thành y y thành x ta được: y= √ x−2 Vậy hàm ngược hàm f f −1 (x) = √ Hình 7: y = x3 + x − 2, x ∈ R Ví dụ Hàm số y = 2x , x ∈ R có hàm số ngược y = log2 x xác định khoảng (0, +∞) Hình 8: y = 2x y = log2 x Hàm số sơ cấp 2.1 Các hàm số sơ cấp Các hàm số sau gọi hàm số sơ cấp bản: Hàm số lũy thừa: x → xα , α ∈ R; Hàm số lũy mũ: x → ax , a > 0, a = 1; Hàm số logarit: x → loga x, a > 0, a = 1; Các hàm số lượng giác: x → sin x, x → cos x, x → tan x, x → cot x Các hàm số lượng giác ngược: x → arcsin x, x → arccos x, x → arctan x, x → arccotx 2.2 Hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp hàm số tạo thành số hữu hạn phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), phép lấy hàm số hợp hàm số sơ cấp số Giới hạn hàm số 3.1 3.1.1 Các định nghĩa giới hạn Lân cận Cho điểm x0 ∈ R, δ > Khi ta nói: Khoảng (x0 − δ, x0 + δ), δ− lân cận điểm x0 Khoảng (x0 − δ, x0 ), δ− lân cận trái điểm x0 Khoảng (x0 , x0 + δ), δ− lân cận phải điểm x0 Tập hợp U chứa δ−lân cận x0 gọi lân cận x0 , thường ký hiệu U (x0 ) 3.1.2 Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định lân cận U (x0 ) (có thể trừ x0 ) Số L gọi giới hạn hàm số f (x) x dần tới (x0 ) với ε > cho trước nhỏ tùy ý tồn số δ > cho với x ∈ U (x0 ), < |x − x0 | < δ |f (x) − L| < ε Ký hiệu: lim f (x) = L x→x0 f (x) → L x → x0 Ví dụ 10 Dùng định nghĩa để chứng minh rằng: lim (3x + 4) = 10 x→2 ε Ta có: |(3x + 4) − 10| < ε ⇔ |3x − 6| < ε ⇔ |x − 2| < Khi đó, với ε > 0, ε ta chọn δ = (> 0) ta có: < |x − 2| < δ |(3x + 4) − 10| < ε Vậy lim (3x + 4) = 10 x→2 Định nghĩa (Giới hạn phía) a) Cho hàm số f (x) xác định nửa khoảng (a, x0 ], trừ x0 , số L1 gọi giới hạn trái hàm f (x) x dần đến x0 (x < x0 ) với ε cho trước nhỏ tùy ý tồn số δ > cho với x ∈ (a, x0 ], < x0 − x < δ |f (x) − L1 | < ε Ký hiệu: lim− f (x) = L1 x→x0 f (x) → L1 x → x− b) Cho hàm số f (x) xác định nửa khoảng [x0 , b), trừ x0 , số L2 gọi giới hạn trái hàm f (x) x dần đến x0 (x > x0 )nếu với ε cho trước nhỏ tùy ý tồn số δ > cho với x ∈ [x0 , b), < x − x0 < δ |f (x) − L2 | < ε Ký hiệu: lim+ f (x) = L2 x→x0 f (x) → L2 x → x+ Định lý 3.1 Điều kiện cần đủ để tồn lim f (x) = L x→x0 lim f (x), lim+ f (x) tồn x→x− x→x0 lim f (x) = lim+ f (x) = L x→x− x→x0 Định nghĩa 10 (Giới hạn vô tận) Cho hàm số f (x) xác định x có |x| lớn tùy ý a)Số L gọi giới hạn f (x) x dần tới dương vô (x → +∞) với ε > cho trước nhỏ tùy ý, tồn số M > lớn cho x > M |f (x) − L| < ε Ký hiệu: lim f (x) = L x→+∞ b) Số L gọi giới hạn f (x) x dần tới âm vô (x → −∞) với ε > cho trước nhỏ tùy ý, tồn số M > lớn cho x < −M |f (x) − L| < ε Ký hiệu: lim f (x) = L x→−∞ Định nghĩa 11 (Giới hạn vô tận) Cho hàm số