CHƯƠNG Ì_ MA TRAN VÀ ĐỊNH THỨC
Bản chất con người có xu hưởng _
ngưỡng mộ những gì phức tạp nhưng lại đòi hỏi sự giản đơn
Ben Huh
Giới thiệụ
Ma trận đã được sử dụng từ rất sớm Trong cuốn "Cửu chương toán thuật"
được Trần Sanh viết ở Trung Họa vào khoảng năm 152 TƠN, tác giả đã mô tả lời giải một hệ 3ä phương trình ä ấn bằng cách sử dụng "bảng tính" được tạo ra từ các hệ số của các ấn Đây là một mình chứng rõ ràng của việc sử dụng ma trận Ngày nay ma trận được sử dụng rộng rãi cùng với các ứng dụng của toán
học trong kỹ thuật, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học và các khoa học xã hộị
Trong chương này ta sẽ làm quen với khái niệm ma trận và các phép tính cơ bản của ma trận trong Mục 1.1
Sự hình thành của khái niệm định thức gắn liền với việc tìm lời giải của các hệ phương trình tuyến tính của nhiều nhà toán học khác nhaụ Chỉ với các ma trận vuông định thức mới được xác định trên đó Irong Mục 1.2 ta sé dua ra
định nghĩa của định thức, các tính chất và các phương pháp tính định thức
Ma trận nghịch dao và hạng của na trận là hai nội dung cuối cùng của chương nàỵ Mục 1.3 là lý thuyết và các ví dụ về nghịch đảo của ma trận vuông Mục 1.4 là lý thuyết và các ví dụ về hạng của các ma trận Bạn đọc sẽ thấy ở trong các - chương sau rất nhiều ứng dụng trực tiếp của định thức, ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận
Trang 2FO | a“ Q Chương 1 Ma trận và định thức | 1.1 Mia tran " Ị
Thuật ngữ ma trận (matrix) được sử dụng lần đầu vào năm 1848 bởi J.1
Sylvester' Ma trận giúp cho ta mô tả được các số liệu xuất hiện trong mỗi bài
toán cụ thể của kỹ thuật, công nghệ, kinh tế một cách gọn gàng, thuận tiện và khoa học 1.1.1 Khái niệm về ma trận Định nghĩa 1.1 Ma trận kích thước zm xøn là một bảng hình chữ nhật gồm m m số thực hoặc phức được xếp thành rn hàng và øw cột : CS Vi du 1.1 i) Ma tran | 9 —2 3 A=(9 7 3)
là một ma tran với kích thước là 2 x 3
ii) Ma tran! ; 46 5 —-2 23 -7 9 P=Í12 5s 6 0 3 —4 5ð là một ma trận với kích thước là 4 x 4, ¬" ' 2 <4 „ 2 ne ¬ `
Ma trận tổng quất với kích thước rn x œ được mô tả dưới dạng tường minh là
đJ G12 «+s Ain
| đại 022 Gon
A={ > | | (1.1)
m1 Qm2 - mm,
2 l * ` ok 2 oz ` `
Đê thuận tiện ta thường viết gọn lai biéu diễn (1.1) là A = (Gi;)mxn Va trong
trường hợp không sợ gây ra nhằm lan vé kich thuéc thi ta chi viét 1A A = (a;;)
> Chú ý 1.1 Trong công thức (1.1) uà trong các tí dụ, bài tập ta thêm dấu ngoặc uào trước uà sau các rna trận để dễ quan sát uà phân biệt ching - ©
Các số thực (hoặc phức) cấu tạo thành ma trận được gọi là các phần tử của ma trận Đối với ma tran A = (đ;;)„x„ các phần tử của nó được ký hiệu chung
là a;; Trong cách ký hiệu này, ta gọi ? là chỉ số hàng và gọi 7 là chỉ số cột Chỉ số
\
‘James Joseph Sylvester (1814-1897) 1A mét nha to4n học người Anh
Trang 3
1.1 Ma trận | 3
hàng và chỉ số cột giúp cho ta theo dõi thuận tiện vị trí của mỗi phần tử trong cách mô tả tổng quát của ma trận
Một ma trận kích thước m x n cing duoc goi la ma tran c6 m x n Ta ky hiéu m hang cla ma tran la H), Ho, ,Hm theo thứ tự từ trên xuống dưới và ky hiéu n cét cua ma tran 14 C,,Co, ,C, theo thit tu ti trái qua phảị
3” Ví dụ 1.2 Cho ma trận | - | 1 -1 3 1 1 A= |2 1 3 orb 4 bo Các hàng của ma trận A là H, = (1,2,1,-1), He = (2,2,3,1), Hs = (3,5,1,4) Các cột của ma trận A là 1 2\ 1 —1 Ci = 2 3 Cy = [2 $ C3 = 3 ; Ca = 1 ¬ 3 Oo 1 4
Sự bằng nhau của hai ma trận ⁄
Dể phân biệt các ma trận với nhau ta đưa ra định nghĩa sau đây đối với sự bằng nhau của các ma trận
Định nghĩa 1.2 Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng là hai ma trận cùng cỡ và các phần tử của chúng ở những vị trí tương ứng với nhau
phải có giá trị bằng nhaụ Nếu 4, Ø là hai ma trận bằng nhau thì ta ký hiệu
là A= B
ES” Ví dụ 1.3 Xét hai ma trận vuông cấp hai A = | 2) ,B= (; 2} Sự bằng
nhau của hai ma trận A, Ö là
a=3 A=Bs
b=7 : Q
Một số tình huống riêng biệt về kích thước của một ma trận
Ma trận vuông: Ma trận có số hàng và số cột bằng nhau được gọi là ma
vrận vuông Nếu mô tả ma trận vuông 4 = (4;)„x„ dưới dạng tường minh
đạ G12 Gin
gay G22 - Gan
A=
Trang 4
4 " Chương 1 Ma trận và định thức
thì các phần|tử của A được sắp xếp thành một hình vng và ta cũng gọi A là
ma trận uuông cắp n Đường chéo của hình vng đi từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải được gọi là đường chéo chính Nói cách khác, ta gọi dãy số
_ đq1,G22;, - › Ñnn
_ là đường chéo chính của ma trận vuông 4 = (đ;;)ax„ Ta gọi tổng tất cả các phần tử trên đường chéo chính của mỗi ma trận vuông 4 là "vết" của ma trận 4, ký
hiệu là trace(44) Ta có cơng thức ` | ,
trace(A) = a); + agg + + Ann (1.2)
Ma tran hàng: Một ma trận kích thước 1 x n 1a ma tran chi có duy nhất một
hàng và ta gọi là ma trận hàng
, | ` ‘ „
-Ma trận cột: Một ma trận kích thước ?n x 1 là ma trận chỉ có duy nhât một cột và ta gọi Ìà ma trận cột
|
Ma tran khong va ma tran don vi
+
| 9 2 ^ ~ ~ 4," “~ 4 ‘ ^
lrong các tính tốn cơ bản của ma trận, những ma trận dưới đây đóng một vai trị đặc biệt
I
Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của nó có giá trị là 0, ta ký - hiệu ma trận không” là Ø Ta sẽ dùng ký hiệu Ø„;x„ khi lưu ý với người đọc về
kích thước của ma trận Biểu diễn tường minh của ma trận không là
LỘ, 00 0
| 0-0 0
| Omxn = : (1.3)
| 00 0 mxXn
| ,
Ma trận đơn vị: Là ma trận vng có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 Ma trận đơn vị được ký hiệu là 7 (hoặc là È;) Ta sẽ sử dụng ký hiệu J, va goi la ma tran don vi cấp ?: khi muốn lưu ý với người đọc về kích thước của ma trận Biểu diễn tường mình của ma trận đơn vị
cấp n là _
10 0
0 1 0 _
| thủ loọ 1 nxn
2Trong nhiéu gido trinh người ta vẫn ký hiệu ma trận không là 0, tức là dùng chung ký tự
mô tả "số không" thông thường |
Trang 5
1.1 Ma trận : 5
Một sõ dạng đặc biệt của ma trận vuõng
Trong rất, nhiều bài toán thực tễ ta sẽ cần sử dụng đến những ma trận vuông ở một vài dạng đặc biệt
Về trực giác các phần tử của ma trận vuông được sắp xếp thành một hình
vng Đường chéo chính chia hình vng này thành hai tam giác Ta gọi tam
giác trên là tam giác chứa các phần tử ở trong đường chéo chính và các phần tử nằm ở phía trên đường chéo chính Tiếp theo ta gọi tam giác dưới là tam giác chứạ các phần tử ở trong đường chéo chính và các phần tử nằm ở phía dưới đường chéo chính Phần chung của tam giác trên và tam giác dưới là đường chéo chính
» Ma trận tam giác trên: Ma trận vng có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều có giá trị bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên Mô tả tường minh của ma trận tam giác trên là
7@)1 @1Q2 ` Gyn 0 G22 Gan
U = |
0 0 Grn
» Ma trận tam giác dudi: Ma tran vng có các phần tử năm phía trên đường
chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dướị Mô tả tường
minh của ma trận tam giác dưới là
Q11 0 wae 0
đại 492 0
L=
Qnl Gn2 + + Ann
> Ma trận đường chéo: Ma trận vng có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận đường chéọ Mô tả tường minh của
ma trận đường chéo là |
À 0 0 0 A» 0 0 0 Ap
Dé ngắn gọn hơn cách mô tả ở trên, ta sử dụng ký hiệủ
D= diag(A1, Àa, “ng An) |
để mô tả ma trận đường chéọ
Trang 6
6 | _ Chương I Ma trận và định thức
> Ma tran v6 hướng: Ma trận đường chéo có tật cả phần tử nằm trên đường chéo chính bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng Mô tả tường minh của
le Loads ma trận vô hướng là
| A 0 0
h2 Or 0
| lo oọ A
> Nhận xét i 1 Nếu một ma trận vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giắc dưới thì nó là ma trận đường chéọ | : "¬ OD
Cho ma trận vng 4 = (4;;)„x„ạ Ta gọi ma trận A là:
- Ma trận đối xứng nếu
|
ị ca
a Qi =A; Vt,7=1,2, ,n
Ma tran phan déi xttng néu
t | G¡j — —Q/¡; V,7 = 1,2, ,n 8E Ví dụ 1.4.1) Ma trận ` | fil 2 =2 4 J2 5 3: -Ì | — ! 2E=Ì-2 3 4 1 | 4 -1 1 là một ma trận đối xứng ii) Ma trận" | | 0 2 -1 3 ! : _|-2 0 3 4 | Z=|1 -3 0 5| | =3 =4 -5 0 là một m ai trận phần đối xứng | | Q | |
Cách gọi tên các ma trận đối xứng và phản đối xứng là khá tự nhiên Ta có thể
nhận thấy !'trong ma trận đối xứng hai phần tử nằm ở hai vị trí đối xứng với nhau qua đường chéo chính là hai phần tử phải có giá trị bằng nhaụ Kế tiếp, trong ma trận phan đối xứng hai phần tử nằm ở hai vị trí đối xứng với nhau qua đường chéo chính là hai phần tử phải có giá trị đối nhaụ
>N han xết 1.2 Các phần tử nằm trên đường chéo chính của một ma trận phản
: đối xứng phải có giá trị là 0 | Oo
Trang 71.1 Ma trận | : 7 Ta ký hiệu tập hợp tất cả các ma trận thực (phức) có kích thước m x n là
Mmyn(R) (Mmxn(C)), Khim = n, ta ciing sit dung cdc ky hiệu đơn giản hơn với
⁄4„(R) và 4(C) Nêu không nhất thiết phải nói rõ về các ma trận được xét là
thực hay phức thì ta dùng chung ký hiệu Z„x„ và J, cho ca hai trudng hop
1.1.2 Các phép toán trên ma trận và các tính chất
