Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC QUỸ TÍCH PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH I) Định nghĩa: Một hình H gọi tập hợp điểm ( Quỹ tích) điểm M thỏa mãn tính chất A chứa chứa điểm có tính chất A II) Phương pháp giải tốn: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Tìm cách giải: + Xác định yếu tố cố định, không đổi, tính chất hình học có liên quan đến tốn + Xác định điều kiện điểm M + Dự đốn tập hợp điểm Bước 2: Trình bày lời giải: A Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H B Giới hạn: Căn vào vị trí đặc biệt điểm M để chứng minh điểm M thuộc phần B hình H ( Nếu có) C Phần đảo: Lấy điểm M thuộc B Ta chứng minh điểm M thoả mãn tính chất A D Kết luận: Tập hợp điểm M hình B (Nêu rõ hình dạng cách dựng hình B ) III) MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS I) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC 203 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Tập hợp điểm M cách hai điểm A, B cho trước đường trung trực đoạn thẳng AB Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox B điểm chuyển động tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M AB a) Phần thuận: + Xét tam giác vuông OAB ta có : OM MA MB nên tam giác OAM cân M Mặt khác OA cố định suy M nằm đường trung trực đoạn thẳng OA b) Giới hạn: + Khi B trùng với O M �M trung điểm OA + Khi B chạy xa vô tận tia OB M chạy xa vơ tận tia M1z c) Phần đảo Lấy M thuộc tia M z , AM cắt Oy B Suy � MOA � Mặt khác OBM � BOM � (cùng phụ với góc MO MA � MAO � MOA � ) � MO MB Suy MO MA MB Hay M trung MAO điểm AB d) Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đường trung trực đoạn OA II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC 204 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Tập hợp điểm M nằm góc xOy khác góc bẹt cách hai cạnh góc xOy tia phân giác góc xOy Ví dụ 1) Cho góc xOy tia Ox lấy điểm A cố định B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vuông cân C Giải: a) Phần thuận: Dựng CH , CK vng góc với Ox, Oy vCAH vCBK � CH CK Mặt khác góc xOy cố định suy C �tia phân giác Oz góc xOy b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh c) Kết luận:Tập hợp điểm C tia phân giác Oz góc xOy III) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Ta thường gặp dạng tập hợp sau: Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A, B đường thẳng AB 205 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A tạo với đường thẳng ( d ) góc khơng đổi Tập hợp điểm M cách đường thẳng ( d ) cho trước đoạn không đổi h đường thẳng song song với ( d ) cách đường thẳng ( d ) khoảng h Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho S MAB a cho trước S MAC Hướng dẫn: Phần thuận: Gọi D giao điểm AM BC Vẽ BH , CK vng góc với AM , H , K �AM Ta có: S MAB BH S ABD DB a S MAC CK S ACD DC Suy BD a 1 a 1 � DB BC � D điểm cố định CD a a 1 Vậy điểm M nằm đường thẳng (d ) cố định qua A, D Phần lại dành cho học sinh Ví dụ 2: Cho tam giác ABC điểm K chuyển động cạnh AC , P điểm chuyển động trung tuyến BD tam giác ABC cho S APK S BPC Gọi M giao điểm AP, BK Tìm tập hợp điểm M Hướng dẫn: Bài tốn liên quan đến diện tích nên ta dựng đường cao 206 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC MF AC , BE AC , AH BD, CI BD Ta dễ chứng minh được: S ABK MK MF S ABD AH AD , 1 S AMK BK BE S BDC CI DC Mặt khác ta có: S APK S APB Nhưng S APB AH Từ giả thiết ta suy S BPC CI S APK MK � BM BK S APB BM Vậy tập hợp điểm M đường trung bình song song