Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học-2018 BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân chuỗi) Nhóm 1: Mã MI1131 Áp dụng từ 06-2018 Kiểm tra kì: Tự luận Kiểm tra cuối kì: Tự luận I) CHUỖI Tính tổng chuỗi số sau: a) n(n n b) 1) 10 102 10n arctan c) n n2 n Xét hội tụ, phân kì chuỗi số sau: a) n 2n 4n b) sin n2 e) d) n g) n n n n n h) n n n sin n n c) f) e k) n n sin n sin l*) t) n n ( 1)n n 2 n u) y) ( 1)n n n ln n cos n n cos n n2 n n z) n2 ( 1)n n ln ln n n (ln n ) n n2 n3 ln n n sin n ( 1) w) n e n n ! n n n ( 1) n o) r) n 1 n n ln n ! q) n n 10 n n n l) n n 2 ln n i) n n v) n 3n (n !)2 (2n )! n2 2 n ln n p) n n2 n ln n 2 n m) s) n (3n 1)! n 8n j) cos n x) n2 1 n z ') sin n2 n 1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau: x sin(nx ) a) b) n e nx n x2 n 1 d) xn n 1 n x g) n n n h) n n (n 2)x n n2 1 n nx 2n n 1 n (n !)3 n x (3n )! j) m) p) n xn e) c) x 2n 1 x n x x n n xn n! n xn n k) n) e ( 1)n nx nx f) ( 1)n n n 1 n lnn x 1 i) xn xn n 2n xn n n n l) n n xn o) n 2n 3n q) (sin n )x n r) n Xét hội tụ chuỗi hàm số tập tương ứng: n xn a) n (x 1)n ,x b) n sin(nx ) d) ,x 2 n x n xn ,x e) f) n ! n Tính tổng chuỗi số, chuỗi hàm số sau: 2x ,x n x 2 nx n , x a) ( 1;1) n d) n x 4n ,x ( 1;1) n ( 1)n ,x n x c) n f) n 1 (2n )!! 4n e) ( 1)n xn h) g) ,x n 3n n (2n )! Khai triển hàm số sau thành chuỗi Maclaurin: (0;1] n ( 1)n 1)3n (2n b) x )x n , x (1 c) 1;1 n xn ,x n ( n 1) n i) n 2n n2 ( 1;1) n x ,x n nx n ,x 1 n ( 1;1) ( 1;1) 2x a) y x d) y b) y 3x c) y x x2 x sin2 x e) y ln(1 x f) y 2x ) x2 arcsin x Khai triển hàm số sau thành chuỗi Taylor (trong lân cận điểm x tương ứng): x , x0 2x 3 Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier: a) y x, x [ ; ] b) y x ,x [ ; ] a) y d) y , x0 x, x 10 b) y (5;15) e) y sin x II) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải phương trình vi phân sau: a) y ' x y xy c) 2y(x e) xy ' (y 4)dy x sin y x b) y ' 1)dx y m) (x x )dy y )dx h) (x o) (2xy 3y )dx f) y x( [ x ), x ; ] (0; ) y )2 y x 2y 4, y(1) x l) 3xy y ' y x, y(1) j) y ' ydx (2y x 2, x y x x y x y x y 1)y ' xy f) y ' y 4x x i) (2xy 3)dy y 2dx x , x0 c) y (x d) y ' g) y ' k) (x 2y c) y sin n) e ydx x )dy (3xy y )dy p) y (xe y 2y )dy xy ' y ' y ' ln y ' 10 Giải phương trình vi phân sau: a) (1 y(0) c) 2yy ' x )y '' xy ' 2, 0, y '(0) y' e) y '' 3y ' 2y b) (1 y(0) 1, y '(0) 2xy ' x2 f) y '' 2y ' y d) y '' x )y '' x y ' y ', 2y x2 0, (y1 x) g) y '' 4y ' 13y h) y '' y ex j) y '' 4y ' 3y (15x ex i) y '' 2y ' y x k) y '' y x ex l) y '' 2y ' y m) y '' 2y ' 2y cos x o) y '' y cos x cos2x q) y '' s) y' x y x2 sin x 37)e 2x 4)e x (12x 200 sin x n) y '' 3y ' 4y p) x 2y '' 3xy ' 4y x 3, y(1) 1, y '(1) r) (2x x )y '' 2(x 1)y ' 2y biết có hai nghiệm riêng y1 1, y2 x x y '' x y y' y' (coi x x (y ) ) ex e y cos y, t) (x 4y 1)y '' 2xy ' x Với