22 tìm điểm thuộc elip thỏa mãn điều kiện cho trước tiết 1

TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC – TIẾT "Cácthầytốncóthểlàm video vềtốn 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ" CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG họcsinhcógửinguyệnvọngđến page MƠN TỐN: LỚP 10 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH II/ Các tập quan trọng Dạng 3: Tìm điểm M   E  có yếu tố tam giác – diện tích x2 y   điểm C  2;0  Tìm điểm A, B   E  , biết A, B đối xứng qua trục hoành ABC Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : Giải:  E  có a  ; b   c  1  Giả sử A  x; y  ; A, B đối xứng với qua trục hoành  B  x;  y  Do C  2;0  Ox  CA  CB  ABC cân C Để ABC AB  AC  AB2  AC   x  x   y  y   2  x  0  y  2 2  y    x   y    x   y 1 Mặt khác A   E   x2 y    x2  y   2 Từ 1 ,   ta có hệ phương trình:  x2  x2 y   2 y      x  y        2   x   x   y 4  x  x    x2  x       4   x2 y     x; y    2;0      x   2 3  x; y    ;     7      x   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  2 3 2 3  A  ;   B  ;     7  7 Do A, B  C  loại cặp nghiệm  x; y    2;0    2 3  2 3  A  ;    B  ;       2 3 2 3 2 3 2 3 Vậy có cặp điểm A, B thỏa mãn: A  ; A  ;  ; B ;  ; B      ;  7  7  7  7 7         *) Cách 2: Lấy điểm H cho CH  AB ; H  Ox CH  AB ; CH  d  C; AB  x2 y   Tìm tọa độ điểm A, B   E  cho OAB cân O có diện tích lớn ( A, B có hoành độ dương)? Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : Giải:  E  có a  ; b 1 c  Do OAB cân O ; xA , xB   A, B đối xứng với qua Ox Giả sử A  x; y   B  x;  y   x   Gọi H hình chiếu vng góc O AB  OH  AB ; H  Ox 1  SOAB  OH AB  x y  x y  Smax 2 x x2 Theo bất đẳng thức Cô-si: x y  y   y   SOAB   SOAB max  x x2  y thay vào  E  ta được: Dấu “=” xảy   y  x2 x2    x   x   x   4 2  y2    y   2     2 2 2 2 Vậy có cặp nghiệm A, B thỏa mãn: A  2;  ; B  2;   A  2;   ; B  2;          Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! x2 y   điểm A  3;0  Tìm tọa độ điểm B, C   E  cho ABC vng cân A B có tung độ dương? Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : Giải:  E  có a  ; b 1  c  2 Tam giác ABC vuông cân A  B, C đối xứng qua Ox Giả sử B  x; y   y    C  x;  y  AB   x  3; y  ; AC   x  3;  y  AB  AC  AB AC    x  3 x  3  y   y     x  3  y   y   x  3 2 x2 y x  x  3 Mặt khác B   E    1  1 9  x   x  3   x  x  54 x  81   x   y   ktm B  A    10 x  54 x  72    12  12  x   y    y   y       25 5    12   12   B  ;  ; C  ;    5  5  12   12  Vậy có cặp điểm B, C thỏa mãn: B  ;  ; C  ;    5  5 Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : x2 y   A  5; 1 ; B  1;1 Tìm điểm M   E  cho 16 diện tích MAB đạt giá trị lớn nhất? Giải:  E  có a  ; b   c  11 Gọi M  x; y    E   x2 y   1 16 AB   4;   AB  42  22  qua A  4;  x4 y2 AB   PTCT :   PTTQ : x  y   VTCP u AB  AB   4;  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Gọi H hình chiếu M AB  MH  d  M ; AB  SMAB  x  2y  1 AB.MH  5.d  M ; AB   2 12   2   x  2y   x  2y  Để SMAB max  x  y  max Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cosky ta có:    y    2 y  x  y  x    