Tổ 25 HSG hà tĩnh k10 lần 1 nguyễn đạt (2)

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN ĐỀ THI HSG HÀ TĨNH K10 -K11 NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút ĐỀ BÀI Câu ( điểm) a Giải bất phương trình ( ) ( ) 3x x − x + ≥ − x4 ( )( )  x2 + + x y + − y =   b Giải hệ phương trình  x + y − + x x − y + = 10 Câu ( điểm ) a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x − x + , điểm I(1, 4) đường thẳng d: y = mx + m + Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB cân I b Một người nơng dân có khu đất rộng dọc theo sông Người muốn làm hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau ni gà Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng có chi phí ngun vật liệu 80 ngàn đồng mét dài, phần lại chi phí ngun vật liệu 40 ngàn đồng mét dài Tính diện tích lớn phần đất mà người nơng dân rào với chi phí vật liệu 20 triệu đồng Câu (6.0 điểm) a Cho tam giác ABC có chu vi 20, góc · = 600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BAC Gọi A1 , B1 ,C1 hình chiếu vng góc A, B,C lên BC , AC ,AB M điểm tam giác ABC tròn ngoại tiếp tam giác b Trong mặt phẳng tọa độ cho ·ABM = BCM · · = CAM =ϕ Tính cot ϕ bán kính đường A1 B1 C1 Oxy , cho tam giác ABC vuông A , đỉnh C ( − 4;1) , phân giác A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 36 đỉnh A có hồnh độ dương góc Câu ( 2.0 điểm ) Cho phương trình ( x + ax + 1) + a ( x + ax + 1) + = 0, trình có nghiệm thực Chứng minh với a tham số Biết phương a > Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN Câu ( 2.0 điểm ) Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn x3 + y + z = xyz + ( x + y + z ) P= − Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy + yz + zx xy + yz + zx + Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN ĐÁP ÁN VÀ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ THPTQG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN NĂM 2018 - 2019 Câu 1a Giải bất phương trình ) ( 3x x − x + ≥ ( − x4 ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Hường; Fb: Nguyen Huong ( ) ( 3x x − x + ≥ − x ) ⇔ x − 3x x + ≥ − x ( ) ⇔ x x + − 3x x2 + − ≥ )( ( ) ⇔ x x2 + − 2 x x2 + + ≥  x x2 + ≥  ⇔  x x + ≤ − Giải ( 1) ( 2) ( 1) : x > x > ⇔  2  x x + ≥  x + x − ≥  x > ⇔ ⇔ x ≥1  x − x + ≥ ( 1) ⇔  ( Giải ( ) )( ) ( 2) : Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN x < x <   ( 2) ⇔  2 1⇔  x x + ≥  x + x − ≥ x <  ⇔  −3 + 10  + 10  ÷  x − ÷ x + ÷ ÷≥    ( ⇔ x≤− ) −3 + 10  − + 10   ∪ [ 1; +∞ ) S =  −∞ ; −  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm   )( ( )  x2 + + x y + − y =   Câu 1b: Giải hệ phương trình  x + y − + x x − y + = 10 Người làm: Nguyễn Quốc Lân (dhbktoannql@gmail.com) Lời Giải )( ( )  x2 + + x y + − y = (1)   Xét hệ phương trình  x + y − + x x − y + = 10 (2) Điều kiện y2 + − y > ∀ y ∈ ¡ Nhận xét (1) ⇔ x +1+ x = Vậy (1) ⇔ ⇔ ( ) y2 + − y x + − y + + ( x − y) = 2  x + 2y − ≥   x − 2y + ≥ = ( ( ⇔ y2 + + y y2 + − y )( y2 + + y = = y2 + + y y + 1− y y2 + + y x2 + − y + )( ) x2 + + y + x2 + + y + ) + ( x − y) =   x+ y ⇔ x − y +  =0 + ( x − y) = ( ) 2 2  x + + y +  x +1+ y +1 x2 − y2 x2 + + y + > x2 + y = x + y ≥ − x − y ⇒ + Chú ý Khi ( 2) ⇔ ( x+ y x +1+ y +1 ) >0 ( x= y , ) 3x − + x − x = 10 ⇔ 3 x − − + ( x − ) − x + − x − = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ⇔ ( 3x − 6) 3x − + + ( x − 2) − x + ( − x) 6− x + Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN =0   ⇔ ( x − 2)  + 6− x − ÷= 6− x +2  3x − + Điều kiện: ( 3) 2 ≥ ≤ =1 3x − + 2 Mặt khác − x + 2 x ≤ ⇒ 3x − + ≤ ⇒ 9 3  + 6− x ≥ >1≥ ⇒ + 6− x − > ∀ x ∈  ; 6 Do x − + 2 3x − + 6− x + 6−x +2 2  Từ đó: ( 3) ⇔ x = ⇒ x = y = : thỏa điều kiện Vậy hệ có nghiệm x = y = () Nhận xét: Có thể xét hàm f t = t + + t chứng minh cách vượt kiến thức lớp 10 Câu 2a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): f ' ( t ) > ∀ t ∈ R , từ ⇒ x = y , y = x − x + , điểm I(1, 4) đường thẳng d: y = mx + m + Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB cân I Lời giải Người giải: Nguyễn Thị Thảo ; Fb: Cỏ Vô Ưu Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng d là: x − x + = mx + m + ⇔ x − (m + 4) x − m − = (1) Để đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ = (m + 6)2 > ⇔ m ≠ Tam giác IAB cân I I, A, B không thẳng hàng * I, A, B không thẳng hàng * IA2 = IB ⇔ I ∉ d ⇔ 2m + ≠ ⇔ m ≠ − IA2 = IB Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN ⇔ ( x1 − 1) + ( y1 − 4) = ( x2 − 1) + ( y2 − 4) ⇔ ( x1 − 1) + ( mx1 + m + 4) = ( x2 − 1) + ( mx2 + m + 4) ⇔ ( x1 − x2 ) (1 + m )( x1 + x2 ) + 2m + 8m −  =  x1 = x2 ⇔ 2 (1 + m )( x1 + x2 ) + 2m + 8m − = ⇔ (1 + m )( x1 + x2 ) + 2m + 8m − = ⇔ m3 + 6m + m + =  m = −2 −  ⇔  m = −2 +  m = −2  Vậy giá trị m thỏa yêu cầu đề m = −2− , m = −2+ Câu 2b Một người nông dân có khu đất rộng dọc theo sơng Người muốn làm hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau nuôi gà Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng có chi phí ngun vật liệu 80 ngàn đồng mét dài, phần lại chi phí ngun vật liệu 40 ngàn đồng mét dài Tính diện tích lớn phần đất mà người nông dân rào với chi phí vật liệu 20 triệu đồng Tác giả Lê Thái Bình ,Face: lebinhle80@gmail.com Lời giải Gọi chiều rộng hình chữ nhật x ( m ) ; ( x > 0) chiều dài phần đất trồng rau nuôi gà a ( m ) , b ( m ) ; a > 0; b > Khi diện tích khu đất đồng nên ta có S = ( a + b ) x ( m ) Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí 20 triệu 3x.40000 + ( a + b ) 80000 = 20000000 ⇔ 3x + ( a + b ) = 500 Ta có 3x + ( a + b )  5002 15625 15625 175 250 12S = x.4 ( a + b ) ≤ = ⇒S≤ ⇒ MaxS= ⇔ a+b = ;x = 4 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN Câu (6.0 điểm) a Cho tam giác ABC có chu vi 20, góc · = 600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BAC Gọi A1 , B1 ,C1 hình chiếu vng góc A, B,C lên BC , AC ,AB M điểm tam giác ABC tròn ngoại tiếp tam giác cho ·ABM = BCM · · = CAM =ϕ Tính cot ϕ bán kính đường A1 B1 C1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Phạm Minh Trí ; Fb: Tri Nguyen BC = a,CA = b,AB = c S , p, r diện tích, nửa chu vi bán kính đường tròn nội tiếp tích tam giác ABC Gọi Theo đề ta có ·ABM = BCM · · = CAM =ϕ Vậy M điểm Brocard tam giác ABC Khi ta có tính chất quen thuộc sau cot ϕ = cot A + cot B + cot C Lại sử dụng đẳng thức lượng giác sau: cot ϕ = b2 + c2 + a 4S cot A = b2 + c − a , ta 4S Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vậy ta cần tìm độ dài cạnh tam giác Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN ABC · S = pr = bc sin BAC = 10 ⇒ bc = 40 Có: (1) I , D tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi hình chiếu I lên cạnh AB Theo cơng thức tính bán kính đường tròn nội tiếp ta được: r= b+ c− a ⇒ b+ c− a = b + c + a = 20 Do đó: thay (b + c − a)(b + c + a) = 120 ⇒ (b + c) − a = 120 ⇒ (a + 6)2 − a = 120 ⇒ a = a = vào đẳng thức b + c + a = 20 , ta b + c = 13 (2) bc = 40  Từ (1), (2) ta b + c = 13 không giảm tổng quát ta giả sử b < c giải b = 5,c = b + c + a 52 + + 82 23 cot ϕ = = = 4S 20 4.10 Gọi R0 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 Ta có Mà · · B· AC 1 = 180 − BAC 1 − B1 AC ∆ B1 AC : ∆ BAC tương tự ta có 0 · · · ∆ BA1C1 : ∆ BAC nên BAC 1 = B1 A1C = 60 ⇒ B1 AC 1 = 60 ∆ B1 AC1 : ∆ BAC ⇒ B1C1 AB1 = = sinA = ⇒ B1C1 = BC AB 2 B1C1 R0 = = = · A C 2sin 60 Vậy 2sin B 1 Câu 3b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , đỉnh C ( − 4;1) , phân giác A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 36 đỉnh A có hồnh độ dương góc Lời giải Tác giả: Trịnh Thúy; Fb: Catus Smile Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN uuuur Từ C kẻ CH ⊥ AD H , CH ∩ AB = K AD : x + y − = gọi n AD véc-tơ pháp tuyến uuuur uuuur AD ⇒ n AD = ( 1;1) CH ⊥ AD ⇒ nCH = ( 1; −1)  qua C (− 4;1) uuuur  Phương trình đường thẳng ( CH ) : VTPT nCH = (1; − 1) ⇒ ( CH ) : x − y + = x+ y− 5= x = ⇔ ⇒ H ( 0;5 )  y = Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình  x − y + =  Ta có tam giác Gọi ACK cân A ⇒H trung điểm CK ⇒ K ( 4;9 ) uuur uuur A ( a;5 − a ) ( a > ) ⇒ KA = ( a − 4; −4 − a ) ; CA = ( a + 4;4 − a ) uuur uuur Vì AK ⊥ AC ⇒ KACA = ⇔ (a − 4)(a + 4) + (4 + a)(a − 4) = uuur ⇔ a − = ⇔ a = ⇒ A ( 4;1) ⇒ AC = ( − 8;0 ) ⇒ AC = uuuur uuur AK = (0;8) ⇒ nAK = (1;0) ⇒ AK : x − = S ABC = Với  b = 10 AB AC ⇔ b − = 36 ⇔ b − = ⇔  b = −8 b = − ⇒ B ( 4; − 8) Đặt f ( x, y ) = x + y − ⇒ f B = −9; fC = −8 ⇒ f B fC > ⇒ B; C phía với Với gọi uuur B ( 4; b ) ⇒ AB = (0;b − 1) ⇒ AB = b − AD (loại) b = 10 ⇒ B ( 4;10 ) Đặt f ( x, y ) = x + y − ⇒ f B = 9; fC = − ⇒ f B fC < ⇒ B; C phía với AD (TM) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang khác Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đường thẳng BC  qua B ( 4;10 )  uuur  BC = ( − 8; − ) nên có phương trình:  x = − 8t (t∈¡ )   y = 10 − 9t Câu Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN Cho phương trình ( x + ax + 1) + a ( x + ax + 1) + = 0, trình có nghiệm thực Chứng minh với a tham số Biết phương a > Lời giải Tác giả: Phan Văn Lâm; FB: Lâm Phan Xét phương trình ( x Đặt t = x + ax + 1, + ax + 1) + a ( x + ax + 1) + = ( 1) x + ax + − t = ( ) phương trình cho trở thành: t + at + = ( 3) Phương trình ( 1) có nghiệm a t thỏa mãn: a − ≥ a − + 4t ≥ a − ≥ ⇔ a ≤ − hay a ≥ Nếu a ≤ − ( 3) có nghiệm t > 0, a − + 4t > 0, suy ( ) có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết ( 1) có nghiệm Nếu a = phương trình Vậy Câu ( 3) có nghiệm t = − 1, điều kiện a − + 4t ≥ không thỏa mãn a > Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn x3 + y + z = xyz + ( x + y + z ) P= − Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy + yz + zx xy + yz + zx + Tác giả Lê Thái Bình,Face: lebinhle80@gmail.com Lời giải Ta có đánh giá sau: • x3 + + ≥ 3x ⇒ x + y + z + ≥ ( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≤ x3 + y + z = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) + 3xyz ≤ ( x + y + z − xy − yz − zx ) + 3xyz • ⇒ − xyz ≤ x + y + z − xy − yz − zx ⇒ xyz + ( x + y + z ) ≥ + ( xy + yz + zx ) • ≤ xy + yz + zx ≤ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC • Đặt Khi ta có P≥ Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1 + ( xy + yz + zx ) − xy + yz + zx xy + yz + zx + t = xy + yz + zx ⇒ t ∈ [ 0;3] ; P ≥ + 3t 1 37 37 − = 3+ ≥ t t +1 t ( t + 1) 12 Vậy MinP = 12 ⇔ x = y = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 ... a = 120 ⇒ (a + 6)2 − a = 120 ⇒ a = a = vào đẳng thức b + c + a = 20 , ta b + c = 13 (2) bc = 40  Từ (1), (2) ta b + c = 13 không giảm tổng quát ta giả sử b < c giải b = 5,c = b + c + a 52... (dhbktoannql@gmail.com) Lời Giải )( ( )  x2 + + x y + − y = (1)   Xét hệ phương trình  x + y − + x x − y + = 10 (2) Điều kiện y2 + − y > ∀ y ∈ ¡ Nhận xét (1) ⇔ x +1+ x = Vậy (1) ⇔ ⇔ ( ) y2 + − y x + − y + +