Đề thi tham khảo kỳ thi THPT quốc gia năm 2020 môn toán

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ MINH HỌA 2020 MƠN: TỐN BẢNG ĐÁP ÁN A 11 A 21 A 31 A 41 B A 12 C 22 B 32 B 42 A C 13 B 23 C 33 A 43 C D 14 D 24 A 34 C 44 C A 15 D 25 B 35 B 45 B B 16 A 26 A 36 A 46 C B 17 B 27 C 37 A 47 D D 18 B 28 D 38 B 48 B A 19 C 29 A 39 D 49 D 10 20 30 40 50 C D C A A Câu Số cách chọn học sinh + = 14 Câu Công bội cấp số nhân cho q = u2 = = u1 Câu Diện tích xung quanh hình nón πrl Câu x −∞ −1 f ′ (x) + − 0 +∞ + − f (x) −∞ −∞ Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm mang dấu dương nên hàm đồng biến (0; 1) Câu Thể tích khối lập phương a3 = 63 = 216 Câu log3 (2x − 1) = ⇔ 2x − = 32 ⇔ x = ∫ Câu Ta có ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx = −2 + = −1 f (x)dx + Câu x −∞ f ′ (x) + +∞ − + +∞ f (x) −∞ −4 Qua đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu đó, có giá trị −4 Câu y x Nhìn vào đồ thị thấy hàm số có cực trị, suy hàm bậc 4, mà hai bên hàm tiến tới âm vô nên hệ số cao âm, y = −x4 + 2x2 Câu 10 Với số thực dương a log2 a2 = log2 |a| = log2 a ∫ ∫ ∫ Câu 11 (cos x + 6x)dx = cos xdx + xdx = sin x + 3x2 + C √ √ Câu 12 Môđun số phức |z| = 12 + 22 = Câu 13 Hình chiếu vng góc M lên Oxy có tọa độ z nên (2; −2; 0) Câu 14 (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 16 ⇒ I(1; −2; 3) Câu 15 (α) : 3x + 2y − 4z + = ⇒ ⃗n = (3; 2; −4) Câu 16 d : x+1 y−2 z−1 = = qua điểm (−1; 2; 1) −1 3 Câu 17 S A D B C Do SA ⊥ (ABCD) nên (SC, (ABCD)) = SCA = tan −1 √ AS −1 a √ = 30o = tan AC a Câu 18 −∞ x f ′ (x) −1 + − 0 +∞ − + Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, qua −1 đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, qua không bị đổi dấu, qua đổi dấu từ âm sang dương nên hàm có tổng cộng cực trị Câu 19 Khảo sát hàm f (x) = −x4 + 12x2 + [−1; 2] Phương trình đạo hàm f ′ (x) = −4x3 + 24x = có nghiệm x = ∈ [−1; 2], ta xét điểm   f (−1) = 12 f (0) =   f (2) = 33 Như max f (x) = f (2) = 33 [−1;2] Câu 20 Ta có log2 a = log8 ab = Câu 21 Ta có 5x−1 ≥ 5x −x−9 log2 (ab) ⇒ a = (ab)1/3 ⇒ a2 = b ⇔ x−1 ≥ x2 −x−9 ⇔ x2 −2x−8 ≤ 0, bấm máy suy tập nghiệm [−2; 4] Câu 22 Do mặt phẳng qua trục cắt hình trụ với thiết diện hình vng nên chiều cao h hình trụ đường kính đáy d = 2r = 6, diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrh = 36π Câu 23 −∞ x f ′ (x) + +∞ − 0 + +∞ f (x) −∞ Vẽ đường thẳng y = cắt hàm số điểm nên phương trình 3f (x) − = có nghiệm Câu 24 Do x > nên |x − 1| = x − ∫ ∫ ∫ ∫ dx x+2 dx = (1 + )dx = dx + = x + ln(x − 1) + C x−1 x−1 x−1 Câu 25 Lấy mốc tính năm 2017, A = 93.671.600 người, từ năm 2017 đến năm 2035 n = 18 năm nên S = Aenr = 93.671.600e18×0.81% ≈ 108374700 người Câu 26 A′ D′ B′ C′ A D O B C Áp dụng định lý Pytago cho tam giác AOB OA2 = AB − OB = AB − √ Như AC = 2OA = BD2 3a2 = a2 − = a2 4 a = a, thể tích cần tìm √ VABCD.A′ B ′ C ′ D′ = AA′ · SABCD = AA′ · AC · BD = 2a3 Câu 27 5x2 − 4x − (x − 1)(5x + 1) 5x + = = x2 − (x − 1)(x + 1) x+1 Như hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Câu 28 y x y = ax3 + 3x + d Nhìn vào đồ thị, ta thấy y có nghiệm dương mà nghiệm âm nên − y ′ = 3ax2 + có nghiệm nên a < 0, a d âm d d < ⇒ > 0, mặt khác, a a Câu 29 y y = x2 − 2x − = g(x) x −1 y = − x2 = f (x) Dựa vào đồ thị ta thấy f (x) ≥ g(x) ∀x ∈ [−1; 2] nên diện tích giới hạn f (x) g(x) ∫ ∫ (f (x) − g(x))dx = (−2x2 + 2x + 4)dx −1 −1 Câu 30 z = z1 + z2 = −3 + i + − i = −3 + i + + i = −2 + 2i ⇒ Im(z) = Câu 31 z = (1 + 2i)2 = −3 + 4i nên điểm biểu diễn (−3; 4) Câu 32 ⃗a · (⃗a + ⃗b) = (1; 0; 3) · ((1; 0; 3) + (−2; 2; 5)) = (1; 0; 3) · (−1; 2; 8) = 23 Câu 33 Mặt cầu có tâm I(0; 0; −3) qua điểm M (4; 0; 0) Bình phương bán kính mặt cầu R2 = IM = (4 − 0)2 + (0 − 0)2 + (0 − (−3))2 = 25 ⇒ (S) : x2 + y + (z + 3)2 = 25 x+2 y−2 z−1 Câu 34 Mặt phẳng (P ) vng góc với đường thẳng ∆ : = = nên có vector pháp 2 tuyến ⃗n = ⃗u∆ = (2; 2; 1), mặt khác, M (1; 1; −1) ∈ (P ) nên (P ) : 2(x − 1) + 2(y − 1) + 1(z + 1) = ⇔ (P ) : 2x + 2y + z − = −−→ Câu 35 Đường thẳng qua điểm M (2; 3; −1) N (4; 5; 3) có vector phương M N = (2; 2; 4), chia vector cho (không làm đổi hướng) ta (1; 1; 2) Câu 36 Gọi số cần tìm a = a1 a2 a3 , a1 ̸= 0, để tổng chữ số chẵn, ta có trường hợp sau • chẵn chẵn chẵn: Có · · cách chọn • chẵn lẻ lẻ: Có · · cách chọn • lẻ chẵn lẻ: Có · · cách chọn • lẻ lẻ chẵn: Có · · cách chọn Như có tổng cộng 328 cách chọn số có chữ số phân biệt mà tổng chúng số chẵn, đồng thời số số có chữ số phân biệt · · nên xác suất cần tìm p= 41 328 = 9·9·8 81 √ √ Câu 37 Chọn Oxyz