Đại số tuyến tính

NGUYỄN DUY THUẬN (Chủ biên) PHÍ MẠNH BAN - NƠNG QUỐC CHINH DẠI SOTUYENTINH ■ (Tái lần th ứ tư) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s PHẠM NHÀ XUÁT BÀN ĐẠI HỌC s PHẠM Địa Chỉ: 136 Xuân Thuỷ, cầu Giấy, Hà Nội Điện thoại: 04.37547735 I Fax: 04.37547911 Emaiỉ: hanhchinh@nxbdhsp.edu I VVebsite: www.nxbdhsp.edu.vn Chịu trách nhiệm xuất bản: Giảm đốc NGUYỄN BÁ CƯỜNG Chịu trách nhiệm nội dung: Tổng biên tập ĐINH VĂN VANG Người nhận xét: PGS.TS TẠ MÂN TS NGUYỄN DOÃN TUÁN Biên tập nội dung: NGUYỄN TI ÉN TRUNG K ĩ thuật vi tính: TRỊNH CAO KHẢI NGUN NĂNG HƯNG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG ĐẠI SĨ TUN TÍNH ■ Mã SỐ 01.01.212/1001 ĐH 2013 In 500 cuốn, khổ 17 X 24cm, Công ty cồ phằn In Truyền thông Hợp Phát Đăng kí KHXB số: 74-2013/CXB/212-84/ĐHSP ngày 14/01/2013 Quyết định xuất số: 1400/QĐ-ĐHSP ngày 30/12/2013 In xong nộp \ưu chiẻu Quý I năm 2014 MỤC LỤC ■ • Trang C ác k i h iê u 10 L i nói d ầ u 13 CHƯ ONGI ĐỊNH THỨC §1 P hép th ế 19 21 1.1 Định nghĩa phép th ế 21 1.2 Nghịch th ế 22 1.3 Đấu phép thê 22 §2 K hái n iệ m m a t r ậ n 25 §3 Đ ịnh n g h ĩa tín h c h ấ t củ a đ ịn h th ứ c 27 3.1 Định nghĩa 27 3.2 Tính chất 29 §4 Khai tr iể n d ịn h th ứ c 35 4.1 Định thức - Phần bù đại sô’ 35 4.2 Khai triển định thức theo dòng 36 4.3 Khai triển định thức theo r dòng 41 §5 Phương p háp tín h đ ịn h th ứ c 40 5.1 Tính định thức cấp 45 5.2 Áp dụng phép khai triển định thức theo dòng cột 46 5.3 Đưa định thức dạng tam giác 47 5.4 Áp dụng tính chất định thức 51 5.5 Phương pháp quy nạp phương pháp truy hồi 54 5.6 Tính định thức máy tính bỏ túi máy tính điện tử 57 §6 ứ ng dụng: Hệ p h n g trìn h C ram er 61 6.1 Định nghĩa 61 6.2 Cách giải 61 6.3 Giải hệ C ram er máy tính bỏ túi m áy tín h điện tử 64 T ó m tắ t 67 B i tả p 70 V i n é t lịc h s 76 CHƯƠNG II KHƠNG GIAN VECTƠ 79 §1 Đ ịn h n g h ĩa cá c tín h c h ấ t đơn g iả n 81 1.1 Định nghĩa 81 1.2 Các tính chất đơn giản 82 1.3 Hiệu hai vectơ 83 §2 K hơng g ia n co n 2.1 Định nghĩa 84 2.2 Tính chất đặc trưng 85 2.3 Tổng không gian 85 2.4 Giao không gian 86 2.5 Không gian sinh bỏi hệ vectơ 86 §3 Sự đ ộ c lậ p tu y ế n tín h - S ự phụ th u ộ c tu y ế n tín h 90 3.1 Định nghĩa 90 3.2 Các tính chất 91 §4 Cơ sở củ a k h ô n g g ia n v e c tơ 84 95 4.1, Định nghĩa 95 4.2 Sự tồn sở 96 §5 s ỏ ch iểu củ a k h ô n g gian v ec tơ 99 5.1 Định nghĩa 99 5.2 Số chiều khơng gian 99 §6 Tọa độ củ a m ộ t v ectơ 102 6.1 Định nghĩa 102 6.2 Ma trậ n chuyến 103 6.3 Liên hệ toạ độ vectơ hai sở khác n h au 10 §7 H ạng củ a h ệ v e c tơ - H ạn g củ a m a trậ n 107 7.1 H ạng hệ vectơ 107 7.2 H ạng ma trậ n 108 7.3 Cách tìm hạng ma trậ n 113 7.4 Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp 116 7.5 Tìm sở, số chiểu không gian vectơ sinh hệ vectơ máy tính điện tử 118 T óm tắ t 121 lìà i tậ p 123 V ài n é t lic h s 132 CHƯƠNG 111 ÁNH XẠ TUYỂN TÍNH 135 §1 Đ ịn h n g h ĩa n h xạ tu y ế n tín h - Sự xác đ ịn h m ộ t án h xạ tu y ế n tín h 137 1.1 Các định nghĩa 137 1.