Nghiên cứu ngưng tụ bose einstein hai thành phần trong không gian bị hạn chế tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG VĂN QUYẾT NGHIÊN CỨU NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN BỊ HẠN CHẾ TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI - 2019 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học 1: GS TSKH Trần Hữu Phát Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS Nguyễn Văn Thụ Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Trường chấm luận án tiến sĩ họp : vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: • Thư viện Quốc gia Việt Nam • Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mở đầu Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) trạng thái lượng tử vĩ mơ, số lượng lớn hạt vi mô tập trung trạng thái lượng tử đơn hạt nhiệt độ hệ thấp Tc Hiện tượng dự đoán Einstein vào năm 1925 cho nguyên tử với spin tồn phần có giá trị ngun Dự đoán dựa ý tưởng phân bố lượng tử cho photon đưa Bose trước năm Einstein sau mở rộng ý tưởng Bose cho hệ hạt vật chất chứng minh làm lạnh nguyên tử boson đến nhiệt độ thấp hệ tích tụ lại (hay ngưng tụ) trạng thái lượng tử ứng với lượng thấp tạo nên trạng thái vật chất gọi BEC Năm 1995 nhóm nhà thực nghiệm đại học Colorado viện công nghệ Masshachusettes thành công tạo BEC nguyên tử (87 Rb, 23 Na, Li) Những kết thí nghiệm xác nhận tồn BEC ghi nhận giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho E A Conell, C E Wieman W Ketterle Những nghiên cứu lĩnh vực thực bùng nổ sau nhà thực nghiệm thành công việc tạo ngưng tụ BEC hai thành phần không trộn lẫn (BCEs) BEC dạng vật chất lượng tử, sóng vật chất lượng tử có đặc tính quan trọng laser, tính kết hợp Mặt khác phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển hầu hết tham số quan trọng, chẳng hạn cường độ tương tác hai thành phần, nhằm tạo trạng thái theo ý muốn Do BEC(s) mơi trường lý tưởng phòng thí nghiệm để có thể: •Mơ tính chất hệ mơi trường đơng đặc mà khó nghiên cứu vật liệu thực tế •Kiểm chứng nhiều tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn hình thành xoáy Abrikosov, vách ngăn (domain wall) hai thành phần, trạng thái soliton, đơn cực (monopole) •Nghiên cứu tượng lượng tử tương tự với tượng thủy động học cổ điển, chẳng hạn tượng không ổn định Kenvin-Helmholtz, không ổn định Rayleigh-Taylor, Richtmayer-Meshkov Ngoài nghiên cứu BEC đưa ứng dụng quan trọng thực tế, ví dụ chế tạo Laser có bước sóng nhỏ cỡ 10−11 m, chíp điện tử cỡ nguyên tử, chế tạo số loại xăng đặc biệt cho số máy bay quân Chính lí trên, phát BEC mở giai đoạn phát triển vũ bão lĩnh vực lý thuyết thực nghiệm việc nghiên cứu hiệu ứng lượng tử Việc nghiên cứu BEC hai thành phần vấn đề thời sự, hứa hẹn đưa số tính chất vật lý mới, từ mở hướng nghiên cứu vật lý lý thuyết, vật lý môi trường đậm đặc công nghệ chế tạo linh kiện điện tử Tuy nhiên, hầu hết nghiên cứu BECs diễn với hệ thống BECs không gian vô hạn hệ BECs không gian hữu hạn với điều kiện biên Dirichlet, thực nghiệm ứng dụng thực tế lại tiến hành không gian bị giới hạn với nhiều điều kiện biên khác Chính lí trên, chúng tơi định chọn đề tài luận án "Nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần không gian bị hạn chế " Trong luận án này, sử dụng phương pháp gần parabol kép (DPA), phương pháp gần hydrodynamics (HDA) để nghiên cứu hệ BEC hai thành phần không gian bị hạn chế với điều kiện biên khác với mục tiêu tìm số hiệu ứng giới hạn mới, khảo sát ảnh hưởng điều kiện biên đến ổn định hệ Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình liên quan đến luận án công bố tài liệu tham khảo, phần nội dung luận án gồm bốn chương Chương Trình bày tổng quan nghiên cứu hệ BEC hai thành phần phân tách năm vừa qua trình bày cở sở lý thuyết dùng nghiên cứu hệ BEC hai