THỦY LỰC HỌC CƠ SỞ BỘ MÔN THỦY LỰC

CHƯƠNG I : MỞ ÐẦU *** I II III IV CHẤT LƯU Định nghĩa Các tính chất vật lý bảnư KHOA HỌC THUỶ LỰC Định nghĩa Các lĩnh vực nghiên cứu PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HAI LOẠI LỰC TÁC DỤNG LÊN MỘT THỂ TÍCH CHẤT LỎNG BÀI TẬP CHƯƠNG I CHẤT LƯU Ðịnh nghĩa Chất lưu môi trường liên tục mà lực liên kết phần tử tạo thành yếu Nên chất lưu có tính di động cao (chảy), nghĩa biến dạng lực tương đối yếu Có hai loại chất lưu: lỏng khí - Chất lỏng có tính chống nén lớn - Chất khí nén TOP Các tính chất vật lý 2.1 Khối lượng riêng M: Khối lượng thể tích V (kg) V : Thể tích có khối lượng M 2.2 (m3 ) Nước cất 40C có ρ =1000 kg/m3 Trọng lượng riêng (N/m3) G: Trọng lượng khối chất lỏng (N) Nước nguyên chất γ = 9810N/m3 (1N = 0.102 KG) 2.3 Tính giãn nở áp lực V: Thể tích ban đầu (m3) (gia tốc trọng trường g = 9.81m/s2) dV lượng thay đổi thể tích V (m3) dp lượng thay đổi áp suất N/m2 ™ Mơđun đàn hồi thể tích: 2.4 Tính giãn nở nhiệt độ (1/độ) dt _ lượng thay đổi nhiệt độ (độ) Hệ số nhiệt thay đổi áp suất thay đổi Hệ số giãn nở nước tăng áp suất tăng, phần lớn chất lỏng khác (t giảm áp suất tăng 2.5 TOP Có sức căng mặt ngồi Sinh tượng mao dẫn ống có đường kính nhỏ Sức căng mặt phụ thuộc nhiệt độ Sức căng mặt nhỏ so với lực khác, phần lớn tượng thủy lực ta không xét đến 2.6 Tính nhớt (ma sát trong) Khi chất lỏng chuyển động, chúng có chuyển động tương đối, làm sinh lực ma sát Ðây nguyên nhân sinh tổn thất lượng chất lỏng chuyển động Ðặc tính gọi tính nhớt Công lực nhớt sinh biến thành nhiệt không thu hồi lại Các lực nhớt sinh có liên quan đến lực hút phân tử chất lỏng Ðịnh luật Newton: (N) T _ lực nhớt diện tích S hai lớp chất lỏng S _ diện tích tiếp xúc hai lớp chất lỏng _ gradient vận tốc theo phương n vng góc hướng dòng chảy µ _ hệ số đặc trưng cho tính nhớt gọi hệ số nhớt động lực học 2.7 Chất lỏng lý tưởng chất lỏng thực Chất lỏng thực có tất tính chất Chất lỏng lý tưởng: bao gồm tính chất sau: _ Khơng có tính nhớt: µ = _ Di động tuyệt đối _ Không chống lực kéo cắt _ Không nén Chất lỏng trạng thái tĩnh gần với chất lỏng lý tưởng Ðể có kết chất lỏng lý tưởng phù hợp chất lỏng thực, người ta dùng thực nghiệm để rút hệ số hiệu chỉnh Ngoài số vấn đề thủy lực, chưa có phương pháp lý luận giải được, mà phải dùng phương pháp thực nghiệm II KHOA HỌC THỦY LỰC Ðịnh nghĩa TOP Thủy lực học môn khoa học sở, nghiên cứu quy luật cân chuyển động chất lỏng Nghiên cứu vận dụng quy luật để giải vấn đề kỹ thuật thực tiễn sản xuất Các lĩnh vực nghiên cứu Cơ sở lý luận thủy lực vật lý, học lý thuyết, học chất lỏng Bản thân thủy lực học lại sở để nghiên cứu môn chuyên môn: _ Xây dựng cơng trình thủy lợi: Thủy điện, thủy cơng, trạm bơm, kênh dẫn _ Xây dựng dân dụng: cầu cảng, cấp thoát nước, cầu đường _ Chế tạo máy thủy lực: bơm, tuôc-bin, động thủy, truyền động thủy lực III PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TOP Trong nghiên cứu thủy lực phải kết hợp chặt chẽ lý thuyết thực nghiệm ™ Các nguyên lý để giải tốn thủy lực _ Bảo tồn khối lượng (bảo toàn liên tục) _ Bảo toàn động lượng moment động lượng (nguyên lý cơ học) _ Bảo toàn lượng (nguyên lý vật lý) ™ Phương pháp tiến hành sau: _ Tách riêng tưởng tượng thể tích chứa chất lỏng xét Gọi thể tích kiểm tra Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi mặt kiểm tra _ Nghiên cứu tác dụng lực lên phần tử _ Áp dụng nguyên lý học vật lý học toàn khối chất lỏng thể tích kiểm tra, coi tồn khối chất lỏng hệ thống vật chất phần tử chất lỏng tạo nên Nhờ phương pháp giúp ta lập phương trình vi phân phần tử chất lỏng Nhưng thường thủy lực ta khơng u cầu biết thật xác trạng thái chuyển động hạt chất lỏng (lưu hạt) mà