Các phép tốn của ma trận được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng để mô tả các ràng bưộc, các quan hệ của các đối tượng được nghiên cứụ Trong tiểu mục này ta sẽ làm quen với ba phép toán cơ bản của ma trận
Phép cộng hai ma trận
Phép cộng được định nghĩa cho hai ma trận cùng cỡ và được mô tả dưới daỵ Í Định nghĩa 1.3 Cho hai ma tran citing cd A = (đ;7)mxø› Ð = (bij mxn- Tổng
của ma trận A với ma trận là một ma trận cùng cỡ với ching C = (ci;)mxn
trong đó các phần tử được xác định bởi : |
C5 = Aj +b; voit =1,2, m)7 =1,2, 0
¢
Ta ký hiệu tổng là A + Ö và ta viết C= A+B
` J
> Chú ý 1.2 Theo định nghĩa, khi cộng hút na trận cùng cỡ uới nhau thà các phần tử năm ở cùng 0ị trí sẽ được cộng uới nhaụ Oo
OS Vi du 1.5 |
2 3 -1 5 7 9\ (245 347 -149
14 -4])T\o ~3 5) > \-142 4-3 -445 (7 10 8
=\1 1 1 | ¬
Phép cộng hai ma trận có tính chất giao hoán và kết hợp Điều này nghĩa là
nếu 4, Ö,Œ là các ma trận cùng cỡ thì ta có các đăng thức ) A+B=B+Ạ (tính chất giao hốn)
ii) (A+B)+C=A+4+(B+C) (tinh chat két hap)
Để chứng minh tính chat giao hốn được đưa ra ở trên ta xét hai ma, trận cùng
cỡ tùy ý A = (0)mxø và B = (b)m„„„ Các tổng A + B và B + A có thể mơ tả
như sau:
Trang 88 | Chương 1 Ma trận và định thức B +A= (b;; + Qi; mxn-
| Với mọi cặp chỉ số (¿, 7) ta ludn co‘dang thite aj; + bij = bi; +;; (do phép cộng hai
số thực hoặc Iphức có tính chất giao hoán) nên ta kết luận được A+ 8= B+ Ả
Để chứng minh tính chất kết hợp ta xét ba ma trận cùng cỡ tùy ý ẢÁ =
> |
có thể mơ tải như sau:
(i; )mxn, B " (b¿7)mx» và C — (Cú )mxa: Cac tong (A + B) + C va A +(B + C)
: ¬ |
(A ] B) + C = (a: + bi; mxn + (Ci )mxn = ((a:, + b;;) + Cij inxns
A+(B+C) = (aij)mxn + (bij + Cij)mxn = (ig + (bij + Cij))mxn-
V6i moi c&p! chi sé (i,j) ta luén c6 dang thtte (ai; + bij) + Gy = aij + (diy + Gy)
(do phép cộng hai số thực (hoặc phức) cũng có tính chất kết hợp) nên ta kết luận
duge (A+ B)+C=A+(B+C) > Chú ý 1.3
- Theo tính chất giao hoán thú tự của các số hạng trong một phép cộng có thể thay đổi mà không gâu ủnh huông tới kết quả
- Từ tính chất kết hợp, ta có thể uiết đơn giản tổng của ba ma trận A,,C
là A+B +C mà không phải sử dựng dấu ngoặc để mô tả dấu cộng nào phải thực hiện trước
- Đối tới mot day gom hữu hạn 1na trận cùng cỡ Á\, Áa, , Ay ta cũng xác
lộp được tổng _ "
| A, +Agt Ag
bằng \cach tinh toán tuần, tự từng dẫu cộng theo Dịnh nghĩa 12 - © Đối với ma tran A tùy ý và với ma trận Ø có cùng kích thước với nó ta ln
có đẳng thức :
A+0=Ạ
Dang thức trên là tính chất thứ ba của phép cộng 'Ta gọi tính chất này là tính chất trung hịa của ma trận 0 Lưu ý rằng sử dụng tính chất giao hốn ta cũng
có - | |
| 0+LA=Ạ
Chứng mỉnh của tính chất trung hòa như sau: | | |
| A+@= (i; mxn + (O)mxn — (ai; + O)mxn = (Qi; )mxn = Ạ
Ma trận! đối: Cho ma tran A = (a;;)mxn Nếu đổi dấu tất cả các phần tử của ma trận A thì ta được một ma trận mớị Ta gọi ma trận này là ma trận đỗi của
A, ký high là (—4) Ta có mơ tả như sau:
A= (8)mxe -=> -A= (—@i;)mxn-
Trang 91.1 Ma trận _ | a 9 cS Vi du 1.6 Cho ma trận 12 —-2 8 A= 12 1 1 3 4 5 -] —83 Ma trận đối của A là —l =2 2 -8 -A=|-2 -1 -1 -3 —4 -5 1 3 Nếu A là một ma trận thì ta có đẳng thức A+(-4) =0
Ta gọi kết quả này là tính chất khử của ma trận đốị Chứng mình của tính chất
khử là
A + (CẢ) = (dij)mxn + (~4ij)mxn = (Aig ~ Gi )mxn = (mun = 8 Lưu ý rằng theo tính chất giao hốn ta cũng có
(~A)+A=0
Ta, viết lại hai tính chất vừa được đưa ra ở trên như sau:
ii) Tính chất trung hòa của ma trận không _
A+ 6 =9@+A=Ạ
iv) Tinh chat khử của ma trận đối
A+(-A) =(-A)+A=0
Phép trừ: Phép trừ được hiểu như một phép toán phụ của phép cộng và nó được định- nghĩa theo cách đưới đâỵ
| Định nghĩa 1.4 Cho hai ma trận cùng cỡ A và B Ta goi tổng A + (—B) của ma trận A và ma trận đối của là "hiệu A trừ đi Ø8" và ký hiệu là A— Ö
>: Chú ý 1.4 Cho hai ma tran cùng cỡ A va B Dé tính hiệu A — B ta lấu mỗi phần tử của A trù đi phần tử tương ứng của B 4 - ©
Trang 1010 | TS Chương 1 Ma trận và định thức cS Vi du 1.7! an s GC 8)-G I
Bạn đọc hãy tự chứng minh hai tính chất được dua ra đưới đây như một bài tap: |
v) Néu h, B,C là ba ma trận cùng cỡ thì
| A+B=C < A=C-B, (Quy tắc chuyển về) vi) Néu A, B,C 1a ba ma tran cing cé thi
'A+C=B+C & A=B, (Luat giản ước của phép cộng)
+ al ~ Zs ^ ^
Phép nhãn ma trận với một sô
Mỗi ma trận đều có thể nhân với một số (thực hoặc phức) Phép tính này | được định nghĩa như sau:
|
Z oN
Dinh nghia 1.5 Tích của một số œ với ma trận A = (đ4;)„x„ là một ma trận Œ + (Œ7)z„xø, trong đó các phần tử œ; được xác định bởi
Cig = AAi;, với mỌi ? = 1,2, ,?n, ? = 1,2, ,m
Ký hiệu | tích thu được là œA và ta viét C = aẠ
\ J
> Chú ý 1.5 Theo định nghĩa trên khi nhân một ma trận uới một hệ số œ ta cần
nhân tất cd phần tử của ma trận vdi ạ ©
> Nhận xét 1.3 Ta có thể nói rằng các trận vô nướng là các ma trận có dạng al
với Ï là mà tran don vị ©
iF Vi du 18 | SỐ Si
| 4 12 3)\ /f4 8 12
1:3 -2/ \4 12 -8j' -
Tiếp theo, ta hướng vào việc tìm hiểu các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận với một số
Đối với các số (thực hoặc phức) a, 8 bất kỳ và đối với các ma trận cùng cỡ
A,B bất kỳ ta có các đẳng thức |
pe
Trang 111.1 Ma trận : 11
i) Tinh chat phân phối của phép nhân hệ số đối với phép cộng của ma trận
ăA+B)=aA+oB
7
ii) Tinh chat phan phéi ctia phép nhan hệ số đối với phép công của he số 7
| (a+ B)A=aA+BẠ |
iii) Tinh chất kết hợp của phép nhân hệ số
o(8A) = (œ8)A
iv) Cac tinh hudng dac biét cia phép nhân hệ số
0OA=6, 1A=A, (-UA=-Ạ
Ta sẽ đưa ra chứng mình cho hai tính chất đầu tiên Việc chứng minh hai tinh chất cuối cùng được dành lại cho bạn đọc như một bài tập
Giả sử rằng A = : (as) mxn va B= (bij mx: Ta, có các tính tốn
A+B = (aij +bij)mxn > ăA + B) = (ăay + bụ))mxø = (gan + abig)mxa,
aA = (A0i;)mxn, AaB = (abi; )mxn => aA+aB= (aa;; + abi; )mxn- | Từ các tính tốn như vậy ta nhận được tinh chat thứ nhất
Tiếp theo với ma trận A = (đ;)mx„ Về hai hệ số œ, 6, ta có các tính toán
(a + B)A = ((a + B)ai;)mxn = (aj; + Bais )mxn = (adi; )mxn + (Bai;)mxn = aA + BA
Trang 1212 Chương 1 Ma trận và định thức Phép nhân lhai ma trận }
Phép tính cơ bản thứ ba giữa các ma trận có định nghĩa như sau:
(TT ¬
Định nghĩa 1.6 Cho hai ma trận A = (aik)mxn Va B = (b¿;)ax„ với số cột củạ 4 bằng số hàng của B - Ta định nghĩa tích ma trận A4 với ma tran B là một ma, trận C = (Ciz)mxp, trong dé cac phần tử œ¡; của tích được xác định theo công,thức
Cig = 04-01; + điạbay + + đn.bnj, 1= 1,2, ,m,;7 =1,2, ,p (1.5)
| Ta ký hiệu tích nhận được là AB va ta viét C = AB
_, Ị
> Chú ý 1.6 Theo định nghĩa trên ta nói tích AB thục hiện được nếu số cột của na trận đứng trước bằng số hàng của rna trận đứng saụ ©
|
Néu ta d6 hai ma trận A, Ư sao cho tích 4? thực hiện được thì chưa hắn tích BA cũng thực hiện được Kéo theo điều này là tích hai ma trận khơng có tính
chất giao hoán :
> Nhận xét 1.4 Nếu tích AB thực hiện được thì số hàng của ma trận tích bằng số hàng của A và số cột của ma trận tích bằng số cột của B © > Chú ý 1.7 Để thực hiện các tính tốn chi tiết khi nhân húi na trận được thuận,
lợi ta nói rằng phần tử cụ trong ma trận tích AB là tích của phép nhân hàng i
của A vor cot j cia B Ta minh hoa céng thitc tinh toán cị; theo cách nói này bởi
Hinh 1.1 | | ©
cS Ví dụ 1.10 Cho
1 2 014
! A=(j i) z=Í 3 2)
Khi đó tích 4B thực hiện được và nó được tính tốn như sau
| |
—— ^P=ÂÑ J)Ñ 3s) “Ẳ an):
Cũng trong ví dụ nay tich BA khong thực hiện được vì số cột của ma trận đứng trước khác với số hàng của ma trận đứng saụ | QO
CS Vi du 1.11 Cho
có e0) n9
Khi đó cả hai tích A4 và BA đều thực hiện được và
| AB = (1 0): 5A = (0 i): 1 0 0 0
Trang 13
1.1 Ma trận | | | 13 B:n hang, p cột - bá «Đụ ca Dip t _ R Z
“Đại TỶ oe ba; see bap
Z a rS `“
1
` Dp] eer Ôn ee Onp
⁄ À ~ NA
X ww2
an
S / N
¡
( tủ ap wae G1y/ 4 wee C17 | - Cin \
¡ / | j mm | | it 2 CO-ED] Ls m1 m2 \ -»+ mm, ] A :?m hàng, m cột |C = AB: m hàng, p cột — oe Cip- \ Cml s+ Cmj +++ Cmp j
Hình 1.1: Phép nhân của hai ma trận
Trong ví dụ này hai ma tran tich AB va BA không bằng nhau, tức là AB 4 BẠ ¬ Tiếp theo ta hướng vào việc tìm hiểu các tính chất cơ bản của phép nhân hai ma trận
¿) Tính chất kết hợp của phép nhân: Cho A, B,C là ba ma trận Nêu một trong hai tích (AB)C và ĂBC) thực hiện được thì tích cịn lại cũng thực hiện được
va tạ CÓ đẳng thức
(AB)C = ĂBC) (1.6)
Chứng minh Néu mét trong hai tich (AB)C va ĂBC) thực hiện được thì ta phải có hai yếu tố là số cột của 4.bằng số hàng của Ø và số cột của bằng số hàng của Œ Do đó tích
cịn lại cũng thực hiện được Tiếp theo ta chỉ ra công thức (1.6) Không mất tính tổng quát ta co thé gid thiét 1a: A = (@ij)mxn, B= (bjk)nxp, C = (Ckt)pxq Nhu vay hai ma trận tich (AB)C va ĂBC) la hai ma tran cing cé va cé kich thuéc ]a m x q Ta ky hiéu cac
phần tử của ma tran tich (AB)C là z„ và ký hiệu các phần tử của ma trận tích ĂBC) là
Trang 14
|
14 Chương 1 Ma trận và định thức
n P :
(AB) = (Slatin), va (BC) = (3` b;kCkt)„„„- Tà có các tính tốn như sau
k=1
jal!