thành phần phân tách Chương Sử dụng phương pháp gần hydrodynamics (HDA) nghiên cứu sóng mao dẫn mặt phân cách hệ BECs hai thành phần bị giới tường cứng hai tường cứng, với mục tiêu tìm hệ thức tán sắc sóng kích thích mặt phân cách Chương Trong chương này, trình bày nghiên cứu hệ BEC hai thành phần bị giới hạn nửa không gian tường cứng (tường quang) với điều kiện biên khác Từ việc tìm nghiệm giải tích trạng thái hệ phương pháp gần DPA, xác định sức căng mặt phân cách hai thành phần dựa vào lượng dư mặt phân cách, tìm sức căng bề mặt ngưng tụ tường cứng, vẽ giản đồ pha ướt ngưng tụ bề mặt tường cứng, nghiện cứu hiệu ứng giới hạn khơng gian vsà đặc biệt tìm điều kiện biên khiến cho hệ ổn định Chương Chương trình bày nghiên cứu hệ BEC hai thành phần phân tách bị giới hạn hai tường cứng với điều kiện biên khác nhằm tìm kiếm hiệu ứng kích thước hữu hạn tìm điều kiện biên khiến cho hệ ổn định Chương Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein lý thuyết hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 1.2 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần Về mặt lý thuyết, dựa gần trường trung bình (MFA), Gross Pitaevskii xây dựng thành công công cụ để nghiên cứu BECs Đối với BECs, hàm sóng biểu diễn trạng thái hệ nghiệm hệ phương trình Gross-Pitaevskii (GPEs), hệ phương trình vi phân phi tuyến có liên kết có lời giải giải tích vài trường hợp đặc biệt Để tìm lời giải giải tích tổng qt cho trạng thái hệ BECs có nhiều phương pháp gần đề xuất Nghiên cứu cần nói đến cơng trình Ao Chui Bằng giải pháp tuyến tính hóa tham số trật tự phía mặt phân cách, Ao Chui tìm nghiệm gần GPEs cho hệ BECs, từ tính sức căng mặt phân cách hệ có số hạt xác định bị giam giếng hữu hạn Không sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tham số trật tự Ao Chui, cách xét giới hạn gần phân tách mạnh phân tách yếu, Brankov tìm lời giải giải tích cho hàm sóng hệ BECs giới hạn nói Một phương pháp gần đơn giản cho kết tương đối phù hợp D A Takahashi cộng đề xuất phương pháp hàm ngoại suy Cuối muốn đề cập đến phương pháp gần đơn giản cho kết tốt, gần parabol kép đưa Joseph cộng Dựa ý tưởng tuyến tính hóa tham số trật tự Ao Chui, thay tương tác bậc lý thuyết GP tạo nên parabol Đây hai phương pháp gần mà chúng tơi sử dụng đề tài để khảo sát tính chất tĩnh động học mặt phân cách hệ BECs Một tính chất tĩnh quan trọng hệ BECs sức căng mặt phân cách chuyển pha ướt Các nghiên cứu BECs có tính chất siêu lỏng, tức có sức căng mặt ngồi Sử dụng phân bố tắc tuyến tính hóa tham số trật tự, Ao Chui tính sức căng bề mặt hệ BECs cho số trường hợp cụ thể giam cầm Kết cho thấy sức căng bề mặt lượng mặt ngồi hệ tính cho đơn vị thể tích bề mặt Tính tốn chi tiết đầy đủ sức căng mặt phân cách BECs dựa lý thuyết GP tính Bert vào năm 2008 Hệ khảo sát trường hợp hệ vô hạn kết cho thấy sức căng mặt phân cách tổng sức căng thành phần hệ gây ra, đóng góp thành phần tỉ lệ với độ dài đặc trưng Sức căng mặt ngồi ảnh hưởng trực tiếp đến chuyển pha ướt hệ hệ cho tiếp xúc với tường cứng Chuyển pha loại hệ BECs đề cập vào năm 2004 Joseph cộng Sử dụng phương pháp MFA phương pháp gần khác (DPA, TPA), nghiên cứu sức căng bề mặt chuyển pha ướt hệ BECs không giới hạn giải cách có hệ thống nhóm Joseph thu nhiều kết quan trọng Để nghiên cứu lý thuyết BECs tiến gần với thực tế, nhà khoa học nghiên cứu hệ BECs hai thành phần không gian bán vô hạn, hữu hạn thu nhiều kết quan trọng có ý nghĩa vật lý như: tường cứng xảy chuyển pha ướt từ dính ướt phần sang dính ướt hồn toàn, hệ bị giam giữ hai tường cứng xuất xuất lực Casimir-like tùy thuộc vào khoảng cách tường mà lực lực hút lực đẩy, sức căng mặt phân cách GCE CE khơng liên hệ với hệ vô hạn Bên cạnh tính chất tĩnh nêu tính chất động lực học, đặc biệt động lực học mặt phân cách ý