f (x) xác định lân cận U (x0 ) a) Ta nói hàm số f (x) có giới hạn +∞ x → x0 với số A > lớn tùy ý tồn δ > cho với x ∈ U (x0 ), < |x − x0 | < δ f (x) > A Ký hiệu: lim f (x) = +∞ x→x0 b) Ta nói hàm số f (x) có giới hạn −∞ x → x0 với số A > lớn tùy ý tồn δ > cho với x ∈ U (x0 ), < |x − x0 | < δ f (x) < −A Ký hiệu: lim f (x) = −∞ x→x0 = +∞ x→1 (x − 1)2 Ví dụ 11 lim 3.2 Giới hạn hàm số sơ cấp Để thực việc tính giới hạn hàm số, ta cần ghi nhớ số công thức đây: 1) Hàm số lũy  thừa:  +∞, α > 0, α * lim x = x→+∞  0, α < * lim+ xα = x→0   0, α > 0,  +∞, α < 2) Hàm số mũ:   0, a > 1, x * lim a = x→−∞  +∞, < a < * lim ax = x→+∞   +∞, a > 1,  0, < a < 3) Hàm số logarit:  * lim+ loga x = x→0  −∞, a > 1,  +∞, < a <   +∞, a > 1, * lim loga x = x→+∞  −∞, < a < 4) Các hàm lượng giác: Các hàm số sin x, cos x, tan x, cot x khơng có giới hạn x → −∞, x → +∞ * * lim x→( π2 +kπ)− tan x = +∞; lim x→( π2 +kπ)+ tan x = −∞; k ∈ Z lim cot x = −∞; k ∈ Z lim cot x = +∞; x→(kπ)− x→(kπ)+ 5) Các hàm lượng giác ngược: π π * lim arctan x = ; lim arctan x = − x→+∞ x→−∞ 3.3 Các tính chất giới hạn Định lý 3.2 Giả sử lim f (x) = L1 lim g(x) = L2 Khi ta có: x→a x→a a) lim C.f (x) = C lim f (x) = C.L1 ; với C số; x→a x→a b) lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = L1 + L2 ; x→a x→a x→a c) lim [f (x).g(x)] = lim f (x) lim g(x) = L1 L2 ; x→a x→a x→a lim f (x) f (x) x→a L1 d) lim = = lim g(x) = L2 = x→x0 g(x) x→a lim g(x) L2 x→a Nhận xét: Trường hợp (b): Khi L1 = +∞ L2 = −∞ mặt hình thức ta có dạng ∞ − ∞, dạng vô định (nghĩa lad chưa khẳng định lim [f (x) + g(x)] x→a có hay khơng Trường hợp (c): Khi L1 = L2 = ∞ mặt hình thức ta có dạng 0.∞, dạng vô định Trường hợp (d): Khi L1 = 0(∞) L2 = 0(∞) mặt hình thức ta có ∞ dạng , dạng vô định ∞ Khi gặp dạng vơ định đó, muốn tính giới hạn tùy trường hợp phải tìm cách để khử dạng vơ định Ma trận hệ số ma trận hệ số mở rộng hệ là:             A =  ,A =       2 Và hệ cho viết lại dạng ma trận sau:            x            y  =   1.2 z Hệ Cramer a) Định nghĩa: Hệ phương trình (7.1) gọi hệ Cramer ma trận hệ số A ma trận vuông khả nghịch tức m = n định thức: a11 a12 · · · a1n det(A) = a21 a22 · · · a2n =0 an1 an1 · · · ann Ví dụ Hệ phương trình:    x   + 3y + 2x + y z = − 3z =    3x + 2y − 2z = hệ Cramer hệ có phương trình, ẩn số định thức ma trận hệ số: det(A) = −3 = −10 = −2 Định lý 1.1 (Quy tắc Cramer) Hệ phương trình Cramer:    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn         a x + a x + + a x n1 n2 nn n 87 = b1 = b2 = bn (1.1) có nghiệm (x1 , x2 , , xn ) xác định sau: xj = Dj D D định thức ma trận hệ số a11 · · · a1(j−1) b1 a1(j+1) · · · a1n Dj = a21 · · · a2(j−1) b2 a2(j+1) · · · a2n , ∀j = 1, n an1 · · · an(j−1) bn an(j+1) · · · ann ( Dj ma trận suy từ ma trận A cách thay cột thứ j cột vế phải b.) Trở lại Ví dụ 2: Hệ phương trình Ví dụ hệ Cramer ma trận hệ số A ma trận vuông det(A) = = −4 = 0 Do đó, theo quy tắc Cramer hệ có nghiệm xác định sau: 3 1 D = = −4; D1 = 0 = 30; D2 = = 2; D3 = 0 = −20, x= 4 D1 15 D2 D3 =− ; y= =− ; z= = D D D Chú ý: Để giải hệ phương trình Cramer ta sử dụng ma trận nghịch đảo ma trận hệ số A cách viết hệ phương trình dạng ma trận sau: AX = B - Tìm ma trận A−1 - Nhân hai vế phương trình ma trận với A−1 A−1 (AX) = A−1 B ⇔ X = A−1 B, từ suy nghiệm hệ Cramer cho 88 Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp sử dụng ma trận nghịch đảo:    2x + 3y + 2z =   x + 2y − 3z = 14    3x + 4y + z = 16 Giải: Ta có det(A) = −3 = −6 = nên hệ hệ Cramer Ma trận nghịch đảo A là:  A −1 A11 A21 A31   =  A A22 A32 det(A)  12 A13 A23 A33   14 −2  1    = −  −10 −4  6  −13     Hệ phương trình viết dạng ma trận: AX = B ⇔ A−1 (AX) = A−1 B ⇔ X = A−1 B        14 −13      x           ⇔  y  = −  −10 −4   14  =           −2 1 16 −2 z 1.3 Phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt (7.1), ma trận hệ số A, ma trận hệ số mở rộng A Tương ứng với phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận mở rộng A ta có phép biến đổi tương đương hệ phương trình tuyến tính sau: • Đổi chỗ hai phương trình cho (tương ứng với phép đổi chỗ hai dòng ma trận mở rộng cho nhau) • Nhân hai vế phương trình với số khác không (tương ứng với phép nhân dòng ma trận mở rộng với số khác khơng) 89 • Cộng theo vế phương trình với phương trình khác sau nhân với số tùy ý(tương ứng với thay dòng ma trận mở rộng tổng dòng với tích số tùy ý dòng khác) Sự tương ứng với định lý nghiệm hệ phương trình tuyến tính học trước, ta có phương pháp khử để giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt sau (gọi phương pháp khử Gauss) Phương pháp: • Bước 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A ma trận bậc thang A1 , A1 ma trận nhận từ A1 cách bỏ cột cuối Khi r(A) = r(A1 ), r(A) = r(A1 ) • Bước 2: Có trường hợp xảy – r(A) < r(A): hệ vơ nghiệm (dòng cuối khác A1 có dạng (0, 0, , 0|b), (b = 0)) – r(A) = r(A) = n: hệ có nghiệm Giải hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng A1 sau bỏ tất hàng (hệ tương đương với hệ phương trình cho) – r(A) = r(A) = k < n: hệ có vô số nghiệm Nghiệm giải sau: * Lập hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng A1 sau bỏ tất hàng (hệ tương đương với hệ phương trình cho) * Chọn k ẩn (có định thức, lập nên từ k cột hệ số ẩn đó, khác 0); cho n − k ẩn lại n − k tham