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 140 §2 Ảnh, h t n h â n củ a m ộ t án h xạ tu y ế n tín h 143 2.1 Định nghĩa tính chất 143 2.2 Liên hệ số chiều ảnh, h t nhân không gian nguồn 146 2.3 Sự đẳng cấu hai khơng gian sơ'chiều 148 §3 C ác p h ép to n tr ê n án h xạ tu y ế n tín h 150 3.1 Phép cộng 150 3.2 Phép nhân ánh xạ tuyến tính với số 151 3.3 Khơng gian vectơ HomK(V, W) 152 3.4 Tích hai ánh xạ t uyến tính 153 Tóm t ắ t 155 B i tập 157 Vài nét lịch sử 162 CHƯƠNG IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYỂN TÍNH 163 §1 Hệ p hư ng trìn h tu y ế n tín h - P h ơn g pháp G auss 165 1.1 Định nghĩa 165 1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp G auss 166 1.3 Thực phương pháp Gauss máy tính điện tử 173 §2 Đ iể u k iện đ ể h ệ p h n g tr ìn h tu y ế n tín h có n g h iệm 177 2.1 Đ iều kiện có nghiệm 1177 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính định thức 1178 §3 H ệ p hư ng tr ìn h tu y ế n tín h th u ầ n n h ấ t U84 3.1 Định nghĩa 1184 3.2 Không gian nghiệm hệ tuyến tính 1185 3.3 Liên hệ nghiệm hệ phương trình tun tính hệ liên kết 1189 3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính máy tính điện tử 1L90 Tóm t ắ t 1193 B i tâp 1194 Vài nét lịch sử 2Ì01 CHƯƠNG V MA TRẬN 203 § Ma trậ n củ a m ộ t n h xạ tu y ế n tín h 204 1.1 Định nghĩa 204 1.2 Liên hệ HomK(V W) M at(mn)(K) 206 §2, Các p h ép to n m a trận 208 2.1 Phép cộng 208 2.2 Phép nhân ma trận vối số 209 2.3 Phép trừ 210 2.4 Không gian vectơ Mat(mn)(K) 210 Tích hai ma trận 211 2.6 Thực phép toán ma trận máy tính bỏ túi máy tính điện tử 216 §3í Đại sơ Mat,,(K) cá c m a trận v u ô n g cấp n 220 3.1 Định thức tích hai ma trận 220 3.2 Ma trận nghịch đảo 223 3.3 Tìm ma trận nghịch đảo 225 3.4 Vài ứng dụng ma trận nghịch đảo 231 3.5 Ma trận đẳng cấu 232 §4i Ma tr ậ n củ a m ột án h xạ tu y ến tín h đ ối vớ i h a i sở khiác n h a u - Ma trậ n đ n g d ạn g 233 4.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính hai sở khác 233 4.2 Ma trận đồng dạng 234 §5í V eotơ r iê n g - Giá trị r iê n g 236 5.1 Vectơ riêng - Giá trị riêng 236 5.2 Đa thức đặc trưng - Cách tìm vectơ riêng 238 5.3 Tìm vectơ riêng giá trị riêng máy tính điện tử 243 245 §6 C héo h oá m a trận 6.1 Định nghĩa 245 0.2 Điều kiện đề ma trận chéo hoá 245 6.3 Định lí 248 T óm tắ t 249 B i tậ p 251 V ài n é t lịc h s 261 CHƯƠNG VI DẠNG SONG TUYÊN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG 263 §1 D n g tu y ế n tín h d ạn g so n g tu y ế n tín h 265 1.1 Định nghĩa 265 1.2 Ma trậ n dạng song tuyến tính 269 1.3 Liên hệ hai ma trậ n dạng song tuyến tính đơi với hai sở khác 270 §2 D n g to n phư ng 272 2.1 Định nghĩa 272 2.2 Ma trận dạng toàn phương 273 2.3 Dạng tồn phương xác định 274 §3 Dưa d n g toàn p hư ng vể d ạn g c h ín h tắ c - 3.1 Định nghĩa 276 276 3.2 Định lí 276 3.3 Đưa dạng tồn phương dạng tắc máy tính điện tử 281 3.4 Định lí quán tính 283 §4 K hông g ia n v e c tơ c lit 287 4.1 Định nghĩa 287 4.2 Cơ sở trực chuẩn 287 4.3 Không gian trực giao 292 4.4 Hình chiếu vectơ lên khơng gian 293 4.5 Phép biến đổi trực giao - Ma trận trực giao 293 4.6 Phép biến đổi đôi xứng 295 4.7 ứng dụng 296 T óm tắ t 304 S i tậ p 313 Vài n é t lịc h s 317 CHƯƠNG VII QUY HOẠCH TUN TÍNH 319 §1 Bài to n q u y h o ch tu y ến tín h 320 1.1 Một vài toán thực tế 320 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 323 1.3 Ý nghĩa hình học phương pháp đồ thị 328 §2 P h n g p háp đơn h ìn h cá c th u ậ t to n củ a 331 2.1 Một sơ' tính chất tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 331 2.2 Phương pháp đơn hình 338 2.3 Giải tốn quy hoạch máy tính điện tử 360 T óm tắ t 364 Iìà i tậ p 365 V ài n é t lịc h s 371 Lời g iả i - h n g d ẫ n - tr ả lời 