TÌM điểm THỎA mãn điều KIỆN CHO TRƯỚC

VẤN ĐỀ 7: TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.1.. Tìm giao điểm của đường thẳng và d AB.. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và AB... Ta có: Vậy điểm M cách xa đường thẳng  nhất...

Trang 1

VẤN ĐỀ 7: TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

1 Phương pháp giải.

Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:

 Điểm A thuộc đường thẳng 0

0

: x x at,t R

�

:x x y y

( 0 ; 0 )

A x +at y +bt

 Điểm A thuộc đường thẳng :D ax+by+ = (ĐK: c 0 a2+b2 � ) có dạng 0 A t��;- at b- c�� với

0

b � hoặc A bt c;t

a

�- - ��

� � với a �0

2.Bài tập trắc nghiệm.

NHẬN BIẾT

Câu 1: Điểm nào nằm trên đường thẳng : x 1 23 t t 

 

�

�  

A.A2; –1. B.B–7;0. C.C 3;5 . D.D3; 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 2 1 2 3 

�

 

�  �� 

Thay lần lượt tọa độ của các điểm A B C D, , , thấy chỉ có D 3;2 thỏa mãn  Chọn D.

Câu 2: Tọa độ giao điểm của đường thẳng 5x2y 10 0 và trục hoành là:

A  2;0 B  0;5 C 2;0 D  0;2

Thay y0 vào phương trình đường thẳng ta có: 5x2.0 10 0  � x2

Chọn A.

Câu 3: Giao điểm của hai đường thẳng 7x3y16 0 và x  là điểm có tọa độ10 0

A 10; 18  B 10;18  C 10;18 D 10; 18 

Ta có: x  thay vào phương trình đường thẳng ta có: 10 7 10 3y 16 0� y 18

Chọn A

Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  1

:

 và  d2 :x y  1 0

A   2; 1 B 2;1 C  2;3 D  2;1

 1



Xét hệ phương trình: 2 4 0 2 4 2

�    �    � 

Chọn D

Câu 5: Cho đường thẳng : 12 5

3 6

d

 

�

�  

� Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d ?

Trang 2

A 13;33 B 20;9  C  7;5 D 12;0 

Chọn A

Câu 6: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng 1 3 4

:

2 5

d

  

�

�  

1 4 :

7 5

d

�

 

�

A. 1;7 B.3;2 

C.2; 3   D. 5;1

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngd và1 d là nghiệm của hệ phương trình:2

�

�   � ��

� � thay vào phương trình đường thẳngd và1 d ta được2 x1,y7

Chọn A

Câu 7: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng 1 22 2

:

55 5

d

�

�  

� , : 2d2 x3y 19 0

A. 2;5 B.10; 25  C.1;7  D. 2;5

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngd và1 d là nghiệm của hệ phương trình:2

22 2

2x 3y 19 0

 

�

�   

�

Suy ra toạ độ giao điểm là 2;5  Chọn A

Câu 8: Đường thẳng 12x7y 5 0 không đi qua điểm nào sau đây ?

A ( 1; 1)  B  1;1 C 5 ; 0

12

17 1;

7

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm (1;1) không thỏa mãn

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng :15x2y10 0 và trục tung Oy.

A 5;0 B  0;5 C 0; 5  D 2;5

3

� �.

Giải hệ: 15 2 10 0 5

�

Vậy tọa độ giao điểm của :15x2y 10 0 và trục tung Oylà 0; 5   Chọn C.

Câu 10: Khoảng cách từ điểm M(1 ; )1 đến đường thẳng :  3x4y17 0 là:

A 2

10

18 5

Khoảng cách từ điểm M(1 ; )1 đến đường thẳng :  3x4y17 0 là:

Trang 3

 2 2

3.1 4.( 1) 17

THÔNG HIỂU

Câu 11: Cho hai điểm A–2;0 , 1; 4  B và đường thẳng :

2

d

 

�

�  

� Tìm giao điểm của đường thẳng

và

d AB.

A  2;0 B –2;0  C  0;2 D 0; – 2 

Đường thẳng AB đi qua điểm A–2;0 và có vtcp ABuuur 3; 4 , vtpt n r4; 3 

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB: 4x3y 8 0

Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 2 và có vtcp u r   1; 1, vtpt p r 1; 1 

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d x y:   2 0

Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và AB

Tọa độ điểm K thỏa hệ phương trình 4 3 8 0 2  2;0



Chọn B

Câu 12: Cho điểmA(0;1)và đường thẳng 1 2

d

y t

 

�

� 

� Tìm một điểmM trên d và cách Amột khoảng

bằng 10?

