1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Tài liệu tham khảo bồi dưỡng Toán 9

19 485 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 19
Dung lượng 720,5 KB

Nội dung

Phần I: SỐ HỌC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ nếu a 1 , a 2 , a 3 . đều chia hết cho b Thì : a/ a 1 + a 2 + a 3 +… chia hết cho b b/ a 1 n + a 2 .n + a 3 .n … chia hết cho b * HỆ QUẢ : a 1 M b a 1 + a 2 M b 2/ b 1 \ a 1 , b 2 \ a 2 , b 3 \ a 3 thì b 1 .b 2 .b 3 \ a 1 .a 2 .a 3 * HỆ QUẢ: b\ a thì b n \ a n và b.c \ a.c ( với mọi n ∈ N, c ≠ 0 , c ∈ Z ) 3/ bc\ ac ⇒ b \ a ( c ≠ 0) 4/ Nếu a M b a M c ( b,c) = 1 5/ Nhò thức Niu-Tơn: a/ a n - b n = ( a-b)(a n-1 b 0 + a n-2 b + a n-3 b 2 +…+a 0 b n-1 ) với n ∈ N, và a ≠ b b/ a n + b n = ( a+ b)(a n-1 b 0 - a n-2 b + a n-3 b 2 – a n-4 b 3 +…-ab n-2 + a 0 b n-1 ) với n ∈ N, n lẻ và a ≠ -b c/ ( a+ b+ c) 2 = 2 2 2 2 2 2a b c ab ac bc+ + + + + d/ 2 2 2 ( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ − = + + + − − 6/ Đònh lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức ) Nếu f(x) có nghiệm là x 0 thì f(x) = ( x-x 0 )g(x) họăc f(x) M ( x-x 0 ). Nói cách khác f(x) M (x- a) khi f(a) = 0 • CHÚ Y Ù:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có nghiệm bằng 1 . Hay f(x) M (x-1) b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x) M (x+1) Tr 1 Thì a 2 M b ⇒ a M b.c 7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ : • Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kiện sau: + Mọi số chẵn đều chia hết cho 2 + ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25). + ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc 125) + Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 + Với a,b ∈ Z ; b ≠ 0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho .a b q r= + (0 r≤ < b ). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho b + Đònh lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho nhò thức g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trò của f(a) + Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia Đa thức f(x) = 1 2 1 2 1 0 . n n n n n n a x a x a x a x a − − − − + + + + + cho nhò thức x α − a n a n-1 a n-2 … a 1 a 0 α b n =a n 1 1 . n n n b b a α − − = + 2 1 2 . n n n b b a α − − − = + … 1 2 1 .b b a α = + 1 0 .r b a α = + ( Dòng thứ 2 : giá trò ở ô cuối cùng là số dư, giá trò ở mỗi ô còn lại là hệ số của đa thức thương) + Tam giác PASSCAN: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Tr 2 ( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy thừa của một tổng 2 số hạng) 8/ NGHI Ệ M C Ủ A Đ A TH Ứ C V Ớ I H Ệ S Ố NGUN : f(x) = 1 2 0 1 2 1 0 . n n n n n a x a x a x a x a − − − + + + + + • Nếu có nghiệm hữu tỷ p q thì : p là ước của a n ( n a pM ) và q là ước của a 0 ( 0 a qM ) • Nếu có nghiệm ngun x = a thì a là ước của a n • Nếu f(x) có nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x) * VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x 3 – x 2 +4 thành nhân tử ( CMR : x 3 – x 2 +4 chia hết cho x 2 +x+2) +nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x = { } 1;1; 2;2− − + Thử lại ta có x = 2 là nghiệm . Vậy 2 ( ) ( 2)( 2)f x x x x= − + + ( 2 ( ) 2 2 f x x x x = + + − ) + x 2 +x+2 có ∆ = -7 < 0 ( VN) * VD2 phân tích f(x) = 3x 3 + 7x 2 + 17x -5 thành nhân tử Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x { } 1; 1; 5; 5∈ − + − + Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì x 1 1 5 5 ; ; ; 3 3 3 3   ∈ − + − +     Thử lại ta có 1 3 là nghiệm . 