! P "
bó đại = Soo đ7пk)Cki | k=1 j=1
| =(01Ù1i + + đnab„1)Ci + (01bla + + đnÙaa)Cai + + (4¿1Ùtp + + Qinbdnp)cpi
ị =421(Ù1ieir + + bipept) + 422(Ù2ieit + + bepept) + + đạn(b„1CA + + bap€pi)
n Pp
| =3 ằ Ù;pCkl) = tú
Ị j=l k=1
Từ đó ta khẳng định được sự đúng đắn của công thức (1.6) a
> Chi ¥ 1.8 Tinh chat két hop cho phép ta viét các tích (AB)C va ĂBC) một
cach don gian la ABC | | ©
> Chú ý 1.9 Cho các ma tran Ay, Ao, , Ax Néu vdi méi chi 867 € {1,2, ,k-
1}, số cột của ma trận A, bằng số hàng của ma trận A,„: thà ta rác định được tich A; Ap» " Ay bằng (k — 1) phép nhân của hai ma trận theo Dịnh nghãa 1.6 © ! mm
|
?) Tính chat phân phối của phép nhân ma trận đối uới phép cộng trên mỗi nhân,
tử: |
- NéúA, B,C 1A ba ma tran sao cho A, B cùng cỡ và các tích AC, BC thuc hiện được thì ta có đẳng thức
óc (A+ B)C = AC + BC
- Nếu: A, B,C la ba ma tran sao cho B,C cùng cỡ và các tích 4B, AC thực hiện được thì ta có đẳng thức
ĂB+C)=AB+ AC
13) Tinh chất kết hợp giữa phép nhân ma trận uà phép nhân hệ số: Cho hai ma
trận A,B sao cho tich AB thực hiện được Khi đó với mọi hệ số À ta có:
_ \(AB) = (\A)B = ĂAĐ)
wu) Phép nhéan mot ma tran uới ma trận don vi: Cho A la ma tran có kích thước mm x m Ta có các đắng thức
1 Al, = A,
2 ImA = Ạ
Trang 15
1.1 Ma trận 15
Lưu ý rằng nếu 4 vng thì hai dang thức trên được viết gộp lại thành
AI=IA= Ạ
Việc chứng minh các tính chất (2) — (20) được dành lại cho bạn đọc như những bài tập
Chú ý 1.10 Nếu A là một ma trận ung thà tích AA thục biện dược Khi đó
ta gọi tích AA là "A bành phương" uà kú hiệu là Ả Khái quát hơn nếu k là một số tự nhiên lớn hơn 1 thà ta định nghĩa A* là
A*= AẠ Ạ k nhân tử -
Nới riêng, A3 được gọi là "A lập phương" uà ta gqưụ ước rằng A! = A,A°=I©
Ví dụ 1.12 1 0 3 A= {211 3.2 0 Tinh Ả + 3Ạ Giai: Ta có: 1 0 3 1 0 3 1 0 3 Ả+3A= |2 1 1112 11)4+3.42 1 1 3.2 0 3.2 0 ở 2 0 10 6 38 ⁄3 0 9 13 6 12 ‘ ={7 3 7 + |6 3 3)=]138 6 10 7 2 11 9 6 0 16 8 ll
Cách tính khác: Ả + 3A = ĂA +37) Ta tính A + 37 rồi tính tích của A với
_(A+3ì) | | QO
Lưu ý rằng nếu ta nhân một ma trận Á = (đ;;)mx„ với một ma trận cột #= (#/)axì thì ta thu được một ma trận cột kích thước rn x 1 Chì tiết hơn ta có
Qj G12 + + Gin Ly | 041.01 + đ12.72 T +Ð G1n-Tn
Qa, đạạ Gđọn | | Lo] © đ21.#1 + 0aạZ¿ + + đạn.2n
.Az= | có | =
Am m2 | ko Qmn Zn (mi #1 + Qmn?2.22 + eee + Qmn- tn
Nếu ký hiệu các cột của ma trận 4 tương ứng là Cì, Cạ, , C„ thì ta nhận được đắng thức
Ax = 1C + toC -+ + LnCn (1.7)
Trang 1616 | Chuong 1 Ma tran va dinh thức
Ta, gọi biểu thức có mặt trong vế phải của công thức (1.7) là tổ hợp tuyến tính của, các cột C1, C2, ,Cn
Tương tử nếu ta nhân một ma trận hàng # = (2;)1x.m với ma, tran A = (ai;)mxn thì ta thu được một ma trận hàng kích thước 1 x n Thém nita néu ky hiéu các
hàng của A là 7, Hạ, , Hạ thì
+A =xz¡H) + #aH; + + xạ Hụ, (1.8)
Về phải của (1.8) được gọi là tổ hợp tuyến tính của các hang Hy, Ho, ,Hm-
1.1.3 Ma trận vuông Nếu 4:;4;, , 4„ € Z4 thì ta có ma trận tích 44s Á„ Do ta không
sử dụng được hệ thức giao hoán nên ta không được thay đổi thứ tự của phép nhân 44x A„ Nói cách khác, nếu đổi chỗ hai ma trận nào đấy trong tích 4Ai4; A¿ thì tích này có thể bị thay đổị
Nếu A,B € 4 thì ta xác định được (A4 + B)? va tinh chất phân phối giúp
cho tà có rhững biến đổi như sau
(A+B) = ĂA+ B) + B(A+ B) = Ả+ AB + BA+ B'
Nếu như AB # BA thì bạn đọc cần lưu ý là
(A+B)? 4 Ả4+2AB + B?
Ta có thể sử dụng tính chất kết hợp cho tính tốn tích các ma trận vuông Chang han ti hai ma trận tích AB và BA ta có các đẳng thức
(AB) = ABAB (BA)? = BABA, ,
| (AB)(BA) = AB?A, (BA)(AB) = BẢB
Lưu ý rằng dãy dang thức | |
} ! A‘ B? = BPẢ = ABAB = BABA = AB?A = BA°B
sẽ đúng khi AB = BẠ Nêu AB z BA thì dãy đẳng thức trên không đúng nữạ
Ta có thể quan sát điều này qua ví dụ sau đâỵ
iS Vi du 1.13 Cho hai ma tran
1 2 21
a= (1, i) B= (7 0):
Đối với hai ma trận được cho ta tính được A’, B?, AB, BA nhu sau:
Am
Trang 171.1 Ma trận 17 909-619 2-0 00 3-(3 1) "A=( 0)(5 1)~Ẳ 3)
-_ Từ đó tiếp tục tính tốn ta nhận được các kết quả về A2”, PBˆẢ, BẢB
sa (1L 4\(5 2) (3 2) 4P*=( Ty 1) 1)=(ñ 5} 5 2\(-1 4\_ (-9 18) — 2 _ 1 =2 —1/j \-4 7]? ; (4 11/4 1N (15 3, +er<(% 9)(%1)-(59) trong ví dụ nàỵ 4 1\/(1 5\ (5 22\, =1 —1/\1 2/j \=2 -7/') 2_ (1 5 4 1\_- (=1 -4 ses=(' )(% 1)=(3 sj) | QO
Trong truéng hop A, B € 4, va AB = BA, ta gọi ma tran B 1a ma tran giao
hoán uới A theo phép nhân mma trận hoặc ngắn gon hơn là "B giao hodn vdi A"
rs Vi du 1.14 Cho A, B 1a hai ma tran vuông cap n sao cho AB = BẠ Hay chi ra các đẳng thức sau day:
_ TRUONG DAI HOG GIAQ THONG VAN TAI a) A‘B = BA với nỗ k © PHAN HIEU TAI THANH PHO HO CHI MINH
_ | THƯ VIỆN
b) A4"B" = B"A” với mỗi cặp số tự nhiên ?rÍ, m 00C18321
-.c) (AB)” = A"E" = (BA)” với mỗi n € Ñ
d) Nhị thức Newton‘? đối với hai ma trận giao hoán:
(A+B)°= A"+C}A" !1B+C2A"*?Eˆ+ +(Œ'AB""'+E"
với mỗi ?› € Ñ
4Isaac Newton (1643-1727) là một, nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim thuật người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoạ học
Trang 1818 Chương 1 Ma trận và định thức
Giải: a) Trường hợp k = 0 ta co A0 = [và A*B = A°B =IB= B= BlI=
BẢ = BAẸ Trường hợp k = 1 tacé Al = A va A*B = ÁB = AB = BÀ =
BA! = BAF Trường hợp k > 2, sử dụng tính chất kết hợp và AB = BA ta có
dãy biên đổi như sau:
A*B= AF~1(AB) = A*-!1(BA) =(A*'1B)A= AR~?2(AB)A = A* ”(BA)A
= Á*-?BẢ =.A*~3(AB) | Ả = = BAF |
b) Ta có thể nhìn nhận kết quả cãu (a) là "Nếu Ö giao hốn với Á thì B giao
hoán với mỏi lũy thừa của 4" Nói cách khác, sử dụng ket qua cau (a) ta có đẳng
thttc A™B = BA™ véi moi m € N Nhu vay ma trận A™ giao hodn với ma trận B va ap dung kết quả câu (a) một, lần nữa ta khẳng định được ma trận Á”" giao hoán với mọi lũy thừa của Ð, hay là A"B" = ÉA” với mọi ø € Ñ
Chúng tôi xin dành lại cho bạn đọc việc thực hiện các chứng minh đối với hai
khẳng định (c), (d) như những bài tập : Q
Ma trận đơn vị là một ma trận đặc biệt Nhắc lại rằng nếu 4 là một ma trận :
vuông capin va Ï là ma trận đơn vị cấp n thi
: AI =IA= Ạ
, lo | | ;
Nêu trong, đăng thức trên ta lựa chọn 4 = Ï thì ta nhận được đắng thức
|
" | i = Ị
Ta cũng có J0 = J và J' = Ị Với mỗi n > 3, st dung Ỉ = Ita tinh toán được như sau
Jh?—I"?J?=]J"?J= T")
Boi vay ta suy ra rằng
| | 7 | - hay là ' | | I*=I véimoineN (1.9) me TH T Tạ "4 ⁄ 2 `
'Bận đọc!có) thế dé dàng đưa ra chứng minh cho các kết quả sau về lũy thừa
của một ma trận :
|
( ]
Mệnh đề 1.1 Nếu A là một ma trận uuông uà À là một số thà ta có các |
đẳng thúc:
?) An.An = A"*" uới mọi rn,n € Ñ it) (A™)" = A™ vdi moim ne N
| iii) Ạ2}" = \"A" vdi moin EN
| |
Trang 19
1.1 Ma trận | 19
cS Vi du 1.15 Cho ma tran A = (| 2) - Tính Ả9,
Giải: cóc
la có
; xa (2 -1\ (2 -1\_ (-1 0)\_
4'=AA= [§ -2J\s -2)J (Áo 1}?