với cạnh AC tam giác ABC trừ hai trung điểm M , M tam giác ABC điểm I Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vng góc với Một điểm M chuyển động đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A ,B) Đường thẳng CM cắt (O) giao điểm thứ N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N (O) điểm P Chứng minh điểm P chạy đoạn thẳng cố định: Hướng dẫn: Điểm M ,N nhìn đoạn OP góc vng nên tứ giác MNPO nội � � � tiếp suy MNO Từ MPO MDO suy MODP hình chữ nhật Do MP OD R Vậy điểm P nằm đường thẳng song song với AB cách AB khoảng không đổi R Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm hai tiếp tuyến A ,B (O) 207 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Ví dụ 4: Cho đường tròn đường kính BC đường tròn lấy điểm A ( Khác B,C ) Kẻ AH vng góc với BC(H �BC) Trên cung AC lấy điểm D (khác A ,C) Đường thẳng BD cắt AH điểm I Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID nằm đường thẳng cố định D thay đổi cung AC Hướng dẫn: � 900 , BAH � ACB � Ta có: BDC � ACB � � Mặt khác ADB phụ với góc B (cùng chắn cung AB ) Suy � ADI � suy AB tiếp tuyến BAI đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI Mặt khác AC cố định AC AB nên tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI thuộc đường thẳng AC IV TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRỊN, CUNG CHỨA GĨC Nếu A, B cố định Thì tập hợp điểm M cho � AMB 900 đường tròn đường kính AB ( Khơng lấy điểm A, B ) Nếu điểm O cố định tập hợp điểm M cách O khoảng không đổi R đường tròn tâm O bán kính R Tập hợp điểm M tạo thành với đầu mút đoạn � thẳng AB cho trước góc MAB khơng đổi 180 hai cung tròn đối xứng qua AB Gọi tắt ‘’cung chứa góc ‘’ 208 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Ví dụ Cho tam giác cân ABC AB AC D điểm cạnh BC Kẻ DM / /AB ( M �AC ) DN / /AC N �AB Gọi D' điểm đối xứng D qua MN Tìm quỹ tích điểm D' điểm D di động cạnh BC Hướng dẫn giải: Phần thuận: Từ giả thiết đề ta thấy NB ND ND' , ba điểm B,D,D' nằm đường tròn tâm N Từ 1� 1� � BD'D BND BAC (1) Tương tự ta có ba điểm D',D,C nằm 2 1� 1� � DMC BAC đường tròn tâm M Nên DD'C (2) Từ (1) (2) 2 � � (không đổi) Vì BC cố định, D' nhìn BC suy BD'C BAC � góc BAC khơng đổi, D' khác phía với D (tức phía với � vẽ đoạn A so với MN ) nên D' nằm cung chứa góc BAC BC (một phần đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Phần đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm D' cung chứa góc BAC đoạn � BC Đó cung BAC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 209 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Ví dụ Cho đường tròn O dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn O ( A khác B , A khác C ) � Tia phân giác ACB cắt đường tròn O điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI DB Đường thẳng BI cắt đường tròn O điểm K khác điểm B a) Chứng minh tam giác KAC cân b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM AC Tìm quỹ tích điểm M A di động cung lớn BC đường tròn O Hướng dẫn giải: � sđDA � sđAK � ;sđDIB � sđBD � sđKC � a) Ta có DBK 2 � sđDA � DBI cân D nên sđKC � sđAK � Suy Vì sđBD AK CK hay KAC cân K (đpcm) b) Từ kết câu a, ta thấy I tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường thẳng AI ln qua điểm J (điểm � không chứa A ) Rõ ràng J điểm cố định cung BC 210 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC � BAC � Giả sử số c) Phần thuận: Do AMC cân A , nên BMC � đo BAC 2 (khơng đổi) A di động cung lớn BC M thuộc cung chứa góc dựng đoạn BC