đặc biệt tính ứng dụng cao cơng nghệ đại Chỉ xét trường hợp hai thành phần hoàn tồn đối xứng, Mazet sóng kích thích bề mặt có hai khả năng: sóng mao dẫn, lượng sóng tỉ lệ với vecto sóng dạng ω ∝ k 3/2 dạng kích thích khác với ω ∝ k 1/2 Tương tự vậy, Brankov chứng minh hệ thức tán sắc cho kích thích bề mặt hệ BECs có hai khả trên, tức tồn ω ∝ k 3/2 ω ∝ k 1/2 Gần cơng trình nghiên cứu Takahashi cộng hệ BECs có kích thước tùy ý, hệ thức tán sắc kích thước hệ trở nên đủ lớn có dạng sóng mao dẫn Bên cạnh hiệu ứng sóng mao dẫn, nghiên cứu khảo sát hiệu ứng khác Kelvin-Helmholtz, Rayleigh-Taylor, Richtmayer-Meshkov 1.4 Phương pháp dùng nghiên cứu hệ BEC 1.4.2 Hệ phương trình Gross-Pitaevskii (GP) Xét hệ ngưng tụ BEC hai thành phần phân tách, từ điều kiện cực tiểu hóa Hamiltonian dẫn đến hệ phương trình GP khơng phụ thuộc thời gian hệ không thứ nguyên −∂ 21 φ1 − φ1 + |φ1 |2 φ1 + K|φ2 |2 φ1 = 0, −∂ 22 φ2 − φ2 + |φ2 |2 φ2 + K|φ1 |2 φ2 = 0, (1.34a) (1.34b) √ j = z/ξj , hàm sóng rút gọn φj = ψj / nj0 với nj0 mật độ khối thành phần j, K = √gg1112g22 số tương tác Tùy thuộc vào giá trị K mà xảy khả khác nhau: K > thành phần khơng thể trộn lẫn vào ngược lại 1.4.4 Phương pháp gần parabol kép(DPA) Phương pháp gần DPA giúp đưa hệ phương trình vi phân phi tuyến GP dạng tuyến tính giải giải tích −∂ 2j φj + 2(φ − 1) = 0, −∂ 2j φj + β φj = 0, (1.35) √ β = K − 1, số (j, j ) = (1, 2) bên phải mặt phân cách (j, j ) = (2, 1) phía bên trái mặt phân cách 1.4.5 Phương pháp gần hydrodynamics Ở phương pháp gần hydrodynamics coi chuyển động hạt trạng thái ngưng tụ chuyển động dòng chảy chất lỏng Mục đích ta cần tìm phương trình cho chuyển động dòng phương trình thủy động học có dạng tương tự cổ điển phương trình Bernoulli, phương trình Euler, phương trình liên tục từ nghiên cứu tính chất động học hệ BEC Chương Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần Trong chương áp dụng phương pháp gần hydrodynamics để nghiên cứu sóng mao dẫn mặt cách hệ BEC hai thành phần bị giới tường cứng hai tường cứng 2.1 Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thành không gian vô hạn Bằng phương pháp gần hydrodynamic, chúng tơi tìm hệ thức tán sắc sóng mao dẫn mặt phân cách hai thành phần ngưng tụ ω= α 1+ α sức căng mặt phân cách k 3/2 , (2.18) = m1 n10 , = m2 n20 Hệ thức tán sắc (2.18) thể Ripplon Kết tìm Joseph cộng cách tính tốn khác Như phương pháp gần HDA chúng tơi dùng hồn tồn đáng tin cậy 2.2 Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thành phần bị hạn chế tường cứngg Xét hệ BEC hai thành phần bị giới hạn tường cứng z = −h, hình vẽ 2.1 Bằng phương pháp gần HDA chúng tơi tìm hệ thức tán sắc sóng mao dẫn mặt phân cách ω2 = αk coth [k(z0 + h)] + , (2.24) Hình 2.1: Mặt phân cách z = z0 tường cứng z = −h = m1 n10 (z0 + 0), = m2 n20 (z0 − 0) Ở giới hạn bước sóng dài k 1, (2.24) có dạng α (h + z0 ) k , ω2 ≈ (2.25) hệ thức tán sắc diễn tả Kelvin mode Như hệ BEC đứng yên bị giới hạn tường cứng sóng kích thích mặt phân cách thay Ripplon hệ vơ hạn lại Kelvin mode Để có nhìn sâu vấn đề mở rộng đến trường hợp ngưng tụ chảy với vận tốc Vj song song với mặt phân cách Bằng phương pháp gần HDM, giới hạn k thu (h + z0 ) α − (cosθ1 V1 − cosθ2 V2 )2 ω ≈ cosθ2 V2 k ± k 3/2 (2.31) Phương trình (2.31) cho thấy hệ thức tán sắc mặt phân cách diễn tả phonon cho thấy bất ổn Kelvin-Helmholtz xảy V2 cosθ2 < Như hệ chuyển động song song với mặt phẳng phân cách bị giới hạn tường cứng, giới hạn bước sóng dài, sóng kích thích mặt phân cách diễn tả phonon hệ trở nên không ổn định 2.3 Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thành phần bị hạn chế hai tường cứng Xét hệ BEC hai thành phần bị giới hạn hai tường cứng hình vẽ 2.2 Bằng phương pháp gần HDA chúng tơi tìm hệ thức tán sắc sóng mao dẫn mặt phân cách αk