2 1 ( ) 3( )( 2 5) 3 f x x x x⇒ = − − + do x 2 -2x +5 VN 9/ Phương trình bậc hai : Có biệt thức : ( ) 2 2 0 0 4 ax bx c a b ac + + = ≠ ∆ = − * ∆ < 0 phương trình vơ nghiệm. * ∆ = 0 tphương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − * ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 , 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = VD- 3x 2 – 8x + 4 = 0 10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a * CM f(x) đúng với x = 1 * Giả sử f(x) đúng với x = n * Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1 VD I-PHÉP CHIA HẾT Tr 3 BI 1: 1, Cho biu thc: A = 5 2n a, Tỡm cỏc s nguyờn n biu thc A l phõn s. b, Tỡm cỏc s nguyờn n biu thc A l s nguyờn. 2, Tỡm x bit: a, x chia ht cho c 12; 25; 30 v 0 x 500 b, (3x 2 4 ). 7 3 = 2. 7 4 c, 5 16 2.( 3)x = + 3, Bn Hng ỏnh s trang sỏch bng cỏc s t nhiờn t 1 n 145. Hi bn Hng ó dựng bao nhiờu ch s ? Trong nhng ch s ó s dng thỡ cú bao nhiờu ch s 0 ? BI 2: 1, Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + . . . . + 5 96 a, Chng minh: S M 126 b, Tỡm ch s tn cựng ca S 2, Chng minh A = n(5n + 3) M n vi mi n Z 3,Tỡm a, b N, bit: a + 2b = 48 CLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14 BI 2 :a. Chng minh: 12 1 30 2 n n + + (n Z) ti gin b.Bn Hng ỏnh 1 cun sỏch dy 284 trang bng dóy s chn. c, Bn Hng cn bao nhiờu ch s ỏnh ht cun sỏch ú ? d, Trong dóy s trờn thỡ ch s th 300 l ch s no ? e, Tớnh: 2 2 2 2 . 1.3 3.5 5.7 99.101 + + + + BI 3: 1) Rút gọn 108.6381.4227.21 36.2127.149.7 ++ ++ = A 2) Cho * )3( 3 10.7 3 7.4 3 4.1 3 Nn nn S + ++++= Chứng minh: S < 1 3) So sánh: 2004.2003 12004.2003 và 2005.2004 12005.2004 4) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P +10 là số nguyên tố 5) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21 6 )Cho phân số: )1;( 1 5 + = nZn n n A a) Tìm n để A nguyên. b) Tìm n để A tối giản . BI 4 1) Tìm các giá trị của a để số 5123a a) Chia hết cho 15 b) Chia hết cho 45 2/ Chứng minh rằng: 11810 += nA n chia hết cho 27 (n là số tự nhiên). Tr 4 3/ Cho nnnA 23 23 ++= a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n. b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho 15. 4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm 9 1 , đạt điểm khá chiếm 3 1 , đạt điểm yếu chiếm 14 1 tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình. Tính số học sinh mỗi loại. BI 5: 1/ Cho 200432 3 333 ++++= A a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng 130MA . c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ? 2) Tìm n Z để 31313 2 ++ nnn M CHUYấN TNH TNG HU HN Bi 1: a. Cho n l mt s nguyờn dng. Hóy so sỏnh: 2 1 1 1 + - n n+1 ữ v ( ) 2 2 1 1 1 + - n n+1 b. Tớnh: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + 1 + + + 1 + + + . + 1 + + 2 3 3 4 4 5 2005 2006 Bi 2: Chng minh rng: n n 1 1 1 1 + + + . + n 2 2 3 2 -1 vi n N v Ví dụ1(SGK-T8.Tr25) Chứng minh rằng: n 3 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Giải: Ta có n 3 n =n.(n-1).(n+1). Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 luôn cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó n 3 n 6M . Qua bài toán trên ta thấy n 3 và n đồng d khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta đề xuất một số bài toán tơng tự nh sau. Bài1: Chứng minh rằng : ),(66 33 Znmmnmn ++ MM . Giải: Tacó )(,6)()()()( 1 3333 theoVDmmnnmnmn M +=++ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc bài toán sau. Tr 5 Bài2: Chứng minh rằng: ),1,(,6 6 . 