Chủ đề nâng cao: Biến đổi biểu thức

Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 Chủ đề nâng cao Một sô bài toán về biến đổi biểu thức rút gọn biểu thức Tiết 1: Hoạt động 1, 2 Tiết 2: Hoạt động 3, 4 Tiết 3: Hoạt động 5, 6, 7 Hoạt động dạy Hoạt động học Hoạt động 1: Bài tập rút gọn dựa vào các hằng đẳng thức a, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 + + ? Biểu thức trên đợc cho ở dạng nào ? Cách giải quyết b, ( ) 2 2 3 2 3+ c, 5 9 4 5 d, 6 2 4 12 6 2 4 12+ + e, G = 4 7 4 7+ = 2 2 2 3 + + = 2 - 2 + 2 +3 ( vì 2 > 2 ) = 5 - Tổng các căn bậc hai - Dùng hằng đẳng thức biến đổi biểu thức về dạng tổng các căn thức đồng dạng = 2 3 2 3+ = 2 3 2 3+ ( vì 2 > 3 ) = 3 2+ = ( ) 2 5 2 5 = 5 2 5 = ( ) 5 5 2 ( vì 5 > 2 ) = 5 5 2 + = 2 = 6 2 4 2 3 6 2 4 2 3+ + = ( ) ( ) 2 2 6 2 3 1 6 2 3 1+ + = 6 2 3 1 6 2 3 1+ + = 6 2 3 2 6 2 3 2+ ( vì 3 > 1 ) = 4 2 3 4 2 3+ = ( ) ( ) 2 2 3 1 3 1+ = 3 1 3 1+ = 3 1 3 1+ + = 2 1 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 ? Biểu thức này có gì khác các biểu thức ở trên ? Làm thế nào để biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức 2 G. 2 = 8 2 7 8 2 7+ ? Tính giá trị biểu thức G - không thể biến đổi ngay về dạng hằng đẳng thức - Nhân cả hai vế của biểu thức với = ( ) ( ) 2 2 7 1 7 1+ = 7 1 7 1+ = ( ) 7 1 7 1+ ( vì 7 > 1 ) = 7 1 7 1+ + = 2 G = 2 2 2 = Hoạt động 2: Bài tập rút gọn không phải quy đồng mẫu ? Rút gọn biểu thức a, A = 3 6 4 x x x b, D = ( ) ( ) 9 4 2 3 6 9 x x x x x + = ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 x x x x + = 3 2 x x + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 2 3 3 x x x x x + = ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 2 3 x x x x + + = 5 3 3 x x Hoạt động 3: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có hai mẫu, thông thờng mẫu chung là tích của hai mẫu ? Rút gọn biểu thức a, 3 3 2 6 2 6 a a A a a + = + với 0a ; 9a = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 6 3 2 6 2 6 2 6 a a a a a a + + + = ( ) ( ) 2 2 2 6 6 18 6 18 2 6 2 6 a a a a a a a + + + 2 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 b, 1 1 1 2 : 1 2 1 a a B a a a a + + = ữ ữ ữ với 0a > ; 1a ; 4a = 2 12 18 12 2 18 4 36 a a a a a + + + + = 4 36 4 36 a a + = ( ) ( ) 4 9 4 9 a a + = 9 9 a a + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4 : 1 2 1 a a a a a a a a = ( ) ( ) ( ) 1 1 4 : 1 2 1 a a a a a a a a + + = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 . 3 1 a a a a = 2 3 a a Hoạt động 4: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có hai mẫu, thông thờng mẫu chung một trong hai mẫu ? Rút gọn biểu thức A = 1 1 2 : 1 1 1 x x x x x x + ữ ữ ữ + với 0x > ; 1x B = 9 3 1 1 : 9 3 3 x x x x x x x x + + + ữ ữ ữ ữ + với 0x > ; 9x A= ( ) ( ) ( ) 1 1 2 : 1 1 1 1 1 x x x x x x x ữ ữ + ữ ữ + + A = ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 : 1 1 1 x x x x x x x + + A = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 1 x x x x x x x x + = + B = ( ) ( ) ( ) 9 3 1 1 : 3 3 3 3 x x x x x x x x x + + ữ ữ + ữ ữ + + B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 3 1 3 : 3 3 3 x x x x x x x x x + + + + B = ( ) ( ) ( ) 3 9 3 1 3 : 3 3 3 x x x x x x x x x + + + + + 3 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 B = ( ) ( ) ( ) 3 9 2 4 : 3 3 3 x x x x x x + + + B = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 . 