Do đó
A2017 — Ă2.1008)+1 —_ (Ả)1908, 4 = (— 71908, A = LA=A= b 3): ¬
Các đa thức có biểu diễn tổng quát dưới dang
f(z) = an?” +an_1z”®~” + + a1: + ao
với z là biến số và øo, ø+, , đ„ là các hệ số Nếu a„ # 0 thì ta gọi ƒ(z) là đa thức bậc n Lưu
ý rằng ta quy ước z0 = 1 nên ƒ(z) có thể biểu diễn hình thức theo cách sau ƒ(z) = an+z” +anS-iz”"~ + + aiz + agz9
Trong một số bài toán sau này ta cần tính tốn và phân tích trên một ma trận có dạng
dạ AT + aa_S+A”?~1 + +aIA+ aoÏ
với A là một ma trận vng Vì ta quy ước A0 = J7 nên ta gọi ma trận trên la f(A), hay là
f(A) = an A” tantA™ + +a;A + aol
Cách nhìn này là khá tự nhiên và.ta sẽ thấy sau này tác dụng của nó nằm ở việc đơn giản hóa
một số tính toán về ƒ(4)
2 1
2? _(/2 1\(2 1\_(2 38)
~\-2 1 —2 1 -6 —lj_
Tiép theo,ta tinh duge
ja=essa—u=(2, 9)4(%)-(69-(4 4) a
Nếu ƒ(z) là một, đa thức thì ta gọi ƒ(4) là đa thức của ma trận Ạ Trong nhu cầu tính tốn mà ta cần sử dụng sau này, không chỉ có các đa thức của ma trận được sử dụng tới
mà ta cũng cần dùng đến hàm mũ, ham sin, ham cos của ma trận Á Các hàm này được định
nghĩa như sau:
[S Vi du 1.16 Cho ma tran A= (2 i) Hay tinh f(A) voi f(x) = 2? + 3z — 4
Giải: Ta có tính tốn sau
A = Lak k=0
So -
CỔ x2
cosA = À ` <~ (2k)! i)! A“”,
: = (-1)° 2k+1
sin A = ——— Av
TẾ £4 Bk +1)!
Các công thức ở về phải được dùng để định nghĩa e4 cos A,sin A 1A cfc chuỗị Chúng được khẳng định là hội tụ với mọi ma trận Ạ Ta thừa nhận tính đúng đắn của điều nàỵ Ta sẽ làm
quen với các bải tốn tính toán eẨ,cos 4,sin A4 ở chương 4 sau khi có những chuẩn bị tốt hơn
về lý thuyết
Trang 20
20 Chương 1 Ma trận và định thức
1.1.4 Phép chuyền vị của ma trận, biên đồi sơ cầp và biéu
diễn dạng khối của ma trận
Phép chuyển vi
Cho A =(aij)mxn 1& một ma trận có mm hàng và n cột Nếu chuyển các hàng
của A4 thành các cột và giữ nguyên thứ tự của chúng thì ta được một ma trận mới có ?› hàng và m cột Ta gọi ma trận nhận được là chuyển Uÿ của A và ký hiệu là” 4T hoặc Á
cS Vi du 1.17 Cho ma tran
16 5 —-2 A={8 3 -7 9
| 62 5 6
Tương ứng, Ina trận chuyển vị AT là
| 1 8 6 6 3 2 ; | T _ : A= 15 7 5 72 9 6 LÌ Trong cáPh mơ tả thu gọn, nếu cho Á = (aij)myn thì ta viết AT = (5: )nxm- |
Gắn liền với, phép chuyển vị của ma trận ta có những tính chất sau đâỵ 1 (AT)T!= A với mọi ma trận Ạ
2 trace(Ả) = trace(A) với mọi ma trận vuông 4 3 (œ4)?i= œAT với mọi ma trận Ạ |
4 (A+ B)f = AT + Bĩ với mọi A, B là hai ma trận cùng cỡ
h (AB)T = BTAT với mọi ma trận A, B sao cho tích A8 thực hiện được 6 (4i4z Ag)” = AfAj,_, Af véi moi day ma tran -Aj, Ao, ,A, sao
cho tich A14; Ay thực hiện được
Hai tính chất (1), (2) được suy ra trực tiếp được từ định nghĩa của phép chuyển vị Việc chứng minh hai tính chất (3), (4) là đơn giản và chúng tôi xem như bài tập dành cho bạn đọc Ta sẽ đưa ra chứng minh chỉ tiết cho tính chất (5) Giả sử rang-A = (@ij)mxn; B = (bjk)nxp Khi dé hai ma trận (AB)? va BT AT cing có
kích thước là p x zn Dễ thuận tiện ta đặt (AB)7 = (Lki)pxm Va BT AT = (yni)pxm:
°Chir cdi "T" trong ký hiệu AT là chữ cái đầu tiên của thuật ngữ transpose (chuyển vi)
Trang 21
1.1 Ma trận 21
Theo phép chuyển vị phần tử z¿¿ chính là phần tử nằm trên hàng ¿ và cột k của
ma trận tích 4? nên ta có
n
tị = 3 abj, (voi mdi i = 1,2, ,mmị k = 1,2, ,0) (1.10) j=l
Phan tử „¿ là tích của hàng thứ k của BŸ với cột thứ ? của AT Mô tả hàng thứ
k của B7 theo các phần tử của Ö 1a (bx, box, ., dng) M6 ta cot thứ ¿ của AT
theo các phần tử của A là (đi, œ%¿, ,a¿„)7 Từ đó ta tính tốn được „¿ như sau
nr
yei =~ djeaiz, (voi mdi i = 1,2, ,.m; k=1,2, ,p) (1.11)
j=1
Đối chiếu hai đẳng thức (1.10), (1.11) ta khẳng định được ry; = Ye: Voi mai
?=1,2, ,?1mn; k=1,2, ,p Từ đó ta kết luận rằng (AB)f = BTAT Để chứng minh công thức (6) ta sử dụng công thức (5) liên tiếp nhiều lần
(Ay Ag Ag)? = AT(Ay Ag Aga)” = ATAT_,(Ay Ag Ago)? == ATAT AT
> Nhận xét 1.5 Cho ma trận vuông Ạ Khi đó,
- Ma trận 4A là ma trận đối xứng nếu va chi uéu Ả = A;
- Ma trận A là ma trận phản đối xứng nếu và chỉ nếu AT = —Ạ ©
tS Vi du 1.18 Cho hai ma tran vuong A, B déi xứng cấp n Hãy chỉ ra rằng ma
tran AB — BA la ma tran phan déi xting | |
Giảị Do AT = A,B† = B nên ta có (AB - BA)? = (AB)? — (BA)? = BTAT —
ÁB.= BA— AB Như vậy AB — BA là ma trận phản đỗi xứng ‘ ¬
Biến đổi sơ cấp
Tiếp theo ta thảo luận về một số biến đổi tuy hết sức đơn giản của các ma trận nhưng lại giữ một vai trò quan trọng trong thực hành
Định nghĩa 1.7 Các biến đổi sau đây trên các hàng, các cột của một ma trận được gọi là biến đổi sơ cấp của ma trận
1 Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) của ma trận cho nhaụ
se
2 Thay thế một hàng (hoặc một cột) bởi tích của chính hàng (cột) đó với
một số À z# 0
3 Thay thế một hàng (hoặc một cột) bởi tổng của chính hàng (cột) đó
với À lần một hàng (cột) khác
Trang 22
22 Chương 1 Ma trận và định thức
> Chú ý 1 Hị Hai biến, đổi thú 2,3 thường được phát biểu gon hơn là - 9 Nhân môi hàng (hoặc một cột) uới rmmột sô khác 0
3 Cộng uào một hàng (hoặc một cột) À lần một hàng (cột) khác ©
Dinh nghia 1.8 Ta goi-cAc ma tran vudng cAp n dude cho sau đây là các ma tran co ban
1 Ma tran J,; nhan dude ti ma trận đơn vị J bang cách đổi chỗ hai hàng
(hoặc hai cột) thứ ? và thứ j của ma trận 7 cho nHaụ
2 Ma trận !, nhận được từ ma trận đơn vị 7 bằng cách thay thé hang
(hoặc cột) thứ ¿ của 7 bởi tích của chính hàng (cột) đó với một số A F 0
| : `
3 Ma tran 7? nhận được từ ma trận đơn vị 7ƒ bằng cách thay thê hàng
(hoặc cột) thứ ? của 7 bởi tổng của chính hàng (cột) đó với À lần hàng
(cột) thứ 7 (7 # ?) cua J
“ : J
Mỗi biến đổi sơ cấp của A đều có thể mô tả dưới dạng một phép nhân của ma
trận Ả với một ma trận cơ bản
( : `
Mệnh dé 1.2 Cho hai ma tran cing cd A, B Khi do ta có các khẳng định sau đâu |
?) Nếu A được biến đổi thành B theo một biến đổi sơ cấp nào đấu trên các hàng thi ton tai mét ma tran co ban M dé B= MẠ
3) Nếu A được biến đối thành Ð theo một biến đổi sơ cấp nào đấy trên các cột thà tồn tại một ma trận cơ bắn M dé B= AM
CS ‘ /
Chitng minh Ching tdi sé dua ra chitng minh chi tiét cho khang dinh (i) Céc phan tich
được sử dụng có thể lặp lại một cách phù hợp để hình thành chứng minh của khẳng định (it)
Xét tình huống ma tran B nhan duoc tit ma tran A bang cdch déi ché hàng ¡, hàng 7 của A cho nhaụ Ta tinh toan tich J;;Ạ Dé thuc hién cdc tinh toan chi tiét ta dat A = (ast)mxn và
kích thước tương ứng của ma trận J;; la m x m Ta dat i; = (Zrs)mxzns Khi đó ma trận tích lA có cùng kích thước mm x n với A và ta đặt l¿;j A = (a;¿)mxạ Với mỗi cặp chỉ số (r,£) ta có
đặ¿ = T101 + 2ra602y + Tra đựng (1.12)
I
Nếu r z ¡ và r z# 7 thì hàng,thứ r của 1;; là hàng thứ r cia ma trận đơn vị, tức là z;; = 1 và #;s = 0 nếu :s # r Từ đây ta suy ra được trong về phải của (1 12) có rn„ — Ì số hạng bằng 0
và số hạng còn lại là #rrar¿ = ax¿ Như vậy ta có al, = ar, V6i mỗi ‡ = 1,2, ,m và ta khẳng ` định được khi r # ¿ và r # 7 thì hàng thứ r của hai ma tran A va l;A trùng nhaụ ,
Néu + = i thi hang thit i cia J;; lai la hang tht j cha ma trận đơn vị (được đổi lên), tức là
| tig = Ì VÀ #s = nếu s # 7 Tương tự ta suy ra trong về phải của (1 12) có rn — 1 số hạng
bằng 0 và số hạng còn lại là #jjđjy = đặt Như vậy ta có đ¿, = đặt véi moi t = 1,2, ,n va ta khẳng định dudc hang thi i cia tich J; z4 chính là hàng thứ 7 của Ạ
Trang 231.1 Ma trận 23 tích 1;;A chính là hàng thứ ¡ cha Ạ Ì
Đến đây ta đã chứng minh được rằng Ð = l;;Ạ ` -
Tiếp theo ta xét tình huống ma trận Ö nhận được từ ma trận 4 bằng cách thay thế hàng thứ ¡ của A bởi tích của chính hàng đó với một số À # 0 Để mô tả các tính tốn chỉ tiết ta
dat A = (ast)mxn; Lid = (Lrs)mxm Va 1i,,A = (@)4)mxn- Theo các phân tích đã sử dụng trong
tình huống trước đó ta khẳng định được nếu z # ¡¿ thì hàng thứ r của hai ma trận A và 1; ⁄4
trùng nhaụ Nếu r = ¡ thì hàng thứ ¿ của J; là À lần hàng thứ ¡ của ma trận đơn vị, tức là _
Tig = A va ¿; = 0 nếu s # ¡ Từ đó ta có đ¿¿ = Àa¿¿ với mỗi t = 1,2, ,n va ta khang dinh
được hàng thứ ¡ của tích 7;„4 đúng bằng A lần hàng thứ ¡ của 4 Đến đây ta đã chứng minh
được rằng Ð = 1, Ạ
Cuối cùng ta xét tình huống ma trận nhận được từ ma trận 4 bằng cách thay thế hàng
thứ 7 của A bởi tổng của chính hàng đó với k lần hàng thứ 7 (7 # 7) của Ạ Dễ mô tả các tính „ todn chi tiét ta dat A = (ast)mxn, ^ = (ZrsÌmxm Về TA = (đ;;)zaxạ Theo các phân tích
đã sử dụng trong hai tình huống trước đó tạkhẳng định được nếu r # ¡ thì hàng thứ r của hai ma tran A va 7ƒ`A trùng nhaụ Nếu r = i thi hàng thứ ¡ của Tˆ bao gồm các phần tử
ti = l,¿j = À và z¿¿ = 0 nếu s # ¡,s # 7 Từ đó ta có al, = đ¿¿ + Àa;¿ với mỗi ‡ = 1,2, ,n
và ta khẳng định được hàng thứ ¡ của tích I7*A đúng bằng tống hàng thứ ¡ của A cộng với À
lần hàng thứ j7 của A4 Đến đây ta đã chứng minh được rằng B = IẠ a Trong nhiều nội dung về sau ta cần thực hiện một chuỗi biến đổi sơ cấp liên
