Vậy trong trờng hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên... e, Tìm các giá trị nguyên của x để G nhận giá trị nguyên.. e, Tìm các giá trị nguyên của x đ
Trang 1Chủ đề nâng cao Một sô bài toán về biến đổi biểu thức
rút gọn biểu thức Tiết 1: Hoạt động 1, 2
Tiết 2: Hoạt động 3, 4
Tiết 3: Hoạt động 5, 6, 7
Hoạt động 1: Bài tập rút gọn dựa vào các hằng đẳng thức
a, ( ) (2 )2
? Biểu thức trên đợc cho ở dạng nào
? Cách giải quyết
b, ( )2
c, 5− 9 4 5−
e, G = 4+ 7 − 4− 7
= 2 − 2 + 2 3 +
= 2 - 2 + 2 +3 ( vì 2 > 2)
= 5
- Tổng các căn bậc hai
- Dùng hằng đẳng thức biến đổi biểu thức về dạng tổng các căn thức đồng dạng
= 2 3 2 + − 3
= 2 3 2 + − 3 ( vì 2 > 3 )
= 3 2 +
= 5 2 − − 5
= 5 −( 5 2 − ) ( vì 5 > 2 )
= 5 − 5 2 +
= 2
= 6 2 4 2 3+ − − 6 2 4 2 3− +
= 6 2 3 1 + − − 6 2 3 1 − +
= 6 2 3 2 + − − 6 2 3 2 − − ( vì 3 > 1 )
= ( ) (2 )2
= 3 1 + − 3 1 −
= 3 1 + − 3 1 +
= 2
Trang 2? Biểu thức này có gì khác các biểu
thức ở trên
? Làm thế nào để biến đổi biểu thức
về dạng hằng đẳng thức 2
? Tính giá trị biểu thức G
- không thể biến đổi ngay về dạng hằng đẳng thức
- Nhân cả hai vế của biểu thức với
= ( ) (2 )2
= 7 1 + − 7 1 −
= 7 1 + −( 7 1 − ) ( vì 7 > 1 )
= 7 1 + − 7 1 +
= 2
⇒ G = 2 2
2 = Hoạt động 2: Bài tập rút gọn không phải quy đồng mẫu
? Rút gọn biểu thức
a, A = 3 6
4
x
−
−
b, D = 9 (4 2)( 3)
x x
−
= 3
2
x
x+
3
x
−
( )2
3
x
−
=5 3
3
x x
−
− Hoạt động 3: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có hai mẫu, thông thờng
mẫu chung là tích của hai mẫu
? Rút gọn biểu thức
A
với a≥ 0; a≠ 9
( )2
2
a
−
Trang 3:
B
= − − ữ − − − ữữ
với a> 0; a≠ 1; a≠ 4
a
−
= 4 36
a a
+
−
= ( )
a a
+
−
= 9
9
a a
+
−
( ) ( ( ) ( )( ) )
:
= ( 11) (: 12)( 4 1)
= ( 1 1).( 1)(3 2)
a a
−
= 2
3
a a
−
Hoạt động 4: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có hai mẫu, thông thờng
mẫu chung một trong hai mẫu
? Rút gọn biểu thức
1
x
x
với x> 0; x≠ 1
9
x
với x> 0; x≠ 9
A=
x
A = (. 11) (: 1)(1 2 1)
A =
.
1 1
x x
+
−
B =
B = ( ) (3 3 )(3 )9 3: 1( ( 3) 3)
B = (33 )(3 9) :3 (1 3) 3
Trang 4B = (3 3 )(39 ) (: 2 43)
.