2 4 2 4 3 3 x x x x x x x x + = + + + Hoạt động 5: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có ba mẫu, thông thờng mẫu chung một trong ba mẫu ? Rút gọn biểu thức ( ) ( ) 1 10 5 3 2 3 2 x A x x x x + = + + + với 0x ; 4x ( ) 2 1 4 2 8 2 2 4 a a a a C a a a a + + + = + + + với 0a và 16a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 10 5 3 3 2 x x x A x x + + + = + ( ) ( ) 2 2 10 5 15 3 2 x x x x A x x + + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 2 1 3 1 2 3 2 x x A x x x x x A x x x + + = + + + + = = + ( ) ( ) ( ) 2 1 4 2 2 4 2 4 a a a a C a a a a + + + = + + + ( ) ( ) ( ) 2 1 4 2 2 4 2 4 a a a a C a a a a + + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 4 2 2 4 a a a a a C a a + + + + = + ( ) ( ) ( ) 2 16 4 4 2 4 a a a a a C a a + + + + = + ( ) ( ) 2 16 4 4 2 4 a a a a a C a a + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 12 3 3 2 2 4 2 4 a a C a a a a a = = = + + + Hoạt động 6: Củng cố ? Các bớc rút gọn biểu thức * Các bớc rút gọn: - Nêu ĐKXĐ 4 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 ? Khi rút gọn biểu thức cần chú ý điều gì - Tìm MTC - Quy đồng - Cộng ( trừ) các phân thức cùng mẫu - Rút gọn kết quả * Chú ý: Đổi dấu của hạng tử nếu trớc ngoặc có dấu trừ Hoạt động 7: Hớng dẫn về nhà ? Rút gọn biểu thức 4 8 1 2 : 4 2 2 x x x D x x x x x = + ữ ữ ữ ữ + với 0x > ; 4x 3 1 2 5 4 2 2 3 1 3 5 2 x x x x F x x x x + + = + + với 0x và 1 9 x Đáp án: 4 3 x D x = 3 2 x F x = + Các bài toán liên quan Tiết 4: Hoạt động 1, 2 Tiết 5: Hoạt động 3, 4 Tiết 6: Hoạt động 5, 6 Hoạt động dạy Hoạt động học Hoạt động 1: Bài toán tìm điều kiện xác định ? Phơng pháp làm bài toán này Cho biểu thức ( ) 3 2 1 2 10 3 1 1 1 x x x D x x x x + + = + + + + ? Với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa ? Giải điều kiện các mẫu thức khác 0 * Cách làm: - Giải điều kiện các mẫu thức khác 0 - Giải điều kiện các căn thức có nghĩa Kết hợp 2 điều kiện trên đó chính là điều kiện xác định của biểu thức Ta có: 1 0 1 1x x x 2 1 3 1 0 0 2 4 x x x + + + + ữ với mọi 0x 5 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 ? Giải điều kiện các căn thức có nghĩa ? Vậy giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa ? Tìm ĐKX Đ của biểu thức 3 3 2 6 2 6 a a A a a + = + 3 3 1 0 1 1x x x Ta có: x có nghĩa 0x Vậy ĐKX Đ là 0; 1x x Giải điều kiện các mẫu thức khác 0 2 6 0 3 9a a a 2 6 0a + với mọi 0a Giải điều kiện các căn thức có nghĩa a có nghĩa 0a Vậy ĐKX Đ là 0a ; 9a Hoạt động 2: Bài tập Tính giá trị biểu thức ? Phơng pháp làm bài tập này ? Tính giá trị biểu thức 1 1 B x = + với 9 10 x = ? Tính giá trị biểu thức 4 4x x P x + + = với 4 2 3x = * Cách làm: - Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn - Rút gọn kết quả - Kết luận Thay 9 10 x = vào biểu thức ta đợc 1 10 10 3 10 9 3 10 1 10 B = = = + + Vậy khi 9 10 x = thì 10 3 10B = Ta có ( ) 2 4 2 3 3 2 3 1 3 1x = = + = Thay 4 2 3x = vào biểu thức P ta đợc: ( ) ( ) 2 2 4 2 3 4 3 1 4 3 1 P + + = 4 2 3 4 3 1 4 3 1 P + + = 4 2 3 4 3 4 4 3 1 P + + = (vì 3 1> ) 3 3 5P = + Vậy khi 4 2 3x = thì 3 3 5P = + 6 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 Hoạt động 3: Bài tập liên quan đến giải phơng trình ? Các bớc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ? Cho biểu thức 3 2 4 x B x = + v ới 0x ; 9x . Tìm x để 5 6 B = Ta có 5 6 B = 3 5 6 2 4 x x = + ĐK: 0x ; 9x ( ) 3 .6 5. 