biết trị số trung bình đại lượng thể tích hay mặt cắt Sự phân tích thứ nguyên nhiều giúp ta tìm dạng gần định luật Trong thủy lực, thực nghiệm đóng vai trò quan trọng Thí nghiệm làm vật nhỏ gọi mơ hình ™ Có hai cách khảo sát chuyển động: _ Theo Euler: có vơ số quan sát viên vô số điểm đặt dòng chảy Như ta có u, p, phụ thuộc vào vị trí điểm cố định thời gian t: u = f1(x, y, z, t) ; p = f2(x, y, z, t) _ Theo Lagrand: có vơ số quan sát viên di chuyển vận tốc với phần tử chất lỏng + Ở thời điểm t0 : phần tử chất lỏng A có tọa độ (a, b, c) + Tại thời điểm t: phần tử có tọa độ (x, y, z) Ta có: x = f1(a, b, c, t) ; y = f2(a, b, c, t); z = f3(a, b, c, t) Ðây dạng chuyển động dòng chảy IV HAI LOẠI LỰC TÁC DỤNG LÊN MỘT THỂ TÍCH CHẤT LỎNG TOP Xét thể tích chất lỏng, chứa mặt cong S, lực tác dụng lên thể tích chất lỏng chia làm hai loại: ™ Lực khối: lực tỷ lệ với khối lượng chất lỏng tác dụng lên phân tử chất lỏng như: lực quán tính, trọng lực, lực điện từ Thơng thường lực khối trọng lực, trừ số trường hợp đặc biệt phải xét thêm lực quán tính ™ Lực bề mặt: lực từ tác dụng lên phần tử chất lỏng qua mặt tiếp xúc, tỷ lệ với diện tích mặt tiếp xúc như: áp lực khí tác dụng lên mặt tự chất lỏng, áp lực pit-tông lên chất lỏng chứa xy lanh BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1: Ðể làm thí nghiệm thủy lực, người ta đổ đầy nước vào đường ống có đường kính d=300mm, chiều dài l=50m áp suất khí Hỏi lượng nước cần thiết phải đổ vào ống để áp suất đạt tới 50at ? Hệ số nén ép βp = Bỏ qua biến dạng ống Bài 2: Trong bể chứa hình trụ thẳng đứng có đường kính d=4m, đựng 100 dầu hỏa có khối lượng riêng ρ= 850kg/m3 100C Xác định khoảng cách dâng lên dầu bể chứa khí nhiệt độ tăng lên đến 400C Bỏ qua giãn nở bể chứa Hệ số giãn nở nhiệt βt =0.00072 1/độ Bài 3: Khi làm thí nghiệm thủy lực, dùng đường ống có đường kính d=400mm, dài l=200m, đựng đầy nước áp suất 55 at Sau 1giờ áp suất giảm xuống 50at Xác định lượng nước chảy qua kẽ hở đường ống Hệ số nén ép βp = Bài 4: Một bể hình trụ đựng đầy dầu hỏa nhiệt độ 50C, mực dầu cao 4m Xác định mực dầu tăng lên, nhiệt độ tăng lên 250C Bỏ qua biến dạng bể chứa Hệ số giãn nở nhiệt βt =0.00072 1/độ CHƯƠNG II THỦY TĨNH HỌC ***** I II III IV V VI VII VIII ĐỊNH NGHĨA ÁP SUẤT CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁP SUẤT THUỶ TĨNH Tính chất Tính chất PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG MẶT ĐẲNG ÁP Tính chất Tính chất SỰ CÂN BẰNG CHẤT LỎNG TRỌNG LỰC Phương trình chất lỏng trạng thái cân Mặt đẳng áp chất lỏng trọng lực Định luật bình trơng Định luật Pascal Áp suất tuyệt đối - Áp suất dư - Áp suất chân không Ý nghĩa phương trình thuỷ tĩnh học Áp kế Biểu đồ phân bố áp suất SỰ CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG TRONG NHỮNG BÌNH CHỨA CHUYỂN ĐỘNG Sự cân chất lỏng đựng bình chứa chuyển động thẳng với gia tốc không đổi Sự cân chất lỏng đựng bình hình trụ tròn quay quanh trục thẳng đứng qua tâm bình ÁP LỰC LÊN THÀNH PHẲNG Thành phẳng có dạng Áp lực lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang Áp lực lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang đặt vng góc α=900,có đáy rộng b,chiều cao h Áp lực lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang đặt vng góc α = 900,có đáy rộng b, chiều cao h IX TÍNH ÁP LỰC THUỶ TĨNH LÊN THÀNH CONG X ĐỊNH LUẬT ASCIMET XI SỰ CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN NGẬP HOÀN TOÀN TRONG NƯỚC XII SỰ CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN NỔI TRÊN MẶT TỰ DO CỦA CHẤT LỎNG BÀI TẬP THUỶ TĨNH HỌC I ÐỊNH NGHĨA ÁP SUẤT TOP Do tác dụng lực (lực bề mặt lực khối) nên nội chất lỏng xuất ứng suất Ta gọi ứng suất áp suất thủy tĩnh Xét mặt phẳng có