Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng ôn tập chương 1 giải tích lớp 12

MÔ TẢ GIẢI PHÁP Mã số: … … … … Tên sáng kiến: Một số phương pháp rèn luyện kĩ ơn tập chương giải tích lớp 12 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: chun mơn tốn trường THPT Mô tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Trong hoạt động nhà trường, hoạt động dạy học hoạt động quan trọng góp phần then chốt cho thành công đơn vị trường Tuy nhiên thành cơng cần có phối hợp tốt giáo viên học sinh, có nhiều hạn chế hoạt động dạy học dẫn đến kết dạy học chưa cao Xét góc độ nhỏ q trình dạy học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, nhận thấy học sinh chưa nắm dạng phương pháp giải số toán chương này; dạng toán tự luận chương nhiều, chuyển sang thi trắc nghiệm lại nhiều hơn, đòi hỏi thời gian giải tập phải ngắn, nhanh gọn, xác, bên cạnh học sinh quen với cách làm tự luận nên chuyển sang trắc nghiệm học sinh gặp nhiều khó khăn học chương 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: Mục tiêu giải pháp giúp học sinh nắm hệ thống dạng toán bản, quan trọng thường gặp chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Nắm vững phương pháp giải dạng, hiểu gặp dạng giải cách hợp lí, nhanh gọn, biết kết hợp nhuần nhuyễn giải tay giải toán với hỗ trợ MTBT, sử dụng thành thạo công thức, cách tính nhanh nhằm đạt kết cao Sau tơi xin trình bày sơ lược dạng phương pháp giải dạng toán bản, trọng tâm chương Khi giảng dạy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, trước tiên dạy cho học sinh nắm định nghĩa, tính chất định lí quan trọng chương, đồng thời để học sinh nắm dạng tốn bản, trọng tâm chương, tơi giúp học sinh nắm sơ đồ tư sau: SƠ ĐỒ TƯ DUY Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Cực trị hàm số Tìm khoảng đơn điệu hàm số Tìm điểm cực trị hàm số Tìm m để hàm số đơn điệu ¡ , khoảng xác định Tìm m để hàm số có cực, cực trị,3 điểm cực trị Tìm m để hàm số đạt cực trị x0 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện 3.Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Đường tiệm cận Tìm GTLN,GT NN hàm số khoảng Tìm tiệm cận đứng, ngang đồ thị hàm số ( a; b ) Tìm GTLN,GT NN hàm số đoạn [ a; b ] Tìm m để hàm số đạt GTLN, GTNN đoạn [ a; b ] Bằng C Tìm tiệm cận đứng, ngang đồ thị hàm số thỏa điều kiện Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Các toán dạng đồ thị hàm số Các toán BBT hàm số Các toán tiếp tuyến Các toán tương giao đồ thị Sau giúp học sinh nắm sơ đồ tư dạng toán bản, hướng dẫn tập tương ứng theo thứ tự sơ đồ để giúp học sinh dễ hiểu Dạng 1: Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Loại 1:Tìm khoảng đơn điệu hàm số Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải sau: Cách 1: + Bước 1: Tính y′ giải phương trình y′ = tìm nghiệm + Bước 2: Lập bảng biến thiên + Bước 3: Căn vào bảng biến thiên ta kết luận khoảng đơn điệu Cách 2: + Bước 1: Bấm shift → d d → ( f ( x) ) dx dx x= x + Bước 2: Bấm calc → x ta chọn giá trị x thuộc khoảng đáp án Nếu kết âm kết luận nghịch biến Nếu kết dương kết luận đồng biến Cách 3: + Bước 1: Bấm mode → → f ( x) = nhập đề + Bước 2: Chọn giá trị ta chia thành đoạn để tăng tính xác việc chọn đáp án: Đoạn 1: * Start → ta chọn giá trị nhỏ giá trị nhỏ giá trị đáp án đơn vị, ví dụ giá trị a * End → ta chọn giá trị lớn giá trị đáp án, ví dụ b * Riêng Step → ta chọn theo cách sau: Cách 1: Step = b−a 19 Cách 2: Step = 0, Step = 0,5 Đoạn 2: * Start → ta chọn giá trị lớn giá trị đáp án, ví dụ b * End → ta chọn giá trị lớn giá trị chọn Start đơn vị, ví dụ c * Riêng Step → ta chọn theo cách sau: Cách 1: Step = c−b 19 Cách 2: Step = 0, Step = 0,5 Ta chọn Start giá tri nhỏ giá trị nhỏ đơn vị, End giá tri lớn giá trị lớn đơn vị Step = 0,5 , tùy theo sau cho máy tính khơng báo dòng chữ: Insufficient MEM (số