=
Hoạt động 5: Bài tập rút gọn phải quy đồng mẫu thức, có ba mẫu, thông thờng
mẫu chung một trong ba mẫu
? Rút gọn biểu thức
x
A
+
với x≥ 0; x≠ 4
C
với a≥ 0 và a≠ 16
A
=
A
=
2
A
A
x
=
−
2 4
2 4
C
2 4
2 4
C
2
2 4
C
=
2 4
C
=
2 4
C
=
( 12 32 4)( ) ( 3 4(2 4)( ) ) 3 2
a a
C
a
−
−
+
Hoạt động 6: Củng cố
? Các bớc rút gọn biểu thức * Các bớc rút gọn:
- Nêu ĐKXĐ
Trang 5? Khi rút gọn biểu thức cần chú ý
điều gì
- Tìm MTC
- Quy đồng
- Cộng ( trừ) các phân thức cùng mẫu
- Rút gọn kết quả
* Chú ý: Đổi dấu của hạng tử nếu trớc ngoặc
có dấu trừ
Hoạt động 7: Hớng dẫn về nhà
? Rút gọn biểu thức
: 4
D
x
= + ữ ữ − ữữ
−
với x> 0; x≠ 4
F
với x≥ 0 và 1
9
x≠
Đáp án:
4 3
x D
x
=
−
3 2
x F x
−
= +
Các bài toán liên quan Tiết 4: Hoạt động 1, 2
Tiết 5: Hoạt động 3, 4
Tiết 6: Hoạt động 5, 6
Hoạt động 1: Bài toán tìm điều kiện xác định
? Phơng pháp làm bài toán này
Cho biểu thức
3
D
? Với giá trị nào của x thì biểu thức có
nghĩa
? Giải điều kiện các mẫu thức khác 0
* Cách làm:
- Giải điều kiện các mẫu thức khác 0
- Giải điều kiện các căn thức có nghĩa Kết hợp 2 điều kiện trên đó chính là điều kiện xác định của biểu thức
Ta có:
x− ≠ ⇔ x ≠ ⇔ ≠x
2
x+ x+ ≠ ⇔ x+ + ≠
với mọi x≥ 0
Trang 6? Giải điều kiện các căn thức có nghĩa
? Vậy giá trị nào của x thì biểu thức có
nghĩa
? Tìm ĐKX Đ của biểu thức
A
x − ≠ ⇔ x ≠ ⇔ ≠x
Ta có:
x có nghĩa ⇔ ≥x 0
Vậy ĐKX Đ là x≥ 0;x≠ 1
Giải điều kiện các mẫu thức khác 0
2 a− ≠ ⇔ 6 0 a ≠ ⇔ ≠ 3 a 9
2 a+ ≠ 6 0 với mọi a≥ 0
Giải điều kiện các căn thức có nghĩa
a có nghĩa ⇔ ≥a 0
Vậy ĐKX Đ là a≥ 0; a≠ 9 Hoạt động 2: Bài tập Tính giá trị biểu thức
? Phơng pháp làm bài tập này
? Tính giá trị biểu thức 1
1
B x
= + với
9
10
x=
? Tính giá trị biểu thức P x 4 x 4
x
= với x= − 4 2 3
* Cách làm:
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn
- Rút gọn kết quả
- Kết luận
Thay 9
10
x= vào biểu thức ta đợc
10 3 10
1 10
+ + Vậy khi 9
10
x= thì B= − 10 3 10
Ta có
( )2
Thay x= − 4 2 3 vào biểu thức P ta đợc:
2 2
3 1
=
−
4 2 3 4 3 1 4
3 1
=
−
4 2 3 4 3 4 4
3 1
− (vì 3 1> )
3 3 5
Vậy khi x= − 4 2 3 thì P= 3 3 5 +
Trang 7Hoạt động 3: Bài tập liên quan đến giải phơng trình
? Các bớc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu
? Cho biểu thức 3
x B
x
−
= + v ới x≥0; 9
x≠ Tìm x để 5
6
5 6
6
x x
+
ĐK: x≥ 0; x≠ 9
5 2
x
25 4
x
⇔ = (TMĐK)
Vậy 5
6
4
x
⇔ = Hoạt động 4: Bài tập liên quan đến giải bất phơng trình
Cho biểu thức 1
3
x F x
+
=
−
v ới x≥ 0; x≠ 9
? Tìm x để F < 1