A. 2;3  B.3;2  C. 3;2 D.3; 2  

(1 2 ; )

M� �d M  t t

2 3; 2

;

�

�  � � �

�

Chọn B

Câu 13: Tìm điểm M nằm trên   :x y 1 0và cáchN1;3 một khoảng bằng 5 ?

A.2; 1   B.  2; 1  C.2;1  D. 2;1

( ;1 )

M� � M t t

5 : 1 (2 ) 25 2 6 20 0

�

  � 

�

Chọn A

Câu 14: Cho đường thẳng :  21x11y10 0 Trong các điểm M(21 ; 3 , ) N0 ; 4 , P19 ; 2,

1 ; 5

Q điểm nào cách xa đường thẳng  nhất ?

Trang 4

Ta có:

Vậy điểm M cách xa đường thẳng  nhất

 Chọn B

Câu 15: Cho 4 điểmA(0 ; 2 ,  ) B(1 ; 0 , 0 ; 4) C(  ), D( 2 0 ; ) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường

thẳng AB và CD

2 2

ABcó vectơ chỉ phương là uuurAB  1; 2 và CD có vectơ chỉ phương là CDuuur  2; 4

Ta có : uuurAB  1; 2và CDuuur  2; 4 cùng phương nên AB và CD không có giao điểm.

 Chọn D

Câu 16: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng 1 :3x2y 6 0 và

2 :

 3x2y 3 0

A (0 ; 2) B 1 ; 0

2

� � C 1 ; 0  D ( 2 ; 0)

Ta có : M �Ox�M x ;0

3 6 3 3( )

2

  

�

�     � 

� Vậy 1;0

2

Câu 17: Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy và cách đều hai đường thẳng : d1: 3x2y  và6 0

2: 3 2 3 0

d x y 

A 0; 3

4

�  �

Gọi M(0; )m Theo bài ra ta có

 1  2

d M d d M d �  m   m �m �M�� ��

� �  Chọn A.

Câu 18: Tam giác ABC đều có A( 1; 3)  và đường caoBB�: 5x3y 15 0 Tọa độ đỉnh C là:

A. 128 36; .

17 17

128 36

C ��  ��

128 36

C ��  ��

128 36

17 17

C �� ��

Vì tam giác ABC đều nên A vàC đối xứng nhau qua BB�

Trang 5

Gọi d là đường thẳng qua Avàd BB��d: 3x5y 12 0

H  �d BB�� tọa độ điểmHlà nghiệm của hệ: 5 3 15 0 128; 15

H

  

� Suy ra (128 36; )

17 17

C

Chọn A

Câu 19: Cho đường thẳng D : 3x- 4y- 12=0

a) Tìm tọa độ điểm A thuộc D và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn

;

25 25

A ��- - ��

�

C A1(4;0) và 2 28 96

;

25 25

A ��- - ��

� D A1(0; 3- )

b) Tìm điểm B thuộc D và cách đều hai điểm E(5;0) , F(3; 2- )

A B(4;0) B B(0; 3- ) C 28 96

;

25 25

B��- - ��

� D

24 3

;

B�� - ��

� c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M ( )1;2 lên đường thẳng D

A H(4;0) B H(0; 3- ) C 28; 96

25 25

H��- - ��

� D

76; 18

25 25

H�� -��

�

Lời giải

a) Dễ thấy M(0; 3- ) thuộc đường thẳng D và ur(4;3) là một vectơ chỉ phương của D nên có phương trình tham số là 4

3 3

�

� = - +

Điểm A thuộc D nên tọa độ của điểm A có dạng A t(4 ; 3 3- + t) suy ra

25

t

� =

�

-�=

� Vậy ta tìm được hai điểm là A1(4;0) và 2 28; 96

25 25

A ��- - ��

� b) Vì B �D nên B t(4 ; 3 3- + t)

Điểm B cách đều hai điểm E(5;0), F (3; 2- ) suy ra

7

Suy ra 24 3

;

B�� - ��

� c) Gọi H là hình chiếu của M lên D khi đó H �D nên H(4 ; 3 3t - + t)

Ta có ur(4;3)là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với HMuuuur(4t- 1;3t- 5) nên

25

HM uuuuur r = � t- + t- = � =t

Trang 6

Suy ra 76; 18

25 25

H�� -��

�

Câu 20: Cho hai điểm A(3; )1 và B 0;3 Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ

M đến đường thẳng AB bằng AB?