giá trị vượt quy định máy) + Bước 3: Dò bảng xem khoảng đáp án giá trị f(x) tăng hay giảm khoảng, tăng đồng biến ngược lại 3 Câu 1: Khoảng nghịch biến hàm số y = x − x − x là: A ( − ∞ ; − 1) B (-1 ; 3) C ( ; + ∞) D ( − ∞ ; − 1) ∪ ( ; + ∞ ) Cách 1: + y′ = x − x − , y′ = ⇔ x = −1, x = + Lập bảng biến thiên x −∞ y′ y −1 + − − ∞Z ] +∞ + Z +∞ + Kết luận khoảng nghịch biến: ( −1;3) Cách 2: + Bước 1: Bấm shift → d d 1  →  x − x − 3x ÷ dx dx   x= x + Bước 2: Bấm calc → x A Chọn x = −2 KQ: nên loại A B Chọn x = KQ: -3 nên chọn B C Chọn x = KQ: 12 nên loại C D Đáp án D chứa A C nên bị loại Cách 3: 3 + Bước 1: Bấm mode → → f ( x) = x − x − x + Bước 2: Start = − End =6 Step =0,5 + Bước 3: Dò bảng B Trong khoảng ( −1;3) f ( x) < A Tại x = −1.5 f ( x) = 1.125 > nên loại A nên chọn B C Trong khoảng ( ; + ∞ ) f ( x) > x ≥ nên loại C bị loại D Đáp án D chứa A C nên Phân tích: Câu sử dụng cách đơn giản nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu 3 Câu Các khoảng đồng biến hàm số y = x − 3x + x là: B ( −∞;3] ; [ 3; +∞ ) A ( −∞;3) ; ( 3; +∞ ) C ( −∞;3] D ( 3; +∞ ) Cách 1: + y′ = x − x + , y′ = ⇔ x = + Lập bảng biến thiên x −∞ y′ + y +∞ + −∞ Z +∞ + Kết luận khoảng đồng biến: ( −∞;3] ; [ 3; +∞ ) nên chọn B Phân tích: Câu sử dụng cách đơn giản nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu Giáo viên lưu ý khó khăn dùng cách học sinh xét dấu sai qn định lí dấu tam thức bậc hai, tam thức bậc hai có nghiệm kép dấu tam thức dấu với a Khó khăn thứ học sinh vấp phải không nhớ định lí mở rộng f ( x) ≥ 0, f ( x) ≤ ( ∀x ∈ K ) hàm số đồng biến, nghịch biến K, lúc chọn đáp án A Câu Hàm số y = x − x + đồng biến khoảng: A ( −∞;0 ) B ( 0; +∞ ) C ( −1;0 ) ( 1; +∞ ) Cách 1: + y′ = x − x , y′ = ⇔ x = ±1, x = + Lập bảng biến thiên x − ∞ −1 y′ − + − y +∞] Z ] +∞ + Z +∞ + Kết luận khoảng đồng biến: ( −1;0 ) ( 1; +∞ ) nên chọn C Phân tích: A Trong khoảng ( −∞;0 ) chứa ( −∞; −1) nghịch biến nên loại A B Trong khoảng ( 0; +∞ ) chứa ( 0;1) nghịch biến nên loại B D  ; +∞ ÷ 2  C Trong khoảng ( −1;0 ) ( 1; +∞ ) , f ( x) > nên chọn C 1  1  D Trong khoảng  ; +∞ ÷ chứa  ;1 ÷ nghịch biến nên loại D 2  2  Câu ta nên sử dụng cách đơn giản nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu Giáo viên lưu ý khó khăn dùng cách học sinh xét dấu sai Khó khăn sử dụng cách 2, đáp án vừa chứa khoảng đồng biến, nghịch biến, nên khó chọn giá trị để thử nhiều thời gian khả sai sót lớn Câu Hàm số y = − x − x + nghịch biến khoảng: A ( −∞;0 ) B ( −1; +∞ ) C ( −2;3) D ( 1; +∞ ) Cách 1: + y′ = −4 x − x , y′ = ⇔ x = + Lập bảng biến thiên x −∞ +∞ y′ + − y −∞ Z ] −∞ + Kết luận khoảng nghịch biến: ( 1; +∞ ) nên chọn D Phân tích: Phân tích tương tự câu Câu ta nên sử dụng cách đơn giản nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu Giáo viên lưu ý khó khăn dùng cách học sinh xét dấu sai Khó khăn sử dụng cách 2, đáp án vừa chứa khoảng đồng biến, nghịch biến, nên khó chọn giá trị để thử nhiều thời gian Câu Kết luận sau tính đơn điệu hàm số y = 2x + đúng? x +1 A Hàm số đồng biến R B Hàm số nghịch biến R \ {−1} C Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; − 1) ( − 1; + ∞ ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞ ; − 1) ( − 1; + ∞ ) Cách 1: + y′ = ( x + 1) > 0, ∀x ≠ −1 + Lập bảng biến thiên x −∞ −1 y′ + || y Z +∞ +∞ + || − ∞ Z + Kết luận khoảng đồng biến: ( − ∞ ; − 1) ( − 1; + ∞ ) nên chọn C Phân tích: A Hàm số không xác định R nên đồng biến R , loại A B Ta không kết luận dạng R \ {−1} nên loại B C Trong khoảng ( −∞ ; − 1) ( −1; + ∞ ) , f ′( x) > 0, ∀x ≠ −1 nên chọn C Câu sử dụng cách đơn giản nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu Giáo viên lưu ý khó khăn dùng cách học sinh xét dấu sai Bên cạnh sử dụng cách nhanh đơn giản, cách làm sau: + Bước 1: Bấm Shift → d  2x +1   ÷ dx  x +  x = x + Bước 2: Calc → x = − 