diện tích ω chịu lực tác dụng Áp suất thủy tĩnh trung bình: Xét phân tố diện tích , chịu tác dụng lực , áp suất điểm bằng: (2-1) Ðơn vị áp suất: N/m2 , Kg/m.s2 1at = 9.81.104 N/m2 , 1at = 1KG/cm2 II CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH TOP Tính chất Áp suất thủy tĩnh ln ln tác dụng thẳng góc hướng vào mặt tiếp xúc Chứng minh: Bằng phản chứng Ta có: Nên: , (do chất lỏng cân bằng) Tính chất TOP Áp suất thủy tĩnh điểm theo phương Gọi X, Y, Z hình chiếu gia tốc lực khối F lên trục ox, oy, oz Viết phương trình cân trục ox Do dxdydz vô bé bậc cao vô bé dydz nên bỏ qua Ta có: Khi dxdydz tiến ta có: Chứng minh tương tự ta có: px=pn px= py= pz= pn III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG CÂN TOP BẰNG Gọi X thành phần trục ox lực thể tích F tác dụng lên đơn vị khối lượng chất lỏng Ta viết phương trình cân hình hộp theo phương x: Tương tự cho y, z ta có: (2-3) Hoặc: (2-3') Phương trình gọi phương trình Ơ-le ( 1755) Phương trình biểu thị quy luật chung phụ thuộc áp suất thủy tĩnh tọa độ: P = f(x, y, z) IV TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT TOP LỎNG Hệ phương trình (2-3) viết dạng vi phân toàn phần p sau: Nhân phương trình hệ (2-3) riêng biệt với dx, dy, dz cộng vế đối vế, ta có: Vì p = f(x, y, z) hàm số tọa độ, nên ta đặt Ta được: Hay V (2-4) Ðó phương trình vi phân chất lỏng MẶT ÐẲNG ÁP Mặt đẳng áp mặt có áp suất thủy tĩnh điểm nhau, tức mặt có p = const, dp = Ta phương trình vi phân mặt đẳng áp: Xdx + Ydy +Zdz = (2-5) Tính chất TOP Hai mặt đẳng áp khác khơng thể cắt nhau, chúng cắt giao điểm, áp suất thủy tĩnh có trị số khác nhau, điều trái với tính chất áp suất thủy tĩnh Tính chất Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp Mặt đẳng áp đồng thời mặt đẳng VI SỰ CÂN BẰNG CHẤT LỎNG TRỌNG LỰC Phương trình chất lỏng trạng thái cân TOP Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng trọng lực chất lỏng gọi chất lỏng trọng lực Trong hệ tọa độ vng góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, lực thể tích F tác dụng lên đơn vị khối lượng chất lỏng trọng lực, ta có: X = ; Y= ; Z = - g , đó: g gia tốc trọng trường Từ phương trình vi phân chất lỏng (2-4), thay giá trị vào ta được: dp = -gdz Tích phân: Khi Nên p0 = - (gz0 + C Vậy Hay p=ρg(z0- z) +p0 p = γ(z0 - z) + p0 p = - (gz + C z = z0 p = p0 (p0 = pa thường áp suất khí quyển) suy C = (gz0 + p0 (2-6) Gọi z0 tọa độ điểm mặt tự h độ sâu điểm xét có tung độ z, ta có: h = z0 - z Ta viết lại: p = p0 + γh (2-7) Phương trình (2-7) phương trình thủy tĩnh học Với phương trình ta thấy: Áp suất điểm độ sâu loại chất lỏng trọng lực đứng cân Phương trình (2-6) viết lại thành: (2-8) Phương trình viết dạng (2-8) gọi phương trình thủy tĩnh học, nhiều gọi phương trình (2-7) (2-8) quy luật phân bố áp suất thủy tĩnh Mặt đẳng áp chất lỏng trọng lực TOP Phương trình vi phân thủy tĩnh học Ta thấy p = const z = const Vậy mặt đẳng áp chất lỏng trọng lực mặt song song, thẳng góc với trục Oz, nói cách khác, mặt phẳng nằm ngang Mặt tự chất lỏng áp suất p0 = pa mặt nằm ngang Ðịnh luật bình thơng Nếu hai bình thơng chứa đựng chất lỏng khác có áp suất mặt thống nhau, độ cao chất lỏng bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị chất lỏng, tức là: (2-9) Trong đó: h1, h2 độ cao nói ứng với chất lỏng có trọng lượng đơn vị γ1, γ2 có: Thực vậy, áp suất p1, p2 mặt phân chia - bình 2, theo tính chất mặt đẳng áp ta p1= p2 Theo công thức (2-7), ta có : p1 = p0 + γ1h1 p2 = p0 + γ2 h2 Vậy ta được: Do đó: γ1h1 = γ2h2 Ðịnh luật Pascal TOP Gọi p0 áp suất mặt ngồi thể tích chất lỏng cho trước đứng cân bằng, áp suất điểm A độ sâu h chất lỏng tính theo (2-7): p = p0 + γh Nếu tăng áp suất mặt ngồi lên trị số (p, áp suất p A: p’ = (P0 + ∆p) + γh Vậy áp suất A tăng lên lượng bằng: p’- p =∆p Do ta nói: Ðộ biến thiên áp suất thủy tĩnh mặt giới hạn thể tích chất lỏng cho trước truyền nguyên vẹn đến tất điểm thể tích chất lỏng Nhiều máy móc chế tạo theo định luật Pascal, máy ép thủy lực, máy kích, máy tích năng, phận truyền động v.v Xét ứng dụng máy ép thủy lực: Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau, thơng với nhau, chứa chất lỏng có pittơng di chuyển Pittơng nhỏ gắn vào đòn bẩy, lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy, lực tác dụng lên pittông nhỏ tăng lên thành áp suất xylanh nhỏ bằng: , ω1là diện tích xylanh nhỏ Theo định luật Pascal: Tổng áp lực P2 tác dụng lên pittơng: đó: ω2 - diện tích mặt pittơng lớn Vì δρxδyδz ≠ 0, rõ ràng dt ≠ Nên: (7-11) Ðó phương trình vi phân liên tục chất lỏng khơng nén Và viết: Phương trình vi phân liên tục phương trình liên tục viết cho dòng ngun tố phương trình động học, cho chất lỏng lý tưởng chất lỏng thực Phương trình liên tục thể hiện: thể tích chất lỏng khơng nén chảy vào hình hộp thời gian dt thể tích chất lỏng chảy khỏi hình hộp Phương trình có nghĩa khối lượng chất lỏng vào hình hộp khối lượng chất lỏng chảy khỏi hình hộp, tức khối lượng chất lỏng hình hộp số Do phương trình liên tục biểu thức quy luật vật lý quan trọng nhất, Ðịnh luật bảo tồn khối lượng VII PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ÐỘNG CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG TOP (PHƯƠNG TRÌNH ƠCLE) Ta lấy mơi trường chất lỏng chuyển động khối chất lỏng hình hộp ABCDEFGH vơ nhỏ, có cạnh song song với trục tọa độ dài δx, δy, δz khối lượng riêng ρ Hình hộp chịu tác dụng lực sau đây: a Lực khối lượng (thể tích) gọi lực khối lượng chất lỏng, có hình chiếu Fx, Fy, Fz Khối lượng hình hộp chất lỏng δρxδyδz Như hình chiếu lên trục tọa độ ox lực khối lượng Fxδρxδyδz b Lực bề mặt tức áp lực thủy động tác dụng lên mặt hình hộp tỷ lệ với diện tích mặt Gọi p động áp suất trọng tâm M hình hộp, tọa độ M x, y, z Vậy áp suất thủy động mặt trái phải hình hộp là: Hình chiếu lên trục x tổng hợp lực bề mặt là: Tổng số đại số hình chiếu lên trục x lực tác dụng lên hình hộp phải tích số khối lượng hình hộp nhân với hình chiếu gia tốc chuyển động trọng tâm, tức phải bằng: Vậy ta có: Sau thu gọn có: (7-12) Viết dạng vectơ: (7-12') Hệ phương trình vi phân (7-12) Ơcle đề năm 1755 gọi hệ phương trình vi phân chuyển động Ơcle chất lỏng lý tưởng Nếu chiếu lên tiếp tuyến đường dòng, ta biểu thị phương trình Ơcle sau: Fs hình chiếu lực khối lượng F lên tiếp tuyến đường dòng Phương trình Ơcle nói dùng cho chất lỏng chất khí Ðối với chất lỏng ρ số, chất khí ρ biến đổi Phương trình Ơcle dùng cho chuyển động ổn định không ổn định Nếu chất lỏng trạng thái tĩnh, vế bên phải hệ phương trình Ơcle khơng phương trình có dạng phương trình Ơcle ta chứng minh phần thủy tĩnh học mà ta gọi phương trình vi phân cân Ơcle Nếu phần tử chất lỏng chuyển động thẳng, thí dụ theo phương x tức u= ux, uy= uz= 0, mặt thẳng góc với phương chảy, áp lực phân bố theo quy luật thủy tĩnh, vì: Ðó đặc tính dòng chảy có đường dòng thẳng, song song Dòng chảy đổi dần coi có đặc tính Ta viết hệ phương trình (7-12) dạng chi tiết Vì hình chiếu ux, uy, uz hàm số liên tục tọa độ không gian thời gian ux= f(x,y,z,t) v.v nên vi phân toàn phần dux viết thành: Do đó: (7-13) Chú ý vi phân dx, dy, dz, viết khác với vi phân δx, δy, δz, viết cho khối chất lỏng hình hộp dùng để suy diễn phương trình Ơcle Ta thấy rằng: , , Và thay chúng vào ( 3-13), ta có: (7-14) Ở duz ta làm tương tự dux ta kết (7-14) Ðó biểu thức hình chiếu vectơ gia tốc, vế phải biểu thức đó, có hai thành phần sau gia tốc: - Thành phần cục định