372 B ả n g th u t n g ữ 402 T i liệ u th a m k h ả o 408 CÁC KÍ H IỆ U Tập hợp {1, 2, , n} gồm n sô'tự nhiên từ đến n ơ( 1) n ơ(2) ơ(n) Phép th ế biến phần tử i th n h ơ(i) sn Tập hợp phép thê tập Xn sgn(ơ) Dấu phép thê n ti-1> ' 5jeJ> , Tổng aì + a 2+ + an Tổng số ãị, với j thuộc tập sô J n ủi=l a' O j€j a ' Tích a!a2 an Tích thừa số aj; với j thuộc tập số J A = (a,j) Ma trận A có m dòng, n cột,với thành phần ajj dòng thứ i, cột th ứ j A = (a„)n Ma trận vuông cấp n M atn(K) Tập hợp ma trận vuông cấp n với thành phần thuộc trường K 'A Ma trận chuyển vị ma trậ n A A-' Ma trận nghịch đảo m a trậ n A |A| Định thức ma trận A I Ma trận đơn vị M i, P hần bù đại số th àn h p h ầ n ay A;i M Định thức bù th n h p h ần ay * ma trậ n vuông (ay) I, I r Định thức xác định dòng i,, , ir cột 10 jr MLi, Định thức bù định thức M ị"’ị A ỉ::f P hần bù đại sô" định thức MỊ1'"1 ; • J| hạng(A) Hạng ma trận A A+B Tổng hai ma trậ n A B AB Tích hai ma trậ n A B '1 ‘r ã Vectơ, phần tử không gian vectơ ~(ă Vectơ đối ỏ Vectơ không tuyến tính th ế giới xếp chương để mục "Bất phương trình tuyến tín h ” Trong chương trình Cao đẳng Sư phạm hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, nội dung mơn Quy hoạch tuyến tính có giảm bớt Nó dược xếp vào chương giáo trình Đại sơ" tuyến tính Cuốn sách gồm chương: C h n g I trình bày định nghĩa, tính chất định thức phương pháp tính định thức Đó phương tiện để nghiên cứu không gian vectd lí thuyết hệ phương trình tuyến tính C hư ng I I ch n g I I I nghiên cứu không gian vectơ ánh xạ không gian - ánh xạ tuyến tính Nó sở Đại số tun tính Nó giúp cho việc hồn thiện lí thuyết hệ phương trình tuyến tính C h n g I V nghiên cứu hệ phương trìn h tuyến tín h Đó tro n g n h ữ n g hướng mở rộng phương trìn h học trường Phổ thơng Với chương này, lí th u y ế t hệ phương trìn h tuyến tín h coi hồn thiện C h n g V nghiên cứu ma trận mối liên hệ ma trận với 'không gian vectơ Nhờ mà ánh xạ tuyến tín h nghiên cứu sâu sắc 14 C hương V I nghiên cứu dạng song tuyến tính dạng tồn phương, p hần lí thuyết dạng Đại số tuyến tính lại có ả n t hưởng sâu sắc đến Hình học, Phương trình vi phân Phương trìn h dạo hàm riêng Chương V II nghiên cứu sơ'bài tốn Quy hoạch tuyến tính Phần Đại số tuyến tính sách dùng chung cho hai hệ cào tạo giáo viên toán (hệ đào tạo giáo viên dạy mơn Tốn cùr.'g với thứ hai, hệ đào tạo giáo viên dạy mơn Tốn) u cầu hệ có khác Đối với hệ đào tạo giáo viên dạy hai mơn, chương trìn h u cầu sinh viên nắm điều r ấ t Ching hạn, đơì với chương Định thức u cầu hiểu định nghĩa d n h thức, nắm vững tính chất đê tính định thức thơng thường, khơng cần hiểu kĩ chứng minh tính chất Song dôi với hệ đào tạo giáo viên dạy mơn Tốn đòi hỏi cao nói dung rèn luyện p h át triển tư toán học Tuy nhiên n iữ ng đòi hỏi thực đến đâu tuỳ thuộc vào trình độ sinh viên địa phương Đó phần mềm dẻo mà trường vận dụng lirh hoạt P hần Quy hoạch tuyến tính dùng cho hệ đào tạo giáo viên dạy hai mơn Moi chương có phần mở đầu nêu lên yêu cầu cách học tập chương Cuối chương có phần tóm tắ t đơi nét nội dun£ chương để bạn đọc có dịp ơn tập lại P hần tập có số lượng C( thể vượt yêu cầu chung đôi chút tác giả sách mong rruốn giúp cho bạn đọc ham thích mơn học có thêm hội rèn uyện kĩ Vì vậy, số đơng sinh viên giảng viên cần dẫn cho họ cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải n h ể u tập t