tiếp xuất phát từ một ma trận Ạ Mệnh đề 1.2 cho phép ta mô tả một dãy biến
đổi sơ cấp như sau:
Nếu ta thực hiện liên tiếp k bước biến đổi sơ cấp trên hàng của các ma trận
thì ta có thể mô tả dãy biến đổi này dưới dạng |
-A= MỊA M,MìA — = Mỵ M,M)Ạ
- Nếu ta thực hiện liên tiếp k bước biến đối sơ cấp trên cột của các ma trận
thì ta có thể mơ tả dãy biến đổi này dưới dạng
A > AM ¬ AM\M; > AM+M; Mỵ
Biéu diễn dạng khôi của rna trận
Việc theo dõi hay thực hiện các tính tốn đối phép nhân của ma trận có kích thước lớn có
thể sẽ dé dang hơn khi ta mô tả ma trận theo dạng khốị Trong tình huống tổng quát mô tả
dạng khối của một ma trận A là
Aj Ai see Aig
An Aso Arg 4.13) Am Apr Apa
trong đó ma tran A được chia thành p x ạ khối có dang A;; sao cho mỗi khối là một ma trận
và, °
- với mỗi z, các khối Ai, Ai2, , Aig CO chung sô hàng,
Trang 24
24 Chương 1 Mãa trận và định thức
- với mỗi }, các khối 4i;, Áa;, , Áp; có chung số cột
Cho A, B la hai ma tran sao cho tich AB thực hiện được Khi đó ta có thể biểu dién A, B duéi
dạng khối và biểu diễn ma trận tích theo các khối của A và B Cu thé hon, néy ta biểu diễn
Ai; Ajo Aig By, Bio Bir
Agi Agog Adg Bo, Boo Bar
LA=|l |, B=] ,
Am Apọ Am By Bọ Bor
sao cho với mỗi bộ ba chỉ số ¡, j,k tích các khối A;;B;, thuc hién dugc thi ma tran tich AB
cũng có biểu diễn dạng khối
| Cy, Cig Cir
oo Cy C2a ` C2y
AB= ;
: : :
| Cy Che Lee Cor
Ở đây các khối Œ;¿ được xác định bởi:
Cie = — Ain Bị, + Ai2Bor + + địa Bạ
0S Vi du 1.19 Cho A, B,C, D, X,Y,Z,T la cdc ma tran n vuong cap n Xét hai ma tran khéi AJ, N kích thước 2n 'x 2n xác định bởi |
A B X Y
| — —
m=(¢ 5): N=(Z r): Nhụvay ma tran tich MN có thể mô tả theo dạng khối như sau:
MN= (ox tb oy pr)
CX+DZ CY + DT |
a |
1.1.5 Ung dụng phép nhân ma trận trong mã hóa t
Trong phần này ta sẽ trình bày một ứng dụng của phép nhân ma trận trong mã hóạ
Quy tắc mã hóạ Trong quy tắc mã hóa ta cần sử dụng một ma trận khả nghịch A = (a4;)3x3;
trong đó a,j nhan các giá trị thuộc tập hợp {0,1,2, ,27,28} và det 4 không là bội số của
29 Ta sẽ chuyển đổi các ký tự trong bảng chữ cái và ba ký tự đặc biệt +, —, * thành các số tự
nhiên (và chuyển ngược lại: các số tự nhiên về các ký tự) theo bảng sau
Ký tự|A|BI|CID|IEIF|G|H|I|J|IK|L|M|IN|IO Số |0|111213|14|15|16|1718|9|10|11|12|13|14 Kýtự[PIQIRISTTTUTITV[IWTIXIYTZT+T-T* [ Sãấ 1151161171181 19 | 20] 21 | 22 | 23 | 24 |-25 | 26 | 27 | 28
Để mã hóa một từ nào đấy ta chia các chữ cái của từ đó thành các nhóm, mỗi nhóm gồm 3 chữ cáị Nếu nhóm cuối cùng chưa đủ ba chữ cái thì ta bổ sung thêm theo dấu + và kế tiếp là dầu — Mỗi nhóm ba kí tự sẽ tương ứng với nhóm gồm ba số trong tập {0,1, , 27,28} Có
thể coi nhóm ba số này như một ma trận cd 1 x 3 và gọi là số liệu chưa mã hóạ
Gia stt ta c6 sé liéu chua ma héa X = (x) 22,73) Ta sé sit dung ma tran A để thực hiện phép nhân với X Phép nhân đó được mơ tả hình thức như sau:
Trang 25
1.1 Ma trận | | | co — 95
‘Cac giá trị thu được (14, 2, 14) là ba số nguyên nào đấỵ Ta sẽ chuyển các số nguyên này thành '
các ký tự theo bảng trên nên ta cần tính tốn các lớp đồng du® cha ba giá trị này theo mod 29 Ta mô tả tính tốn này dưới dạng hình thức
y1 = z1(mod 29), ye = ze(mod 29), 13 = z3(mod 29),
trong đó z1, 22,23 € {0,1, ,27,28} Ta gọi kết quả nhận được (z1, Zo, 23) là số liệu đã mã hóạ Từ (z, z2, zz) ta chuyển thành các kí tự tương ứng theo bảng trên và sắp xếp các ký tự thu được theo đúng thứ tự ban đầu ta được từ đã được mã hóa của từ đã chọ
[S Vi du 1.20 Hãy mã hóa từ "VIETNAM" béi ma tran A sau day:
105 A=|3 1 9 6 2 0
Giải: Chia từ "VIETNAM" thành ba nhóm (VIE)(TNA)(M+-)
Tương ứng với nhóm thứ nhất ta chuyển đổi từ ký tự sang các số theo bảng chuyển đổi
(V I E)3(21 8 4)
Biến đổi theo ma tran A:
1 (21 8 4)43 = (69 16 177) 6 Ne © ow o
.Tính tốn các lớp đồng dư của kết quá nhận được ở trên :
69 = 11(mod29), 16 = 16(mod29), 177 = 3(mod29)
Kết quả nhận được (11, 16, 3) ứng với các kí tự trong bang chữ cái là (L,Q, D)
Tương ứng với nhóm thứ hai ta chuyển đổi ký tự sang các số theo bảng chuyển đổi -
(T N A)(19 13 0)
Biến đối theo ma trận 4:
1
(19 13 0) |3 = (58 13 212)
_ 6 Nore
©
own
Tính tốn các lớp đồng dư của kết quả nhận được ở trên
58 =0( mod ;29), 13=13(mod29), 212 = 9(mod 29) Kết quả nhận được (0, 13,9) ứng với các kí tự trong bảng chữ cái là (A, W, J)
Nhóm cuối cùng được chuyển đồi sang ký tự theo bảng chuyến đổi
(M + -)>(12 26 27)
ÊNhắc lại phép toán đồng dư: Cho số nguyên dương ?ø Ta nói hai số nguyên a, b được gọi là đồng dư theo modulo n nếu chúng có cùng số dư khi chia cho m Nói cách khác, a đồng dư với b theo modulo ø nếu hiệu (ø — b) là một số chia hết cho n Thêm nữa ta ký hiéu a = b(modn),
hoặc là a mod ? = 6
Trang 26
_ 26 "Chương 1 Ma trận và định thức
Biến đổi theo rna trận 4: 7
1 0 5
(12 26 27) [ 1 ) = (252 80 294)
6 2 0
Tính tốn các lớp đồng dư của kết quả nhận được ở trên
252 = 20(mod 29), 80 = 22(mod29), 294 = 4(mod 29)
Kết quả nhận |được (20, 22,4) ứng với các kí tự trong bảng chữ cái là (U,W, È): Như vậy sử „
dung ma tran |A, tt "VIETNAM" được mã hóa thành "LQDANJUWE" QO
1.2 Định thức
|
Định thức có những ứng dụng rộng rãi trong toán học, cơ học, vật lý v.v Ta sé làm quen ở ngay trong giáo trình này những ứng dụng ban đầu của định thức trong việc giải hệ phương trình tuyển tính và trong nhiều nội dung lý thuyết khác
1.2.1 Khái niệm định thức
Định thức chỉ được xác định cho các ma trận vuông Định.thức của mà trận vuông Á =|(đ;)»x„ là mét sé Ta ky hiệu định thức của ma trận A là “ detA
hoặc là |4|.| Biểu diễn tường minh của det 4 là
đi G13 Gin
đai G22 - Gan - ˆ
detA =| oo ị (1.14)
Qn] Qn2 nn
Chú ý 1.12 Trong biéu dién tuéng minh ciia dinh thitc ta goi hai vach thẳng đứng được đặt uào trước 0à sau rna trận là "kú hiệu của định thúc" ©
Định tHức của một ma trận vuông cấp m (định thức cấp n) được định nghĩa như là giá trị thu được từ một tổng có nhiều số hạng Để mô tả tổng này ta sử ` dụng phương pháp quy nạp Theo cách này, định thức cấp nø được định nghĩa như một tổng có n số hạng và mỗi số hạng của tổng này có chứa một định thức
cấp (m — 1)
Ta cần (giả thiết rằng đã có sẵn định nghĩa của định thức cấp (m= — 1) Từ các phần tử cửa một ma trận vuông cấp 0 ta sẽ xây dựng các định thức cấp (n — 1)
"Ky hiệu |det là ba ký tự đầu tiên của thuật ngữ determinant (định thức)
Trang 271.2 Dịnh thức 27 dé sử dụng Chb ma trận vuông cấp G1 Ga In G21 G22 2n ‘A= Qn1 n2 Onn
Nếu gạch bỏ một hàng, một cột nào day cia A thi nhting phan tt con lai sé tao thành một ma trận vuông cấp (n — 1) va ta đưa ra được định thức cấp (n — 1) của ma trận nàỵ lrong trường hợp tổng quát, ta lựa chọn một phần tử Qi; Nao đây của, A và gạch bỏ hàng và cột chứa phần tử được chọn (bỏ hàng ¿ và bỏ cột
7) Ta gọi định thức cấp (m — 1) được xác định bừ những phần tử còn lại là là
định thức con bù của phần tử a;; trong ma trận A, ký hiệu là M,,
Ta ghép thêm dấu "+" hoặc "—" cho các định thức con bù theo cách làm
được mô tả dưới đây |
M., nếu i+j chi
Ai = ; a 2 " (1.15)
—M;; néu i+j le
hay la Aj; = (—1)**7M,,; Két qua nhan được 4;; được gọi là phần bù đại số của phần tử a;; trong ma trận Ạ
f
Dinh nghia 1.9 Dinh thitc det A của ma trận Á = (đ;;)axø được xác định
bằng quy nạp theo ø như sau:
- Trường hợp n = 1l: Tương ứng Á = (đi)ixị có duy nhất một phần tử
là aị Ta định nghĩa det A chính là phan tử này:
det A = 01
- Thường hợp n > 1: Dịnh thức của A được định nghĩa theo các phần bù đại số bằng công thức sau
det A = a3, Aq, + Q12A12 + + ain Ân (1.16)
Chú ý 1.13 Công thức (1.16) trong Định nghãa 1.9 có thể mô tả lại là: Lấu tất cả các phần tử trên hàng thứ nhất của A uà nhân mỗi phần tử đó uới phần bù
đại số của nó, sau đó cộng n tích nhận, được uới nhaụ Kết quả thu được của quá trình tính tốn nàu được định nghĩa là định thúc của Ạ —)
Ta gọi công thức (1.16) là "công thức khai triển theo hàng 1"
Trang 28
28 | TS co | Chitong 1 Ma tran va dinh thitc
Ứng với n >Ì4 cơng thức mơ tả trực tiếp định thức theo các phần tử của ma trận
có n! số hạng nên ta trở về sử dụng công thức (1.16) để tính tốn
Định thức cấp 2 Xét ma trận vuông cấp 2 A = (a;;)2x2 Khi dé định thức con bù của ai là định thức cấp 1 và đó là az;, Ghép thêm dấu ta thu được phần bù | đại số của, On là Áii = a¿¿ Ta cũng dễ dàng thấy rằng 4s = —øạị Như vậy định thức của Á có mơ tả như sau:
, [ | au a2 = 1492 — 124 1.17 | lao, do 11422 1249} (1.17) oS Vi du 1.21 " _ |2 Jl~ 10 — (—6) = 16 : —2 5 OQ
Định thức cấp 3 Xét ma trận vuông cap 3 A = (a;;)axạ Đối với mỗi phần tử
cua A, dinh thức con bù của nó có cấp haị Mô tả tường minh cho các phần bù
đại số Au, An, ahs la
A, G22 G23 Aw = đại 23 _ {221 G22
11” 12—— : =
cóc G32 33} đại G33 31 32
Như vậy công thức (1.16) trong trường hợp n =.3 la
đ G2 đã G22 G23 Q21 G23 G2 22 G21 02a 23| —= 0i — 12 + 013 | ˆ (1.18) G32 đi 433 231 32 đại 332 433
Tách mỗi định thức cấp 2 trong về phải của (1.18) thành hai số hạng ta thu được biểu diễn của định thức cấp ba qua 6 số hạng