8, −4,12, y′ >0 , chọn C Câu 6: Khoảng đồng biến hàm số y = x − x là: A ( − ∞ ;1) B ( 0;1) C Cách 1: + y′ = 1− x 2x − x2 , y′ = ⇔ x = + Lập bảng biến thiên x −∞ +∞ y′ |+ − | y |Z ] | + Kết luận khoảng đồng biến: ( 0;1) nên chọn B Cách 2: + Bước 1: Bấm Shift → d dx ( 2x − x2 ) x= x + Bước 2: A Calc → x = − 8, −1 KQ: Math ERROR nên loại A B Calc → x = 0.1;0.9 KQ: y′ > nên chọn B C Calc → x =1.5 KQ: y′ < nên loại C ( 1; ) D (1; + ∞ ) D Đáp án C sai nên D sai Phân tích: Câu sử dụng cách học sinh gặp khó khăn chỗ: tính đạo hàm, giải phương trình y′ = khơng biết xét dấu bảng biến thiên Do câu dạng thường hướng dẫn học sinh cách nhanh đơn giản Câu Trong hàm số sau , hàm số sau đồng biến khoảng (1 ; 3) ? A y = x−3 x −1 B y = x − 4x + x−2 C y = x − x D y = x − x + Cách 2:Hướng dẫn cách A + Bấm Shift → d  x −3  ÷ dx  x −  x = x + Calc → x =1.1; 2.5; 2.9 KQ: y′ > nên chọn A B + Bấm Shift → d  x2 − x +   ÷ dx  x −  x = x + Calc → x = 2.5 KQ: −15 nên loại B, hay x = hàm số khơng xác định nên loại B C + Bấm Shift → d x2 − x4 dx ( ) x= x + Calc → x =2.9 KQ: y′ < nên loại C D + Bấm Shift → d x − 4x + dx ( ) x= x + Calc → x =2.9 KQ: y′ < nên loại D Phân tích: Câu sử dụng cách cách lại lâu nhiều thời gian Do câu dạng tơi thường hướng dẫn học sinh cách nhanh đơn giản Loại 2: Tìm m để hàm số đơn điệu ¡ , khoảng xác định Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải sau: Cách 1: ax + b  d ; x ≠ − ÷ cx + d  c ad − cb + B1: Tính y′ = f ′( x, m) = (cx + d ) Đối với hàm biến: y = Đối với hàm bậc y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) + B1: Tính y′ = 3ax + 2bx + c * Hàm số đ biến R * Hàm số đ biến khoảng xác ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 3ax + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R a > ⇔ (I ) ∆ (∆′) ≤ định ⇔ y′ > 0, ∀x ≠ (Giải hệ bpt tìm m) * Hàm số nbiến R ⇔ ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 3ax + 2bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R a < ⇔ ( II ) ∆ (∆′) ≤ ad − cb −d > 0, ∀x ≠ (cx + d ) c ⇔ ad − cb > ( I ) (Giải bpt tìm m) (Giải hệ bpt tìm m) + B2: K luận : Vậy m ∈ [ ] −d c * Hàm số n biến khoảng xác định hs…… ⇔ y′ < 0, ∀x ≠ ⇔ −d c ad − cb −d < 0, ∀x ≠ (cx + d ) c ⇔ ad − cb < ( II ) (Giải bpt tìm m) + B2: K luận : Vậy m ∈ ( ) hs…… Cách 2: Dùng cho hàm bậc + Bước 1: Tính y′ * Hàm số đồng biến R ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R * Hàm số nghịch biến R ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ R + Bước 2: Lấy giá trị m đáp án vào y′ giải bất phương trình tương ứng y′ ≥ 0, y′ ≤ kết là: All real number chọn giá trị m Câu Giá trị m để hàm số y = A m ≥ B m ≤ − x – 2mx2 + (m + 3)x – + m đồng biến R là: 3 C − ≤ m ≤1 Cách 1: + y′ = x − 4mx + m + + Hàm số đồng biến R ⇔ y′ ≥ ⇔ x − 4mx + m + ≥ 1 > ⇔ ⇔ m ∈ − ≤ m ≤ , Chọn C  4m − m − ≤ D − < m D m < 2 Giải + Tính y′ = 2m − ( x + 2) + Hàm số giảm khoảng xác định ⇔ y′ < 0, ∀x ≠ −2 ⇔ 2m − ( x + 2) < 0, ∀x ≠ −2 ⇔ 2m − < ⇔ m < Chọn D Phân tích: Cách đơn giản nên dùng Dạng Cực trị hàm số Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải sau: Dấu hiệu 1: Khi x qua x0 mà y′ đổi dấu ( theo hướng từ trái sang phải) từ : * (+ ) → (−) : x0 điểm cực đại hàm số * (−) → (+ ) : x0 điểm cực tiểu hàm số Quy tắc 1: + Bước 1: Tính y′ Giải pt y′ = tìm nghiệm xi ( i =1,2,…) điểm x j mà y ′ không xác định + Bước 2: Lập bảng biến thiên + Bước 3: Kết luận, vào bảng biến thiên ta kết luận cực trị hàm số ( dựa vào dấu hiệu ) Dấu hiệu : * f ′( x0 ) =   ⇒ x0 điểm cực tiểu f ′′( x0 ) >  * f ′( x0 ) =   ⇒ x0 điểm cực đại f ′′( x0 ) <  Quy tắc 2: + Bước 1: Tính y′ Giải pt y′ = tìm nghiệm xi ( i=1,2,…) + Bước 2: Tính y′′ 10 C y = x +1 x −1 D y = x+2 1− x Phân tích: Từ đồ thị + Tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = nên loại A, D + Đồ thị qua điểm ( −2;0 ) ; ( 0; −2 ) nên chọn B Loại 3: Các toán tiếp tuyến Để dạy loại tốn tác giả hệ thơng dạng phưng pháp giải cho học sinh nắm, q trình giải tốn trắc nghiệm tinh gọn bước hơn, sử dụng MTBT cho nhanh 1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y = f(x) điểm M(x0; y0 ) ∈ (C) 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Tính y′ thay x0 vào y′ tính y′(x0) 3) B3: Thay x0 , y0 , y′(x0) vào (1) ta có phương trình cần tìm 2) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) điểm có hồnh độ x = x0 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Thay x0 vào y = f(x) tính y0 3) B3: Tính y′ thay x0 vào y′ tính y′(x0) 4) B4: Thay x0 , y0 , y′(x0) vào (1) ta có phương trình cần tìm 3) Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) điểm có tung độ y = y0 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Thay y0 vào y = f(x) tính x0 3) B3: Tính y′ thay x0 vào y′ tính y′(x0) 4) B4: Thay x0 , y0 , y′(x0) vào (1) ta có phương trình cần tìm 4) Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) biết (∆) có hệ số góc k 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Tính y′ = f ′(x) 37 3) B3: Vì tiếp tuyến (∆) có hệ số góc k ⇒ y′(x0) = k Giải pt y′(x0 ) = k tìm nghiệm x0 4) B4: Thay x0 vào y = f(x) tính y0 5) B5: Thay x0 , y0 , y′(x0 ) vào (1) ta có phương trình cần tìm 5) Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) biết (∆) song song với đường thẳng y=ax+b 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Tính y′ = y′(x) 3) B3: Vì tiếp tuyến (∆) song song với đ thẳng y= ax+b nên y′(x0 ) = a 4) B4: Giải pt y′(x0 ) = a tìm nghiệm x0 5) B5: Thay x0 vào y = f(x) tính y0 6) B6: Thay x0 , y0 , y′(x0 ) vào (1) ta có phương trình cần tìm 6) Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) biết (∆) vng góc với đường thẳng y=ax+b 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Tính y′ = y′(x) 3) B3: Vì tiếp tuyến (∆) vuông với đ thẳng y= ax+b nên [y′(x0)] a = −1⇒ y′(x0) = -1 a 4) B4: Giải pt y′(x0 ) = −1a tìm nghiệm x0 5) B5: Thay x0 vào y = f(x) tính y0 6) B6: Thay x0 , y0 , y′(x0 ) vào (1) ta có phương trình cần tìm 7) Dạng 7: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) giao điểm (C ) với trục Ox 1) B1: Gọi pt : y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Vì (C) giao với Ox nên : y0 = ⇒ y(x0) = Giải pt y(x0) = tìm nghiệm x0 3) B3: Tính y′ ⇒ y′(x0) 4) B4: Thay x0 , y0 , y′(x0 ) vào (1) ta có phương trình cần tìm 8) Dạng 8: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) giao điểm (C ) với trục Oy 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 38 2) B2: Vì (C) giao với Oy nên : x0 = thay x0 = (tức x=0 )vào y=f(x) tính y0 3) B3: Tính y′ ⇒ y′(x0) 4) B4: Thay x0 , y0 , y′(x0 ) vào (1) ta có phương trình cần tìm 9) Dạng 9: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) giao điểm (C ) với đường thẳng thẳng y=ax+b (d) 1) B1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: PTHĐGĐ (C) (d) là: f(x) = ax+b (2) 3) B3: Giải pt (2) tìm nghiệm x0 thay x0 vào y = ax+b tính y0 4) B4: Tính y′ ⇒ y′(x0) 5) B5: Thay x0 , y0 , y′(x0 ) vào (1) ta có phương trình cần tìm 10) Dạng 10: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua A(xA ; yA ) Cách : 1) B1: Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm phương trình tiếp tuyến (∆) (C) M : y = f’(x0)( x – x0 ) + y0 (1) 2) B2: Thay x0 vào tính y0 = f(x0) , f ’(x0) theo x0 3) B3: Thay y0 = f ( x0 ) f ′( x0 ) vào (1) ta : y = f ′( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) (2) 4) B4: Vì tiếp tuyến (∆) qua A nên : y A = f ′( x0 )( x A − x0 ) + f ( x0 ) (3) ( pt chứa biến x0 ) 5) B5: Giải p trình (3) tìm x0 thay x0 vào (2) ta có phương trình cần tìm Cách 1) B1:Gọi (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k ⇒ pt (d) : y = k( x – xA )+ yA (1) 2) B2: Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C) ( (d) tiếp