x                  x2 y   x  y     16  20   1.36   16   x  y   x  y    S MAB max  y 1  x y x      16 10 Dấu “=” xảy   2   x2  y    x  y    x  10 x  16 y    8 5    M  ;  3 3 x  y  y    8 5 Vậy M  ;   3 3 Bài 5: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : x2 y   A  3;4  ; B  5;3 Tìm C   E  cho diện tích tam giác ABC 4,5? Giải: Gọi C  x; y    E   x2 y   1 AB   2; 1  AB   qua A  3;  AB   PTTQ AB : x  y  11   VTCP u AB  AB   2; 1  VTPT nAB  1;  Gọi CH  AB  H  AB   CH  d  C; AB  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! SABC  1 x  y  11 AB.CH  5.d  C; AB    x  y  11 2 2 12  22 Theo yêu cầu toán: SABC  4,5  9  x  y  11  2  x  y  11   x  y  20  x  y  11      x  y  11  9 x  2y  + Với x  y  20  x  20  y thay vào 1 ta được:  20  y   y2   400  80 y  y  y   y  80 y  392   y  10 y  49    y  5  24   phương trình vơ nghiệm + Với x  y   x  y  thay vào 1 ta được: 2  2y y2    y  y2  y2   y2  y     1 1   x    C1 1  3; y   2     y  y 1     y    x    C 1  3;    2   2       1  1  Vậy có điểm C thỏa mãn: C1 1  3;  ; C2 1  3;      Bài 6: Trong mặt phẳng  Oxy  cho Elip  E  : x2 y   Tìm điểm M   E  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  : x  y   lớn nhất? Giải: x2 y   1 2x  3y 1 2x  3y 1 d  M ;    13 22   3 M  x; y    E   Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cosky: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  x   y    x y x  y  2        . 2          32    x2 y   x  y         1.17  17    x  y   17   d  M ;   max  17   x  x   y   17    Dấu “=” xảy    M ;  2 3 17   17  y     17  2 x  y  17   Vậy M  ;  17   17 Dạng 4: Tìm M   E  có tọa độ ngun – Bài toán tƣơng giao Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : x2 y   Tìm M   E  cho M có tọa độ nguyên? Giải: + Nếu M  x; y    E   điểm   x; y  ;  x;  y  ;   x;  y  thuộc  E  Như ta xét M  x0 ; y0  với x0 , y0  ; x0 , y0   M  x0 ; y0    E   x0 y0 y2  1   1 2   y0    y0   y0   x0  2    y0   x0   tm   loai   M  2;1 Vậy tìm điểm M nguyên thỏa mãn: M1  2;1 ; M  2;1 ; M  2; 1 ; M  2; 1 Bài 2: Cho Elip  E  : x2 y   Tìm điểm M   E  cho tổng hai tọa độ M đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất? Giải: Gọi M  x; y    E   x2 y   * Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! x y   x   y    x y       .             2  x2 y   x  y         x  y  1.10  10     10  x  y  10  x      x  y  max  10     x  y   10 x   10 10     M  ;     y  10  10 y 2  10 x y x     10 10     M   ;  x  y    10    5    x  y   10  y   10   x2 y   M 1;1 Viết phương trình đường thẳng qua 25 M cắt  E  hai điểm A, B cho M trung điểm AB ? Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : Giải: Thay M 1;1 vào  E  : x2 y 12 12  1    M có vị trí nằm  E  25 25 Gọi đường thẳng  qua M 1;1  pt  : y  k  x  1  Tọa độ giao điểm A, B   E  nghiệm hệ phương trình:  x2 y  1   Thế   vào 1 ta được:  25  y  k  x  1      25k   x  50k  k  1 x  25  k  2k     3 Để    E  điểm phân biệt A, B   3 có nghiệm phân biệt   '   25k  k  1   25k   25  k  2k    k    3 có hai nghiệm phân biệt k  Do M trung điểm AB  x1  x2  2.1  50k  k  1 2k  25k  25 