Qi1 G12 G13
21 đạa đạ3| = = đ1162263377012628ại T 81362132 — 13422431 — A12421 233 — 211023039 431 32 433
(1.19) - Việc mơ tả các tính tốn của định thức cấp ba theo công thức (1.19) trên thực tế
la thuận lợi hơn việc dùng công thức (1.18) Trước khi sử dụng công thức (1.19) để tính tốn ta cần học cách ghi nhớ các số hạng trong về phải của nó Mỗi số
-hạng của định thức là tích của ba phân tử của ma trận và ba phần tử này vừa nằm trên ba hang khác nhau vừa nằm trên ba cột khác nhau của ma trận vuông cấp bạ Sáu số hạng trong vế phải của (1.19) được chia thành hai nhóm, nhóm
thứ nhất là ba số hạng mang dấu "+" và nhóm thứ hai là ba số hạng mang dấu "—"_ Các số hạng được mô tả bằng quy tắc Sarrusể: 6 hạng ø qu)
- #Đierre Frédéric Sarrus (1798-1861) là một nhà toán học người Pháp
|
Trang 29
1.2 Dịnh thức : 29
- Dánh dẫu các phần tử của ima trận bằng các nút
- Nếu một số hạng của định thức là tích của ba phần tử thì ta nối ba nút tương ứng với nhaụ
Tương ứng, ta vẽ ở dưới đây hai sơ đồ theo hai nhóm số hạng, nhóm thứ nhất 3
bên trái, nhóm thứ hai ở bên phải (Hình 1.2)
dấu HH dau ft
Hinh 1.2: Quy t&c Sarrus
Quy tắc Sarrus để ghi nhớ về các nhóm số hạng như sau: e Dấu cộng
- Số hạng đầu tiên mang dấu cộng ứng với đường chéo chính
- Hai sé hang con lại mang dấu cộng ứng với hai tam giác Mỗi tam giác có một cạnh song song với đường chéo chính
e Dấu trừ
- Số hạng đầu tiên mang dấu trừ ứng với đường chéo thứ hai của ma trận vuông và ta tạm gọi là đường chéo phụ
- Hai số hạng còn lại mang dấu trừ ứng với hai tam giác Mỗi tam giác "có một cạnh song song với đường chéo phụ
=5 1 8 EŠ” Ví dụ 1.22 Cho ma trận vuông cấp ba A= | 2 0 4
TU =1 -2 8
Sử dụng quy tắc Sarrus dé tinh định thức cia A ta cÓ
1 3 |
detA1A=|2 0 4|=0+(—4) +(-12)—0— 40 — 6 = -—62 3
Trang 3030 | | Chương 1 Mạ trận và định thức
iS Vi du 1.23! Trong ví dụ này ta tính tốn định thức
020 0 | | _|2 4 3 -3 : detA=l) 9 5 4
3-12 3
trong đó ta hiểu A là ma trận nằm trong dấu định thức ở về phảị
Tạ sử dụng: công thức khai triển theo hàng 1 để tính det 4 Nếu biểu diễn rập
khuôn theo (1.16) ta có _
| det A = aii4ii + ¿2412 + đ13.Ä13 +aia 4i (n= 4)
Tuy nhiên tạ có ơi ='øi¿ = ¡4 = 0 nên trên thực tế về phải của công thức trên chi con lai s6 hang duy nhat 1A a;2Aj9 Vi ay2 = 2, 4¡i¿ = —Ä⁄:¿ nên quy được - việc tính det A vé tính một định thức cấp ba và sử dụng quy tắc Sarrus để đưa
ra kết quả -
i
det A = —2
|
Nếu tính theo định nghĩa một định thức cấp 4 trong tình huống tất cả các
—3 4 | = —2(80 + 36 — 6+ 45 — 9 — 16) = —160: 3 G2 ¬ t2 2 ot Ww Q)
phần tử trên hàng 1 đều khác 0 thì khối lượng tính tốn sẽ nhiều gấp 4 lần ví dụ trên Việc tính tốn theo định nghĩa một định thức cấp ø trong tình huống _ không thuận lợi cần cỡ (m + 1)! phép tính số học Với ø khoảng chừng vài chục đơn vị thì } số lượng phép tính này có thể gây khó khăn lớn ngay cả với những may tính Chẳng hạn nếu một máy tính xử lý được khoảng 2 tỷ phép tính một giay® thi thai g gian thực hiện việc tính định thức cấp 20 theo định nghĩa được ước lượng là
211
2 109 x 3600 x 24 x 369, 20 ~ 809, 49 (nam)
Dễ thực hiện các ví dụ và bài tập mà ta sẽ gặp sau này, việc xây dựng và áp dụng các kết quả lý thuyết, các tính chất của định thức là rất cần thiết để giảm nhẹ quá trình tính tốn
1.2.2 Định lý khai triển Laplace_
| «2 ` ~ 4 ` “SA ` ~2 S „ -2
Trong tiêu mục này ta sé hudéng vao viéc tim hiéu vé dinh ly khai trién dinh thttc cia Laplace’ va định lý suy rộng của nó Dinh ly Laplace cho phép ta tinh toán các định thức thông qua việc khai triển theo rnột hàng hay một cột tùy ý
#Một phép nhãn của hai số thập phân với 10 chữ số thập phân sau dẫu phẩy được thực hiện
theo hơn 100 phép tính số học trên các chữ số Một phép tính số học trên các chữ số lại được mô tả qua một số lượng nhất định phép tính trên mã nhị phân của máy tính Do đó một máy - tính thường xử lý được từ vài chục nghìn đến vài chục triệu phép tính số học trong một giâỵ
Trang 31
1.2 Dịnh thức | — đl
⁄ `
Dinh ly 1.1 (Dinh ly khai trién Laplace)
Cho ma tran uuông A = (dijj)axn Khả đó ta có các cơng thức
det A = a¡iÁ¿i + đ;a4;¿a + + an Á4¿„ uới mỗi ¡ = 1,2, ,n, (1.20)
— det Á = ø;Ải; + ø¿;Ä4¿; + + Ong Ang Uới mỗi j = 1,2, ,n 2U)
> Chú ý 1.14 Ta gọi công thúc (1.20) là công thúc khai triển theo hang thit ị
Công thúc nàu được hiểu là: Nếu ta lấu mỗi phần tử nằm trén hang i nhân tới phần bù đại số của chúng uà cộng các tích như uậu lại uới nhau thì kết quả thu
được chính là định thúc của Ạ Tương tự, công thúc (1.21) được gọi là công thúc
khai triển theo cột thứ j ằ : "`
_ Ta sẽ đưa ra chứng minh cho công thức (1.20), (1.21) bằng cách chỉ ra rằng các tổng
a4) Ag + 02 ¿2 + + địa ¿n Và 01; Â1j + a2j¿¡ + + tnj Ân; đều bằng với tong ay, Ai + ay2Ajơt + ainAin trong dinh nghia cua dinh thức Các tổng này được xem,như tổng của
các định thức cấp (n — 1) Các định thức cấp (n — 1) đó khơng giống nhau nên ta không thể so sánh trực tiếp các số hạng của các tổng với nhaụ Để chỉ ra các tổng bằng nhau ta cần đưa các định thức cấp (n — 1) về các định thức cấp (m — 2) để so sánh Các định thức cấp (n — 1) và (m —-2) ffi ta cin sit dụng đến có các hang các cột lại chính là một phần của các hang các
cột của Ạ Các định thức này được gọi một cách tự nhiên là định thức con của Ạ
Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh của khai triển Laplace và trình bày một số nội dung lý thuyết sau này ta đưa ra ở đây khái niệm về định thức con
Xét ma tran A = (aij)mxn (ma tran 4 không nhất thiết phải là ma trận vuông) Cho k là
một số tự nhiên sao chol! k < min{mn,nø} Chọn ra k hàng nào đấy của A và chọn ra k-cột nào
đấy của Ạ Sau đó, ta bỏ đi toàn bộ các hàng các cột còn lại của ma trận 4 Sau khi thực hiện công việc này, từ ma trận A ban đầu ta thu được một ma trận vuông cấp k và ta gọi định thức
của ma trận vuông cấp k này là định thúc con cấp k của Ạ
> Nhận xét 1.6 Từ ma trận A có kích thước rn x ø số lượng định thức con cấp k mà ta thiết
lập được là ck CẸ N6i riêng, ta có man định thức con cấp 1 va méi‘dinh thitc con cap 1 cia A
lại chính là một phần tử của Ạ ©
Bây giờ ta xét A = (4;;)„x„ là một ma trận vuông cap n Ta sit dung ky hiệu
—11:12.- sÈ
A;, J2s dk \ (1.22)
_ déi véi dinh thie con cấp k của A dugc thiết lập với k hàng được lựa chọn là ?1,?2, ,7z và k cột được lựa chọn là 7, ?a, , 7, trong đó ¡4 < 2< <1; 7ì <?a2< <ƒk- Tiếp theo ta sử dụng ký hiệu
11,2
l Mục ng ae (1.23)
đối với định thức con cấp (n — k) được thiết lập từ A bằng cách loại bỏ k hàng, k cột của A,
trong đó k hàng bị loại bỏ là Hàn .;1y, k cột bị loại bỏ là 7, 7ạ , 7 Ta gọi Min vs là
định thức con bù của A An Ta gắn thêm dấu cho định thức con bù bằng cách đặt
boro = (- 1)(6121- tin )+(jitjet tak) Yi tae vk (1.24)
"và gọi A1122 Mà là phần bù đại số của A, m9 21322- 3152: Nói riêng với tình huống k = 1, định thức
con A, chinh bà phần tử a¿;, định thức con bù Mi chính la Mj; va phần bù đại số At chính là
Ấỵ
11'Pức là k <m và k < n
Trang 32
332 — Chương 1 Ma trận và định thức
Chứng minh cua Dinh ly 1.1
“Ta chứng minh công thức (1.20) bằng cách quy nạp theo n
Trường hợp ø = 1 kết quả là hiển nhiên Trường hợp nø = 2 thì cơng thức khai triển theo hàng
1 trùng với định nghĩa nên ta chỉ kiểm công thức khai triển theo hàng 2 Tính tốn trực tiếp
ta có an = 012; sa = Q11- Do đó
| (21 A21 + q22 22 = —021012 + 022011 = det Ạ
| `
Tiếp theo ta xét n > 3 và giả thiết theo quy nap rằng có.thể tính định thức cấp (n — 1)
theo một hàng tùy ý Dặt
| P= ajyAi + a2 Ã;¿ + + QinAin
Nếu ¡ = 1 thì ta có ngay P = det Ạ Xét i> 1 và ta viết lại P như sau
P=((-1) ai Mị + (—1)°f2a¿¿ Mã + + (-1)4" ai, M2 _— (1.25) Lưu ý rằng hàng thứ nhất của định thức Ä⁄7 là dãy các phần tử
"
(an, ¬ -.' Qin)
Bởi vậy, sử dụng định nghĩa của định thức ta có khai triển sau đây của các định thức con bù
M7 thành tổng của (m — 1) định thức con cấp (n — 2): | “ + _ Mp =(-1) Pan Myy + + (-1) 9a 5 Mi ÿ 3 13 - it, + (-1)'*¥ a1 541M, + + (—1)1+ YaynMj (1.26) |
Thé (1.26) vao (1.25) ta thu duge mét biéu dién cha P véi n(n — 1) số hạng và mỗi số hạng | chứa một định thức con cấp (n — 2) Các định thức con cấp (n — 2) xuat hién trong biểu diễn
này là Mp5 với I,¡ cố định và p,q thay đổi, p < ạ Định thức con cấp hai M;+ xuất hiện hai
lần và được tách ra từ hai số hang (-1)'*?aipM3, (—1)*†%a¿„M¿ của biểu diễn (1.25) Cụ thể hơn từ (1) 1®apMp ta tách ra số hạng mới (—1)?†?†!†44= Đa ma Ms, từ (—1) PP %a¿4 M2 tà tách ra số hạng mới (—1)??#†!†P;„aipM;2, Nhóm hai số hạng mới này với nhau ta được
i+p+1+(q-1 1,2 i+q+14+ 1,2 (-1)*” (q aipaigM,% + (-1) 111 aàp M2 =(C1)171929(aiamp ~ Ap8a)Mpa = (—1)1 11114 “Mụn Qip Qig
i_y_4yl+itptqq!? agli — Git gli
( 1) Apa Mi a Ang Apia:
Với n(n — 1) số hạng của thu được khi thế (1.26) vào (1.25), ta nhóm từng cặp số hạng theo cách trên và nhận được biểu diễn
D;q p,g!