xúc với (C))  f ′ ( x ) = k ( 1) ⇔  f ( x ) = k ( x − x A ) + y A ( ) có nghiệm 3) B3: Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x x vào (1) tìm k thay k vào phương trình (1) kết 11) Dạng 11: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) điểm có hồnh độ x0 thỏa f ′′(x0 ) = k 1) B1: Gọi pt tiếp tuyến cần tìm (C) có dạng: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 39 2) B2: Tính y′ y′′ Gpt: f ′′(x0 ) = k tìm x0 Thay x0 vào y = f(x) tính y0 3) B3: Thay x0 vào y′ tính y′(x0) 4) B4: Thay x0 , y0 , y′(x0) vào (1) ta có phương trình cần tìm 12) Dạng 12: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đồ thị (C): y=f(x) biết t tuyến có hệ số góc nhỏ 1) B1: Gọi pt tiếp tuyến cần tìm (C) có dạng: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 2) B2: Tính y′ đưa y′ dạng y′(x0 ) = (a ± b) ± c T tuyến có HSG nhỏ (a ± b)2 = từ tìm x0 Thay x0 vào y = f(x) tính y0 3) B3: Thay x0 vào y′ tính y′(x0) 4) B4: Thay x0 , y0 , y′(x0) vào (1) ta có phương trình cần tìm Câu Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x −1 giao điểm đồ thị hàm số với x +1 trục tung bằng: A −2 B D −1 C Giáo viên hướng dẫn sử dụng MTBT: Giao với Oy ⇒ x = Bấm Shift → d  x −1   ÷ = y′ ( ) = dx  x +  x =0 Vậy hệ số góc tiếp tuyến: y′ ( ) = Chọn B Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A x + y - = x − 3x + A(0 ; -2) có phương trình là: 2x − C x - y - = B x + 2y + = D x - y + = Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) d  x2 − 3x +  + Bước 2: Tính hệ số góc: y′(0) =  ÷ =− dx  2x −  x=0 2 + Bước 3: Phương trình: y = − (x − 0) − = − x − ⇔ x + 2y+ = 0chọn B Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm có hồnh độ x0 = - có phương trình là: x −1 A y = x - C y = x - B y = - x + Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) 40 D y = - x - + Bước 2: Tính hệ số góc: y′(−1) = d  = −1, Tìm y(−1) = −2 cách bấm  ÷ dx  x − 1 x=−1 x −1 Calc → x = −1 ⇒ y = −2 + Bước 3: Phương trình: y = −1(x + 1) − = − x − chọn D Câu 4: Cho đường cong ( H ) : y = x+2 điểm A ∈ ( H ) có tung độ y = Hãy lập phương trình x −1 tiếp tuyến ( H ) điểm A ? A y = x − B y = −3 x + 10 C y = −3 x − 11 D A, B, C sai Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) + Bước 2: y = ⇒ d  x+ 2 x+2 = −3, = ⇔ x = Tính hệ số góc: y′(2) =  dx  x − ÷ x −1  x=2 + Bước 3: Phương trình: y = −3(x − 2) + = −3x + 10 chọn B Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A y = - 9x - 11 x3 + x − có hệ số góc k = - 9, có phương trình là: B y = - 9x + 43 C y = - 9x + D y = - 9x - 27 Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) + Bước 2: y′ = −9 ⇔ x + x = −9 ⇔ x = −3 ⇒ y = 16 + Bước 3: Phương trình: y = −9(x + 3) + 16 = −9x − 11chọn A Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − x + x + song song với đường thẳng 2x + y – = có phương trình là: A 2x + y - 10 = 2x + y - = B 2x + y - = 2x + y - = C 2x + y + = 2x + y + = D 2x + y - = 2x + y + = Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) + Bước 2: Tiếp tuyến song song đường thẳng: x + y − = ⇒ y = −2 x + ⇒ y′ = −2 ⇔ x − x + = −2 ⇔ x − x + = 41  x =1⇒ y =  ⇔   x = ⇒ y = −4 + Bước 3: Phương trình: y = −2(x − 1) + = −2x + 10 Dò đáp án chọn A Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 3x vng góc với đường thẳng x + 6y – = có phương trình là: A y = 6x + y = 6x + 12 C y = 6x + y = 6x - 27 B y = 6x – y = 6x + 27 D y = 6x – y = 6x – 12 Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) + Bước 2: Tiếp tuyến vng góc đường thẳng: x + 6y - = ⇒ y = − x + ⇒ y′ = ⇔ 3x − x − = ⇔ 3x − x − =  x = −1 ⇒ y = −1 ⇔  x = ⇒ y = −9 + Bước 3: Phương trình: y = 6(x + 1) − 1= 6x + 5, y = 6x − 27 Dò đáp án chọn C Câu Gọi M giao điểm đồ thị hàm số y = 2x −1 với trục Ox Phương trình tiếp tuyến với đồ x−2 thị M là: y =− x+ A 3 B y = x + C y = − x + 2 3 D y = x − 2 Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) + Bước 2: Giao với Ox ⇒ y = ⇒ 2x − 1= ⇒ x = 1 ⇒ y′  ÷ = − 2 4 + Bước 3: Phương trình: y = − (x − ) = − x + Dò đáp án chọn C x − 3x + Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = giao điểm đồ thị hàm số với trục tung có 2x − phương trình là: A y = x – B y = x + C y = x 42 D y = - x Giáo viên hướng dẫn + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) + Bước 2: Giao với Oy ⇒ x = ⇒ y = −1 y′ ( ) = + Bước 3: Phương trình: y = 1(x − 0) − 1= x − Dò đáp án chọn A Câu 10 Cho đồ thị (C): y = x − 3x + , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) A y = −1; y = x + 17 B y = −1; y = x + 15 C y = x + D y = x + 17 Giáo viên hướng dẫn Gọi pt: y = y / ( x0 )( x − x0 ) + y0 Ta có: y ' = x − Gọi M ( x0 ; x0 − 3x0 + 1) tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) = x02 − 3 Phương trình tiếp tuyến ∆ : y = (3x0 − 3)( x − x0 ) + ( x0 − 3x0 + 1) ∆ qua A(-2;-1) nên : −1 = (3 x0 − 3)(−2 − x0 ) + ( x0 − x0 + 1) ⇔ x03 + 3x02 − =  x0 = ⇔  x0 = −2 Vậy có hai tiếp tuyến là: ∆ : y = −1; ∆ : y = x + 17 Lưu ý: Học sinh sai lầm chỗ: + Học sinh nhầm tiếp tuyến qua điểm tiếp tuyến điểm nên sai chọn D y ' ( −2 ) = phương trình tiếp tuyến: y = 9( x + 2) − = x + 17 + Học sinh biết tiếp tuyến qua A nên bấm phương trình đáp án Calc → x = −2 → y = −1 chọn , nắm vấn đề nên tác giả cho đáp án nhữ B,C học sinh sai đáp án Câu 11 Qua điểm A(0 ; 2) kẻ đến đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + tiếp tuyến? A B C D Giáo viên hướng dẫn , tương tự câu 10 Gọi pt: y = y / ( x0 )( x − x0 ) + y0 Ta có: y ' = x3 − x Gọi M ( x0 ; x0 − x0 + ) tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) = x0 − x0 Phương trình tiếp tuyến ∆ : y = (4 x03 − x0 )( x − x0 ) + x04 − x0 + 43 ∆ qua A(0;2) nên : = (4 x03 − x0 )(0 − x0 ) + x04 − x0 + ⇔ −3 x04 + x02 = phương trình có nghiệm nên có tiếp tuyến, chọn B Câu 12 Trong tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ bằng: A B - C – D Giáo viên hướng dẫn : y′ = 3x − x = ( x − 1) − ≥ −3 Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất: ⇒ y′ = −3 ⇔ x − = ⇔ x = , chọn B Câu 13: Cho hàm số y = x − 3x + ( C ) Đường thẳng sau tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc nhỏ : A y = B y = −3x + C y = −3x D y = −3 x − tương tự câu 12 Câu 14 Cho hàm số y= x − x + 3x + x0 y '' ( x0 ) = Tiếp tuyến điểm thỏa mãn đồ thị hàm số có phương trình là: A y = − x + 11 B y = − x − 11 C y = x + 11 D y = Giáo viên hướng dẫn : + Bước 1: Gọi pt: y = y′(x0 )(x − x0) + y0 (1) + Bước 2: y′ = x − x + 3, y′′ = x − , y′′ = ⇒ x = ⇒ y = y′ ( ) = −1 B3: Phương trình: y = −1(x − 2) + = − x + 11 Dò đáp án chọn A Lưu ý: Học sinh sai lầm chỗ: Thế hệ số góc y′′ = nên chọn D Loại 4: Các toán tương giao đồ thị Câu Số giao điểm hai đường cong y = x − x − x + y = x − x + A B C D Giáo viên hướng dẫn : Lập phương trình hồnh độ có nghiệm, chọn C Câu Số giao điểm đồ thị hàm số y = ( x − 3)( x + x + 4) với trục hoành là: A B C.0 44 D.1 Giáo viên hướng dẫn : Lập phương trình hồnh độ có nghiệm, chọn D Câu Tìm m để phương trình x3 + x − 12 x − 13 = m có nghiệm A m = −20; m = B m = −13; m = C m = 0; m = −13 D m = −20; m = Giáo viên hướng dẫn : Cách 1: + Bước 1: Thế m đáp án vào chuyển phương trình bậc + Bước 2: Bấm Mode → → giải phương trình bậc kế hai nghiệm ta nhận chọn A Cách 2: 2 + Bước 1: Đăt y = x + x − 12 x − 13 tính y′ = x + x − 12 + Bước 2: Lập BBT x −∞ −2 y′ + +∞ − + y − ∞ Z ] − 20 Z +∞ + Bước 3: Từ BBT ta thấy phương trình có nghiệm m = y ( −2 ) = m = y ( 1) = −20 chọn A Câu 4: Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm phân biệt : A ≤ m < B m > C < m ≤ D < m < Giáo viên hướng dẫn : Cách 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3x + = m + Bước 1: Thế m đáp án vào chuyển phương