với A(0; 0; 0), S(0; 0; 3), B(2; 0; 0), D(1/2; 3/2; 0), C(3/2, 3/2; 0) ⇒ M (1; 0; 0) S M A B D Như d(SB, DM ) = Kết luận d(SB, DM ) = C −−→ −→ −−→ |SM · (SB × DM )| = −→ −−→ |SB × DM | 3a Câu 38 Đặt t = x + ⇒ dx = dt ∫ xdx √ x+1− x−1 ∫ ∫ √ √ t−1 t+1 √ dt = √ dt = t + t + C = t− t t √ =x+2 x+1+C √ Mà f (3) = ⇒ C = −4 ⇒ f (x) = x + x + − ∫ 197 f (x)dx = f (x) = Câu 39 f (x) = m(x − m) + m2 − m2 − =m+ x−m x−m Để hàm số đồng biến khoảng (0; +∞)  m ≤ để hàm xác định (0; +∞) m2 − f ′ (x) = − > ⇔ m2 < (x − m)2 Như −2 < m ≤ √ Câu 40 Độ dài cạnh tam giác đường sinh l hình nón, tam giác có diện tích nên √ √ S= l =9 3⇔l=6 Bán kính đáy hình nón √ r = l2 − h2 = Như thể tích khối nón cần tìm √ 32 5π V = πr h = 3 Câu 41 Ta có log9 x = log6 y ⇔ ln xy ln y ln x = = ln ln ln 69 log4 (2x + y) = log6 y ⇔ ln( 2x ln y ln(2x + y) y + 1) = = ln ln ln 64 Như ln( 2x ln xy ln y y + 1) = = ln ln ln 64 Bấm máy theo ẩn x x = y y Câu 42 Dễ thấy [0; 3] −2 ≤ x3 − 3x ≤ 18, max f (x) = max(|m + 18|, |m − 2|) [0;3] Giá trị lớn f (x) 16 { { |m + 18| = 16 |m + 18| ≤ 16 ∨ |m − 2| ≤ 16 |m − 2| = 16 ⇔ m = −2 ∨ m = −14 Tổng giá trị m thỏa −16 Câu 43 Đặt t = log2 x ∈ [0; 1], phương trình tương đương (t + 1)2 − (m + 2)t + m − = ⇔ t2 − mt + m − = [ t=1 ⇔ (t − 1)(t − m + 1) = ⇔ t=m−1 Để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa yêu cầu { 0≤m−1≤1 m − ̸= ⇔ m ∈ [1; 2) Câu{44 Vì cos 2x một{nguyên hàm f (x)ex nên f (x)ex = −2 sin 2x u = ex du = ex dx ⇒ Đặt dv = f ′ (x)dx chọn v = f (x) ∫ ∫ f ′ (x)ex dx = f (x)ex − f (x)ex dx = −2 sin 2x − cos 2x + C Câu 45 x −∞ f ′ (x) −1 − + +∞ − 0 + −1 +∞ +∞ f (x) −2 −2 Đặt sin x = t ∈ [−1; 1] Kẻ đường thẳng y = − bảng biến thiên Do cắt hàm số f (x) điểm < x1 < < x2 < dựa vào 2f (t) + = ⇔ t = x1 ∨ t = x2 Hay [ sin x = x1 sin x = x2 Ta vẽ đồ thị sin x [−π; 2π] để đếm số nghiệm sau y y = x2 2π x y = sin x y = x1 −π Như sin x = x1 có nghiệm, sin x = x2 có nghiệm nên tổng cộng 2f (sin x) + có nghiệm Câu 46 y y = f (x) x Dựa vào đồ thị f (x) ta thấy có điểm cực trị x1 < < x2 < < x3 Xét đạo hàm g(x) g ′ (x) = (3x2 + 6x)f ′ (x3 + 3x2 ) = 3x(x + 2)f ′ (x3 + 3x2 )  x + 3x2 = x1 ′ f (x + 3x ) = ⇔  x3 + 3x2 = x2 x3 + 3x2 = x3 y = x3 + 3x2 y y = x3 y = x2 −2 x y = x1 Như f ′ (x3 + 3x2 ) có nghiệm đơn khác −2 nên