ω = coth [k(h1 − z0 )] + coth [k(z0 + h2 )] 1, (2.37) trở thành α (z0 + h2 ) (h1 − z0 ) ω2 ≈ k4 (z + h ) + (h − z ) 2 (2.37) Ở giới hạn bước sóng dài, k (2.38) Hình 2.2: Mặt phân cách z = z0 tường cứng z = −h2 , z = h1 Kelvin mode Như hệ BEC đứng n bị giới hạn hai tường cứng sóng kích thích mặt phân cách thay Ripplon hệ vô hạn lại Kelvin mode Để có nhìn sâu vấn đề mở rộng đến trường hợp ngưng tụ chảy với vận tốc Vj song song với mặt phân cách Tính tốn tương tương tự, giới hạn k thu hệ thức tán sắc sóng mao dẫn mặt phân cách ω≈ X± Vr − ρ2 (h1 − z0 ) (z0 + h2 ) (h1 − z0 ) + (z0 + h2 ) ρ1 k, (2.39) X= (h1 − z0 ) V2 cosθ2 + (z0 + h2 ) (h1 − z0 ) + (z0 + h2 ) V1 cosθ1 Phương trình (2.39) cho thấy hệ thức tán sắc mặt phân cách trường hợp diến tả phonon bất ổn Kelvin-Helmholtz xảy X < Như hệ chuyển động song song với mặt phẳng phân cách bị giới hạn hai tường cứng, giới hạn bước sóng dài, sóng kích thích mặt phân cách diễn tả phonon hệ trở nên không ổn định a) Điều kiện biên Robin mặt phân cách dφj ( ) d = = −0 dφj ( ) d = = +0 ξ1 φj ( = ), Λj với điều kiện liên tục hàm sóng mặt phân cách φj ( = − 0) = φj ( ) = φj ( = + 0) (3.14a) (3.14b) b) Điều kiện biên Dirichlet tường cứng cho thành phần φ1 (−h) = (3.15) c) Điều kiện biên Robin tường cứng cho thành phần dφ2 ( ) d = cφ2 (−h) , (3.16) =−h với c = λξ12 d) Các điều kiện biên cho thành phần vô cực φ1 (+∞) = 1, φ2 (+∞) = 3.2 (3.17) Trạng thái Sử dụng phương pháp gần DPA với điều kiện biên thu trạng thái hệ - Bên phải mặt phân cách √ − φ1 ( ) = + A1 e , β φ2 ( ) = A2 e− ξ (3.18a) (3.18b) - Bên trái mặt phân cách φ1 ( ) =B1 e−β(2h+ √ ) −1 + e2β(h+ ) , (3.19a) φ2 ( ) =1 + B2 e ξ √ √ √ ) 2h − 2(2h+ ξ +√ e 2B2 − c B2 + e ξ ξ , + cξ (3.19b) Aj , Bj (j = 1, 2) hệ số xác định theo thông số hệ từ điều kiện liên tục hàm sóng đạo hàm bậc hàm sóng Từ hàm sóng thành phần tìm chúng tơi có hình vẽ 3.2 Từ hình vẽ 3.2, chúng tơi thấy • Các nghiệm sử dụng phương pháp gần DPA gần với nghiệm thu cách giải số hệ phương trình GP, từ chúng tơi kết luận rằng: phương pháp gần DPA công cụ tốt để nghiên cứu hệ BEC bị giứoi hạn tường cứng 10 1.0 1.0 ϕ2 0.8 ϕ1 ϕ2 0.8 0.6 ϕ1 ϕj ϕj 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0.0 10 15 20 25 30 10 ϱ 15 20 25 30 ϱ (a) ξ = 1.0, K = (b) ξ = 1.5, K = 3.5 √ Hình 3.2: Hàm sóng hệ ngưng tụ trạng thái ứng với điều kiện biên Robin (c = 1/ 2) với h = Đường nét liền ứng với nghiệm gần DPA, đường nét đứt ứng với nghiệm giải số hệ phương trình GP • h + lớn chiều dài xâm nhập nên việc áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho thành phần tường hợp lý • Vị trị mặt phân cách phụ thuộc vào thơng số hệ ví dụ phụ thuộc mạnh vào ξ Dựa vào hàm sóng tìm khảo sát phụ thuộc vị trí mặt phân cách theo số tương tác K phương trình φ1 ( = ; K, ξ) = φ2 ( = ; K, ξ) (3.22) Từ (3.22) chúng tơi thu hình vẽ 3.3 Hình 3.3: Sự phụ thuộc = f (K, ξ) theo 1/K ξ = Để kết thúc mục chúng tơi tìm kiếm giá trị c điều kiện Robin Đầu tiên chúng tơi có giá trị hàm sóng thành phần tường tường chạy xa vô cực lim φ2 (−h) = φ2 (−∞) = (3.24) h→∞ + cξ/2 Mặt khác hàm sóng thành phần tường phải tường tiến xa vơ cực, từ (3.24) chúng tơi tìm c = điều kiên biên Robin trở 11 thành điều kiện biên Neumann Như điều kiện biên Neumann đảm bảo quán không gian vô hạn không gian bị hạn chế 3.3 Sức căng mặt phân cách tập hợp tắc lớn(GCE) Trong GCE, hệ BEC xem tiếp xúc với khối ngưng tụ vơ hạn, hóa học thành phần giữ cố định µj = gjj nj Từ hàm sóng tìm được, chúng tơi tìm sức căng mặt phân cách hệ BEC tập hợp tắc lớn ứng với điều kiện biên Robin √ √ γ12 − γ˜12 = = −2 2A1 e X X2 , −√ P0 ξ1 + cξ (3.29) √ − X1 = 2e 2(2h+ ) ξ −1 + e √ √2h X2 = − 2ce ξ ξ + B2 √ 2(h+ ) ξ ξ, √ √ √ 2(h+ ) − 2cξ + e ξ + 2cξ Như với giá trị c khác sức căng mặt phân cách nhận giá trị