P= 3` A,yAM | (1.27) l<p<q<€n
trong đó tổng ở về phải có C? sé hang và được lấy theo tất cả các cặp số tự nhiên (p,g) mà lep<qen
Đối với det A ta mô tả lại công thức (1.16) đưới dạng như sau:
| det A = (—1)!?!aiMj + (—1)!†2aaM¿ + + (£1)'*"ainM} (1.28) Ta sẽ sử dụng giả thiết quy nạp để biến đổi Mj bằng cách khai triển nó theo hàng thứ (2 — 1) Lưu ý rằng hàng thứ (¿ — 1) của Mj là một phần hàng thứ ¿ của 4 và nó là
|
(Qats ++ 4 Qij—15Qijt1y- ++) Qin)
Trang 33
12Dinhthức 33
Bởi vậy, khai triển M} ta thu được
Mỹ =(—1)~1* an Mộ + + (=1) 1*0~ Đặy ij- iM", "
+ (=D) Fag 54 MGT ++ (UP 1)+(n— Daca (1.29)
Thé (1.29) vao (1.28) ta thu dugc biểu diễn của det A với n(n — 1) số Hạng và mỗi số hạng chứạ , một định thức con cấp (m — 2) Với p < q, định thức con cấp hai M2 xuất hiện hai lần và duge tach ra tit hai s6 hang (—1)'*?a1,M],, (-1)'*4a1,M; cla biéu diễn (1.28) Cụ thể hơn từ (~1)!*°ai„M; ta tách ra số hạng mới (- yee 1)T(q~ )aipaa Mỵ mài Đừ (—1)! “ai, MJ ta tách ra số hạng mới (—1)1†#+É~ 1)+P ay Aap AM Nhóm hai số hạng mới này với nhau ta được
"¬ ` Y+Pq, jaipM 2
= (—1)!†??P†%(øipdza — d1a0p) Mp5 =A, TALE
Như vay ta thu được biểu diễn sau của det A:
detA= SỐ p;g 5A15 0›;gˆ (1.30)
` _1&<p<qgK<nm
So sánh (1.27) và (1.30) ta kết luận được P = det A và công thức (1.20) đã được chứng minh
Việc chứng mính công thức khai triển (1.21) cũng được thực hiện bằng quy nạp Các phân tích và tính tốn được thực hiện tương tự như trên | m4
3 1-1 2
; —-5 1 3 -4 ~ ae
0S Vi du 1.24 Cho ma tran A-= 2 0 1 1E Hay tinh det Ạ 1 0:0 :0
Giảị Khai triển det A theo hàng 4, ta nhận được l1 —1 2|
detA=_-|1l 3 -4|=-(-3+2—1+4)=-2
0 1 —1 a
> Chú ý 1.15 Khi tính giá trị của một định thúc ta nên khai triển dinh thitc theo
một hàng hoặc một cột có nhiều phần tử bằng 0 ©
Kết quả sau đây thu được ngay từ các khai triển (1.20), (1.21)
Hệ quả 1.1 Nếu tắt cả các phân tử trên một hàng hay một cột nào đâu của -
định thúc bằng 0 thà định thúc có giá trị bằng 0 |
Tiếp theo, ta hướng tới việc xây dựng công thức tính tốn cho các dịnh thức tam giác Cho ma trận tam giác trên
6G) Gịa Ôịn
Q dg - đạn
0 0 Gan
Trang 341 34 L : _ Chương 1 Ma trận và định thức „ 4
Néu khai triển định thức của 4 theo cột 1 thì ta được
~ 22 đa » Qan QO agg a3 1 a « 7h | det A = aM, = 21) ; | | 0 O° Gnn
trong dé dinh thite con bu Mi(= A⁄Z4¡) là định thức tam giác trên cấp (n — 1)
Tiếp tuc khai trién Mj theo cét 1 ta thu duge
| det A = 011022My">
trong đó My * la dinh thttc con cap (n—2) cua A (Mis được xác định theo (1 23))
va Mis 2 cũng là một định thức tam giác trên Tiếp tục quá trình này đến bước
thứ m ta nhận được kết qua tính định thức và, kết quả này cho ta cõng thức
|
Ø1 G12 Gin
0 q23 wee Qn :
- ‹ = Q11022 -Ann- (1.31)
|0 0 đạn
Đối với các định thức của ma trận tam giác đưới ta có thể khai triển liên tiếp 0 lần theo hàng 1 và thu được công thức sau đây
G11 0 sae 0 |
Qi, Ag O
= (11622 Ông (1.32)
|
| we Qn n2: a a Ann
Ma tran don vi J c6 thé nhin nhan nhv mét ma trận tam giác đặc biệt nền ba có
đet(7) = 1 (1.33)
Ta đãi đưa ra biểu diễn (1.30) cho det Ạ C6 thé mô tả công thức này nhu sau: Từ hai hàng 1 và ¿ ta lập ra tất cả C? định thức con cấp hai, sau khi nhân:
mỗi định thức con cấp hai này với phần bù đại số của nó và cộng các kết quả với
nhau thì ta nhận được giá trị của det Ạ Công thức (1 30) được gọi là công thức khai triển det A đồng thời theo hai hàng 1 va 2 Day là một mở rộng tự nhiên cua định llý Laplacẹ Sau day ta sé dua ra phat biểu và chứng minh của định lý " Laplace duy rộng với công thức khai triển định thức theo nhiều hàng hoặc theo
kK nhiều cột -
Trang 351.2 Dịnh thức | B35
Dinh ly 1.2 (Dinh ly Laplace suy réng)
Cho ma trận vudng A = (aij;)nxn va 86 tu nhiénk vii l <k <n
¡) Nếu cỗ định k hàng nào đấu của ma trận A vdi 14, %9, „2z(1 <1, < lg << <%% <n) 1a 86 thit tu cia k hang nay thi ta cod thé biéu dién định thức củạ A -nhu sau:
7152: -;2k “ ˆ71:725 -7k )
detA= NỔ Agri Aarne (1.34)
1S71<72< <?3;<€n
trong đó tổng ở uế phải có Œ* số hạng uà tổng được lấu theo tắt cả các
bộ giá trị có thể có của dãu chả số ÿ.j›, , 2 thỏa mnãn Ì <S ?\ < jo <
) Nếu cô định k cột nào đấu của ma trộn A tới ?n:ƒ2. :›7e(1 Š iịạ<
7 < < ?, < n) là sô thú tự của k cột nay thà ta có thể biểu diễn định th tic cua A nhu sau:
det A = » Ane “1k f ADR
31:22: 31:22› he (1.35)
1<¿1 <‡2< <¿k<rt
trong đó tổng ở uế phải có C* số hạng uà tổng được lắu theo tất cả các
bộ giá trị có thể có của dấu chỉ số ?\,ia, ,0, thỏa mãn Ì S ?\ < i¿ <
<? ST ;
\ | J
Chứng minh Ta sé dua ra chtmg ininh chi tiét cho công thức (1.34) bằng cách quy nạp theo
giá tri cua k
Trường hợp k = 1 công thức (1.34) trùng với công thức khai triển định thức theo một hàng và công thức này đã được chứng minh Tiếp theo ta đưa ra giả thiết quy nạp rằng định thức có | thể khai triển được theo (k — 1) hàng Giả sử rằng ta chọn k hàng là ?1,?a, ,?g(1 <?\ <?2<
<1 &Xn) Khai triển định thức theo hàng thứ ¡„ ta được:
det A = (—1)* 1a ¡ M?* + (—1) 124 ¿Mệ* + + (—1)*† an Mộ (1.36)
Ta sử dụng giả thiết quy nạp cho các định thức con M;* để khai triển chúng theo (k — 1) hàng iq,ia, ,i_i thành một tổng có C?~? số hạng
bh , t ty the LL yee th stk
M;* = >› (— 1)? +i_-i+(h)+ t_ ON) Ap ea an (1.37)
1<ty < <l¿_;<n lysẹ lạ 49
Trong biểu diễn trên, các ký hiệu 1) (j), ,l,+21(7) tuong tmg 1a sé thit ty trong định thức MP
của các cột thứ Ì, ,lz- của ma trận A, cụ thể là
` lÍp néul, <j,
lp(j) = lp-1 néul, > J, Z J=1,2, ,k—1
Thế các biểu diễn (1.37) vào (1.36) và thu được biếu diễn của det 4 theo một tổng có nƠ?—¡ sé hang Luu ¥ ring nCk~] = kC* va ta sẽ tiếp tục biến đổi tổng này về C2 nhóm, mỗi nhóm
có k số hạng Để tạo ra một nhóm ta tách riêng các số hạng có chứa định thức con cap (n — k)
Trang 36
36 | | Chương 1 Ma trận và định thức
( ‘
Dịnh thức coi cấp (n — k) trong (1.38) được tách ra từ k số hạng : (Say, Một,
,(— 1 jie tie Os jn Mỹ của biểu diễn (1.36) Cụ thể hơn khi sử dụng khai triển (1.37) và công thức (1.24) ứng VỚI 7 = 1, , 7 = 7e thì các số hạng chứa định thức con (1.38) được liệt kê ra
như sau: Với j = fi Tu (-1)*t% Qin js Mỹ ta nhận được số hạng
—1\1#12+ +0)ji +(ƒ2—1)+ +(k—DQ dạ Giteetha ty pia yest ate
(T1) Din jy A jg jg M;, ca Ök— 1 yÖk
k+1 —1142 dib—1 gigyeesde tein
1 — (— - Lo : : :
( 1) Qing Aja gs ik Ag jay je
- Với j = jo: Từ (—1)**†22a¡,;;M7* ta nhận được số hạng
|
(- p)(atiet c+¿¿)+71+72+(72—1)+ +(7k—1) eo Ÿ1,‹‹-sÊS— 1y#k Din je 71›33-.-xk 7195k 15iƒk
= (—1)**? Arteta gia
y rte na ste
Qinje Aj, IS Ik FiseerTh—a sdk"
— R am mae meee eee net ama TOE OREO OED E DEER H OED DEERE EEE EO HOES
- Voi j = ju: Từ (—1)***2*a¿,;; M7" ta nhận được số hạng
(~1)(2+f2+r- +) T84 ta, _"_— ~
ThIR TOI IZ JRL Jy Jk-1sdk
\ = Ft st2. ,th-1 ?21ỵ-.‹y#£— 1yÊk
(— 1)** iain Aj, joiner Ain ket ode”
Nhóm k số hạng được liệt kê với nhau như đã nói ở trên ta được
k+1 “TH12:::(2—1 k+-2 mm
((-1) Bin jr Ags 3.37 22:23 -:7k + (-]) + Qin jo A; lạƯ 21:23-.‹:7k TT k+k Gti t2-.sth-1 21, k— 1iổk
fcc Ca) J1:22 -32k—1: AER Ai ca 21‹ ‹:7k— 1:3k
tt tha ste Q1 yey th— 15th
=Ả jean Ait ica dẻ (1.39)
' : 2 ~ - ˆ ` “ Al ead Z 2 Le `
trong đó, ta sử dụng công thức khai triển theo hàng & của 4;,` ; _,¿„ cho biến đổi cuối cùng Như vậy the (1.37) vào biểu diễn (1.36) để được biểu diễn của det A theo kŒ? số hạng và nhóm các số hạng này theo (1.39) thì ta thu được công thức (1.34) Việc chứng minh công thức (1.35)
được thực hiện tương tì như (1.34) và chúng tôi xin dành cho bạn đọc như một bài tập I
cs _ Ví dụ 1.25 Trong vi dy nay ta thảo luận về việc tính định thức của ma trận phản đối xứng
cấp 4 trong tình huống tổng quát
0 a bog
_,_|-a 0 d e
det A = b -d 0 fl
—c -e -f 0
Ta sẽ thực hiện tính tốn giá trị định thức bằng cách khai triển đồng thời theo 2 hàng 1 và 2
Trang 371.2 Dịnh thức 37
TT | Dinh thức con cấp 2 Dấu | Định thức con bù
—1,2 0 a 0 ƒ 12 | N 12 =| _¢ 5| Ƒ T2 0 b -d f bể, lla d " —e 3 ef — 0 —d 3 |ÄAy2= “| = ac + | Mỉ = ° | = df , — (1 C ; —( —ƒ —12 I0 b -b ƒ 4 | Ara =|, A = aud + | Mỹ =|_, 5| = cf —1,2 | a c 1.2 —b 0 24 Ín i ae 24 =| cự f fe b bù —d
6 |Ãs2= de "| = (be = ed) + | Mgt = —c -€e | = (be — ed)
Như vậy khai trién Laplace đồng thời theo hai hàng 1 và 2 ta được det A = ả f? — aƒbe + aƒcd + aƒcd — a,ƒbe + (be — cd)2
= (aƒ)? — 2aƒ(be — cđ) + (be — cd)?
