Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
1 Website:tailieumontoan.com CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ LẬP PHƯƠNG LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề tốn phương, số lập phương Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán số phương, lập phương thường kì thi gần Chun đề gồm dạng tốn sau: �Chứng minh số số phương, số lập phương khơng thể số phương, số lập phương �Tìm số nguyên để biểu thức có giá trị số phương, số lập phương �Tìm số phương, số lập phương thỏa mãn số điều kiện �Sử dụng tính chất số phương, số lập phương để giải phương trình nghiệm ngun, chứng minh tốn chia hết, chứng minh hai số nguyên nhau,… Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề biểu thức đại số giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ LẬP PHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Số phương � Định nghĩa: Số phương số bình phương số nguyên �Một số tính chất o Tính chất 1: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, Suy số có chữ số tận 2, 3, 7, khơng phải số phương o Tính chất 2: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn o Tính chất 3: Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + với n số nguyên o Tính chất 4: Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + với n số nguyên o Tính chất 5: Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ o Tính chất 6: Số phương chia hết cho số nguyên tố chia hết cho bình phương số ngun tố Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 o Tính chất 7: Nếu hai số nguyên dương nguyên tố có tích số phương số đếu số phương Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com o Tính chất 8: Nếu hai số ngun liên tiếp có tích số phương hai số ngun liên tiếp a 1 o Tính chất 9: Hai số phương a gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương m,n o Tính chất 10: Nếu a m.n với a, m, n số tự nhiên m, n số phương Số lập phương �Định nghĩa: Một số nguyên gọi số lập phương viết thành lập phương số nguyên �Một số tính chất cần nhớ o Tính chất 1: Nếu số nguyên a chia có số dư a chia có số dư o Tính chất 2: Nếu số nguyên a chia có số dư 1 a chia có số dư 1 II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài tập số phương, số lập phương thường có số dạng sau: �Chứng minh số số phương, số lập phương khơng thể số phương, số lập phương �Tìm số nguyên để biểu thức có giá trị số phương, số lập phương �Tìm số phương, số lập phương thỏa mãn số điều kiện �Sử dụng tính chất số phương, số lập phương để giải phương trình nghiệm ngun, chứng minh tốn chia hết, chứng minh hai số nguyên nhau,… Các dạng tập nêu minh họa thông qua ví dụ sau Ví dụ Chứng minh với số nguyên n �6 an 1 2.6.10 4n 2 n 5 n 6 2n số phương Lời giải Ta có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com an 1 2n � 1.3.5 2n-1 � n-4 ! � � 1 2n n 4 ! 2.4.6 2n 2n ! 1.2.3 n n 1 n 2 n 3 n 4 1 n 2n.1.2.3.4 n 1 n 1 n 2 n 3 n 4 n2 5n an n2 5n Do ta 2 số phương 3 3 Ví dụ Chứng minh A 2 3 4 2016 số phương Lời giải 2 2 �1 � �2 � �3 � �4 � �2016 � A � �.4.1 � �.4.2 � �.4. 