vị, đặc trưng cho chuyển động không ổn định biểu thị biến thiên gia tốc thời gian, vị trí khơng gian khơng đổi Ðối với phương trình thứ số hạn - Thành phần khuếch tán chuyển vị, biểu thị biến thiên gia tốc không gian, thời điểm định Ðối với phương trình thứ là: Hệ phương trình trình (3-83) viết dạng vectơ (7-14') Trong đó: ∇- tốn tử Hamintôn "nabla", coi vectơ, biểu thị hệ tọa độ Ðềcác dạng Vectơ I, j, k vectơ đặt trục tương ứng ox, oy, oz Mang (7-14) thay vào (7-12), ta có dạng khai triển sau phương trình vi phân chuyển động chất lỏng lý tưởng: (7-15) Phương trình (7-15) phương trình vi phân chuyển động Ơcle chất lỏng lý tưởng, viết dạng khai triển Viết dạng vectơ, hệ phương trình (7-15) trở thành: (7-15’) Trong chuyển động ổn định chất lỏng, số hạng đầu vế phải hệ phương trình (7-15) phải khơng: Trong hệ phương trình chuyển động Ơcle có ẩn số p, ux, uy, uz phương trình động Ơcle khơng đủ để giải ẩn Mang hệ thống kết hợp với phương trình liên tục: chuyển có phương trình ẩn số có điều kiện giải vấn đề chuyển động chất lỏng không nén VIII PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ÐỘNG CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG TOP VIẾT DƯỚI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH GƠRƠMÊCƠ Biến đổi phương trình vi phân chuyển động quay, cống hiến GƠRơMÊCƠ Từ (7-15) ta viết lại phương trình đầu tiên: Và viết đạo hàm riêng phần theo trục x củaĠ, ta có: Ðem phương trình vừa viết trừ vế đối vế, ta được: Thu gọn ta được: Như phân tích thành phần vectơ quay ( theo (7-5), ta có: Thay vào (7-15) ta viết ra: (7-16) Hệ phương trình (7-16) viết dạng vectơ trở thành: (7-16’) Ðây phương trình Gơrômêcô công bố năm 1881, dạng khai triển làm ta thấy cụ thể phương trình Ơcle ứng dụng cho chuyển động không ổn định chuyển động ổn định, cho chuyển động quay chuyển động Trong nhiều trường hợp thường gặp thực tế, lực khối lượng F lực có thế; đó, biết học lý thuyết, ta viết: , , - d( = Fxdx + Fydy + Fzdz π(x, y, z) gọi hàm Khi phương trình đầu (7-16) viết thành: (7-17) Hệ phương trình (7-17) viết cho trường hợp lực khối lượng lực Viết dạng vectơ, hệ phương trình (7-17) trở thành: (7-17’) Hoặc gọi: vàĉ phương trình (7-17) viết thành: (7-17”) Trong trường hợp chuyển động ổn định: , tức Hệ phương trình (7-17) viết thành: (7-18) Hệ phương trình (7-18) viết dạng vectơ trở thành: (7-18’) IX TÍCH PHÂN HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ÐỘNG CỦA TOP CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG Ta nghiên cứu việc tích phân hệ thống phương trình vi phân chuyển động Ơcle viết dạng triển khai Gơrômêcô Ta xét trường hợp thường gặp: lực khối chuyển động ổn định; trường hợp biểu thị hệ phương trình (7-18), ta nhân hai vế phương trình hệ (7-18) riêng biệt với dx, dy, dz cộng lại, ta được: D định thức sau: Việc tích phân phương trình (7-19) đơn giản nhiều trường hợp D = Ta xét trường hợp này, đó: Ta lấy tích phân, được: (7-20) Biểu thức (7-20) gọi tích phân Becnuiy Tích phân nói tổng đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng (bao gồm năng, áp năng, động năng) số, trường hợp D = Ta xét trường hợp D = Ta biết định thức triệt tiêu, số hạng hàng (hoặc cột) khơng số hạng hàng (hoặc cột) tỷ lệ với số hạng hàng (hoặc cột) khác Như có trường hợp D = sau đây: ωx = ωy = ωz = Ðó trường hợp chuyển động Khi phương trình (7-20) số tích phân C có giá trị số cho điểm mơi trường chuyển động Vì trường hợp này, D = với dx, dy, dz nào, tức với đoạn ds nào, không thiết ds phải lấy dọc theo đường dòng Nói cách khác, chuyển động thế, đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng điểm dòng chảy Ðó phương trình đường dòng Khi tích phân (7-20) cho đường dòng riêng