phía điểm O Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn O cắt cung chứa góc � (một vẽ đoạn BC điểm X Lấy điểm M Cx phần cung chứa góc vẽ đoạn BC M #X;M #C Nếu MB cắt đường tròn O A rõ ràng A thuộc cung lớn BC đường tròn O Vì � 2;AMC � BAC suy AMC cân A hay AC AM � , phần cung Kết luận: Quỹ tích điểm M cung Cx chứa góc vẽ đoạn BC phía O trừ hai điểm C X ( ) Ví dụ Cho đường tròn O;R dây BC cố định A điểm di động đoạn thẳng BC D tâm đường tròn qua A, B ( ) tiếp xúc với ( O;R ) tiếp xúc với O;R B ; E tâm đường tròn qua A,C C Tìm tập hợp giao điểm M khác A hai đường tròn ( D ) ( E ) Hướng dẫn: a) Phần thuận: (O ) ( ) D ( ) tiếp xúc B � O, B, D thẳng hàng; O ( ) E � =A � DB = DA , tiếp xúc C � O, E ,C thẳng hàng B 1 ( ) � = C� OB = OC , � B ) A2 = C�1 ( EA = EC ) Suy B�1 = A�2, A�1 = C�1 , 1( � =A � � BO / / AE , A � = C� � DA / / OE B 1 Do ADOE hình bình hành Gọi K tâm hình bình hành 211 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ADOE � K trung điểm ( ) ( ) AO DE D cắt E A , M � DE trung trực AM Gọi I giao điểm DE AM IK đường trung bình D AMO � IK / / MO � DOME hình thang Mà DM = OE ( ) (cùng bán kính D ) Vậy D, M ,O, E bốn đỉnh hình thang cân Do D, M ,O, E thuộc đường tròn � � � = 1ADM � , MCB � = AED � = 1AEM � � � � D MBC : D ADE � MBC = ADE , � � � � 2 � � � � = DOE � suy BMC (không đổi) BC cố định M = DAE � thuộc cung chứa góc BOC b) Giới hạn: Khi A �B M �B , Khi A �C M �C Vậy M chuyển � động cung chứa BOC � Dựng c) Phần đảo: Lấy điểm M cung chứa góc BOC ( ) ( ) ( ) đường tròn D qua M tiếp xúc O B , đường tròn D cắt BC A Dựng đường tròn ( E ) qua M , A,C Cần chứng minh (E ) ( ) Bx,Cy ( O ) ta có 212 tiếp xúc O C Thật vậy, từ B,C dựng hai tiếp tuyến PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC AB ( E �AC ) K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Tìm tập hợp điểm K Hướng dẫn: ( a) Phần thuận: Gọi O giao điểm đường tròn ADE ) đường cao AH tam giác ABC Tứ giác MDAE hình bình hành (vì MD / / EA DA / / ME ), suy DM = AE � � Ta có: DMB = ACB DM / / AC ; ( ) � � ( D ABC cân A ) DBM = ACB � � Suy DMB = DBM ( Vậy D DBM cân D , suy DM = DB Do AE = DB = DM ) � = OAE � � OD � = OE � � OD = OE DAO � = ODB � Xét D OAE D OBD có OE = OD, AEO (tứ giác AEOD nội tiếp), AE = DB Do D OAE = D OBD (c.g.c) � OA = OB � O thuộc đường trung trực AB Vậy O điểm cố định (O tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC ) Ta có K A = K O, OA cố định, suy K nằm đường trung trực d đoạn thẳng OA b) Giới hạn: Khi M �B D �B, K �K ( K giao điểm d đường trung trực AB ) 238 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Khi M �C E �C , K �K ( K giao điểm d đường trung trực AC ) Vậy K di động đoạn thẳng K 1K c) Phần đảo: Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng K 1K Vẽ ( ) đường tròn K ;K A cắt AB, AC D E Vẽ DM / / AC ( M �AC ) Cần chứng minh ME / / AB ( ) Ta có: K A = K O � O � K � � ( � ) � � Xét D OAE D OBD có: OAE = OBD = OAD ;AEO = ODB (tứ giác AEOD nội tiếp) Do D OAE : D OBD � AE OA = = � AE = BD BD OB � � � � ( D ABC cân A ), DMB = ACB ( DM / / AC ) Do DBM = ACB � � � D DBM cân D � DM = BD DBM = DMB Ta có AE = DM mà AE / / DM nên tứ giác MDAE hình bình hành, suy ME / / AB d) Kết luận: Tập hợp điểm K đoạn thẳng K 1K thuộc đường trung trực đoạn thẳng AO Câu 14 Cho tam giác ABC , H trực tâm Hai đương thẳng song ( ) ( ) song d d ' qua A H Các điểm M , N ( ) hình chiếu B C d ; điểm Q, P hình ( ) chiếu B,C d ' MP cắt NQ I Tìm tập điểm I ( ) ( ) d d ' di