321 33 3 3 2 3 1 niZxxxxxxxxx inn =++++++++ MM Bài3: Cho A= .9998 .321 33333 +++++ Hỏi A có chia hết cho 6 không? Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hết cho 6,trong đó S= 625.33.6 2 )199(99 MS = + . Do đó A 6M . Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004). Chứng minh rằng: 6)( 3333 Mzyxzyx ++ với mọi số nguyên x,y,z. Giải: [ ] )()()()()()( 33333333 zzyyxxzyxzyxzyxzyx ++++=++ . Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài5: Viết số 2004 2005 thành tổng của k số tự nhiên tuỳ ý k aaaa .,, .,, 321 .Tìm số d của phép chia 33 3 3 2 3 1 . k aaaa ++++ cho3. Giải: Đặt N= 33 3 3 2 3 1 . k aaaa ++++ và k aaaa ++++= 2005 321 2004 . Ta có N- = 2004 2005 3)( .)()()( 3 3 3 32 3 21 3 1 M kk aaaaaaaa ++++ ,(VD 1 ) Mặt khác 2004 2005 chia cho 3 d 1, do đó N chia cho 3 d 1. Kết hợp với hằng đẳng thức đã học 1 VD đợc phát triển thành các bài toán thú vị sau. Bài 6: Cho 23232 )()13()1( baabbabaP ++++= . Chứng minh rằng P chia hết cho 6 với mọi số nguyên a,b. Giải: Đặt 222 )(13;1 bayxabbyabax +=++=+= . Khi đó ta có P= 6)()()( 3333 Myyxxyxyx +=++ . Bài7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì: 33)3()3( 23323 MM yxyxyxyx ++++ . Gợi ý: Đặt :,)(3;3 32323 yxbayxybxyxa +=++=+= Ta có 33)()(33 3 1 33 MMMM yxyxBTbaba ++++ (vì 3 là số nguyên tố). Bài8: Cho các số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z= 2007 2006.3 Chứng minh rằng: M= 323232 )()()( xzyzzxzxyyyzxyx ++++++++ chia hết cho 6. Giải: Đặt 333222 ;; cbaMxzyzzcxzxyybyzxyxa ++=++=++=++= Ta có: )(6)()(2 2222 gtTheozyxzxyzxyzyxcba ++=+++++=++ M . Do đó M 6M (theo-BT 2 ) Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau. Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau: a) 333 20052)()( +++=+++ zyxzyyx (1) Tr 6 b) 189)12()1( 3322 =+++ xyyx (2) Giải: a) [ ] [ ] 333 2005)()()()()1( =+++++ zyzyyxyx (3) Dễ thấy VT của (3) chia hết cho 6 (theo-VD1).Nhng 3 2005 không chia hết cho 6,do đó ph- ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) Đặt 222 )(12;1 yxqpxyqyxp +=++=+= . Khi đó phơng trình (2) trở thành : 189 33 =+ qp . Vì 189 3M nên )(33 1 33 BTtheoqpqp ++ MM .Từ đó suy ra p+q là số chính phơng chia hết cho 3. Mặt khác 7.3.9))((189 2233 =++=+ qpqpqpqp .Do đó p+q chỉ có thể bằng 9 ),(39)( 2 + =+=+ Zyxyxyx , từ đó suy ra phơng trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1). Thử lại thấy thoã mãn. Bài 10 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng nn nn ++ =+ 1 1 1 với n là số tự nhiên. Chứng minh : ( nnnn +++ 1)(1 ) 11 =+= nn nn nn ++ =+ 1 1 1 Phát biểu cách khác : 1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì ( )1 nn + và nn ++ 1( ) là hai số nghịch đảo. 2 . nn nn ++= + 1 1 1 (với n là số tự nhiên) Bài 12: Tính a. 99100 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + b. 1 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 Tr 7 Giải : a. 99100 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + = 9110099100 .342312 ==++++ b. 1 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 = 11 .342312 =++++ nnn Bài 13: Tính a. A = 200620005 1 . 43 1 32 1 21 1 ++ + b. B = 122 1 . 43 1 32 1 21 1 + + + kk Định hớng : 21 1 21 + = hay 1 1 1 ++ =+ nn nn Giải : a. A = 200620005 1 . 