khác với giá trị tham số Tiếp theo xem xét xem với giá trị c hệ ổn định Đầu tiên biểu thức tính sức căng mặt phân cách hệ BEC viết dạng sau ∞ γ12 γ˜12 = =4 P0 ξ1 (1 − φ2 )d + (1 − φ1 )d = a − −h φ2 d , (3.32) −h √ 2β √ + 4(h + ) > a= β + 2T anh[β(h + )] φ2 d phần diện tích tơ bóng hình vẽ 3.4, phần Chúng ta dễ thấy −h diện tích giảm dần c tăng dần từ đến ∞ (nghĩa thay đổi từ điều kiện biên Neumann đến điều kiện biên Dirichlet) điều dẫn đến γ12 (Neumann) < γ12 (Robin) < γ12 (Dirichlet) Mặt khác có tổng lượng hệ thống gần DPA ΩDP A = Aγ12 − P0 V, 12 (3.33) 1.0 0.8 ϕ2 0.6 0.4 0.2 0.0 10 ϱ Hình 3.4: Hàm sóng thành phần miền −h ≤ ≤ K = 3, ξ = đường nét chấm ứng với c = (điều kiện biên Neumann), đường nét gạch ứng với c = 1(điều kiện biên Robin), đường nét liền ứng với c = ∞ (điều kiện biên Dirichlet) A diện tích mặt phân cách, V thể tích hệ Kết hợp với bất đẳng thức (3.33), thu ΩDP A (Neumann) < ΩDP A (Robin) < ΩDP A (Dirichlet) Từ chúng tơi kết luận hệ ổn định với điều kiện biên Neumann Tiếp theo khảo sát sức căng mặt phân cách theo số tương tác K, dựa vào biểu thức tìm (3.29) chúng tơi có hình vẽ 3.5 Từ hình 3.5, P ξ1 γ12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1/K Hình 3.5: Sự phụ thuộc sức căng mặt mặt phân cách GEC theo 1/K ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin Dirichlet thấy rõ ràng sức căng mặt phân cách nhỏ với điều kiện biên Neumann Ngồi từ hình 3.5 thấy sức căng mặt phân cách, phụ thuộc mạnh vào số tương tác K, giảm K giảm từ ∞ đến nhỏ K = 13 Từ hình vẽ 3.5 chúng tơi thu ∂˜ γ12 = ∞ K→1 ∂K (3.34) lim γ˜12 (Neumann) = 0, (3.35) lim Mặt khác chúng tơi có K→1 Từ (3.34) (3.35) chúng tơi kết luận K = hệ BEC diễn trình chuyển pha loại từ hệ phân tách sang hệ trộn lẫn Cuối phần vẽ đường chuyển pha ướt hình 3.8 1.0 0.8 Ướt phần ξ 0.6 0.4 0.2 Ướt hoàn toàn 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K Hình 3.8: Đường chuyển pha ướt, đường nét liền (nét đứt) tương ứng với điều kiện biên Dirichlet (Robin) Từ hình vẽ 3.8 thấy có khác biệt đáng kể hai đường chuyển pha ướt tương ứng với hai điều kiện biên Robin Dirichlet Vì với điều kiện biên Robin hệ có lượng thấp nên đường chuyển pha ướt ứng với điều kiện biên Robin ưu tiên 14 Chương Các hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần bị giới hạn hai tường cứng Trong chương nghiên cứu hệ BEC phân tách hai thành phần bị giới hạn hai tường cứng nhằm tìm kiếm hiệu ứng kích thước hữu hạn tìm điều kiện biên khiến cho hệ ổn định 4.1 Trạng thái Hệ BEC hai thành phần mà chúng tơi xem xét (hình vẽ 4.1) bị giới hạn hai tường cứng Từ việc cực tiểu hóa Hamiltonian hệ thu điều kiện biên cho Hình 4.1: Hai tường cứng z = h˜ , z = −h˜ , mặt phân cách z = L,và thành phần ngưng tụ 1(2) chiếm vùng z > L(z < L) LAj chiều dài xâm nhập thành phần ngưng tụ j(j = 1, 2) miền ngưng tự j (j = 2, 1) = j thành phần BEC a) Các điều kiện biên Robin mặt phân cách dφj ( ) d = = −0 dφj ( ) d = = +0 ξ1 φj ( = ), Λj với liên tục hàm sóng mặt phân cách φj ( = − 0) = φj ( ) = φj ( = + 0) 15 (4.1a) (4.1b) b) Điều kiện biên Dirichlet tường cứng cho hai thành phần φ1 (−h2 ) = 0, φ2 (h1 ) = (4.2) c) Điều kiện biên Robin tường cứng cho hai thành phần dφ1 ( ) d = c1 φ2 (h1 ) , =h1 dφ2 ( ) d = c2 φ2 (−h2 ) (4.3) =−h2 Sử dụng phương pháp gần DPA chúng tơi tìm trạng thái hệ ứng với điều kiện biên Robin hai tường - Ở bên phải mặt phân cách ( > ) √ √ √ √ e− −c1 e 2h1 + A1 − c1 e2 2h1 √ √ , (4.4a) φ1 ( ) = + A1 e + + c1 h1 β β (h1 − ) φ2 ( ) = −2A2 e ξ sinh (4.4b) ξ - Ở bên trái mặt phân cách ( < ) φ1 ( ) =B1 e−β(2h2 + √ φ2 ( ) =1 + B2 e ξ ) −1 + e2β(h2 + ) , √ √ √ ) 2h2 − 2(2h2+ ξ e 2B2 − c2 B2 + e ξ ξ √ + , + c2ξ (4.5a) (4.5b) Ở Aj , Bj (j = 1, 2) hệ số Dựa vào nghiệm tìm chúng tơi có hình vẽ 4.2 Từ hình vẽ 4.2 chúng tơi có số nhận