Cho biểu thức 3
3
B x
−
= + v ới x≥0
? Tìm x để 1
2
B<−
Ta có F < 1 1 1
3
x x
+
⇔ <
−
1
1 0 3
x x
+
⇔ − <
−
0 3
x
−
4 0 3
x
⇔ <
−
3 0
x
⇔ − < vì 4 > 0 9
x
⇔ <
Kết hợp điều kiện Vậy: 0 ≤ <x 9
Ta có 1
2
2 3
x
⇔ <
+
2 3
x
⇔ >
+
3 6
x
⇔ + < vì x+ > 3 0 v ới mọix≥ 0
9
x
⇔ <
Kết hợp điều kiện Vậy: 0 ≤ <x 9
Trang 8Hoạt động 5: Bài tập tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên Tìm số nguyên của x để biểu thức
1
3
x
A
x
+
=
− có giá trị nguyên
? Một biểu thức có giá trị nguyên khi nào Tử thức có thể chia hết cho mẫu thức
Ta biến đổi:
1
A
Để 1 4
3
x
+
− nhận giá trị nguyên thì
4 3
x− phải có giá trị nguyên
Do x nguyên nên x là số vô tỉ hoặc là
số nguyên
• Với x là số vô tỉ thì x− 3 là số vô tỉ nên 4
3
x− không thể là số nguyên Vậy trong trờng hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên
• Với x là số nguyên thì x− 3 là
số nguyên nên để 4
3
x− là số nguyên ta phải có x− 3 là ớc của 4
Mặt khác theo định nghĩa xăn bậc hai thì 0
x≥ và x≥ 0
Vậy giá trị nguyên cần tìm phải không
âm và thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và
3
x− là ớc của 4
Ta thấy 4 có các ớc số là ± ± ± 1; 2; 4
Với ớc là 4, ta có x− 3= 4⇒ =x 49 Với ớc là - 4, ta có x− 3= - 4, không tồn tại x
Với ớc là 2, ta có x− 3= 2⇒ =x 25 Với ớc là - 2, ta có x− 3= - 2⇒ =x 1 Với ớc là 1, ta có x− 3= 1⇒ =x 16 Với ớc là - 1, ta có x− 3= - 1⇒ =x 4 Vậy các giá trị nguyên cần tìm của x là
x ∈ {1; 4;16;25; 49}
Trang 9Hoạt động 6: Hớng dẫn về nhà
Bài 1: Cho biểu thức
4
G
x
−
với x≥ 0 và x≠ 4
a, Rút gọn biểu thức G
b, Tính giá trị của biểu thức G khi x =
121
c, Tìm giá trị của x để 1
2
G>
d, Tìm giá trị của x để G= 3
e, Tìm các giá trị nguyên của x để G
nhận giá trị nguyên
Bài 2: Cho biểu thức
F
với x≥ 0 và 1
9
x≠
a, Rút gọn biểu thức F
b, Tính giá trị của biểu thức F khi x =
121
c, Tìm giá trị của x để 1
2
F> .
d, Tìm giá trị của x để 5
6
F=
e, Tìm các giá trị nguyên của x để F nhận
giá trị nguyên
Bài 3: Cho biểu thức
x A
+
0
x≥ ; x≠ 4
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị của biểu thức A khi x =
121
c, Tìm giá trị của x để 6
5
A>
d, Tìm giá trị của x để 3
2
A=
e, Tìm các giá trị nguyên của x để A
nhận giá trị nguyên
Đáp số:
Bài 1:
a, 3
2
x G
x
= +
b, 33
13
G=
25
x> và x≠ 4
d, Không có giá trị của x thỏa mãn
e, x = 0, x = 1, x = 16
Bài 2:
2
x F x
−
= +
b, 8
13
F =
c, x > 25
d, x = 784
e, x = 9
Bài 3:
2
x A x
+
=
−
b, 4
3
A=
c, 0 ≤ <x 289 và x≠ 4
d, x = 64
e, x =1, x = 9, x = 25