biệt, với trị số C riêng cho đường dòng Ở trường hợp này, biểu thức D thành phần ω khác khơng, nghĩa chuyển động chuyển động xốy, số C tích phân có trị số khác dọc đường dòng khác Vậy đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng khơng đổi dọc theo đường dòng Ðó phương trình đường xốy Khi tích phân (7-20) cho đường dòng riêng biệt, với trị số C riêng cho đường xoáy Rõ ràng tích phân Becnuiy ứng dụng cho chuyển động xốy trường hợp này, số C tích phân có trị số khác dọc đường xốy khác Như đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng không đổi dọc theo đường xoáy Tỷ lệ thức chứng tỏ điểm, phương lưu tốc trùng với phương vận tốc quay, nói cách khác đường dòng trùng với đường xốy; chuyển động có đặc trưng gọi chuyển động xoắn, phần tử chất lỏng vừa di động vừa quay xung quanh đường dòng Trong trường hợp chuyển động xoắn, tích phân (7-20) có số C giữ trị số cho điểm mơi trường chuyển động, giống trường hợp chuyển động nói trên, D triệt tiêu, không phụ thuộc tọa độ phần tử chất lỏng Như đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng chuyển động xoắn có trị số điểm môi trường chất lỏng chuyển động Bốn điểm kết luận thấy cách biện luận phương trình vectơ (7-18) sau: Với , tức chuyển động thế, rõ ràng theo (7-18''), ta có: gradE = Do đó: E = const với tất điểm Nhân vô hướng hai vế (7-18'') với vectơ U được: hoặc: Do đó: Chú ý ds lấy đường dòng (vì nhân vơ hướng với vectơ U) nên: E = const (dọc đường dòng) Nhân vơ hướng hai vế (7-18'') với được: Hoặc Do đó: Chú ý dl lấy đường xốy (vì nhân vơ hường với ) nên: E = const (dọc đường xoáy) Với ta có theo (7-18) gradE = Do đó: E = const với tất điểm: Ðó trường hợp chuyển động xoắn Sau xác định phạm vi ứng dụng tích phân Becnuiy (7-20), ta xét hai trường hợp lực khối lượng thường gặp thủy lực học: trường hợp lực đơn trọng lực trường hợp lực trọng lực lực qn tính TOP Trường hợp lực trọng lực Trong hệ tọa độ vng góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, lực khối lượng trọng lực thì: Do đó: π = gz + C Biểu thức (7-12) viết thành: Nếu viết cho đơn vị trọng lượng ta chia hai vế cho g được: (7-21) C số tích phân Biểu thức (7-21) thường gọi phương trình Becnuiy, phương trình quan trọng thủy lực Trường hợp lực trọng lực lực quán tính TOP Giả thử lực quán tính lực ly tâm, xuất trường hợp hệ thống chất lỏng quay xung quanh trục Thí dụ chất lỏng chuyển động theo đường AB đường AB lại quay xung quanh trục thẳng đứng với tốc độ góc ω Như gia tốc trọng lực g, phần tử chất lỏng chịu thêm gia tốc ω2r lực ly tâm sinh ra, r khoảng cách phần tử chất lỏng xét đến trục quay; đó: , Vậy từ - dπ = Fxdx + Fydy + Fzdz, Sau tích phân ta có: C số tích phân Từ phương trình (7-20), ta viết được: , (7-22) Viết cho đơn vị trọng lượng chất lỏng, phương trình (7-22) có dạng: (7-23) Ðối với hai điểm lấy đường dòng, ta viết (7-23) dạng: (7-24) u1 u2 vận tốc chuyển động tương đối, tức vận tốc hệ thống chất lỏng quay Nếu đặt: gọi hI’ cột nước qn tính đoạn đường dòng từ điểm đến điểm 2, phương trình (7-24) viết thành: (7-25) Trong trường hợp chất lỏng nhớt, có tổn thất lượng hw’ đơn vị trọng lượng chất lỏng di chuyển từ điểm đến điểm 2, phương trình (7-25) viết thành: (7-26) Một thí dụ ứng dụng phương trình (7-26) trường hợp dòng chảy đường rãnh (với vận tốc tương đối u) máy thủy lực quay với vận tốc góc ω X PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ÐỘNG CỦA CHẤT LỎNG NHỚT (PHƯƠNG TOP TRÌNH NAVIÊ-STƠC) Những phương trình chuyển động chất lỏng lý tưởng có lực mặt ứng suất pháp tuyến p điểm phân tố diện tích xét, trị số ứng suất điểm khơng phụ thuộc hướng đặt phân tố diện tích Phương trình dạng vectơ (7-12) Khi chất lỏng chất lỏng nhớt, lượng