phép tịnh tiến-đối xứng trục

Chuyên đề toán 11 Chuyên đề: Phép tịnh tiến A.Kiến thức cần nhớ 1.Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho véctơ uuu r u ur MM / = v đợc gọi phép tịnh tiến theo véctơ -Kí hiệu: Nh vËy: r v r Tv uuu r u ur r M / = T v( M ) ⇔ MM / = v r v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M/ cho r r M / = T v( M ) ⇔ M = T v( M / ) Biểu thức toạ độ cđa phÐp tÞnh tiÕn r v = (a; b); M ( x; y ) r M / ( x / ; y / ) = T v(M ) x/ = x + a   / y = y + a Trọng mặt phẳng toạ độ cho , ta có: Tính chất; +) Biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song trùng với đờng thẳng đà cho +) Biến tia thành tia +)Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng +)Biến tam giác thành tam giác +)Biến góc thành góc +)Biến đờng tròn thành đờng tròn có bán kính B.Các dạng toán Dạng 1: Xác định ảnh điểm, hình qua phép tịnh tiến *Phơng pháp: sử dụng định nghĩa biểu thức toạ độ cđa phÐp tÞnh tiÕn VÝ dơ 1: Cho qua BC ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi H trực tâm a.Tìm ảnh điểm O phép tịnh tiến theo véc tơ uu ur AH b.Tìm ảnh điểm H qua phép tịnh tiến theo véc tơ ABC uu ur AO c.Xác định ảnh đờng tròn (O) qua phép tịnh tiến theo véc tơ Giải: a) +)VÏ ®êng kÝnh BB/ cđa (O) ta cã: Trang-1 , O/ điểm đối xứng O uu ur AO Chuyên đề toán 11 B / A AB  /  ⇒ B A // CH CH ⊥ AB  (1) AH ⊥ BC  /  ⇒ AH // B C / B C ⊥ BC  (2) +) Tõ (1) vµ (2)  AHCB/ lµ hình bình hành +)Gọi I giao điểm OO/ víi BC Do ®ã: u u u ur u ur uu uu u r u ur u 2OI = B / C ⇒ OO / = B / C +)Tõ (3) vµ (4) u ur u u uu ur ⇒ OO / = AH u u u ur ur uu ⇒ AH = B / C ⇒ OI ⊥ CB (3) I trung điểm BC (4) r Tuuuu (O ) = O / AH hay O/ lµ ảnh O qua phép tịnh tiến theo Do đó, b) Theo c©u a, u ur u u uu ur OO / = AH ⇒ u ur u u uu ur ⇒ HO / = AO uu ur AH AHO/O hình bình hành Tuuur ( H ) = O / AO uu ur AO hay O/ lµ ảnh H qua phép tịnh tiếnthéo véc tơ uu ur AO c) Phép tịnh tiến theo véc tơ biến đờng tròn (O) thành đờng tròn (O1) có bán kính bán kính đờng tròn (O) u ur u u u u ur OO1 = AO tâm O1 xác định nh sau: O1 điểm đối xứng A qua O r v = (2; −3) VÝ dô 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véc tơ điểm M (5;-4), 2 đờng thẳng d: 2x-5y+6=0, đờng tròn (C): x +y +4x-6y+9=0 Tìm ảnh điểm M, d , (C) qua phÐp r v tÞnh tiÕn theo véc tơ Giải +)Gọi M/(x/;y/) ảnh điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ x/ = + =  ⇒ / ⇒ M / (7; −7)  y = −4 − = Trang-2 r v Chuyên đề toán 11 +) Gọi d/ ảnh d qua phép tịnh tiến théo véctơ d/// d có dạng : 2x – 5y + C = O (d/) +) Gäi ®iÓm A(-3;0) ⇒ ∈ d r ⇒ A/ = T v( A) A/(-1; -3) -Thay toạ độ A/ (-1; -3; ) vµo d/ tao cã: ⇒ r v -2 + + C = ⇔ C = -13 (d/) cã d¹ng: 2x – 5y – 13 =0 r T v (C ) +) Gọi (C/) = -Đờng tròn (C) cã: x2 + y2 +4x -6y + 9= ⇔ ⇒ (x + 2)2 + (y- 3)2 =4 (C) có tâm I (-2; 3) bán kính R = - Gäi I/ = ⇒ r T v( I ) ⇒ I/ (0;0) (C/) cã d¹ng : x2 + y2 = Dạng 2: Sử dụng phép tịnh tiến để chứng minh tính chất hình học *Phơng pháp: sử dụng định nghĩa tính chất phép tịnh tiến Ví dụ 1: Cho đờng tròn (I) (J) có bán