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  x  1   x  25 y  34  25  : y   Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: x  25 y  34  x2 2 2  y  điểm M  ;  Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt  E  3 3 điểm A, B cho MA  2MB ? Bài 4: Cho Elip  E  : Giải: 2   3 2 2 2  Thay M  ;  vào  E        M có vị trí nằm  E  3 3 3 Nếu    E  A, B  M thuộc đoạn thẳng AB hay MA  2MB Gọi B  x0 ; y0    E   x0  y0   x0  y0   1  2   xA   2  x0    xA   x0    Có MA  MB     yB   y0  y   2  y   A    3  Mà A   E    x0      y0    x0  y0  x0  y0     Từ 1 ,   ta có hệ phương trình: 2  x0  y0   x0  y0      4  x0  y0    x0  y0  x0  y0   2  x0  y0    y0   y0     x0   y0  x0   y0   x0   B1  0;1    y0   y0    5 y  y0         y0    x   5  x0   y0 8 3     B   ;   x0   y0  5 5    y0   qua B1  0;1  + Với B1  0;1  1   1 1 2 VTCP u1  MB1    ;   VTPT n1   ;  / / 1;       Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  pt 1 :1 x     y  1   x  y    8 3 qua B1  ;     8 3 + Với B1  ;     5 5 VTCP u  MB   14 ;    VTPT u   ; 14  / / 1;14  2 2       15 15   15 15   8 3    pt  :1 x    14  x     x  14 y  10  5 5    1 : x  y   Vậy có hai phương trình  thỏa mãn:    : x  14 y  10  x2 y   đường thẳng d : 3x  y 12  0, d cắt  E  hai điểm A, B Tìm tọa độ 16 điểm C   E  cho ABC có diện tích Bài 5: Cho Elip  E  : Giải: A, B  d   E   Tọa độ A, B nghiệm hệ phương trình: 3x  y  12  3x  y  12   x  4; y     x y2 1  x  0; y  9 x  16 y  144   16  A  4;0  ; B  0;3 A  0;3 ; B  4;0   AB   4;3   AB  AB   AB   4; 3 qua  4;0  AB   pt AB : 3x  y  12  VTCP u AB  AB  VTPT nAB   3;  Gọi C  a; b    E   a b2   1 16 12 AB.d  C ; AB    d  C ; AB   3a  4b  12 12 3a  4b  24    3a  4b  12  12   33  42 3a  4b  SABC   + Với 3a  4b  24  b  24  3a thay vào 1 ta được: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a  24  3a     9a  16  576  144a  9a   144 16  153a2  2304a  9072  (phương trình vơ nghiệm) + Với 3a  4b   b  3a thay vào 1 ta được:  3a   a   9a    9a  16  144  18a  144 16 16   2  C1  2;    a  2  b       2  a 8    C  2 2;   a  2  b      2      2 2 Vậy có điểm C thỏa mãn: C1  2;   ; C2  2 2;      x2 y Bài 6: Cho Elip  E  :   đường thẳng  thay đổi có phương trình tổng qt: Ax  By  C  25 thỏa mãn: 25 A2  9B2  C Tính tích khoảng cách từ tiêu điểm F1 , F2 đến  Giải:  E  có a2  25  a  ; b2   b   c   F1  4;0  ; F2  4;0  d1  d  F1 ;     d1.d  4 A  C A2  B C  16 A2 A2  B ; d  d  F2 ;    4A  C A2  B 1 Thế 25 A2  9B2  C vào 1 ta được: d1.d  25 A2  B  16 A2 A2  B  A2  B A2  B 9 Vậy tích khoảng cách từ tiêu điểm F1 , F2 đến  10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ... x0   tm   loai   M  2 ;1 Vậy tìm điểm M nguyên thỏa mãn: M1  2 ;1 ; M  2 ;1 ; M  2; 1 ; M  2; 1 Bài 2: Cho Elip  E  : x2 y   Tìm điểm M   E  cho tổng hai tọa độ M đạt giá... SABC  1 x  y  11 AB.CH  5.d  C; AB    x  y  11 2 2 12  22 Theo yêu cầu toán: SABC  4,5  9  x  y  11  2  x  y  11   x  y  20  x  y  11      x  y  11  9...     1 1   x    C1  1  3; y   2     y  y 1     y    x    C 1  3;    2   2       1  1  Vậy có điểm C thỏa mãn: C1  1  3;  ; C2  1  3; 