số tùy ý tìm ẩn theo tham số ta nghiệm hệ Nghiệm gọi nghiệm tổng quát hệ cho Cách chọn k ẩn sau: Nhìn vào ma trận A1 , phần tử khác dòng cột thứ j ta chọn ẩn xj làm ẩn Cứ làm k dòng ta k ẩn Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp khử Gauss: 90 a) b)    x   + 3y − 2z = −3 2x + y + 3z =    3x − y + 4z = 11    x   x    4x c)    x1      − 3x2 + 2x3 − + 7x2 − + x2 x2 = + 3x3 − 2x4 = + = −1 x3 + 5x2 + 2x1 − x4 4x3 + 3x4 = 2x3 − x4 =   5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 =     4x + 9x + 10x + 5x = 2 Giải a) Ta có:    A=  3 −1   −2 −3    11  h2 →h2 −2h1 h3 →h3 −3h1  /    h3 →h3 −h2  −2 −3   12  −5 −10 10  −2 −3   12   /  −5  20  −4 −4  từ ta thấy r(A) = r(A) = nên hệ phương trình cho có nghiệm Hệ cho tương đương với hệ:    x + 3y − 2z = −3          x =   − 5y + 7z = 12 ⇔ y = −1   z = − 4z = −4 Vậy hệ cho có nghiệm nhất: (2; −1; 1) 91 b) Ta có:  −3   A=  −1 −1        −3 −1   h →h −2h 2   −1 h3 →h3 −4h1 /  13 −5 −5  −2 13 −5  h3 →h3 −h2 −3  /  13 −5  0 −7  −1   −5  −2  từ ta thấy r(A) < r(A) nên hệ phương trình cho vơ nghiệm c) Ta có:     −1 A=    10  1  −1    1   h2 →h2 −2h1 h3 →h3 −5h1 h4 →h4 −4h1  h3 →h3 −2h2 h4 →h4 −h2      −11 −6 −7 −2  /     −22 −12 −14 −4    −11  −6 −7 −2       −11 −6 −7 −2   /    0 0    0 0 từ ta thấy r(A) = r(A) = < nên hệ phương trình cho có vơ số nghiệm Ta giải tiếp sau: Hệ phương trình cho tương đương với hệ:  x +  − 11x2 − 6x3 − 7x4 = −2 5x2 + 4x3 + 3x4 = Ta chọn x1 , x2 làm ẩn bản, x3 , x4 làm ẩn không Cho x3 = α, x4 = β, α, β ∈ R Khi ta có hệ phương trình tương đương là:    x1 +      5x2 = − 4x3 − 3x4 − 11x2 = −2 + 6x3 + 7x4        x3 = α x4 = β ⇔  14   α + β + x = −   11 11 11     x2 = −     x =   x = 92 11 α β α − 11 β + 11 Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình cho là: − 14 α + β + ; − α − β + ; α; β , α, β ∈ R 11 11 11 11 11 11 Ví dụ Giải biện luận theo tham số a hệ phương trình sau:    ax +   y    x y x + z= + ay + z= a + + az = a2 Giải Ta có:    a 1   a    A= a  1 a a 1 a a   a   /  a  h1 ↔h3   a 1   h2 →h2 −h1 h3 →h3 −ah1  h3 →h3 +h2 /  1 a a2    /  a − 1 − a a − a2   1−a 1−a    a−1  0 1−a  a a 1−a a − a2 − a − a2 + a − a2 − a3     = A1  Xét hai trường hợp • TH1: − a − a2 = ⇔ a = a = −2  1 1      – Khi a = 1, ta có A1 =  0 0  Hệ cho tương đương với hệ   0 0 x + y + z = 1, hệ có vơ số nghiệm nghiệm tổng qt có dạng (1 − α − β; α; β), α, β ∈ R     1 −2     – Khi a = −2, ta có A1 =  −3 −6  Vì r(A) = < = r(A) 0 nên hệ cho vơ nghiệm 93 • TH2: − a − a2 = ⇔ a = a = −2 Khi hệ phương trình cho tương đương với hệ    x           x=     a+1 + y + az = a a+2 ⇔ y= (a − 1)y + (1 − a)z = a − a2  a+2   2  (a + 1)2  (2 − a − a )z = + a − a − a  z = a+2 − Kết luận: • a = 1: Hệ có vơ số nghiệm dạng (1 − α − β; α; β), α, β ∈ R • a = −2: Hệ vô nghiệm • a = a = −2: Hệ có nghiệm 1.4 − a + 1 (a + 1)2 ; ; a+2 a+2 a+2 Áp dụng phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo Dựa vào phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận, ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo sau (Phương pháp Gauss - Jordan): Lập ma trận khối (A|In ) (xếp ma trận In sau ma trận A), In ma trận đơn vị cấp Bằng phép biến đổi sơ cấp dòng liên tiếp, ta đưa ma trận khối ma trận khối có dạng (In |B) Khi A−1 = B Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận          A =  −1 1 −1 Lập ma trận    (A|I3 ) =  −1   0  0 −1 0  Tiến hành liên tiếp phép biến đổi sơ cấp dòng sau:     −1   0  0 −1 0  h2 →h2 +h1   /   94 1  0  1 0 −1 0   h3 →h3 −h2 /     1 1  0  0 0 −2 −1 −1  h2 →h2 −h3 / h1 →h1 −h3  1 0  / 1  1 h3 →( −1 )h3   0 1/2 1/2 −1/2 1/2   1/2  1/2 0 1/2 1/2      0 1/2 −1/2    1/2   −1/2  Vậy ma trận nghịch đảo ma trận A  A −1 1/2 −1/2   =  1/2  1/2  1/2   1/2  1/2 −1/2 1/2  Hệ 2.1 Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình dạng    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn         a x + a x + + a m1  a  11   a21 Ma trận hệ số A =     mn xn m2 a11 a22 =0 =0  a1n   a2n     am1 am2 amn Dạng ma trận hệ: A.X = 0      Hệ ln có nghiệm dạng X =     =0     = [0 0]t Nghiệm gọi nghiệm    tầm thường hệ 95 Số nghiệm hệ phương trình n ẩn xác định thông qua hạng ma trận hệ số số ẩn: • Nếu r(A) = n hệ có nghiệm nghiệm tầm thường • Nếu r(A) < n hệ có vơ số nghiệm Định lý 2.1 Hệ có nghiệm khơng tầm thường det(A) = Ví dụ 7. a, Hệ  2x1 + 3x2 =  có định thức   3x1 + 4x2 = tầm thường  x1 = 0, x2 = b, Hệ  2x1 + 3x2 =  có định thức   4x1 + 6x2 = 3 4 tầm thường, chẳng hạn x1 = −3, x2 = 2.2 Hệ nghiệm hệ 96   = −1 = nên có nghiệm   = nên hệ có nghiệm không CHƯƠNG VIII SỐ PHỨC Tập số phức phép toán 1.1 1.1.1 Định nghĩa Đơn vị ảo Đơn vị ảo số có bình phương -1 Kí hiệu: i i2 = −1 1.1.2 Định nghĩa số phức Cho a, b ∈ R Mỗi biểu thức dạng a + bi gọi số phức z = a + bi a: phần thực z, ký hiệu: Rez b: phần ảo z, ký hiệu: Imz 1.1.3 Số phức Cho z = a + bi, z = a + b i   a=a z=z ⇔  b=b Ví dụ Cho z = + ni z = m − − 4i    2=m−3  m=5 z=z ⇔ ⇔  n = −4  n = −4 1.1.4 Số phức liên hợp Cho z = a + bi Số phức z = a − bi gọi số phức liên hợp số phức z Kí hiệu: z = z Ví dụ z1 = + 3i số phức liên hợp z = − 3i Lúc z = z1 1.1.5 Môđun số phức Cho z = a + bi, Mơđun số phức z kí hiệu |z|, xác định sau |z| = √ a2 + b2 Ví dụ Cho z = − 4i, Môđun z |z| = 1.2 1.2.1 32 + (−4)2 = Các phép toán tập số phức Phép