2 4x x = + 18 10 20 5 2 x x x = + = 25 4 x = (TMĐK) Vậy 5 6 B = 25 4 x = Hoạt động 4: Bài tập liên quan đến giải bất phơng trình Cho biểu thức 1 3 x F x + = v ới 0x ; 9x . ? Tìm x để F < 1 Cho biểu thức 3 3 B x = + v ới 0x ? Tìm x để 1 2 B < Ta có F < 1 1 1 3 x x + < 1 1 0 3 x x + < ( ) 1 3 0 3 x x x + < 4 0 3x < 3 0x < vì 4 > 0 9x < Kết hợp điều kiện Vậy: 0 9x < Ta có 1 2 B < 3 1 2 3x < + 3 1 2 3x > + 3 6x + < vì 3 0x + > v ới mọi 0x 9x < Kết hợp điều kiện Vậy: 0 9x < 7 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 Hoạt động 5: Bài tập tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên Tìm số nguyên của x để biểu thức 1 3 x A x + = có giá trị nguyên ? Một biểu thức có giá trị nguyên khi nào Tử thức có thể chia hết cho mẫu thức Ta biến đổi: 1 3 4 4 1 3 3 3 x x A x x x + + = = = + Để 4 1 3x + nhận giá trị nguyên thì 4 3x phải có giá trị nguyên Do x nguyên nên x là số vô tỉ hoặc là số nguyên Với x là số vô tỉ thì 3x là số vô tỉ nên 4 3x không thể là số nguyên. Vậy trong trờng hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên. Với x là số nguyên thì 3x là số nguyên nên để 4 3x là số nguyên ta phải có 3x là ớc của 4 Mặt khác theo định nghĩa xăn bậc hai thì 0x và 0x Vậy giá trị nguyên cần tìm phải không âm và thỏa mãn điều kiện 0x và 3x là ớc của 4 Ta thấy 4 có các ớc số là 1; 2; 4 Với ớc là 4, ta có 3x = 4 49x = Với ớc là - 4, ta có 3x = - 4, không tồn tại x Với ớc là 2, ta có 3x = 2 25x = Với ớc là - 2, ta có 3x = - 2 1x = Với ớc là 1, ta có 3x = 1 16x = Với ớc là - 1, ta có 3x = - 1 4x = Vậy các giá trị nguyên cần tìm của x là x { } 1;4;16; 25; 49 8 Trần Viết Thành - Trờng THCS Thái Thịnh - Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 Hoạt động 6: Hớng dẫn về nhà Bài 1: Cho biểu thức 1 2 2 5 4 2 2 x x x G x x x + + = + + + với 0x và 4x a, Rút gọn biểu thức G. b, Tính giá trị của biểu thức G khi x = 121. c, Tìm giá trị của x để 1 2 G > . d, Tìm giá trị của x để 3G = . e, Tìm các giá trị nguyên của x để G nhận giá trị nguyên. Bài 2: Cho biểu thức 3 1 2 5 4 2 2 3 1 3 5 2 x x x x F x x x x + + = + + với 0x và 1 9 x a, Rút gọn biểu thức F. b, Tính giá trị của biểu thức F khi x = 121. c, Tìm giá trị của x để 1 2 F > . d, Tìm giá trị của x để 5 6 F = . e, Tìm các giá trị nguyên của x để F nhận giá trị nguyên. Bài 3: Cho biểu thức 1 10 5 3 6 2 x A x x x x + = + + với 0x ; 4x a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 121. c, Tìm giá trị của x để 6 5 A > . d, Tìm giá trị của x để 3 2 A = . e, Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Đáp số: Bài 1: a, 3 2 x G x = + b, 33 13 G = c, 4 25 x > và 4x d, Không có giá trị của x thỏa mãn e, x = 0, x = 1, x = 16 Bài 2: a, 3 2 x F x = + b, 8 13 F = c, x > 25 d, x = 784 e, x = 9 Bài 3: a, 1 2 x A x + = b, 4 3 A = c, 0 289x < và 4x d, x = 64 e, x =1, x = 9, x = 25 9 . Biểu thức này có gì khác các biểu thức ở trên ? Làm thế nào để biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức 2 G. 2 = 8 2 7 8 2 7+ ? Tính giá trị biểu thức. Buổi 2 Đại số 9 - Ngày soạn : 10 / 9 2010 Chủ đề nâng cao Một sô bài toán về biến đổi biểu thức rút gọn biểu thức Tiết 1: Hoạt động 1, 2 Tiết 2: Hoạt động