xét sau: 1.0 1.0 ϕ2 0.8 ϕ1 ϕ2 0.8 ϕ1 0.6 ϕj ϕj 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0.0 - 10 -5 10 - 10 ϱ -5 10 ϱ (a) K = 3, ξ = (b) K = 5, ξ = 1.5 Hình 4.2: Trạng thái hệ với c1 = −1, c2 = 1, h1 = h2 = 10 đường màu xanh ứng với thành phần 2, màu đỏ ứng với thành phần 1, nét liền (nét đứt) ứng với nghiệm DPA (giải số hệ phương trình GP) • Các nghiệm sử dụng phương pháp gần DPA gần với nghiệm thu cách giải số hệ phương trình GP, từ chúng tơi kết luận rằng: phương pháp gần DPA công cụ tốt để nghiên cứu hệ BEC bị giam giữ hai tường cứng 16 • Vị trí mặt phân cách thay đổi thông số hệ thay đổi, cụ thể phụ thuộc mạnh vào ξ Từ (4.4), (4.5) chúng tơi tìm giá trị hàm sóng thành phần tường bên phải, giá trị hàm sóng thành phần tường bên trái hai tường tiến xa vô cùng, , h1 →∞ − √c12 φ2 (−∞) = lim φ2 (−h2 ) = h2 →∞ + c√22ξ φ1 (∞) = lim φ1 (h1 ) = (4.6a) (4.6b) Mặt khác hai tường tiến xa vô cùng, hệ trở thành hệ vô hạn nên φ1 (∞) = 1, φ2 (−∞) = (4.7a) (4.7b) Từ (4.6) (4.7) chúng tơi tìm c1 = 0, c2 = Ứng với c1 = 0, c2 = điều kiện biên Robin áp dụng cho hai thành phần tường trở thành điều kiện biên Neumann 4.2 Sức căng mặt phân cách phân bố tắc lớn (GCE) Trong phân bố tắc lớn, hệ BEC xem tiếp xúc với khối ngưng tụ vơ hạn, hóa học thành phần giữ cố định µj = gjj nj Từ hàm sóng tìm được chúng tơi tính sức căng mặt phân cách tương ứng với điều kiện biên Robin √ √ √ √ √ √ √ √ − 2h 2h 2e e −2A1 e −e − A1 + 2c1 e + 2c1 + A1 e 2h √ γ˜12 = + c1 √ √ 2e− 2(2h+ ) ξ + −1 + e √ + c2 ξ 2(h+ ) ξ ξX , (4.8) với X= √ √ 2c2 e 2h ξ ξ + B2 −2 + √ √ 2c2 ξ − e 2(h+ ) ξ 2+ √ 2c2 ξ Từ (4.8) cho hai tường chạy xa vô cực, ta thu γ˜12 (vh) = γ12 4β (1 + ξ) √ = P0 ξ1 + 2β (4.9) Từ (4.8), (4.9) chúng tơi biểu diễn sức căng mặt phân cách dạng γ˜12 = γ˜12 (vh) + γ˜12 (d), 17 (4.10) d = 2h kích thước hệ theo phương z Trong (4.10), γ˜12 (d) xuất hiệu ứng giới hạn không gian hai tường cứng γ˜12 (d) → hai tường tiến xa vô cực Để làm bật hiệu ứng kích thước kích thước hữu hạn hệ, chúng tơi khảo sát phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào kích thước hệ d giá trị K, ξ xác định, hình vẽ 4.3, K = 3, ξ = Từ hình 4.3 gợi ý hai P ξ1 γ12 0 d Hình 4.3: Sự phụ thuộc γ˜12 vào kích thước hệ d = 2h K = and ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin(c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) Dirichlet tượng kích thước hữu hạn a) Do tồn γ˜12 (d) nên xuất loại lực tác dụng lên hai tường, giống hai tường tương tác với cách gián tiếp Độ lớn lực tác dụng lên đơn vị diện tích tường cứng xác định theo hệ thức FGCE = − ∂˜ γ12 ∂d (4.11) Để hiểu rõ lực FGCE , chúng tơi khảo sát phụ thuộc FGCE vào kích thước hệ d với điều kiện biên khác K = 3, ξ = hình vẽ 4.4 0.0 P ξ1 FGCE -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 d Hình 4.4: Sự phụ thuộc vào kích thước hệ d = 2h lực FGCE K = 1, 2, ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) Dirichlet 18 Từ hình vẽ 4.4 chúng tơi thấy lực FF CE giống với lực Casimir: lực hút d nhỏ lực đẩy d lớn, chúng tơi gọi lực lực "Casimir-like" Ngồi từ hình vẽ 4.4 chúng tơi thấy lực Casimir-like ứng với điều kiện biên Neumann mạnh so với điều kiện biên khác d nhỏ, d lớn lực Casimir-like với điều kiện biên khác b) Có bất bình đẳng quan trọng ba sức căng mặt phân cách γ12 (Neumann) < γ12 (Robin) < γ12 (Dirichlet) (4.12) Bất đẳng thức (4.12) chứng minh với tham số hệ toàn văn luận án Để có nhìn sâu sắc bất đẳng thức (4.12), khảo sát phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào số tương tác K vẽ hình vẽ 4.7 Hình vẽ 4.7 lần khẳng định tính đắn bất đẳng thức (4.12) 10 γ12 P0 ξ1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1/K Hình 4.7: Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách GCE theo 1/K ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin Dirichlet Như vậy, bất đẳng thức (4.12) cho hiệu ứng kích thước thứ 2: sức căng mặt phân cách nhỏ ứng với điều kiện biên Neumann, điều kiện biên Neumann khiến cho hệ ổn định Ngồi ra, chúng tơi muốn nhấn mạnh điều kiện biên Neumann có quán không gian bị hạn chế không gian vô hạn 4.3 Sức căng mặt phân cách phân bố tắc (CE) Trong hệ tập hợp tắc(CE) số hạt thành phần ngưng tụ giữ khơng đổi hóa xác định thông qua biểu thức dr|ψ(r)|2 = Nj Vj 19 Theo cơng trình trước Ao Chui, sức căng mặt phân cách xác định theo biểu thức h ˜ 12 = Γ (−φ1 ∂ φ1 − ξ φ2 ∂ φ2 )d (4.13) −h Thay biểu thức hàm sóng tìm vào (4.13) thu sức căng mặt phân cách ứng với c1 , c2 bất kỳ, từ chúng tơi thu hình vẽ biểu diễn phụ thuộc sức căng mặt theo số tương tác K hình 4.8 3.0 2.5 Γ12 P0 ξ1 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1/K Hình 4.8: Sự phụ thuộc sức căng mặt mặt phân cách CE theo 1/K ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin Dirichlet Ở chứng minh lượng hệ nhỏ ứng với điều kiện biên Neumann sức căng mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào số tương tác K Từ (4.13) cho tường chạy xa vô cực, ta thu + ξ) ˜ 12 (vh) = β (1 √ Γ + 2β (4.14) γ12 = + f (d) = 4, Γ12 (4.15) Từ (4.13), (4.14) chúng thấy vế phải (4.15) = điều khác với kết tìm thấy hệ vơ hạn, hiệu ứng kích thước có mặt hai tường cứng Nếu cho tường tiến đến vơ cực, từ (4.13), (4.14) chúng tơi có γ12 (vh) = 4, Γ12 (vh) kết tìm cơng trình trước Joseph cộng Tiếp theo khảo sát phụ thuộc sức căng mặt phân cách CE ứng với điều kiện biên Neumann theo kích thước hệ d = 2h thu 20 0.7 0.6 Γ12 P0 ξ1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 d Hình 4.9: Sự phụ thuộc sức căng mặt mặt phân cách CE ứng với điều kiện biên Neumann theo kích thước hệ d = 2h ξ = 1, K = hình vẽ 4.9 Như d nhỏ, sức căng mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào vị trí tường cứng, d lớn sức căng mặt phân cách phụ thuộc yếu vào vị trí tường cứng Cũng GCE, hệ bị giam giữ hai tường cứng xuất lực tác dụng lên hai tường tựa lực Casimir, gọi lực Casimir-like Lực Casimir-like tác dụng lên đơn vị diện tích tường cứng xác định theo công thức ˜ FCE = − ∂d Γ 12 (4.16) Dựa vào (4.16), (4.13) chúng tơi biểu diễn thay đổi lực Casimir - like theo vị trí tường cứng hình (4.10) FCE P ξ1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 d Hình 4.10: Sự phụ thuộc lực Casimir - like FCE CE theo d ξ = 1, K = 1, Từ hình vẽ 4.10, chúng tơi thấy d nhỏ tức tường gần nhau, không gian giam giữ hệ hẹp lực Casimir-like đáng kể lực hút, d lớn lực Casimir-like chuyển dần từ lực hút sang lực đẩy đến d đủ lớn lực Casimir-like biến mất, hiệu ứng kích thước khơng xảy 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, nghiên cứu cách có hệ thống tính chất vật lý hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách bị giới hạn tường cứng với điều kiện biên khác Dựa lý thuyết Gross-Pitaevskii, phương pháp gần parabol kép, phương pháp gần hydrodynamic thu kết quan trọng ảnh hưởng giới hạn không gian tới cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, tượng chuyển pha ướt hệ thức tán sắc mặt phân cách Sau nêu sáu kết quan trọng (đồng thời sáu đóng góp luận án): Do hạn chế không gian nên hệ thức tán sắc mặt phân cách giới hạn bước sóng dài thay ω ∼ k 3/2 (ripplon) thay đổi thành ω ∼ k , Kelvin mode Ngoài ra, hệ chuyển động song song với mặt phẳng phân cách, hệ thức tán sắc giới hạn bước sóng dài có dạng ω ∼ k hệ trở nên không ổn định Trạng thái tìm phương pháp gần parabol kép trạng thái tìm giải số hệ phương trình Gross-Pitaevskii gần nhau, phương pháp gần parabol kép phương pháp gần đáng tin cậy nghiên cứu hệ BEC hai thành phần không gian bị hạn chế với điều biên khác Các hàm sóng ngưng tụ tìm phương pháp