3 � �.4. 4 � �.4.2016 2 2 � � � � � � � � � � Ta có 2 2 �1 � �2 � �3 � �2016 � A � � 22 02 � � 32 12 � � 42 22 � 20172 20152 � �2 � �2 � �2 � �2 � Từ �1.2 � �0.1� �2.3 � �1.2 � �2016.2017 � �2015.2016 � A � � � � � � � � � � � � 2 2 � � � � � � � � � � � � Hay 2 �2016.2017 � A � 1008.2017 � � � Suy Vậy A số phương Ví dụ Cho S 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 với n số tự nhiên khác Chứng minh 4S số phương Lời giải Từ S 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 ta có 4S 1.2.3.4 2.3.4. 5 1 3.4.5. 2 n n 1 n 2 � n 3 n 1 � � � 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 Do ta n 3n 2 n 3n n 4S n n 1 n 2 n 3 n2 3n n2 3n 2 2 3n Vậy 4S số phương 4n 4n 4n 4n Ví dụ Chứng minh N 2012 2013 2014 2015 khơng phải số phương với n số nguyên dương Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải 4n Ta có 2012 có chữ số tận nên 2012 có chữ số tận 20134 có chữ số tận nên 20134n có chữ số tận 20142 có chữ số tận nên 20144n có chữ số tận 20154n có chữ số tận 4n 4n 4n 4n Do ta có N 2012 2013 2014 2015 có chữ số tận Mặt khác, khơng có số phương có chữ số tận Vậy N khơng phải số phương Ví dụ Cho x, y số nguyên lớn cho phương Chứng minh x y 4x2y2 7x 7y số Lời giải Từ giả thiết ta có 4x2y2 7x 7y 2xy 1 4xy 7x 7y 2xy 1 4x2y2 7x 7y 2xy 1 4xy 7x 7y 1 2xy 1 Đặt A 4x2y2 7x 7y Suy Nếu 2xy 1 Khi ta A 2xy 1 2 4xy 1 7x 7y 4xy x y �2 7x 7y 4xy 4xy 1�8x 1 7x 7y nên ta suy 2 A 4x y , điều vơ lí Tương tự y x �2 ta điều vơ lí x y Do ta suy Bài tốn chứng minh Ví dụ Cho số nguyên a, b thỏa mãn a2 b2 2 ab a b Chứng minh a b hai số phương liên tiếp Lời giải a2 b2 1 2 ab a b � a2 b2 1 2ab 2a 2b 4a � a b 1 4a Ta có số phương suy a số phương a x (x số nguyên) Khi ta x Tác giả: Nguyễn Công Lợi b 4x2 � x2 b 2x � b x 1 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy a b hai số phương liên tiếp Ví dụ Tìm số nguyên n cho A n n n số phương Lời giải Đặt A n4 n3 n2 n2 n2 n Với n ta A số phương Với A �0, để A số phương n n phải số phương Đặt n2 n k k �N , suy n2 n 4k � 2n 1 2k � 2k 2n 1 2k 2n 1 Vì 2k 2n 2k 2n 1 k �N;n �Z nên ta � � 2k 2n � � 2k 2n � n 1 � � � � � n0 � 2k 2n 3 � � � 2k 2n 1 � � � Vậy giá trị cần tìm n 0; n 1 2008 2012 2013 2014 2016 n Ví dụ Tìm số nguyên n 2008 cho số phương Lời giải 2008 2012 2013 2014 2016 n Đặt A Ta có 22008 22012 22013 22014 22016 2n 22008 1 24 25 26 28 2n2008 22008 369 2n2008 n 2008 b2 với b ��* Khi A số phương 369 a Đặt a n 2008 số ngun dương, ta có phương trình 369 b Xét hệ đồng dư mod3 ta có: 369 �0 mod 3 ;2a � 1;2 mod 3 ;b2 � 0;1 mod 3 Suy 2a �1 mod3 * suy a số chẵn hay a 2c, c�� Phương trình trở thành 369 b2 22c � 41.3.3 b 2c b2 2c c c Do b b suy Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b ;b � 41;9 ; 369;1 ; 41.3;3 � b;2 � 25;16 ; 185;184 ; 63;60 � b;c � 25;4 c c c Vậy n a 2008 2c 2008 2016 số cần tìm Ví dụ Tìm tất hai số phương n; m mà số có chữ số, biết chữ số m chữ số tương ứng n cộng thêm với d, d số nguyên dương cho trước Lời giải Đặt n x2 p.103 q.102 r.10 