A.

34;0 ; 4;0  

9

� � B  2;0 và 1;0 C. 4;0 D ( 13;0).

Ta gọi M a ;0 , pt AB: 4x3y 9 0,AB5

34

a

�

 

�

 Chọn A

VẬN DỤNG THẤP

Câu 21: Cho đường thẳng d: 2 – 3x y 3 0 và M8; 2 Tọa độ của điểm M � đối xứng với M qua

d là:

A ( 4 ) ;8 B ( 4; 8) C (4;8) D (4;8)

Ta thấy hoành độ và tung độ của điểm M � chỉ nhận một trong 2 giá trị nên ta có thể làm như sau:

Đường thẳng d có 1 VTPT nr(2; 3) , Gọi M x y'( ; ) thì MM xuuuuur'( 2;y3)

M � đối xứng với M qua d nên MM xuuuuur'( 2;y3) và nr(2; 3) cùng phương khi và chỉ khi

x

 Thay y8 vào ta được x4

Thay y 8 vào thấy không ra đúng x � 4  Chọn C

Cách khác:

+ Ptdt  đi qua M và vuông góc với d là: 3(x 8) 2(y 2) 0�3x2y28 0 .

+ Gọi H d� � H(6;5)

+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM � Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra

�

Câu 22: Cho đường thẳng đi qua 2 điểmA(3 ; 1 ,  ) B0 ; 3 , tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho

khoảng cách từ M tới đường thẳng AB bằng1

A. 1;0 3,5;0và   B.( 13 0) ; C.4 ; 0  D 2 ; 0 

Đường thẳng đi qua 2 điểm A(3; )1 và B 0;3 có vectơ chỉ phương là uuurAB  3; 4suy ra tọa độ vectơ pháp tuyến là (4;3).

Vậy PTTQAB:4x 3 3 y 1 0�4x3y 9 0

 ;0

M �Ox�M x

Trang 7

 

2 2

;0

d M AB

x

  

�

 Chọn A

Câu 23: Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A   1; 2 ,B 4;6 , tìm tọa độ điểm M thuộcOysao cho diện

tích MAB bằng1

A. 0;1 B  0;0 và 0;4

3

� �

� � C  0; 2 D  1;0

 

3; 4 5; 0;

: 4 3 2 0 1

2

2 ,

5

M

MAB

d M AB



  



�

uuur

2 2

0

| 4.0 3 2 | 2

4 5

4 3

3

M M

M

y y

y



�

� 

Câu 24: Toạ độ hình chiếu của M 4;1 trên đường thẳng ( ) : –x 2y 4 0 là :

A (14;19 ) B (2;3 ) C. 14 17;

5 5

14 17

;

5 5

Đường thẳng ( ) có 1 VTPT nr(1; 2) , Gọi H t(2 4; )t là hình chiếu của M 4;1 trên đường thẳng ( ) thì MH tuuuur(2 8;t1)

(2 4; )

H t t là hình chiếu của M 4;1 trên đường thẳng ( ) nên MH tuuuur(2 8;t1) và nr(2; 3) cùng phương khi và chỉ khi 2 8 1 17

t



14 17

;

5 5

Câu 25: Cho điểm C2;5 và đường thẳng : 3 x4y  Tìm trên  hai điểm ,4 0 A B đối xứng

với nhau qua 2;5

2

� �

� � và diện tích tam giác ABC bằng 15

A 52 50; , 8 5;

12 12 12 12

B 52 50; , 8 5;

11 11 11 11

A�� B  ��

� � � � hoặc

8 5 52 50

12 12 12 12

C 52 50; , 8 5;

13 13 11 11

A B hoặc 8 5; , 52 50;

11 11 13 13

D 52 50; , 8 5;