vơ hướng p đó, ta phải cộng thêm ứng suất pháp tuyến tiếp tuyến; ứng suất phụ thuộc phương hướng phân tố diện tích, ứng suất điểm phân tố diện tích dω nói chung khơng vng góc với dω Phương chuyển động chất lỏng nhớt viết thành: (7-27) đó: tập hợp lực nhớt ứng suất nhớt, tác dụng lên đơn vị khối lượng chất lỏng Xác định ứng suất chuyển động chất lỏng TOP nhớt Ta xét chuyển động phần tử chất lỏng, vận tốc tâm M(x,y,z) U(x,y,z,t) Tại thời điểm cho trước, ứng suất lên phân tố diện tích dω có tâm M phụ thuộc phương hướng phân tố Ta xác định ứng suất M biết ứng suất tác dụng lên ba phân tố diện tích có tâm M vng góc với trục tọa độ Gọi p+σ thành phần pháp tuyến τ thành phần tiếp tuyến, ta lập bảng sau ứng suất, đối xứng đường chéo thứ (bảng gọi tensơ ứng suất): p + σ1 τ3 τ2 τ3 p + σ2 τ1 τ2 τ1 p + σ3 (7-28) Ở áp suất p lượng vơ hướng, khơng phụ thuộc phương dω thành phần σ τ ứng suất sinh nguyên nhân nhớt Chú ý chất lỏng lý tưởng : σ1 = σ2 = σ3 = τ1 = τ2 = τ3 = Các ứng suất phân tố diện tích dω vng góc với ox Riêng ứng suất nhớt lập thành bảng sau đây, gọi tensơ ứng suất nhớt: σ1 τ3 τ2 τ3 σ2 τ1 τ2 τ1 σ3 (7-29) ứng với nội dung sau đây: Ứng suất tác dụng lên mặt Ứng suất song song với vng góc với Ox Oy Ox σ1 τ3 τ2 Oy τ3 σ2 τ1 Oz τ2 τ1 σ3 Quan hệ biến hình ứng suất nhớt Oz TOP Ta biết chuyển động phần tử chất lỏng phân tích thành ba dạng: chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay chuyển động biến hình Trong chuyển động tịnh tiến quay, phần tử chất lỏng di chuyển thành khối vật rắn Những đặc trưng thuộc tính chất lỏng thể biến hình phần tử chất lỏng, tượng tính nhớt tất nhiên phải đặc biệt gắn với biến hình Từ ta coi ứng suất nhớt có quan hệ với vận tốc biến hình: vận tốc biến hình tương đối độ dài vận tốc biến hình góc Nếu ta giả thiết vận tốc biến hình nhỏ, ta khai triển quan hệ cấp số Taylo giữ số hạng đầu Như ta viết hàm số tuyến tính biểu thị hai giả thiết sau ứng suất nhớt: * Giả thiết thứ nhất: Những thành phần tiếp tuyến τ ứng suất nhớt tỉ lệ với vận tốc biến hình góc, tức là: (7-30) Như biến hình tương ứng với trượt bên phần tử * Giả thiết thứ hai: Những thành phần pháp tuyến σ ứng suất nhớt hàm tuyến tính vận tốc biến hình tương đối độ dài: (7-31) Hai giả thiết nghiệm chuyển động chất lỏng khơng nén được, đồng chất, đẳng hướng có vận tốc biến hình nhỏ; hệ số tỉ lệ µ hệ số nhớt mà ta biết Áp suất điểm chất lỏng chuyển động TOP Ta xem xét phân tố diện tích dω có tâm M, đặt vng góc với trục Ox; thành phần ứng suất pháp tuyến phân bố diện tích là: (7-32) p áp suất điểm M không phụ thuộc hướng đặt dω xung quanh M Khi xét phần tử chất lỏng biết p ln ln hướng vào phía phần tử, ta đặt hướng σ1là dương theo chiều Khi chất lỏng đứng cân bằng, tất đạo hàm triệt tiêu; lại ứng suất pháp tuyến p: áp suất chất lỏng lý tưởng Ta lại thấy trạng thái tĩnh chất lỏng lý tưởng chất lỏng nhớt Khi chất lỏng thực có vận tốc, mà xung quanh điểm M tất građiên vận tốc nhỏ, phân bố áp suất gần tương tự chuyển động chất lỏng lý tưởng: điều thường xảy thực tiễn vùng chảy xa mặt rắn Phương trình Naviê-Stơc TOP Ta viết phương trình chuyển động phần tử chất lỏng thực hình hộp, có cạnh dx, dy, dz, cách lập luận chuyển động phần tử chất lỏng lý tưởng, khác trường hợp ta phải cộng thêm lực nhớt Ta viết phương trình động lực học trục ox Hình chiếu lên ox ba loại lực tác dụng là: _ Lực khối: Fx= ρdxdydz _ Áp lực: _ Những lực sinh ứng suất nhớt tác dụng lên mặt khác hình hộp: + Trên mặt vng góc với ox: + Trên mặt vng góc với oy: + Trên mặt vng góc với oz: Như tổng hợp lực nhớt chiếu lên ox là: Hình chiếu lên ox lực qn tính là: Vậy phương trình động lực học viết theo trục ox là: hoặc: (7-33) Nếu thay σ1, τ3 τ2 trị