s;m y2 p d 103 q d 102 s d 10 s d Ở x, y,p,q,r,s �� 1�p p d �9; �q q d �9; �r r d �9; �s s d �9 y x y x y Khi ta có x2 d.1111 d.11.101 Từ (1) suy số nguyên tố 101 ước yx (1) yx 32 �x y �99 64 �x y 200; y x �67 Do 10 �n m 10 nên Do � y x 101, y x 11.d Do x y khác tính chắn lẻ, d lẻ Do 64 �2x 101 11d nên 11d �37 Suy d �3 , d d 45;56 x y 101; y x 11 suy x;y + Với d , n; m 2025; 3136 34 ; 67 x y 101; y x 33 suy x;y + Với d , n ; m 1156 ; 4489 Vậy có số thoả mãn 2025; 3136 1156; 4489 Ví dụ 10 Tìm tất số hữu tỷ x cho A x x số phương Lời giải Dễ thấy x 0, x 1, x 1không thỏa mãn Với x khác giá trị này, trước hết ta chứng minh x phải số nguyên 2 + Vì x x số phương nên x x phải số ngun Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Giả sử x m n với m n có ước nguyên lớn m2 m m2 mn x x 2 n n n2 Ta có số nguyên m mn chia hết cho n nên m2 mn chia hết cho n, mn chia hết cho n nên m2 chia hết cho n m n có ước nguyên lớn 1, suy m chia hết cho n (mâu thuẫn với m n có ước nguyên lớn 1) Do x phải số nguyên Đặt x2 x k2 k �Z Ta có 4x2 4x 24 4k � 2x 1 23 4k � 2k 2x 1 2k 2x 1 23 Đến ta có trường hợp sau � 2k 2x 23 � k6 �� � 2k 2x x � + Trường hợp 1: � � 2k 2x � k6 �� � 2k 2x 23 � x 6 + Trường hợp 2: � � 2k 2x 23 �k 6 �� � 2k 2x 1 � �x 6 + Trường hợp 3: � 2k 2x 1 �k 6 �� � 2k 2x 23 �x + Trường hợp 4: � Thử lại ta x 6; x giá trị cần tìm Ví dụ 11 Giả sử m n số nguyên dương với n Đặt S m2n2 4m 4n Chứng minh rằng: a) mn Nếu m n n2S m2n4 b) Nếu S số phương m n Lời giải mn a) Ta chứng minh n2(m2n2 4m 4n) m2n4 Bằng cách xét hiệu H mn2 n2 m2n2 4m 4n m2n4 4mn2 m2n4 4mn2 4n3 4n3 2 2 Mặt khác n (m n 4m 4n) m n 4n (m n) n 1; m n Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com mn Do ta n2(m2n2 4m 4n) m2n4 �mn2 � � � S mn n � b) Nếu m n theo câu a ta � mn2 n2 mn 1 n n Mặt khác nm2 m,n �N*,m n nên ta mn 1� n Vì mn 1 Suy S mn nên S số phương 2 S mn 2 Nếu m n S m n , lại thấy Do để S số phương S mn 1 , ta m2n2 4m 4n m2n2 2mn � 4n 4m 2mn m,n không tồn thỏa mãn vế phải số chẵn Từ lập luận ta m n Ví dụ 12 Với số thực a ta gọi phần nguyên a số nguyên lớn �� a không vượt a ký hiệu �� Chứng minh với số nguyên dương � 1� n �3 n � 27 3� � � không biểu diễn dạng lập phương � n, biểu thức số nguyên dương Lời giải Ta có � 1� 1 4a 7a n � � a 3n a a3 a2 n a3 2a2 � � a 27 3� 27 3 3 � 4a 7a � a3 �n a2 a3 3a2 � a3 n a2 a 1 3 Suy n a không lập phương số nguyên Ví dụ 13 Cho a, b, c, d số nguyên lẻ cho a b c d ad bc Chứng minh a d b c lũy thừa a Lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com m n Giả sử a d b c với m n số nguyên dương a d c c d c ad ac bc ac c d c Ta có a c nên ta có , suy Từ ta b a d c hay a d b c nên suy m n Ta lại có bc b b c b b 2n b ad a a d a a 2m a b 2n b a 2m a ad bc Do từ ta Hay ta a.2m b.2n a2 b2 � 2n b a.2m n b a b a Do ta có b a b a M2 n Mặt khác a b b a chia hết cho b chia hết cho 2, điều mâu thuẫn với b số lẻ n1 n 1 Từ ta suy b a chia hết cho a b chia hết cho n Gọi x hai số a b b a ta có x �b a b c nên ta suy n 1 x Gọi y ước nguyên tố chung a b y