\ = (af — be + cd)’ C
IS” Ví dụ 1.26 Cho A,,C là 3 ma trận có kích thước m x m và 6 JA ma trận khơng có kích thước nxn Ta xét định thức của ma trận khối sau đây
A @
v29)
Để tính định thức của ⁄ ta thực hiện khai triển Laplace đối với định thức đồng thời theo n hàng đầu tiên Định thức con cấp ø lập ra từ ø hàng đầu và n cột đầu chính là det 4 và phần
bù đại số của nó là (—1)®+1) đet 8 = det 8 Các định thức con còn lại được lập ra từ œ hàng
đầu của Ä⁄ đều chứa một cột có tất cả phần tử bằng 0 và các định thức con đó có giá trị bằng
0 Do đó ngồi một số hạng chính là det 4 det 3, các số hạng còn lại trong khai triển Laplace
đồng thời theo n hàng đầu tiên là số hạng có giá trị bằng 0 Như vậy, ta kết luận được rằng
é C H = det Ạ det Ö 0 (1.40)
na 1.2.3 Các tính chất của định thức
Các tính chất của định thức sẽ giúp cho ta tính tốn giá trị của các định thức thuận tiện và linh hoạt hơn rất nhiều những gi da cé | _
Dinh ly 1.3 Cho A= (ai;)nxn là một ma trận uuông cấp n Tu có cơng thúc
det A4 = det(AT) | (1.41)
Chứng mĩnh Ta sẽ thực hiện chứng mình cho cơng thức (1.41) bằng phương pháp quy nạp
Trang 38
Mì
38 = Chương 1 Ma trận và định thức
Với nø = 1 công thức (1.41) hiển nhiên ding vi Ả = Ạ "Với n = 2 ta biểu diễn det AT như
sau: | —_— đet AT = ! Qi1 G2] Q12 422 = G1122 — G21G12
Biểu diễn trên cũng cho thấy ngay rằng det A = det AT,
Tiếp theọ ta xét n > 3 và giả thiết theo quy nạp rằng công thức (1.41) đúng với các ma,
trận cấp (n — 1) Ta khai triển det 4 theo hàng 1
| det A = øiM+ — a12My2 + + (-1)"*ainMin,
|
trong đó M7 là định thức con bù của phần tử a¿; trong Ạ Tiếp theo ta khai triển det(A*)
theo cột 1 Ị
det(A7) = an Mĩ — œ¿Mại + + (~1)**1a„ MP,
trong đó Mi là định thức con bù của phần tử có mặt tai vi tri aj; trong AT Ta nhận thấy
rằng ma trận vuông cấp (n — 1) tạo thành định thức con bù M 1 là ma trận chuyển vị của ma trận vuông Fe (nm — 1) tạo thành định thức A⁄ạ; Theo giả thiết quy nạp ta có Mĩ; = ME | với mỗi j = 1,2, ,n Két hgp điều này và hai biểu diễn đã được đưa 1a ở trên của det A va
det(Ả) ta thu được công thức (1.41) a
Trong nội dung kế tiếp, ta sẽ đề cập đến việc tính các định thức bằng những
phân tích và tính tốn trên các nàng và trên các cột của ma trận dưới dẫu định thức Công thức (1.41) cho thấy rằng, nếu ta sử dụng một phân tích nào đấy trên các hàng dủa A để cho ta một đẳng thức của det 4 thì ta cũng có một phân tích giống nhưÏthế trên các cột của ma trận chuyển vị A7 và đẳng thức của det A van Ja ding thức của det(AT) Ta phát biểu lại điều này như sau:
|
Tinh chat 1 Nếu một công thúc nào đấu trong tính tốn định thức có thể áp dụng uới các hừng của định thúc thì nó cũng úp dụng được uới các cột của định thúc
_ Các tinh chất được đưa ra kế tiếp sẽ cho phép ta tính tốn định thức theo cả các hàng, trà các cột Tuy nhiên, sử dụng tính chất 1, từ việc phát biểu và chứng minh các 'tính chất này song song: -theo các hàng, các cột ta sẽ thu gọn về việc phát biểu và chứng minh theo các hàng
Tính chất 2 Nếu đổi chỗ hat hang cua định thức thà giá trị định thúc doi dấụ |
Chitng minh Ta sé dita ra chứng minh tính chất, 2 bằng cách quy nạp theo n
Với „ = 2, ta xét ma trận vuông cấp hai A = (a;;)axạ Nhắc lại rằng định thức của ma trận A
Ị | ro, đ11 địa Q21 422 7 = 011422 — 124821
Đổi chỗ hang 1, hàng 2 củạ 4 cho nhau ta có tính tốn như sau:
Trang 39
1.2 Định thức | 39
và, kết quả nhận được chính là — det Ạ '
Tiếp theo ta xét n > 3 và giả thiết theo quy nạp rằng tính chất 2 đúng cho các định thức cấp (n — 1) Ta xét ma trận A = (đ;;)ax„ vuông cấp ø Khai triển định thức det 4 theo hàng thứ ¿ với ¡ không phải là một trong hai hang được đổi chỗ
det A = (—1)?† 1a M,n + (—1)?*2a¿aM;a + + (-1)**" ain Min,
trong đó Ä;; là định thức con bù của phần tử a;; trong Ạ Việc đổi chỗ hai hàng của A sé
làm thay đổi các số hạng của biểu diễn trên Cụ thể hơn, đại lượng (—1)???a;; không thay đổi
nhưng Ä;; có thay đổị Sự thay đổi của, Mi; 1a hai hàng của nó đổi chỗ cho nhau và Ä¿; bị đối
đấụ Như vậy, khi đổi chỗ hai hàng của A thi tất cả số hạng trong khai triển của det A bị đổi dấu và ta khẳng định được det A bị đổi dấụ | "_
Việc đổi chỗ hai hàng làm định thức đổi dấu nên khi thiết lập đẳng thức mô
tả biến đổi thì cần phải thêm vào dấu "-" trước định thức nhận được để giá tri hai bên cân bằng với nhaụ Ví dụ, ta có đẳng thức
1 ä -2 4 1 1 4 I1 l1|=_-ll ä -2l 2 5 —3 2-5 —3
Đôi khi ta biến đổi định thức bằng cách xáo trộn các hàng để có một hốn vi
mới của các hàng ban đầụ Khi thực hiện một biến đổi như vậy ta cần xem xét nó như là kết quả của việc thực hiện liên tiếp k lần đổi chỗ hai hàng Chẳng hạn, ta có đẳng thức
11 2 -2 J2 1 1 5 12 3 l/l yp lt 2 -2 3 1-3 2 12 3 1 21 1 5 3 1-3 2
vì định thức ở về phải nhận được bằng cách lần lượt đổi chỗ hàng thứ tư ở về trái cho các hàng 3, 2, 1
Hẹ quả 1.2 Nếu định thức có hai hàng như nhau thà giá trị của định thúc bằng 0
Chitng minh Ta xét ma tran A = (đ¡;)„x„ vuông cấp n sao cho có hai hàng nào đấy của A giống nhaụ Đổi chỗ hai hàng giống nhau đó trong định thức det Ả
Theo tính chất 2 ta nhận được một định thức mới có giá trị là — det Ạ Nhưng
hai hàng được đổi chỗ là hai hàng giống nhau nên từ ma trận 4 dưới dẫu định
thức ta-vẫn nhận được chính ma trận 4 sau khi biến đổị Điều này cho thấy rằng det A = — det A và ta kết luận được det 4 = 0 a
Tính chất 3 Có thể rút thừa số chung của một hàng trong mét dinh thiic ra ngodt
Trang 40
40 1 Chương 1 Ma trận và định thức Ì 2 „ ` _ _
Tính chất 3 được mô tả cụ thể hơn là: Nếu A = (2;;)ax„ là một ma trận
vuông cấp ? và hàng thứ p của 4 có thừa số chung À với
L¿ / /Ƒ
| (Api, @p2,.+ +5 @pn) = (AQ, ÀØ,2, , À@ 2)
|
thì ta có thể biến đổi det A như sau:
Q11 Q12 «++ = =Aln đm địa Qin
/ / / / / /
| [AG Ady Àø „| =À|đmi Ayo Ayn] - (1.42)
đ1 Qn2 eee Ann Qn] Qn2 see Qnn
Chứng minh Khai triển các định thức có mặt ở hai về của (1.42) theo chính dịng thứ p của chúng thì ta thu được các đẳng thức
|
Qj}; địa « Qin
/ / / — / / /
NG Ady, «+ Ayn) = AQ Apr + AGẢ + + AGL Aon, (1.43)
Qn) n2 * ` * Qnn
|
[m1 địa «+ Gin
; | ' ! | — / / /
Ôn | G2 a ee Gon _— Ay) Api + Ang Ape + ry + Con Apns (1.44)
wea lẹ
On] : An? ore Qnn
|
trong đó ta sử dụng ký hiệu Á;¿ để ký hiệu một cách.hình thức các phần bù đại
số cho các phần tử trên hàng p của cả hai định thức trong (1.42) Ta nhận thấy
rằng hai định thức có mặt trong hai về của (1.42) chỉ khác nhau ở hàng p nên việc lập ra các phan bù đại số A„„ sẽ dẫn tới một thực tế là: các phần bù đại số được ký hiệu một cách hình thức như nhau thì phải có giá trị thực sự bằng nhaụ
Bởi vậy từ (1.43), (1.44) ta rút ra được (1.42) a
Tính chất 3 được vận dụng trong nhiều tính tốn cu thé Chang han ta có biến đổi sau đây của một định thức cấp 3
| 4 8 -—12 4 8 -12
6 3 18|=3|2 1 6 | 20 35 —30 20 35 —30
bằng cách rút thừa số chung của hàng 2 ra ngoàị Trên thực tế với định thức được nêu ra cụ thể ở trên ta vẫn tiếp tục rút được các thừa số chung từ các hàng khác ra ngoàị
Nếu hai hàng H,, H; của một ma trận nào day có quan hệ H; = ÀH, hoặc A; = Fi; thi ta nói hai hàng này tỷ lệ với nhaụ Khái niệm về hai cột tỷ lệ được hiểu một cách tương tự
|