phép đổi biến x 2x (x tan t, ( t 1)2 ) 11.Giải hệ phương trình vi phân sau: a) c) dy dx dz dx dx dt dy dt 5y 4z 4y 5z dy b) dx dz dx dx d) dt dy dt y x y x x y y 5z y 3z x cos t y III) PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE 12 Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace hàm số sau: a ) f (t ) t b) f (t ) e 3t c) f (t ) sinh(kt ) d ) f (t ) sin2 t 13 Tìm biến đổi Laplace hàm số sau: a) f (t ) d) f (t ) g) f (t ) 3t b) f (t ) t 2e 3t cos2 (2t ) e) f (t ) (t 1)3 t sin 3t cos 5t h) f (t ) sinh2 3t c) f (t ) cosh(5t ) f) f (t ) sin x i) f (t ) t 4e t j) f (t ) m) f (t ) p) f (t ) e 2t sin 3t (t e 2t )2 e 2t t l) f (t ) t k) f (t ) e sin t n) f (t ) te 2t sin 3t q) f (t ) sinh t t m) F (s ) p) F (s ) s) F (s ) s (s k) F (s ) 1) s 4s 2s s 7s 10 s 16 n) F (s ) q) F (s ) t) F (s ) s(s sin t t cos 2t t o) f (t ) r) f (t ) 14 Tìm biến đổi Laplace ngược hàm số sau: b) F (s ) a) F (s ) s s2 s 3s 10s d) F (s ) e) F (s ) s 25 s 1 h) F (s ) g) F (s ) 2 s(s 4) s 3s j) F (s ) sin t )2 (t c) F (s ) s 2e 3s s 2 s (s 1) f) F (s ) i) F (s ) 1)(s l) F (s ) 2) 3s s 6s 25 s 5s s 2s s 5s 4 2s o) F (s ) s r) F (s ) s3 s2 (s 2s 2)2 u) F (s ) 2s s2 x) F (s ) w) F (s ) ln 2 s (s 1)2 s 15 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân sau với điều kiện ban đầu: v) F (s ) a) c) e) x (3) x (0) x (4) x (0) arctan x '' x ' x x '(0) 16x e 2t , x ''(0) b) 240cost, x '(0) x ''(0) x (3) 2x ' 4x et , x (0) x '(0) x ''(0) x (3)(0) 0 d) f) x (3) 6x '' 11x ' 6x x (0) x (4) x (0) x '(0) 0, x ''(0) 8x '' 16x 0, x '(0) tx '' (t x (0) 0, 0, x (3)(0) x ''(0) 2)x ' x 0, g) i) k) tx '' (4t x (0) 1)x ' 2(2t 1)x 2x y, x (0) y' 6x 3y, y(0) y y '' x ' y ' 4x 2y m) x '' x f (t ) y(0) cos t, o) x '' 4x ' 4x x '(0) 0, l) t x '(0) t 0, với f (t ), x (0) 2)x ' (13t x' y' y t, t 2y 0, y(0) 0, 0, t 0, 1, y '(0) n) x '' 4x x '(0) 0, 0, y(0) 4y y '' x x (0) 0, x (0) f (t ), x (0) 1, t 0, t p) x '' 4x ' 5x 0, 4)x x ' 2y ' x f (t ) , với f (t ) x (0) x '(0) f (t ), x (0) tx '' (4t x '' 2x 0, 1, y '(0) 0, j) x '' x ' y ' 2x x '(0) h) x' x (0) 0, , với f (t ) x '(0) 0, với f (t ), x (0) 0, 1, t 0, t NHÓM PHỤ TRÁCH BIÊN SOẠN ĐỀ CƯƠNG BỘ MƠN TỐN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ... 1; 1) n d) n x 4n ,x ( 1; 1) n ( 1) n ,x n x c) n f) n 1 (2n )!! 4n e) ( 1) n xn h) g) ,x n 3n n (2n )! Khai triển hàm số sau thành chuỗi Maclaurin: (0 ;1] n ( 1) n 1) 3n (2n b) x )x n , x (1 c) 1; 1... (2n b) x )x n , x (1 c) 1; 1 n xn ,x n ( n 1) n i) n 2n n2 ( 1; 1) n x ,x n nx n ,x 1 n ( 1; 1) ( 1; 1) 2x a) y x d) y b) y 3x c) y x x2 x sin2 x e) y ln (1 x f) y 2x ) x2 arcsin x Khai triển hàm số... s) y' x y x2 sin x 37 )e 2x 4)e x (12 x 200 sin x n) y '' 3y ' 4y p) x 2y '' 3xy ' 4y x 3, y (1) 1, y ' (1) r) (2x x )y '' 2(x 1) y ' 2y biết có hai nghiệm riêng y1 1, y2 x x y '' x y y' y' (coi x