ước nguyên tố chung a b y Mặt khác a, b số lẻ nên ta suy b a Từ ta suy a, b nguyên tố Ta có 2n1 2n 2n1 b c b �a c �a nên tương tự ta suy a c nguyên tố Từ suy a bc nguyên tố nhau, mà bcMa nên ta suy a Ví dụ 14 Tìm số nguyên a, b cho a4 b4 a b số phương Lời giải Ta có nhận xét: Một số phương chãn chia hết cho số phương lẻ chia dư Ta xét trường hợp sau �Trong hai số a b có số chẵn số lẻ, khơng tính tổng quát ta 4 giả sử số chẵn a số lẻ b Khi a chia hết cho 4, b a b chia dư Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com y 2x x1 2x x1 �Nếu x �2 , chia hết cho 9, chia dư nên chia dư y x 3y a a 1 �8.7 57 Do x �2 nên a 1�8 Do từ a a 1 ta y Suy y �4 , chia hết cho Mâu thuẫn với Như trường hợp khơng có n thỏa mãn x n 3 �Nếu x 1, từ a 1 ta a , a 1 nên n x n 3 �Nếu x , từ a 1 ta a , a 1 nên n Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán n n Bài 34 Nhận xét: Nếu p, q hai số nguyên tố n �2 số nguyên dương np Mq q �1 mod p thỏa mãn n p q Chứng minh: Từ giả thiết ta suy np 1Mq Gọi k số nguyên dương nhỏ thỏa mãn nk 1Mq Khi p chia hết cho k Do p số nguyên tố nên k � 1;p p 1 �Nếu k n �1 modq Khi n L n �p modq Vậy p �0 modq nên p q q1 �Nếu k p Theo định lý Fermat nhỏ n 1Mq (hiển nhiên q không chia hết cho n) Do q 1Mp hay q �1 mod p Nhận xét chứng minh * Trở lại toán: Đặt A a với a �� np a a 1 a4 a3 a2 a n Ở ta xét với n �2 ta có Nếu q ước nguyên tố a theo bổ đề ta suy q p q �1 mod p Vậy tất ước nguyên dương A chia hết cho p chia p dư Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a �1 mod p a4 a3 a2 a 1�5 mod p p � 5;2 + Nếu a 1Mp nên Khi Vậy + Nếu Vậy a �1 mod p p � 2;3;5;31 a �2 mod p Khi a4 a3 a2 a �31 mod p Với p hiển nhiên có vơ số giá trị n thỏa mãn Với p n thỏa mãn Với p 31 n thỏa mãn Với p n thỏa mãn Vậy p � 2;3;5;31 s Bài 35 Trước hết, ta có nhận xét: Nếu số n t với t lẻ, có số ước lẻ số lẻ t số phương a3 ak a1 a2 Thật vậy, ta phân tích t p1 p2 p3 pk số ước lẻ n số ước t a 1 a2 2 ak 1 Do số lượng lẻ nên tất đại lượng 1,i 1;2;3; ;k lẻ hay chẵn, suy t số phương, điều phải chứng minh Trở lại toán: Ta xét hai trường hợp: �Trường hợp 1: Nếu k số chẵn ta p1 p2 dk 2n 1 k lẻ Do đó, s số lượng ước lẻ n lẻ Ta viết n u với u số lẻ Giả sử số ước u m lẻ Ta cần chứng minh s lẻ Do k chẵn số lượng ước lẻ n lẻ nên số lượng ước chẵn n lẻ s s Các ước chẵn 2;2 ; ; ;2 có tất s ước Mỗi ước kèm với m ước u tạo thành thêm ước chẵn n ms n Do ms lẻ, mà số lượng ước chẵn lẻ nên buộc s lẻ Từ suy số phương �Trường hợp 2: Nếu k lẻ lập luận tương tự ta số lượng ước lẻ chẵn Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com số lượng ước chẵn lẻ Đến dễ thấy điều vơ lí nên trường hợp khơng thể xảy n Vậy ta ln có số phương Bài 36 Ta xét trường hợp sau: p + Với , dễ thấy 2n m3 m 1 với m số nguyên dương m3 m 1 2n m3 m 1 n Dễ thấy số chẵn số lẻ nên vô nghiệm p + Với p2 32 13 1 1 , với n ta có + Với p , giả sử tồn số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện pn m3 m 1 với m số nguyên dương Ta có pn m3 m 1 2m 1 m2 m Do m số nguyên dương nên 2m 1; m