số rút từ (7-30) (7-31), ta viết lại thành: hoặc: (7-34) đó: hệ số nhớt động học Nhận xét toán tử ∆ để viết: tính liên tục chất lỏng mà ta viết: nên phương trình (7-34) thu gọn lại thành: (7-35) Lập luận tương tự với phương trình động lực trục oy oz, ta đạt hệ thống phương trình vi phân chuyển động chất lỏng nhớt không nén được, gọi phương trình Naviê-Stơc: (7-36) viết dạng vectơ: (7-37) So sánh với (7-27) thì: (7-38) Hệ phương trình (7-36) Naviê tìm năm 1822 xuất phát từ giả thiết lực phân tử, Stốc lập lại năm 1845 Theo lập luận trình bày, xuất phát từ giả thiết ứng suất pháp tuyến tiếp tuyến tính nhớt gây hàm số tuyến tính vận tốc biến hình, phù hợp với định luật ma sát Niutơn Nếu người ta biết tích phân phương trình Naviê-Stốc, có tính đến điều kiện biên biểu thị hàm số thời gian nói riêng có tính đến lực thành, người ta giải tốn thủy động lực học giải tích Việc tích phân phương trình vấp phải khó khăn chưa giải được, số hạng liên quan đến tính nhớt số hạng liên quan đến gia tốc độ lớn Ðây lại điều người ta thường gặp thực tiễn, vùng lân cận thành rắn Vì thường phải dùng thí nghiệm để dễ nghiên cứu điều kiện dòng chảy Một số trường hợp đặ biệt, đơn giản hố phương trình Naviê-Stốc a Nếu ν = ta trở lại phương trình chuyển động Ơcle chất lỏng lý tưởng b Nếu ν = ta trở lại phương trình Ơcle thủy tĩnh c Nếu chuyển động thẳng đều, tức TOP (3-0) ta tìm lại phương trình thủy tĩnh áp suất điểm tuân theo định luật thủy tĩnh d Ta có ống dòng với độ cong không đáng kể, vận tốc song song với trục ox Như u = ux uy= uz= Phương trình Naviê-Stốc viết cho trục oy oz trở thành: Ðiều chứng tỏ mặt phẳng zoy vng góc với đường dòng, phân bố áp suất tuân theo quy luật thủy tĩnh Ở ta lại thấy đặc trưng dòng đổi dần mà ta nêu e Nếu dòng chảy lưu tốc ta viết theo (7-8) đó: Vậy phương trình Naviê-Stốc, trường hợp này, trở thành phương trình chuyển động Ơcle chất lỏng lý tưởng (7-12) Ta nói dòng chảy chất lỏng nhớt lưu tốc, chuyển động coi chuyển động chất lỏng lý tưởng Suy diễn phương trình Becnuly chất lỏng thực TOP Trong nhiều trường hợp thường gặp thực tế, lực khối lực trường hợp ta xét lực trọng lực Như ta có: (7-39) trục z đặt thẳng đứng, chiều dương hướng lên Những phương trình Naviê-Stốc, trường hợp này, viết dạng vectơ sau: (7-40) hoặc: (7-41) vectơ nằm mặt phẳng, sức ma sát đơn vị khối lượng chất lỏng Chiếu đẳng thức vectơ lên tiếp tuyến Mt lên pháp tuyến Mn quỹ đạo, thành phần (R bán kính cong MC quỹ đạo M) Chúng ta có (đối với chuyển động ổn định): (7-42) (7-43) ft fn hình chiếu lực ma sát Nhân hai vế phương trình thứ cho vi phân dài quỹ đạo ds= udt, ta đẳng thức sau đây, viết theo đường quỹ đạo (cũng theo đường dòng): (7-44) (7-45) Ðặt ftds = dτ cơng nguyên tố sinh quỹ đạo lực ma sát đơn vị khối lượng Chia cho g ta được: (7-46) hoặc: (7-47) dhw công nguyên tố sinh lực ma sát đơn vị trọng lượng chất lỏng, tức tổn thất cột nước Tích phân dọc theo quỹ đạo, ta được: (7-48) Ðó phương trình Becnuiy viết cho đơn vị trọng lượng chất lỏng thực, mà ta gặp; ý nghĩa thủy lực hình học đẳng thức trình bày ... vực nghiên cứu Cơ sở lý luận thủy lực vật lý, học lý thuyết, học chất lỏng Bản thân thủy lực học lại sở để nghiên cứu môn chun mơn: _ Xây dựng cơng trình thủy lợi: Thủy điện, thủy công, trạm... chỉnh Ngoài số vấn đề thủy lực, chưa có phương pháp lý luận giải được, mà phải dùng phương pháp thực nghiệm II KHOA HỌC THỦY LỰC Ðịnh nghĩa TOP Thủy lực học môn khoa học sở, nghiên cứu quy luật... máy thủy lực: bơm, tuôc-bin, động thủy, truyền động thủy lực III PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TOP Trong nghiên cứu thủy lực phải kết hợp chặt chẽ lý thuyết thực nghiệm ™ Các nguyên lý để giải toán thủy