43 1 32 1 21 1 ++ + = )20062005( .)43()32()21( ++++++ = 20062005 .433221 +++ = )20061( + b. B = 122 1 . 43 1 32 1 21 1 + + + kk B = )122( .)43()32()21( ++++++++ kk = 122 .433221 ++++++ kk = )112( + k ởBài 71, thay 1 = x N ta có bài toán 3 Bài 14 Chứng minh: Với x>0,n 0 Tr 8 Ta có: nxn x nxn ++ =+ Bài15 Tính a. C = 1316 3 . 710 3 47 3 14 3 + ++ + + + + + b. D = 1212 1 . 57 1 45 1 13 1 ++ ++ + + + + + kk Với k là số tự nhiên 1 Giải a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. ( 4 ) 2 - 2 1 = 3 , ở đây x = 3 Ta có: C = + + 14 3 + + 47 3 + + 710 3 + 1316 3 + = 1316 .7104714 ++++ = 314116 == b. áp dụng bài3vào bài bài 4b ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2 = 2, ở đây x = 2 Do đó ta đa về dạng bài toán 4a nh thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế ) 2D = 2 2 2 2 . 3 1 5 3 7 5 2 1 2 1k k + + + + + + + + + 2D = 1212 .573513 +++++ kk 2D = + 112k D = 2 112 + k Bài 16: Tính a. E = 25242425 1 . 3223 1 2112 1 + ++ + + + Định hớng : nnnn )1(1 1 +++ = ? Tr 9 nnnn )1(1 1 +++ = 1 1 + nn . 1 1n n+ + = 1. 1 + −+ nn nn = 1 11 + − nn E = 25 1 24 1 . 3 1 2 1 2 1 1 1 −++−+− = 1- 5 4 5 1 1 25 1 =−= 3 3 3 . . 5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006 b P = + + + + + + Ta cã 3 5 2 2 5+ 3(5 2 2 5) (5 2 2 5)(5 2 2 5) − = + − 3(5 2 2 5) 30 − = = 5 2 2 5 10 − = 5 2 2 5 10 10 − = 1 1 2 5 − 1 1 1 1 1 1 . 2 5 5 8 2003 2006 1 1 2 2006 P P = − + − + + − = − Bµi 17: Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh A = 20062007 − vµ B = 20052006 − Gi¶i : ap dông bµi 71 A = 20062007 1 + B = 20052006 1 + ⇒ A < B do 20052007 > Tr 10 [...]... 2 + 3 ) 2 x = 2 Vậy phơng trìmh đã cho có nghiệm x=2 Bài 29 :Giải phơng trình (20) (9 4 5 ) x + ( 9 + 4 5 ) x = 18 Giải: Đặt y = (9 +4 5 ) x Tr 17 => (9 4 5 ) x = 1 y Phơng trình (20) 1 + y = 18 y y2 - 18y + 1 = 0 Có ' = 81 1 = 80 y1 = 9 + y1 = 9 - 80 80 = 9 +4 = 9 -4 5 5 Thay lại ẩn x nếu: y = 9 + 4 => (9 +4 5 ) x Nếu y = 9 - 4 = 5 5 (9 +4 5 ) 2 => x=-2 Vậy phơng trình có hai nghiệm: x = 2 *.Bài... và bảng số hãy chứng tỏ Giải 101 99 = Vì 0 < 2 101 + 99 ( Suy ra từ bài 10a ) 101 + 99 < 2 100 2 2 > 100 99 > 0,1 101 + 99 2 100 Bài 22: a Chứng minh rằng với mọi n N* 1 < n +1 n 2 n +1 b Chứng minh: 2( n + 1 n ) < 1 < 2( n n 1 ) n Giải a 1 < n +1 n 2 n +1 1 < 2 n +1 2 n +1 > 1 n +1 + n n +1 + ( Ap dụng bài 71 trang 14 ) n (hiển nhiên đúng ) Tr 12 101 99 > 0,1 1 < 2( n n 1 ) n 2( n + 1... 3 + 100 99 ) Cộng vế với vế ta có: 2( 2 + 4 + + 2006 ) + 2008 < 2( 1 + 3 + + 2007 ) A < B Bài 25 : Chứng minh rằng : 1+ 1 1 1 1 + + + + < 100 2 3 4 2500 Chứng minh : Từ bài 13 b ta cũng có : 1 < 2( n + 1 n ) n +1 Lần lợt cho n = 0 , 1 , 2 , 3, 2 499 ta có 11 A= n +x n B= n n x ta có : A < B từ bài toán 6 ta có bài toán sau: Bài 19: So sánh C và D C= m+p m D= n+p n Với m > n > 0 ,p > 0 Ta có C= p m+ p + m p D= n+ p + n Vì m > n C < D *ap dụng bài... minh 18 < S < 19 Chứng minh p dụng bài 13b ta có : 2( n + 1 n ) < 1 < 2( n n 1 ) n Thay n = 2,3,4, 100 ta có: 2( 3 2) < 1 2 . và bảng số hãy chứng tỏ 1, 099 101 > Giải 99 101 2 99 101 + = Vì 0 < 100 299 101 <+ ( Suy ra từ bài 10a ) 1, 099 100 1002 2 99 101 2 >> + Bài 22:. 80181 ' =−=∆ y 1 = 9 + 80 = 9 + 54 y 1 = 9 - 80 = 9 - 54 Thay l¹i Èn x nÕu: y = 9 + 54 => x )5 49( + = 2 )5 49( + NÕu y = 9 - 54 => x=-2 VËy ph¬ng

Ngày đăng: 26/09/2013, 09:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w