g ′ (x) = có nghiệm đơn hay g(x) có cực trị Câu 47 Đặt 9y = t > ⇔ 2y = log3 t, điều kiện ban đầu trở thành log3 (3x + 3) + x = t + log3 t ⇔ log3 (x + 1) + (x + 1) = log3 t + t Hàm đặc trưng f (x) = log3 x + x đơn điệu (0; +∞) nên f (x + 1) = f (t) ⇔ x + = t = 9y Như ≤ + x = 9y ≤ 2021 ⇒ ≤ y ≤ Mỗi y cho x nên có tổng cộng cặp (x; y) nguyên thỏa mãn Câu 48 Ta có xf (x3 ) + f (1 − x2 ) = −x10 + x6 − 2x ⇔ x(f (x3 ) + 2) = −x10 + x6 − f (1 − x2 ) Vế phải hàm chẵn nên vế trái hàm chẵn, tức x(f (x3 ) + 2) = −x(f (−x3 ) + 2) ⇔ f (x3 ) + = −f (−x3 ) ⇔ f (x) + f (−x) = −4 (∗) Gọi F (x) nguyên hàm f (x), nhân hai vế phương trình đầu cho x, (F (x3 ))′ (F (1 − x2 ))′ − = −x11 + x7 − 2x2 ∫ ∫ (F (x3 ))′ (F (1 − x2 ))′ 17 dx − dx = − 24 −1 −1 F (0) − F (−1) F (1) − F (0) 17 − =− 24 Tích phân hai vế (∗) ∫ −1 Do ∫ ∫ f (x)dx − −1 f (−x)d(−x) = F (1) − F (−1) = −4 F (0) − F (−1) F (−1) − F (0) − 17 F (0) − F (−1) F (1) − F (0) − = − =− 3 24 Đặt I = −1 f (x)dx = F (0) − F (−1), phương trình tương đương −I − 17 13 I − =− ⇔I=− 24 Câu 49 Chọn Oxyz với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 1; 0), S(a; b; c) (c > 0) S A B C { BS ⊥ AB ⇒ (a − 1; b; c) · (1; 0; 0) = CS ⊥ AC ⇒ (a; b − 1; c) · (0; 1; 0) = { a=1 ⇔ b=1 Lập phương trình mặt phẳng (SAB) (SAC) { (SAB) : y + cz = (SAC) : x + cz = Góc hai mặt phẳng 60o ⇒√ 1+ c2 √ c2 1+ Như S(1; 1; 1) ⇒ VSABC = Kết luận VSABC = c2 = cos 60o = ⇒c=1 1 −−→ −→ −→ |(AB × AC) · AS| = 6 a3 Câu 50 Đặt t = − 2x Đạo hàm g(x) g ′ (x) = 2x − − 2f ′ (1 − 2x) = −t − 2f ′ (t) Để hàm g(x) nghịch biến g ′ (x) = −t − 2f ′ (t) ≤ ⇔ f ′ (t) ≥ 10 −t , dựa vào đồ thị f ′ (x) y −2 y = f ′ (x) x −2 y=− x Như t ∈ [−2; 0] g ′ (x) ≤ hay x ∈ [1/2; 3/2] g ′ (x) ≤ 0, g(x) nghịch biến (1; 3/2) HẾT 11 ... )dx = dx + = x + ln(x − 1) + C x−1 x−1 x−1 Câu 25 Lấy mốc tính năm 2017, A = 93.671.600 người, từ năm 2017 đến năm 2035 n = 18 năm nên S = Aenr = 93.671.600e18×0.81% ≈ 108374700 người Câu 26... GIẢI CHI TIẾT ĐỀ MINH HỌA 2020 MƠN: TỐN BẢNG ĐÁP ÁN A 11 A 21 A 31 A 41 B A 12 C 22 B 32 B 42 A C 13 B 23 C 33 A 43... sang âm, qua không bị đổi dấu, qua đổi dấu từ âm sang dương nên hàm có tổng cộng cực trị Câu 19 Khảo sát hàm f (x) = −x4 + 12x2 + [−1; 2] Phương trình đạo hàm f ′ (x) = −4x3 + 24x = có nghiệm