gần parabol kép cho phép xác định sức căng mặt phân cách theo tham số đặc trưng hệ tập hợp tắc lớn (GCE) tập hợp tắc (CE) trường hợp từ phân tách yếu (K ∼ 1) đến phân tách mạnh (K → +∞), với độ dài hồi phục hàm sóng ngưng tụ ξ ∈ (0, +∞) Sự tương tác nguyên tử thành phần j với tường dẫn đến điều kiện biên khác (Dirichlet, Robin Neumann) Dùng phương pháp gần parabol kép (DPA) cho hệ phương trình Gross-Pitaevskii, luận án nghiên cứu kĩ điều kiện biên hệ bị giới hạn hai tường cứng, từ khẳng định có điều kiện Neumann điều kiện Dirichlet, Robin Neumann đảm bảo quán không gian bị hạn chế không gian vô hạn Luận án chứng minh được, lượng hệ trạng thái ứng với điều kiện biên Neumann nhỏ dẫn đến trạng thái hệ ứng với điều kiện biên Neumann ổn định 22 Trong hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn tường cứng có hai loại chuyển pha ướt bắt nguồn từ hai trạng thái không ổn định ứng với điều kiện biên Robin Dirichlet Tuy nhiên, loại chuyển pha ướt ứng với điều kiện Robin ưu tiên tương ứng với lượng nhỏ Trong hệ BEC bị giới hạn hai tường cứng bên cạnh lực Casimir thơng thường xuất loại lực tương tác tầm xa có đặc điểm tương tự lực Casimir, gọi lực Casimir-like lực Casimir-like ứng với điều kiện Neumann vượt trội lực Casimir-like ứng với điều kiện biên khác B KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, kiến nghị áp dụng phương pháp sử dụng luận án nghiên cứu hai vấn đề sau đây: Ảnh hưởng nhiệt độ tới tính chất tĩnh bề mặt ngưng tụ tượng chuyển pha ướt Hiệu ứng Casimir hệ BEC hai thành phần bị giới hạn tường cứng với điều kiện biên Robin 23 CÁC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Hoang Van Quyet, Nguyen Van Thu, Dinh Thanh Tam, Tran Huu Phat, On the finite-size effects in two segregated Bose-Einstein condensates restricted by a hard wall, Condensed Matter Physics Vol 22, No 1, 13001 (2019) Hoang Van Quyet, Dinh Thanh Tam, Tran Huu Phat, On the Casimir like effect in system of two segregated Bose-Einstein condensates restricted by two hard walls, Journal of Low Temperature Physics, Volume 196, Issue 5–6, pp 473–493 (2019) Tran Huu Phat, Hoang Van Quyet, Ripplon modes of two segregated BoseEinstein condensates in confined geometry, Communications in Physics Vol 26, 1, (2016) Nguyen Van Thu, Hoang Van Quyet, Antonov wetting line phase transition of two-component bose-einstein condensates under constraint of robin boundary condition, Dalat University journal of science Volume 8, Issue 3, 61–68 (2018) Hoang Van Quyet, Phan Thi Oanh, Location of interface Bose-Einstein condensate mixtures in semi-infinite space under robin boundary condition, Journal of Science (HPU2) 50, 71 (2017) Hoang Van Quyet, Tran Huu Phat, Nambu-Goldstone modes of two immiscible bose-einstein condensates limited by one soft wall, Đăng toàn văn kỷ yếu Hội thảo khoa học cán trẻ trường Đại học sư phạm toàn quốc lần thứ (2015) Các kết luận án báo cáo • Seminar Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; • Hội thảo khoa học cán trẻ trường Đại học sư phạm toàn quốc lần thứ V; • Hội nghị khoa học ngành Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 24 ... Chương Tổng quan ngưng tụ Bose- Einstein lý thuyết hệ ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách 1.2 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần Về mặt lý thuyết,... luận án "Nghiên cứu ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần không gian bị hạn chế " Trong luận án này, sử dụng phương pháp gần parabol kép (DPA), phương pháp gần hydrodynamics (HDA) để nghiên cứu hệ... thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần bị giới hạn hai tường cứng Trong chương nghiên cứu hệ BEC phân tách hai thành phần bị giới hạn hai tường cứng nhằm tìm kiếm hiệu ứng kích thước hữu hạn tìm điều