động 239 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Hướng dẫn: a) Phần thuận: � BM ^ ( d) � � BM / / CN � � CN ^ ( d) (gt) � � � BM / / CN � � MNPQ � � MN / / QP (gt) � hình bình hành � Mà QMN = 900 (gt) nên MNPQ hình chữ nhật � I trung điểm đoạn thẳng MP NQ Gọi D E trung điểm AH BC , ta có D, E cố định ANHQ hình thang, DI đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo, suy DI / / MN MPCB hình thang, IE đường trung bình hình thang, suy IE / / NC � � E = 900 DI / / MN , IE / / NC mà MNC = 900 nên DI � E = 900, DE cố định Vậy I thuộc đường tròn đường kính DE DI ( ) b) Giới hạn: d quay quanh A nên điểm I chuyển động đường tròn đường kính DE c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc đường tròn đường kính DE ( )( ) Nối DI Qua A, H kẻ đường thẳng d , d ' song song với DI 240 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( )( ) ( ) Gọi M ,Q hình chiếu B d , d ' MI cắt d ' ( ) P ; QI cắt d N ; PQ cắt IE K MN / / DI / / QP , DA = DH � IM = IP , IN = IQ IM = IP , IN = IQ � MNPQ hình bình hành � = 900 nên MNPQ hình chữ nhật Mà M D PMB có IM = IP , IK / / MB � K B = K P ; D BPC có K B = K P , EB = EC � EK / / CP � = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), DIE DI / / MN � EI ^ MN , EI ^ MN , PN ^ MN � C , P , N thẳng hàng d) Kết luận: Tập hợp điểm I đường tròn đường kính DE ( ) ( ) Câu 15 Cho đường tròn O;R , M điểm O , vẽ hai tiếp ( ) tuyến MA, MB đến O ( A, B tiếp điểm) đường trung trực đường kính BC cắt CA D 1) Tìm tập hợp điểm M cho D MAB 2) Tìm tập hợp điểm D cho D MAB Hướng dẫn: 1) a) Phần thuận: � = 600 ; D MAB � AMB � = AMB � OMA = 300 241 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) ( MA, MB tiếp tuyến O ) � � D OMA có OAM = 900,OAM = 300 suy D OMA nửa tam giác đều, OA = OM � OM = 2OA = 2R OM = 2R , O cố định, suy M thuộc đường tròn cố định (O;2R ) ( ) b) Giới hạn: M điểm tùy ý O;2R vẽ D MAB ( ) Vậy M chuyển động O;2R ( ) c) Phần đảo: Lấy M thuộc O;2R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O;R ) ( A, B tiếp điểm) � MA = MB � DMAB cân M � = 900;OA = 1OM = R , suy D OMA nửa Tam giác OMA có A ( ) � = 300 , suy AMB � � = 600 tam giác nên OMA = 2.OMA � = 600 � D MAB D MAB cân có AMB ( ) d) Kết luận: Tập hợp điểm M đường tròn O;2R � = 600 Mà 2) a) Phần thuận: D MAB � AMB � = 1200; � + AOB � = 1800 nên AOB AMB � = AOB � = 600 ACB � = 900, DCO � = 600 suy D DOC nửa tam giác D DOC có O ta có DO = OC = R 242 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) DO = R , O cố định nên D thuộc đường tròn O;R ( ) b) Giới hạn: D điểm tùy ý O;R ( ) c) Phần đảo: Lấy điểm D thuộc O;R Vẽ đường kính BC vng góc OD, DC cắt ( O ) A M giao điểm hai ( ) tiếp tuyến A, B O ( ) � D DOC có O = 90 ;DO = OC = R � D DOC nửa tam giác � = 600 � MAB � � DCO = 600 � D MAB cân ( MA = MB ) có MAB = 600 � D MAB ( ) d) Kết luận: Tập hợp điểm D đường tròn O;R Câu 16 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC Một đường ( ) thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M , N (khác A ) Tìm tập hợp trung điểm MN Hướng dẫn: � a) Phần thuận: AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), � = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy BCNM ANC hình thang vng Gọi O trung điểm BC ta có O cố định; gọi K trung điểm MN OK đường trung bình hình thang BCNM suy OK / / BM 243 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC � OK / / BM � � O = 900 � � AK �� � AMB = 90 � � � O = 900 , OA cố định, AK K thuộc đường tròn