11 11 11 11

A�� B  ��

� � � � hoặc

8 5 52 50

11 11 11 11

A�� � �� B ��

Lời giải

Trang 8

Dễ thấy đường thẳng  đi qua M 0;1 và nhận ur 4;3

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham

số là 4

1 3

x t



�

�  

�

Vì A� nên  A t4 ;1 3 , t t R �

Hai điểm ,A B đối xứng với nhau qua 2;5

2

� �

� � suy ra

4

2

4 3

1 3 5

B

B B B

t x

t y



� 

�

Do đó B4 4 ; 4 3 t  t

Ta có   2 2

4 8 3 6 5 2 1

AB  t   t  t và  ;  3 2  4.5 4 22

Suy ra 1  ;  1.5 2 1 22 11 2 1

ABC

Diện tích tam giác ABC bằng 15 11 2 1 15 2 1 15 13

11

t 

Với 13 52 50; , 8 5;

11 11 11 11 11

t � �A�� B  ��

Với 2 8 5; , 52 50;

11 11 11 11 11

t   � �A� � �� B ��

Vậy 52 50; , 8 5;

11 11 11 11

A�� B  ��

� � � � hoặc

8 5 52 50

11 11 11 11

A�� � �� B ��

Câu 26: Cho đường thẳng :d x- 2y- 2= và 2 điểm 0 A(0;1) và B(3;4) Tìm tọa độ điểm M trên

d sao cho MAuuur+2MBuuur là nhỏ nhất.

A 1; 1

2

M�� ��

� � B M0; 1   C M 2;0 D 16 3;

5 5

M��

�

Lời giải

(2 2; )

M � �d M t + t , MAuuur(- 2t- 2;1- t MB), uuur(1 2 ;4- t - t) do đó

MAuuur+ MBuuur = - t- t+

MA+ MB = - t + - t+ = ��t- ��+ �

� uuur uuur

2

MAuuur+ MBuuur nhỏ nhất khi và chỉ khi 3

5

t = do đó 16 3;

5 5

M��

� là điểm cần tìm.

Câu 27: Cho tam giác ABC vuông ở A Biết A(- 1;4 ,) B(1; 4- ), đường thẳng BC đi qua điểm

7

;2 3

K � �� Tìm toạ độ đỉnh � C

A C -( 2;4) B C(3;5) C C -( 2;5) D C -( 3;4)

Lời giải

Trang 9

Ta có 4;6

3

BK � ��

� �

uuur

suy ra đường thẳng BC nhận ur(2;9) làm VTCP nên có phương trình là

1 2

4 9

� = +

�

� = - +

�

(1 2 ; 4 9)

C �BC �C + t - + t

Tam giác ABC vuông tại A nên AB AC =uuur uuur. 0, ABuuur(2; 8 ,- ) ACuuur(2 2 ; 8 9+ t - + t) suy ra

2 2 2+ t - 8 9t- 8 = � =0 t 1

Vậy C(3;5)

Câu 28: Cho hai đường thẳng D :x- 2y+ = và 6 0 ' : x 1 t

� =

-�

a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A -( 1;0) qua đường thẳng D

A A -'( 2;4) B A -'( 3;5) C A -'( 2;5) D A -'( 3;4)

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với D qua D'

4 7

� = - +

�

� =

3 2

4 7

� = - +

�

� =

3 5

4 7

� = - +

�

� =

3

4 7

� = - +

�

� =

-�

Lời giải

a) Gọi H là hình chiếu của A lên D khi đó H t(2 - 6;t)

Ta có ur( )2;1 là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với AH tuuur(2 - 5;t) nên

AH uuuur r = � t- + = � = �t t H

-'

A là điểm đối xứng với A qua D suy ra H là trung điểm của AA do đó '

Vậy điểm cần tìm là A -'( 3;4)

b) Thay x 1 t

� =

-�

�

� vào phương trình D ta được

5

3

- - - + = � = suy ra giao điểm của

D và 'D là 8 5;

3 3

K ��- ��

�

Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D do đó đường thẳng đối xứng với '' D qua D đi qua điểm 'A và điểm K do đó nhận ' 1; 7 1(1; 7)

A K =�� - ��=

-�

uuuur

nên có phương trình là 3

4 7

� = - +

�

� =

-�

Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên D ta có thể làm cách khác như sau: ta có đường thẳng

AH nhận ur( )2;1 làm VTPT nên có phương trình là 2x + + = do đó tọa độ H là nghiệm của hệ y 2 0

2;2

H

�

-�

� + + =

�

Câu 29: Cho hai điểm A(1;1), B(4;-3), tìm điểm C nằm trên đường thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách

từ C đến đường thẳng AB bằng 6

Trang 10

A

(7;3)

43 27

11 11

C C

�

�  

�

B

( 2;3)

43 27

11 11

C C



�

�  

�

C

(7; 3)

43 27

11 11

C C



�

�  

�

D

(7;3)

43 27 ( ; )

11 11

C C

�

Hướng dẫn giải.