kính R tiếp xúc với M Cho Avà B điểm di động lần lợt đờng tròn (I); (J) cho A · AMB = 900 Chøng minh: AB = 2R ≡ A/ B M I +) XÐt phÐp tịnh tiến theo véc tơ J N ur u IJ r Tuu ( A) = A/ IJ Trang-3 Chuyên đề to¸n 11 r Tuu ( M ) = N IJ Phép tịnh tiến u Tur IJ biến (I) thành (J) A/ , N đờng tròn (J) (vì A, M đờng tròn (I)) Và I, M , J, N thẳng hàng , AM // A/N AM MB ⇒ A/ N ⊥ MB +) L¹i cã: BN ⊥ MB, A/ , B, N ∈ ( J ) ⇒ A/ ≡ B u u ur ur u r Tuu ( A) = B ⇒ AB = IJ ⇒ AB = R IJ Dạng 3:Dùng phép tịnh tiến để giải toán dựng hình *Phơng pháp: để dựng điểm M ta tìm cách xác định nh ảnh điểm đà biến qua phép tịnh tiến Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O) (O/) điểm cố định A, B Xác định điểm M thuộc đờng tròn (O) điểm M/ thuộc (O/) cho uuu uu u ur ur MM / = AB M/ hf M O1 O B A Trang-4 O Chuyên đề toán 11 *, Giả sử đà dựng đợc điểm M thuộc đờng tròn (O), M/ thuộc đờng trßn (O/) cho: r Tuuu ( M ) = M / AB uuu uu u ur ur MM / = AB , ®ã r Tuuu AB +) Vì M thuộc đờng tròn (O) nên M/ thuộc (O1) ảnh (O) qua giao điểm (O1) (O/) *)Từ suỷa cách dựng : , M M/ đờng tròn (O/) nên M/ r Tuuu AB +) Dựng đờng tròn (O1) ảnh (O) qua +) M/ giao điểm (O1) (O/) -Dựng M ảnh M/ qua * Rõ ràng : r Tuuu BA uuu uu u ur ur MM / = AB r Tuuu BA ∈ u u u uu u uu u r r M / M = BA biến đờng tròn (O1) thành (O), M/ (O1), M (O) * Số nghiệm hình toán số giao điểm (O1) (O/) Dạng 4: Dùng phép tịnh tiến để giải toán tìm tập hợp điểm *Phơng pháp: chứng minh tập hợp điểm phải tìm ảnh đờng đà biết qua phép tịnh tiến Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O) điểm cố định A đờng tròn B điểm thay đổi (O) Các ABC tiếp tuyến với đờng tròn A B cắt C Chứng minh trực tâm H đờng tròn +) Ta có: OA AC ( gt ) ⇒ OA // BH   BH ⊥ AC (tructamH ) +) Chøng minh t¬ng tù OB // AB OAHB hình bình hành u u uu uu u r ur ur ⇒ BH = OA OA ( véc tơ không đổi) phép tịnh tiến theo véc tơ uu ur OA biến điểm B thành điểm H Trang-5 di động Chuyên đề toán 11 +) Vì B di động đờng tròn (O) nên H di động r Tuuuu / đờng tròn (O/) ảnh (O) qua +)Xét điểm O/: u ur u u u u ur OO / = OA ⇒ O / A OA , bán kính (O/) OA Trang-6 Chuyên đề toán 11 Ví dụ2: Cho hình bình hành ABCD, điểm A, B cố định tâm I thay đổi đờng tròn (O).Tìm tập hợp trung điểm M cạnh BC +) Ta có: IM đờng trung bình nên uu uu ur ur IM = DC mµ uu uu ur ur AB = DC ur uu AB ∆BCD nªn uu uu ur ur IM = AB +)PhÐp tÞnh tiÕn theo biến I thành M +)Vì I di động đờng tròn (O) nên M di động đờng tròn (O/) ảnh (O) qua phép tịnh tiến theo ur uu AB u ur u u uu ur OO / = AB -.điểm O/ xác định: , bán kính (O/) bán kính đờng tròn (O) tập hợp điểm M đờng tròn (O/) BTVN: Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho M(2;-6); r v = (−1; −3) r Tv , đờng thẳng d: 4x-5y-8 =0, đờng tròn (C): (x+2)2 + (y-3)2 = 16 Tìm ảnh M, d, (C) qua Bài 2: Cho điểm O cố định đờng thẳng a cố định Xét đờng tròn (I; R) cho BB/ // a T×m quü tÝch điểm B B/ Trang-7 Chuyên đề toán 11 Phép đối xứng trục *)Chữa tập nhà Bài 2: : Cho điểm O cố định đờng thẳng a cố định Xét đờng tròn (I; R) cho BB/ // a Tìm quỹ tích điểm B B/ Bài giải r v =R +)Do OI=R, tập hợp điểm I đờng tròn tâm O b¸n kÝnh R u u ur r ur u r ⇒ v = IB; IB / = −v hc ur u r ur r u IB = −v; IB = v r v +) Do phép tịnh tiến theo biến I thành B I thành B/ +) Vì I chạy (O;R) nên B B/ chạy đờng tròn ảnh đờng tròn O qua phép tịnh tiến A).Lý thuyết 1.