đường kính OA b) GIới hạn: ( ) ( ) ( ) Khi d � d1 ( d1 tiếp tuyến đường tròn đường kính AB ( ) ( ) )thì K �K ( K hình chiếu O d1 ) ( ) ( ) ( ) Khi d � d2 ( d2 tiếp tuyến đường tròn đường kính AC ( ) ( ) )thì K �K ( K hình chiếu O d2 ) �K đường tròn đường kính Vậy K chuyển động cung K OA �K � OK � A = 900 c) Phần đảo: Lấy điểm K thuộc cung K AK cắt đường tròn đường kính AB, AC M , N � AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) � = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ANC Suy BCNM hình thang vng OK ^ MN OK / / BM � K M = K N �K đường tròn d) Kết luận: Tập hợp điểm K cung K đường kính OA 244 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) Câu 17 Cho đường tròn O;R cố định BC dây cung cố định, � Trên tia đối tia AB A điểm chuyển động cung lớn BC lấy điểm D cho AD = AC Tìm tập hợp điểm D Hướng dẫn: � , a) Phần thuận: Gọi J trung điểm cung lớn BC ta có I cố định � xét điểm A thuộc cung IC � + I� IAC BC = 1800 (tứ giác BIAC nội tiếp); � + IAB � = 1800 (hai góc kề bù), IAD ( ) � = IAB � IC � = ID � IBC Suy I� AC = I� AD � = I� Xét D IAC D IAD có IA (cạnh chung), IAC AD, AC = AD Do D I AC = D I AD (c.g.c), suy IC = ID I ,C cố định � I C không đổi Vậy D chuyển động đường ( ) tròn I ;I C b) GIới hạn: ( Khi A �B D �D1 ( D1 giao điểm I ; IC ) với tiếp tuyến ( ) O B ) Khi A �C D �C ( ) � C đường tròn I ;I C Vậy D chuyển động cung D 245 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC � C � IC = ID c) Phần đảo: Lấy điểm D cung D BD cắt ( O ) A ( A �B ) � = ABC � � ( O ) ; (hai góc nội tiếp chắn cung AC AIC � = DIC � ABC � = DIC � , � � Suy AIC AIC = DIA � = DI � A, IA cạnh chung Xét D IAC D IAD có IC = ID, AIC Do D I AC = D I AD (c.g.c), suy AC = AD � C đường tròn d) Kết luận: Tập hợp điểm D cung D ( I ,I C ) ( (với D1 giao điểm đường tròn I , IC ) với tiếp tuyến ( ) ( ) � O ) đường tròn O B , I trung điểm cung lớn BC ( ) Câu 18 Cho AB dây cung cố định đường tròn O;R C � Trên tia CA lấy điểm D điểm chuyển động cung lớn AB cho CD = CB Tìm tập hợp điểm D Hướng dẫn: � a) Phần thuận: Gọi I trung điểm AB � � (� � ) Xét D DCI D BCI có CD = CB, DCI = BCI AI = IB , CI (cạnh chung) Do (c.g.c), suy ID = IB (khơng đổi); I cố định D 246 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) thuộc đường tròn cố định I ; IB b) Giới hạn: Khi C �A D �E ( E giao điểm tiếp tuyến ( ) ( ) A với O I ; IB ) � Khi C �B D �B Vậy D chuyển động cung BAE ( I ;IB ) ( ) � c) Phần đảo: Lấy điểm D BAE I ; IB , ta có � cắt ( O ) C ID = IB Vẽ phân giác DIB � � Xét D DCI D BCI (c.g.c), suy DCI = BCI ,CD = CB � = sđ BI � nên DCB � = sđ AB � ACB � = sđ AB � Do Mà BCI 2 A, D,C thẳng hàng ( ) � d) Kết luận: Tập hợp điểm D BAE I ; IB ( I trung � điểm AB Chú ý: � 1) Xét toán tương tự C chuyển động AB 2) Nhận xét tốn ( ) ( ) cắt ( O ) Câu 19 Cho đường tròn O;R , A điểm cố định O Kẻ ( ) ( ) tiếp tuyến AB với O Đường thẳng d quay quanh A hai điểm C , D Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác BCD 247 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi E , F trung điểm CD,OA ta có F cố định (vì OA cố định); K điểm BF cho BK = , suy K BF cố định (vì BF cố định) D BEF có: BG BK = = Suy BE BF GK / / EF � GK 2 = � GK = EF mà EF = OA , EF 3 GK = OA (không đổi) K cố định Vậy G thuộc đường tròn cố định K bán kính OA b) Giới hạn: Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB G � B Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB1 G � G1 (với G1 giao điểm � � � K ; OA� đường tròn � với