m � 2m 1 pr � � * m m ps Từ ta � , với r;s �N s r 2m 1,m2 m pr p � p Dễ thấy m m 1�2m nên , suy � m 2m 1 Md �2m 1Md � � � � 2 m2 m Md d 2m 1,m2 m �m m 1Md � � Mặt khác gọi ta có Do suy m2 m m 2m 1 M d � m 2Md Nên ta 2 m 1 2m 1 Md � 3Md 2m 1,m Điều mâu thuẫn với , suy d d m pr pn Do với p tổng lập phương hai số nguyên dương liên tiếp Bài 37 Dễ thấy 128 2 2.2 , mà số nguyên liên tiếp tồn số chia hết cho 8, số chia hết cho 6, số chia hết cho số chia hết cho Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do tích số ngun liên tiếp chia hết cho 128 2 2.2 Từ suy n n 1 n 7 7! 128k,k �Z 2 2 Giả sử m a b , ta a b 128k 7! 2 Dễ thấy 128k 7! chia hết m a b chia hết cho Suy a, b số chẵn Đặt a 2c;b 2d với c, d số tự nhiên 2 Từ ta c d 32k 1260 Ta lại suy suy c, d số chẵn 2 Đặt c 2p;d 2q với p, q số tự nhiên Đến ta lại p q 8k 315 Vì số phương chia có số dư 1, nên p2 q2 chia cho dư 2 hoặc Mà 8k 315 chia dư Nên p q 8k 315 không xảy m n n 1 n 7 7! Vậy biểu diễn số dạng tổng hai số phương Bài 38 Từ 2x2 x 3y2 y � 2x2 – 2y2 x – y y2 � x y 2x 2y 1 y2 2 Mặt khác từ từ 2x x 3y y ta 3x2 – 3y2 x – y x2 � x – y 3x 3y 1 x2 x – y 2x 2y 1 3x 3y 1 x y Do ta Suy Gọi 2x 2y 1 3x 3y 1 số phương 2x 2y 1, 3x 3y 1 d , ta � 2x 2y 1Md � 3x 3y 1 2x 2y 1 x y Md � 3x 3y 1Md � Từ ta lại có Suy 2 x y Md � 2x 2y 1 2 x y 1M d nên d 2x 2y 1, 3x 3y 1 Do 2x 2y 3x 3y số phương Lại có x y 2x 2y 1 y nên suy x y số phương Vậy x – y; 2x 2y 1;3x 3y 1đều số phương Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 39 p ab s a b Đặt Ta có ab 2 �ab � a b 4 � � a b 2ab � �a b � a b 2 2 �s p 2 2p s � s4 2ps2 p 2 4s2 � s4 2s2 p 2 p 2 � s2 p 2 � s2 p � p s2 � p s � ab a b a b Vị a, b số hữu tỉ nên Bài 40 Ta có số hữu tỉ Vây ab số hữu tỉ 4m3 m 12n3 n � m3 n3 m n 8n3 m n 4m Hay ta 4mn 4n2 8n3 1 2 Giả sử p ước nguyên tố chung m n 4m 4mn 4n 2 Do 4m 4mn 4n số lẻ nên p số lẻ Từ (1) suy 8n3 Mp mà p số nguyên tố lẻ nên nMp suy mMp 2 Mặt khác p ước 4m 4mn 4n nên ta p 1, điều vơ lí p số ngun tố 2 Do m n 4m 4mn 4n khơng có ước ngun tố chung m n,4m Từ suy Do 8n3 2n 4mn 4n2 nên suy m n lập phương số nguyên Bài 41 Giả sử x số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu tốn Khi ta đặt x 25 y với y �N a b Theo giả thiết ta biểu diễn x y 24 với a,b �N y 5 y 5 1 a Từ ta b a �Nếu b từ (1) ta y 5 y 5 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com u � �y � y 2v Suy � , với u,v �N;u v u v a vu 10 � 2 v u Do ta u � � 2u 2u � � 10 � � v u � � vu 1 � 6 � , trường hợp loại �Nếu b , ta y 5 y 5 M5 Mà ta có y 5 y 5 M5 nên ta yM5 t 1 t 1 2a.5b2 2 Đặt y 5t , với t �N Khi ta Mà ta lai có t 1 t 1 2t số chẵn nên kết hợp với (2) ta t 1 , t 1 số chẵn Đến ta xét trường hợp sau: � t 2m � � n b m t 2n.5b + Trường hợp 1: � , với m,n �N;m n a Suy n b - Nếu n �m m 4, suy n b Khi ta a 2 Từ ta x 200 nên x 25 225 15 thỏa mãn toán 5b 2m1 3 - Nếu m n n Vì �1 mod 3 2, không chia hết 5b �2 mod 3 2m1 �1 mod 3 b 2k 1 k �N 5b 25k 1.5 �5 mod 8 b , ta số lẻ Đặt , suy Do từ (3) ta suy 2m1 �4 mod8 nên m 3;b 3;a 4 Khi x 2000 nên x 