C nằm trên x2y  nên 1 0 C c2 1;c .

    : 4 1 3 1 0 4 3 7 0

AB x  y  � x y  .

Ta có  ,  6 4 2 12 32 7 6 11 3 30 3 27

4 3

11

c



�

� 

Câu 30: Cho A   2; 2 ,B 5;1 và đường thẳng : – 2x y 8 0. Điểm C � C có hoành độ dương 

sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 Tọa độ của C là

A 10;12  B.12; 10  C 8; 8  D 10; 8 

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng AB x: 3y 8 0

Điểm C� � C t2 8;t

Diện tích tam giác ABC : 1  ;  17 1 10 5 16 17 1018 12;10

5

t t

t



�

� 

�

Chọn B.

VẬN DỤNG CAO

Câu 31: Cho hình bình hành ABCD Biết 7 5;

2 2

I ��

� là trung điểm của cạnh CD , 3;3

2

D� ��

� �và đường phân giác góc �BAC có phương trình là D :x y- + = Xác định tọa độ đỉnh 1 0 B

A B -( 2;4) B B(3;5) C B -( 2;5) D B(2;4)

Lời giải Cách 1 : Điểm I là trung điểm của CD nên

4;

2

C

�

Vì A �D nên tọa độ điểm A có dạng A a a +( ; 1)

Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với DA DCuuur uuur, không cùng phương và

ABuuur =DCuuur

Trang 11

( )

1; 3

1

2 2

B

B B B

� uuur uuur

,

DA DCuuur uuur không cùng phương khi và chỉ khi

3 1

a

Đường thẳng D là phân giác góc �BAC nhận vectơ u =r ( )1;1 làm vec tơ chỉ phương nên

cos AB u; cos AC u; AB u AC u

uuur r uuur r uuur r uuur r

uuur r uuur r (*)

Có ( )1;2 , 4 ;5

2

AB AC�� -�� a - a��

�

uuur uuur

nên

( )

2 2

2

( )

2 4

2

a a

� =

�

� =

- +��- ��

� Vậy tọa độ điểm B(2;4)

Cách 2 : Ta có 7

4;

2

C� ��

� �. Đường thẳng d đi qua C vuông góc với D nhận ur( )1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 1.( 4) 1 7 0

2

x- + ��y- ��=

� hay 2x+2y- 15=0

Tọa độ giao điểm H của D và d là nghiệm của hệ:

13

;

4

x

x y

H

�

� =

� Gọi 'C là điểm đối xứng với C qua D thì khi đó ' C thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là

trung điểm của CC do đó ' ' '

'

5

' ;5 2

C

�

Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua ' C và nhận DCuuur( )1;2 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là

5 2

�

� = +

�

� = +

�

Trang 12

Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng D ta được

2+ -t - t+ = � = -t 2 suy ra A( )1;2

ABCD là hình bình hành nên 1 1 2

uuur uuur

Suy ra B(2;4)

Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận xét " D là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau D và 1 D khi đó điểm đối xứng với điểm2

1

M �D qua D thuộc D "2

Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của

cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử 11 1;

2 2

� � và đường thẳng

AN có phương trình 2x y    Tìm tọa độ điểm A 3 0

A A 1;1 hoặc A 4;5 B A1; 1 hoặc  A4; 5 

C A1; 1 hoặc  A  4; 5 D A1; 1 hoặc  A 4;5

Hướng dẫn giải.

Q

P H

C

B

D A

N

Gọi H là giao điểm của AN và BD Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB , cắt AD

và BC lần lượt tại P và Q

Đặt HP x Suy ra PD x AP , 3x và HQ3x

Ta có QC  , nên MQ x x  Do đó AHP  HMQ , suy ra AH HM

Hơn nữa, ta cũng có AH HM

2

A AN� , suy ra t t; 2  3

1

2

4

t



�

 �� � ��   �� � �� Vậy A1; 1 hoặc  A 4;5 .

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,93 MB