Định nghĩa: mặt phẳng cho đờng thẳng d phép biến hình biến điểm thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d cho d trung trùc cđa MM/ M -KÝ hiƯu: §d -Nh vËy: M/=§d(M) u u ur uuu uuu u uu r ⇔ M M / = −M M (M d ) M0 d M/ 2.)Biểu thức toạ độ phép đối xứng trục +)Oxy, M(x;y), Đox(M)=M/(x/;y/) x/ = x   / y = −y   x/ = − x   / y = y +)Oxy, M(x;y), Đoy(M)=M/(x/;y/) 3).Tính chất: phép đối xứng trục: -biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia -đoạn thẳng thành đoạn thẳng -biến tam giác thành tam giác nó; biến góc thành góc Trang-8 Chuyên đề toán 11 -biến đờng tròn thành đờng tròn có bán kính B ).Các dạng toán Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép đối xứng trục -Phơng pháp: dùng định nghĩa biểu thức toạ độ qua phép đối xứng trục Ví dụ 1: Qua phép đỗi xứng trục d, đờng thẳng a biến thành đờng thẳng a/.HÃy trả lời câu hỏi sau: a).Khi a // a/ b).Khi a a/ c).Khi a cắt a/, giao điểm a a/ có tính chất gì? d).Khi a Giải: a/ a).Dựa vào cách xác định đờng thẳng a // a/ a // d ⊥ b) a d hc a d c) a cắt d a không vuông góc d giao ®iĨm I cđa a vµ a/ ∈ d ⊥ d) a a/ góc a d 450 (vì d phân giác góc tạo hai đờng thẳng a a/) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;-2); d: 3x-2y+1=0; đờng tròn (C): x2+y2-4x+5y+1=0 Tìm ảnh A, d, (C)qua phép đối xøng Oy +)Gäi A/= §oy(A) ; A/ (x/; y/)  x/ = − x  x / = −3   ⇔ / ⇒ A/ (−3; −2)  / y = y  y = −2   +)Gäi d/ ảnh d qua phép đối xứng Oy Chọn B d, gọi B/ ảnh B qua phÐp ®èi xøng trơc Oy  x/ = − x x = −x/   ⇔  / / y = y y = y   B/ cã to¹ ®é -3x/ - 2y/ +1 =0  d/ cã d¹ng: -3x 2y +1 =0 thay vào d ta đợc: − +) (C) cã: x2 +y2 -4x + 5y +1 =0 có tâm I(2; ) bán kính R= Trang-9 37 Chuyên đề toán 11 -Gọi I/ ¶nh cđa I qua phÐp ®èi xøng Oy → − I/ (-2; ) 37 (C/) ảnh (C) qua phép đối xứng trục Oy cã d¹ng: (x+2)2 + ( y+ )2 = VÝ dơ 3: mặt phẳng Oxy cho M(3; -5), đờng thẳng d: 3x + 2y -6 =0 đờng tròn (C): x2+y2-2x +4y -4 =0 Tìm ảnh M, d, (C) qua phÐp ®èi xøng trơc d1: 2x-y +1 =0 Trang-10 Chuyên đề toán 11 +)Gọi M/=Đd1(M) ta có: MM/ d1 M0, M0 trung điểm MM/ đờng thẳng d/ qua M M/ u r u1 = (1; 2) vµ nhËn VTCP cđa d1 lµ lµ VTPT nên có phơng trình là: 1.(x-3) + 2.(y+5) = hay: x + 2y + =0 -Toạ độ ®iĨm Mo lµ nghiƯm cđa hƯ: d I M M0 dA M/ da/  x = − 2 x − y + = 13  ⇔ → M (− ; − )  5 x + y + =  y = − 13   33   xM / = 2.( − ) − = − 33  → ⇒ M / (− ; − ) 5  y / = 2.( − 13 ) + = − M  5  ≠ −1 +) Vì nên d d1 cắt điểm I có toạ độ nghiệm hệ: x= 3 x + y − = 15  ⇔ ⇒ I( ; )  7 2 x − y + =  y = 15   ∈ +) LÊy A(2;0) d; A ⊥ ≠ I; A/ = §d1(A) -VÏ AA/ d1 cắt d1 J trung điểm AA/ PT đờng thẳng AA/: 1.(x-2) +2.