25 2025 45 thỏa mãn yêu cầu toán � t 2m � � m n b t 2n.5b + Trường hợp 1: � , với m,n �N;m n a Suy n b - Nếu n �m m , trường hợp loại 2m1 5b2 4 - Nếu m n n Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lập luận tương tự ta 5b2 �1 mod 3 nên b số chẵn Đặt b 2k k �N Khi ta 5b 25k1 �1 mod8 nên kết hợp với (4) ta 2m1 �2 mod8 2 Do ta m 2;b 2;a 3, x 200 nên x 25 225 15 thỏa mãn u cầu tốn Vậy có hai số ngun dương thỏa mãn yêu cầu toán 200 2000 Bài 42 Giả sử tồn tam giác vuông có cạnh a, b, c(với a cạnh huyền) thỏa 2 mãn u cầu tốn Khi ta có a b c diện tích ta giác vuông S bc k2 2 hay 2S bc 2k , với k số nguyên dương Trong tam giác vuông ta xét tam giác vng có cạnh huyền bé a, b, c đôi nguyên tố Ta xẽ chứng minh tồn m n để a m2 n2 ;b m2 n2 ;c 2mn với m, n khác tính chẵn lẻ nguyên tố Thật vậy, m2 n2 mn k2 m n m n mn k2 Khi từ 2S bc 2k ta hay Do m, n khác tính chẵn lẻ nguyên tố nên ta m n,m m n,n m n,m m n,n Gọi d m n,m n , d số lẻ ước 2m, 2n, suy d Như bốn số m n,m n,m,n nguyên tố theo đôi Mà ta lại có m n m n mn k nên m n,m n,m,n số phương Đặt m n x2 ;m n y2 ;m z2 ;n t2 với x, y, z, t số nguyên dương 2 � �x y x y x2 y2 4m 2z �1 2 � x y x y x z n t �2 � 2z m m m2 n2 a Khi ta có � Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Như tam giác vng có cạnh x y;x y;2z thỏa mãn diện tích số phương, nhiên cạnh huyền 2z a , mâu thuẫn với cách chọn tam giác vng có cạnh huyền nhỏ Vậy diện tích tam giác vng có cạnh số ngun khơng thể số phương 2 Bài 43 Giả sử 2n a b với a, b số tự nhiên thỏa mãn a b Khi ta có 4n2 a2 b2 a4 b4 2a2b2 a2 b2 4a2b2 �a2 b2 � n � � ab � � Do ta Khi ta 2 �a2 b2 � 2 n 2n � � ab a b � � ab ;a2 ;b2 số phương phân biệt lớn Do a b nên suy 2 �a2 b2 � � � � � Như ta cần chứng minh số phương lớn khác với ba số phương 2 2 Thật vậy, 2n a b số chẵn nên a b tính chẵn lẻ a2 b2 Lại có a b nên suy số nguyên dương �a2 b2 � a2 b2 � � 2 1 a b b 2b b � � �Nếu , suy Do b2 a2 b 1 2 , điều vơ lí a số phương Từ suy �a2 b2 � � ��1 � � �a2 b2 � a2 b2 � � a a 2 �Nếu � � , suy b a 2a 2 Do a b nên a , suy a 4a a 2a Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a 2 Từ ta b2 a 1 2 , điều vơ lí b số phương Từ suy �a2 b2 � � ��a � � �a2 b2 � a2 b2 � � b b a2 b2 2b b 1 �Nếu � � , suy Từ ta b2 a2 b 1 2 , điều vơ lí b số phương �a2 b2 � � ��b � � Từ suy �a2 b2 � a2 b2 � � ab ab a2 b2 2ab 2b2 � a b 2b2 �Nếu � � , suy Do ta a b b , điều vơ lí a b số ngun dương b số vô tỷ �a2 b2 � � �� ab � Từ suy � Từ kết ta suy n 2n tổng bốn số phương(lớn 1) phân biệt 2 Bài 44 Do a b chia hết cho ab Khi tồn số nguyên dương k để a2 b2 k ab ta cần chứng minh k số phương a2 b2 a;b phương trình ab k 1 Cố định k, ta quy toán tìm nghiệm Giả sử cặp số nguyên dương a ;b 0 thỏa mãn (1) a0 b0 nhỏ Khơng tính tổng qt ta giả sử a0 �b0 Xét phương trình x2 b02 k � x2 kb0x b20 k xb0 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi có ẩn x TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi a nghiệm phương trình Do theo định lý Vi – et phương trình có nghiệm Gọi nghiệm a1 ta � a0 