trình bậc + Bước 2: Bấm Mode → → giải phương trình bậc kết nghiệm phân biệt ta nhận chọn D Cách 2: + Bước 1: Đặt y = x − x + tính y′ = 3x − + Bước 2: Lập BBT x − ∞ −1 y′ + y − ∞Z ] +∞ − + Z +∞ 45 + Bước 3: Từ BBT ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt < m < chọn D Câu Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số y = x3 − 3x − m + 2016 cắt trục ox ba điểm phân biệt A 2016 ≤ m ≤ 2017 C 2012 < m < 2016 B 2012 < m < 2017 D m < 2016 Giáo viên hướng dẫn : Cách 1: 3 Lập phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3x − m + 2016 = ⇔ x − 3x + 2016 = m + Bước 1: Thế m đáp án vào chuyển phương trình bậc + Bước 2: Bấm Mode → → giải phương trình bậc kết nghiệm phân biệt ta nhận chọn C Cách 2: 2 + Bước 1: Đặt y = x − 3x + 2016 tính y′ = 3x − + Bước 2: Lập BBT x −∞ y′ + − +∞ + y − ∞ Z 2016 ] 2012 Z +∞ + Bước 3: Từ BBT ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt 2012 < m < 2016 chọn C Câu Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số y = x − x − m + 2017 có giao điểm với trục hoành A m ≤ 2017 B m ≥ 2017 C 2015 ≤ m ≤ 2016 D m = 2017 Giáo viên hướng dẫn : 4 Lập phương trình hồnh độ giao điểm: x − x − m + 2017 = ⇔ x − x + 2017 = m + Bước 1: Đặt y = x − x + 2017 tính y′ = x − x + Bước 2: Lập BBT x −∞ y′ − y −1 + 0 − +∞ + + ∞ ] 2016 Z 2017 ] 2016 Z +∞ + Bước 3: Từ BBT ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt m = 2017 chọn D Câu : Đồ thị sau hàm số y = − x + x − Với giá trị m phương trình x − x + m = có hai nghiệm phân biệt Chọn câu 46 -1 A m = −4 ∨ m = C m = −4 ∨ m = B m = ∨ m = O -2 -4 D Một kết khác Giáo viên hướng dẫn : 3 Từ phương trình: x − 3x + m = ⇔ − x + 3x − = m − + Bước 1: Đặt y = − x + 3x − + Bước 2: Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt m − = −4 ∨ m − = ⇔ m = ∨ m = chọn A Câu 8: Đồ thị sau hàm số y = x − x − Với giá trị m phương trình x − x + m = có ba nghiệm phân biệt ? Chọn câu A m = -3 B m = - C m = D m = Giáo viên hướng dẫn : -1 O -2 4 Từ phương trình: x − 3x + m = ⇔ x − 3x − = − m − -3 -4 + Bước 1: Đặt y = x − x − + Bước 2: Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt −m − = −3 ⇔ m = chọn C Câu 9: Đồ thị sau hsố y = − x + 4x Với giá trị m phương trình x − x + m − = có bốn nghiệm phân biệt ? Chọn câu 2 A < m < B ≤ m < C < m < D ≤ m ≤ -2 - O -2 Giáo viên hướng dẫn : 4 Từ phương trình: x − x + m − = ⇔ − x + x = m − + Bước 1: Đặt y = − x + x + Bước 2: Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt < m − < ⇔ < m < chọn C Các tập tương tự: Câu 10 Cho hàm số y = x − x + Tìm m để phương trình: x ( x − 2) + = m có hai nghiệm phân biệt? Chọn câu 47 A m > ∨ m = B m < C m > ∨ m < D m < Câu 11 Cho hàm số y = x − x + x + Tìm m để phương trình: x( x − 3) = m − có ba nghiệm phân biệt? Chọn câu A m > B < m < C m > ∨ m < D m < Câu 12 Tìm m để phương trình x3 + 3x − = m + có nghiệm phân biệt A −2 < m < B −3 < m < C < m < D < m < Câu 13: Cho hàm số y = x − 5x + Giá trị m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m bốn điểm phân biệt : A −4 < m < − B m < − 9 C − < m < D m > −9 Câu 14: Đồ thị sau hàm số y = x − x + Với giá trị m phương trình x − x − m = có ba nghiệm phân biệt Chọn câu A − < m < B − < m < C − ≤ m < D − < m < -1 O -2 -4 Câu 15 Đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số y = A m < B m > 2x + hai điểm phân biệt khi: x +1 C < m < D m < m > Giáo viên hướng dẫn : 2x +1 = mx + ⇔ mx + mx + = ( x ≠ −1) (1) Phương trình hồnh độ: x + Cách 1: Yêu cầu đề ⇔ ( 1) có hai nghiệm phân biệt x ≠ −1 1 ≠ ⇔ ⇔ m < 0, m > Chọn D  m − 4m > Cách 2: Từ trình (1) bấm Mode → → giá trị m đáp án vào giải tìm nghiệm chọn D Câu 16 Cho hàm số y = x+3 (C) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) điểm M, N x +1 cho độ dài MN nhỏ 48 A m = B m = C m = D m = −1 Giáo viên hướng dẫn : x+3 = x + m ⇔ x + ( m + 1) x + m − = ( x ≠ −1) (1) Phương trình hồnh độ: x + Ta có: M ( x1 ; x1 + m ) ; N ( x2 ; x2 + m ) ⇒ MN = ( x2 − x1 ) Từ phương trình(1) bấm Mode → → giá trị m đáp án vào giải tìm nghiệm đáp án sau trực tiếp vào MN ta thấy giá trị nhỏ chọn Chọn B Tính giải pháp thể chỗ giúp học sinh yếu, hệ thống lại dạng toán chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, phương pháp giải dạng tập trọng tâm chương 1, dạng tập có nêu nhiều phương pháp giải khác nhau, kết hợp với MTBT cơng thức tính nhanh trắc nghiệm, đồng thời có phân tích cách giải ưu việt hơn, cần sử dụng Học sinh hướng dẫn cụ thể dạng toán hay gặp với nhiều cách giải khác nhau, nhanh, gọn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Mặt khác giải pháp nêu nhiều phương pháp giải có sử dụng MTBT giúp học sinh giải nhanh, gọn hơn; sở giải pháp nêu, học sinh tự giải tập tương tự, giải pháp trình bày nhiều dạng tốn chương theo trình tự dạng khác từ dễ đến khó theo dạng tư thuật tốn nên giúp học sinh có kiến thức tổng quan để tự giải tốn tương tự mức độ khó qua học sinh thích thú học chủ đề khảo sát mà khơng cò sợ Giải pháp thiết kế chung kết cấu theo dạng mơ tả thuật tốn dạng, loại giúp học sinh tự phân tích hướng giải làm hàng loạt tốn có tính chất tương tự Đặc trưng chung giải pháp vấn đề giải pháp giúp học sinh có hướng tư lơgic dạng thuật toán để giải loạt toán chương kết hợp sử dụng MTBT để mang lại hiệu cao dạng tương tự nâng cao Trong giải pháp tơi nêu học sinh dựa theo sơ đồ tư thuật tốn từ tìm lời giải làm theo thuật toán để làm toán tương tự nâng cao Biện pháp cụ thể tiến hành giải pháp là: giáo viên hướng dẫn phương pháp, cách sử dụng MTBT, dự đoán học sinh gặp khó khăn giải tốn cụ thể, từ có hướng gợi mở tương ứng với khó khăn mà học sinh vấp phải, giúp học sinh tự phân tích tìm câu trả lời lời giải, tự tin hơn, tích cực học tập Qua trang 49 bị cho học sinh kỹ tư duy, suy luận lơgic để phân tích giải hàng loạt tốn có tính chất tương tự, nhờ học sinh cảm thấy thích thú giải toán ứng dụng đạo hàm Bên cạnh giải pháp rèn luyện cho học sinh có kỹ phân tích, chọn lọc, sử dụng kiến thức biết toán học để áp dụng thích hợp tốn khác như: sử dụng phương pháp nào, cho dạng toán nào, sử dụng MTBT hiệu quả, để áp dụng dễ dàng xác vào giải toán cụ thể 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Giải pháp triển khai cho giáo viên mơn giảng dạy tốn khối 12 lớp trường sở tham khảo rút kinh nghiệm Có thể giới thiệu cho giáo viên mơn giảng dạy tốn khối 12 trường bạn để tham khảo trao đổi rút kinh nghiệm nhằm nâng cao hiệu cơng tác giảng dạy 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: Sau đưa sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào dạy trực tiếp cho năm học 2017 – 2018 nhận thấy kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt, học sinh khơng sợ, lúng túng làm thi trắc nghiệm chương 1, chương có q nhiều kiến thức dạng toán khác nhau, với nhiều cách giải khác nhau, từ học sinh có thái độ u thích mơn thân tơi không ngại dạy chương trước Giỏi Tổng Năm 2016- 2017 80 SL 12 Khá % 15 SL % 17 21.3 T Bình SL % SL % SL % 25 19 23.8 8.6 50 31.3 Yếu Kém 2017 – 2018 80 23 28.8 30 37.5 14 51 17.5 10 12.5 3.7 ... hàm số y = 2x + đúng? x +1 A Hàm số đồng biến R B Hàm số nghịch biến R { 1} C Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; − 1) ( − 1; + ∞ ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞ ; − 1) ( − 1; + ∞ ) Cách 1: ... hàm số y = x + + A 26 B [ 1; 1] sai giá trị lớn 10 đoạn [1 ; 2] 2x + 10 C 14 D 24 Phân tích: tương tự câu + Bước 1: Bấm Mode → → f(x) = x + + 2x +1 + Bước 2: Chọn Start = End = , Step = 1 19... lớn nhỏ tập xác định hàm số cho, chưa xác định tập xác định hàm số ta chọn sau: Đoạn chọn [ 15 ;0] : Start = 15 End = ; Step = Đoạn chọn [ 0 ;15 ] : Start = End = 15 ; Step = 15 19 15 19 Câu Trên