(y-0) = x+2y-2 = +) Toạ độ điểm J nghiệm hÖ: 2 x − y + = x = ⇔ ⇒ J (0;1)  x + y − = y =1 - A/ ®èi xøng víi A qua J  x A/ = xJ − xA = 2.0 − = −2  ⇒ ⇒ A/ (−2; 2) y A/ = yJ − yA = 2.1 − =   Trang-11 Chuyên đề toán 11 -d/ ảnh d qua phép đỗi xứng trục d1, d/ qua r ur u I A nên có VTCP PT d/ cã d¹ng: / u = 7.IA = ( −18; −1) x+2 y−2 = 18 ⇔ x − 18 y + 38 = +) (C): (x-1)2 + (y+2)2 =9 (C) có tâm H (1; -2) bán kính R = +) Gäi H/ = §d1(H), ta cã: HH / d1 E, PT HH/ là: 1.(x-1) + 2.(y+2) =0 x + 2y + =0 +) Toạ độ điểm E nghiệm hệ: x + y + =  x = −1 ⇔  2 x − y + =  y = −1  xH / = 2.(−1) − = −3  ⇒ H / (−3; 0)   yH / = 2.(−1) + = phơng trình đờng tròn (C/) ảnh (C) qua phép đối xứng trục d1 là: (x+3)2 +y2 =9 Dạng 2: Dùng phép đối xứng trục chứng minh tính chất hình học -Phơng pháp: sử dụng định nghĩa, tÝnh chÊt cđa phÐp ®èi xøng trơc VÝ dơ 1: Cho tam giác ABC với trực tâm H HAB, HBC , HCA a).Chứng minh rằng: đờng tròn ngoại tiếp có bán kính b).Gọi O1;O2;O3 lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp Chứng minh đờng tròn qua điểm O1;O2;O3 đờng tròn ngoại tiếp ABC a)+) Gọi A/ giao điểm AH víi (O) ngo¹i tiÕp +) Ta cã: · · BAA/ = BCA · · HCB = BAH (gãc néi tiếp chắn ẳ BA/ ABC ) (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Trang-12 Chuyên đề toán 11 · · ⇒ HCB = BCA/ ∆HCA/ ∆HCA/ +) cã BC đờng cao,đờng phân giác cân / / C A đối xứng với H qua đờng thẳng BC hay §BC(A )=H §BC biÕn ∆A/ BC ∆A BC thành HBC nên ĐBC biến đờng tròn ngoại / tiếp ngoại tiếp đờng tròn ngoại tiếp HBC (1) ABC thành đờng tròn HBC bán kính đờng tròn ngoại tiếp bán kính đờng tròn (O) +) chứng minh tơng tự ta có đờng tròn ngoại tiếp HAB, HAC lần lợt ảnh đờng tròn (O) qua phÐp ®èi xøng trơc AB, AC (2) +) Tõ (1) & (2) đpcm b).+) Gọi I, J, K lần lợt trung điểm BC, CA, AB -IJ đờng trung bình ABC IJ // AB IJ = AB OO2O3 - IJ đờng trung bình AB = O2O3 +) Chứng minh tơng tù: AC = O1O2 BC = O1O3 ∆ABC ∆OO2O3  nên IJ // AB IJ= O2O3 = OO2O3 đờng tròn ngoại tiếp ABC ngoại tiếp có bán kính bán kính đờng tròn Dạng 3: Dùng phép đối xứng trục để giảI toán tìm tập hợp điểm -Phơng pháp: chứng minh tập hợp điểm phải tìm ảnh hình đà biết qua phép đối xứng trục Ví dụ 1: Cho hợp sau: ABC cân A với đờng cao AH, biết A, H cố định.Tìm tập hợp điểm C trờng a B di động đờng thẳng b B di động đờng tròn tâm I, bán kính R Trang-13 Chuyên đề toán 11 A / B H C a) +) phÐp ®èi xøng trơc AH biÕn B thành C (do đờng thẳng / ảnh ABC cân) B di động đờng thẳng qua phép đối xứng ĐAH Vậy tập hợp điểm C đờng thẳng C/ Trang-14 nên C di động ... dạng toán Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép đối xứng trục -Phơng pháp: dùng định nghĩa biểu thức toạ độ qua phép đối xứng trục Ví dụ 1: Qua phép đỗi xứng trục d, đờng thẳng a biến thành đờng thẳng... 2.)Biểu thức toạ độ phép đối xứng trục +)Oxy, M(x;y), Đox(M)=M/(x/;y/) x/ = x   / y = −y   x/ = − x   / y = y  +)Oxy, M(x;y), Đoy(M)=M/(x/;y/) 3).Tính chất: phép đối xứng trục: -biến đờng... bán kính đờng tròn Dạng 3: Dùng phép đối xứng trục để giảI toán tìm tập hợp điểm -Phơng pháp: chứng minh tập hợp điểm phải tìm ảnh hình đà biết qua phép đối xứng trục Ví dụ 1: Cho hợp sau: ABC