a1 kb0 � � a0.a1 b02 k � Từ ta a1 số nguyên 2 2 Nếu a1 số nguyên âm ta a1 kb0a1 b0 k �a1 k b0 k , điều vơ lý a ;b Do a1 �0 , cặp số thỏa mãn (1) 2 Khi a1 ta có a0 b0 �a1 b0 nên a0 �a1 , suy a0 �a0a1 b0 k b0 nên ta a0 b0 , điều mâu thuẫn với a0 �b0 k b20 Từ ta suy a1 0, ta số phương 2 Tóm lại a ta k b b ta k a số phương Vậy toán chứng minh Bài 45 2 Giả sử tồn số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b abc �c mà k a2 b2 abc số phương Khi ta có k �c Khơng tính tổng qt ta giả sử a �b Xét phương trình bậc hai ẩn x x2 bcx b2 k Khi a nghiệm phương, theo định lí Vi – et phương trình có nghiệm x a1 � a a1 bc � � a.a b2 k Từ ta � Từ ta suy a1 số nguyên a.a1 b2 k + Nếu a1 0, từ hệ thức ta k b số phương, điều mâu thuẫn với giả sử Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com k a12 b2 a1bc �a12 b2 bc c + Nếu a1 0, , mâu thuẫn k �c Như ta a1 số nguyên dương b2 k b2 k a1 a a a Cũng theo định lí Vi – ét ta có nên ta a1 a a ;b Ta thấy cặp số nghiệm Khi ta có a1 b a b , điều vơ lí ta chọn cặp số a;b với a b bé 2 Từ ta thấy tồn k để k a b abc khơng phải số phương 2 Như a b abc phải số phương Bài 46 Từ A a2 b2 c2 ab ac ab 2 4A a b b c c a ta Do vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử a �b �c a c a b b c x y Đặt x a b �0;y b c �0 , suy 4A x2 y2 x y � 2A x2 y2 xy Từ ta 2 Nếu x y tính lẻ khác tính chẵn lẻ x y xy số lẻ, 2A số chẵn Do x y phải số chẵn Ta xét trường hợp sau: �Trường hợp 1: Nếu A , ta suy x y 0, a b c �Trường hợp 2: Nếu A k 0, hai số x y lớn 2 Đặt x 2x1;y 2y1 Khi x y xy chia hết cho Khi A k số chẵn nên k số chẵn, đặt k 2k1 2 2 2 2 Do từ 2A x y xy ta k1 4x1 4y1 4x1y1 hay 2.k1 x1 y1 x1y1 Lập luận tương tự lúc A k n ta 22n1.k n2 2n xn2 2n y2n 2n xn yn , kn số nguyên dương đẳng thức xẩy n Khi ta n k n , điều vơ lí Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy số A a2 b2 c2 ab ac ab số phương a b c x x z x y y yz Bài 47 Ta có nhận xét x, y, z số dương Áp dụng bất đẳng thức cho số dươg a, b, c, d ta a a a c d a b c d a b a b c d b b b d a a b c d b c a b c d c c c a b a b c d c d a b c d d d d b c a b c d d a a b c d Từ ta 1 a b c d 3 a b b c c d d a a b c d 2 Do A nhận giá trị nguyên nên ta A hay a b b c c d d a �a � b �c � d �a b 1� b c �c d 1� d a � � � Từ dẫn đến � � � a c �b c ba b a d d c d � � � Hay b b c a b Do a �d nên ta suy d a d c d 2 Biến đổi thu gọn ta bd db abc acd hay b d ac bd � ac bd Do abcd ac số phương Bài 48 Gọi A số tạo thành Số A tao từ việc xếp số có chữ số từ 11111 đến 99999 nên A có tất 99999 11111 88889 số có chữ số 5n Tách số tự nhiên A thành tổng số hạng có dạng abcde.10 với n 0;1;2;3; ;88888 abcde.105n s 9.11111 1 s 9m 1 s km 1 skm s s abcde Đặt , n Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi n TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com * Chú ý m 11111 k �N 5n Khi abcde.10 s có số dư chia cho m 11111 Như số A chia cho M có số dư với B tổng số có chữ số từ 11111 đến 99999 Ta có B 11111 11112 99999 11111 99999 88889 Do 2B 11111.888890 , 2B chia hết cho m nên