BB1 ) � � � � � � � � � đường tròn � � K ; OA� Vậy G chuyển đọng BG � �(trừ hai � � � � điểm B G1 ) 248 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC � ( trừ B G c) Phần đảo: Lấy điểm G BG 1 � � � � K ; OA� ), suy GK = OA Trên tia BG lấy điểm E cho � � � � � � BG = BE AE cắt ( O ) D,C D BEF có: BG BK GK 1 = = � GK / / EF � = GK = OA = OA BE BF EF 3 � = 900 � E thuộc đường tròn đường kính OA � OAE OE ^ CD � E trung điểm CD D BCD có BE trung tuyến BG = nên G trọng tâm D BCD BE � � � đường tròn � � K ; OA� d) Kết luận: Tập hợp điểm G BG � � � � � � (với K thuộc đoạn BF , BK = BF , G1 giao điểm BB1 � � � � K ; OA� (trừ B G1 )) � � � � � � � cố định Câu 21 Cho điểm A chuyển động cung lớn BC ( ) đường tròn O;R Tìm tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: Cách 1.a) Phần thuận: 249 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC � cố định, Cung BC � = a (không đổi) đặt sđ BC � = sđ BC � = 1a sđ BAC 2 � = ABC � ( BI phân giác IBC � = ACB � � ); ICB ABC � ); (CI phân giác ACB ( ) ( � � = 1800 - IBC � + ICB � � BIC = 1800 ABC + ACB ) 1� = 900 + BAC = 900 + a, BC cố định Do I thuộc cung chứa 2 góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC b) Giới hạn: Khi A �B I �B Khi A �C I �C Vậy I chuyển động cung chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O � cung chứa c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc cung BC góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC Vẽ điểm A cung lớn � � đường tròn (O;R ) cho BI phân giác ABC BC 250 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC � = 900 + a;IBC � = ABC � BIC 2 ( ) ( ) � 1� � = 1800 - BIC � + IBC � � ICB = 900 BAC + ABC = ACB � CI 2 � D ABC có BI CI phân giác � I là phân giác ACB tâm đường tròn nội tiếp D ABC d) Kết luận: Tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC cung chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O Cách ( ) � = DAC � a) Phần thuận: AI cắt O D , ta có BAD suy � = DC � � DB = DC (không đổi) DB � = ABI � + BAI � ( � góc ngồi D ABI ) BID BID � = IBC � +CBD � ;BAI � = CBD � � � = DC � � � � IBD DB � � � � � = IBC � ( I tâm đường tròn nội tiếp D ABC ) ABI � = BID � � DB = DI Suy IBD DI = DB không đổi D cố định ( ) Vậy I thuộc đường tròn D, DB b) Giới hạn: Khi A �B I �B , Khi A �C I �C ( ) � đường tròn D, DB Vậy I chuyển động BC 251 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( � đường tròn D, DB c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc BC � � , ta có DI = DB = DC DB = DI � IBD = BID , DI cắt đường � = DAC � , � � Do tròn A A �D � BAI CBD = DAC ( ) � = CBD � BAI � = ABI � + BAI � ;IBD � = IBC � +CBD � Suy � � BID ABI = IBC Vậy I tâm đường tròn nội tiếp D ABC ( � đường tròn D, DB c) Kết luận: Tập hợp điểm I BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O 252 ) ) ... suy ra: MAC � � = AI � � � � 225 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC � K + IAK � = 90 0 nên MAC � + I� � = 90 0 � = 90 0 � AI AK = 90 0 � IAM K ( ) , MA tiếp tuyến I d) Kết luận: Tập hợp điểm M... hình vng nội tiếp O;R suy PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) D ABC vuông cân A , suy BC đường kính O;R , � = 2CMD � = 90 0 CID � � Ta có: CMD = 450 � CMD nhọn, � = CID � �� CMD CID = 90 0... đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm D' cung chứa góc BAC đoạn � BC Đó cung BAC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 09 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Ví dụ Cho đường tròn O