cộng phép trừ Cho z = a + bi, z = a + b i Ta có: z ± z = a ± a + (b ± b )i Ví dụ Cho z1 = − 3i, z2 = −2 − i z1 + z2 = −4i, z1 − z2 = − 2i 1.2.2 Phép nhân Cho z = a + bi, z = a + b i Ta có: z.z = a.a + ab i + a bi + bb i2 hay nói cách khác z.z = (aa − bb ) + (ab + a b)i Ví dụ Tính a, (2 + 3i)(3 − i) b, (5 + 2i)(5 − 2i) Giải a, (2 + 3i)(3 − i) = − 2i + 9i − 3i2 = + 7i b, (5 + 2i)(5 − 2i) = 25 − (2i)2 = 29 1.2.3 Phép chia Cho hai số phức z = a + bi, z = a + b i Khi đó, z a + bi (a + bi)(a − b i) aa + bb ab − a b = − i = = z a + b i (a + b i)(a − b i) a +b2 a2 +b2 Ví dụ Tính − 2i a, + 2i − 2i i Giải − 2i (3 − 2i)(1 − 2i) − 8i + 4i2 a, = = =− − i + 2i (1 + 2i)(1 − 2i) 5 − 2i (3 − 2i)i b, = = + 3i i −i2 b, Dạng lượng giác lũy thừa số phức 2.1 Biểu diễn hình học số phức Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức z = a + bi biểu diễn điểm M (a; b) Trục Ox gọi trục thực, Trục Oy gọi trục ảo, Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức −−→ Vectơ OM gọi biểu diễn hình học số phức 2.2 Dạng lượng giác số phức Cho số phức z = a + bi = M (a; b) mặt phẳng phức Số đo (rađian) góc lượng giác với tia đầu 0x, tia cuối OM gọi argument z   a = r cos θ Ta có |z| = r > 0, θ argument z Khi  b = r sin θ Biểu diễn lượng giác số phức: z = r(cos θ + i sin θ) *Nhận xét: b thường chọn θ khoảng (−π; π) a π • Nếu a = chọn θ = • Nếu a = tan θ = Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác: √ a, z = + 3x b, z = −4 c, z = 12i √ Giải a, r = |z| = + = √ π tan θ = ⇒ θ = π π Vậy z = 2(cos + i sin ) 3 √ b,r = |z| = 122 = 12 π θ= π π Vậy z = 12(cos + i sin ) 2 2.3 Lũy thừa số phức *Công thức Moivre Cho z số phức có |z| = r, θ argument z Tức z = r(cos θ + i sin θ) Lũy thừa với số mũ nguyên dương n z: z n = rn (cos nθ + i sin nθ) Ví dụ Tính (3 + 3i)5 Giải Đặt z = + 3i √ π Ta có r = |z| = 2, chọn argument θ = √ π π z = (3 2) cos + i sin √ √ √ 2 = 972 − −i 2 = −972 − 972i Vậy (3 + 3i)5 = −972 − 972i BÀI TẬP CHƯƠNG VIII Tìm x, y thỏa mãn: a, (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = − 3i b, (x + 4i)(3 − yi) = 2(1 − 7)i x−3 y−3 + =i c, 3+i 3−i Giải phương trình tập số phức a, z − + 7i = − i z b, = + 2i −1 + 3i c, z(2 + 3i) = + 5i d, z(1 + 2i) = −1 + 3i e, (1 + i)z = −1 + 7i Giải phươg trình: a, |z| − z = + 2i b, |z| + z = + i c, |z| − 2z = − 4i Viết số phức sau dạng lượng giác: a, b, -3 √ +i d, + i e, − 3√ 1+i 1+i h, √ g, 1+i 3+i a, Chứng minh rằng: i4n = 1, c, −4i f, − 4i i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, ∀n ∈ N b, Tính : i + i2 + i3 + i4 + + i2009 + i2010 ; Tính a, (1 + i)25 + i 16 b, − i√ + i 20 c, 1−i Chứng minh: n (1 + i)n = 2 cos nπ nπ + i sin 4