B chia hết cho m Từ ta A chia hết cho m hay m 11111 ước A Mà lũy thừa khơng có ước số lẻ, A lũy thừa 2 x 17 �a � � � * x �b � với a ��,b �� Khi ta xét trường hợp sau: Bài 49 Giải sử �Trường hợp 1: Nếu a , ta x 17 �Trường hợp 2: Nếu a �0 , khơng tính tổng qt ta giả a,b a ,b nên ta có x 17 a k x b k với k nguyên Do 2 x 9 x 17 b Từ ta 2 a2 k � b a b a k b a – b– a 2a nên a b Ta thấy a b b a ước Chú ý b a tính chẵn lẻ Ta lại có b a b– a a b Từ ta có trường hợp sau b a b a k b a x b2k 18 2 1 2 2 0(loại) 4 1 1(loại) Như vây ta có kết 17 17 0 + Với x 17 17 18 17 �1 � �� 18 9 �3 � x 18 + Với Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 17 32 + Với x x 37 �a � � � x 43 �b � với a, b số nguyên dương a,b Bài 50 Giả sử 2 Từ ta x 37 ka x 43 kb với k số nguyên dương Do ta Do kb2 ka2 80 � k b a b a 80 Chú ý 80 1.2 a,b nên ta xét trường hợp sau: �Trường hợp 1: Trong hai số a b có số chẵn số lẻ Khi b a b a số lẻ Từ ta a b 5;b a k 16 Do ta có a 2;b nên x 37 16.2 � x 101 �Trường hợp 2: Hai số a b số lẻ Khi ta đặt a 2m 1;b 2n với m, n số nguyên dương Khi từ k b a b a 80 ta k n m m n 1 1.22.5 Chú ý m n n m , lại thấy m n n m khác tính chẵn lẻ Do ta n m;m n 1 1;2 , 1;4 , 1;20 , 5;20 , 2;5 , 4;5 Giải trường hợp ta tìm m;n 1;2 , 2;3 , 10;11 , 8;13 , 2;4 , 1;5 Từ ta suy a;b 1;3 , 3;5 , 19;21 , 15;25 , 3;7 , 1;9 Đến ta tìm giá trị x x � 38;47;55;82;199;398 Vậy số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán x � 38;47;55;82;101;199;398 2 Bài Cho số nguyên a,b,c thỏa a b b c c a 3abc (1) a) Hãy ba số nguyên a,b,c đôi khác thỏa mãn (1) b) Chứng minh abc lập phương số nguyên Lời giải a) Ta chọn a;b;c 4; 2;1 b) Từ phương trình ta suy Tác giả: Nguyễn Công Lợi thỏa mãn đẳng thức (1) a,b,c TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Giả sử p ước nguyên tố abc nên ba số a,b,c có số chia hết cho p, Khơng tính tổng qt ta giả sử số a m a1 �N * ; a1 ,p a p a Suy ta với Khi đẳng thức trở trở thành p2ma12b b2c c2pm 3pma1bc (*) Do b2cMp Ta giả sử bMp � b pk b1; b1 ,p , thay vào (*) ta p2m ka12b1 p2k b12c c2pm 3pm ka1b1c + Nếu 2k m , ta suy c Mp vơ lí + Nếu 2k m , ta suy b1cMp � cMp vơ lí Do m 2k � abc p3ka1b1c với a ,p b ,p c,p 1 Giả sử abc có ước nguyên tố phân biệt p1 ,p2 , ,pk Khi đó, theo chứng minh ta có abc p131 p32 p3k k p11 p22 pkk Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Website:tailieumontoan.com CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ LẬP PHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Số phương � Định nghĩa: Số phương số bình phương số nguyên �Một số tính chất o Tính chất 1: Số phương có chữ số tận... a chia có số dư 1 II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài tập số phương, số lập phương thường có số dạng sau: �Chứng minh số số phương, số lập phương khơng thể số phương, số lập phương �Tìm số ngun để... số ngun để biểu thức có giá trị số phương, số lập phương �Tìm số phương, số lập phương thỏa mãn số điều kiện �Sử dụng tính chất số phương, số lập phương để giải phương trình nghiệm ngun, chứng