Chuyên đề Các dấu hiệu chia hết

DẠY HỌC NỘI DUNG CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO SINH VIÊN TRUNG CẤP SƯ PHẠM TIỂU HỌC. NGUYỄN THỊ THANH HÀ Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5. Định nghĩa 1 ( SGK lớp 4 trang 94 và 95 ): - Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2. - Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. Định nghĩa 2( Nguyễn Tiến Tài - Vũ Quốc Chung - Chu Văn Quang. Toán tập 1. NXB Bộ GD và ĐT – Vụ giáo viên năm 1992 ): - Một số chia hết cho 2 nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2, hay nói cách khác chữ số hàng đơn vị của nó là 0, 2, 4, 6, hoặc 8. - Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị chia hết cho 5, nói cách khác chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5. Từ định nghĩa ta rút ra ngay nhận xét: Những số có tận cùng là 0 thì vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5. Chứng minh: Thật vậy, giả sử số tự nhiên a = n n-1 1 0 . c c c c được viết thành: a = c n .10 n + c n-1 10 n-1 + … + c 1 10 1 + c 0 . Hay: a = 10(c n 10 n-1 + c n-1 10 n-2 + …+ c 1 ) +c 0 = 10q + c 0 . Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 ( hoặc 5) là c 0 chia hết cho 2 ( hoặc 5). Từ đó ta có dấu hiệu trên. Từ chứng minh tính chất trên ta thấy rằng số tự nhiên a chia hết cho 10 nếu nó có chữ số hàng đơn vị bằng 0. Hay nói cách khác số tự nhiên a vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì chia hết cho 10. 1. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9. Định nghĩa 1( SGK lớp 4 trang 97): - Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. - Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. Định nghĩa 2 ( Nguyễn Tiến Tài - Vũ Quốc Chung - Chu Văn Quang. Toán tập 1. NXB Bộ GD và ĐT – Vụ giáo viên năm 1992 ): - Một số chia hết cho 3 ( hoặc cho 9 ) nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 ( hoặc 9 ). Từ định nghĩa ta rút ra ngay nhận xét: Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng những số chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9. Chứng minh: Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có: 10 n = ( 9 + 1) n = 1 1 2 2 1 1 . 1 9 9 9 9 n n n n n n n C C C − − − + + + + + Hay: 10 n = 9( 1 1 2 2 3 1 . 9 9 9 n n n n n n n C C C − − − − + + + + ) + 1 = 9q n + 1. Vậy a = c n .10 n + c n-1 10 n-1 + … + c 1 10 1 + c 0 = c n ( 9q n + 1) + c n-1 (9q n-1 + 1) + …+ c 1 ( 9 + 1) + c 0 = 9(c n q n + c n-1 q n-1 + … + c 1 ) + (c n + c n-1 + … + c 1 + c 0 ) = 9q + (c n + c n-1 + … + c 1 + c 0 ). Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 3 (hoặc cho 9) nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc cho 9). (ĐPCM). 2. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25. Định nghĩa ( Nguyễn Tiến Tài - Vũ Quốc Chung - Chu Văn Quang. Toán tập 1. NXB Bộ GD và ĐT – Vụ giáo viên năm 1992 ): - Một số chia hết cho 4 (hoặc cho 25) nếu số tạo thành bởi hai chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 4 (hoặc cho 25). Chứng minh: Thật vậy, giả sử số tự nhiên a = n n-1 1 0 . c c c c được viết thành: a = c n .10 n + c n-1 10 n-1 + … + c 1 10 1 + c 0 . Hay: a = 10 2 (c n 10 n-2 + c n-1 10 n-3 + …+ c 2 ) +10c 1 + c 0 = 100q + 10c 1 + c 0. Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 ( hoặc 25) khi và chỉ khi (10c 1 + c 0 ) chia hết cho 4 ( hoặc 25). (ĐPCM). Từ chứng minh trên ta rút ra ngay nhận xét: - Số tự nhiên a chia hết cho 100 khi và chỉ khi (10c 1 + c 0 ) chia hết cho 100 mà 0 ≤ (10c 1 + c 0 ) < 99 suy ra (10c 1 + c 0 ) = 0 ⇔ c 1 = c 0 = 0. Hay một số chia hết cho 100 nếu nó có 2 chữ số tận cùng bằng 0. - Số tự nhiên a vừa chia hết cho 4 vừa chia hết cho 25 thì chia hết cho 100 và ngược lại số tự nhiên a chia hết cho 100 thì chia hết cho cả 4 và 25. Trong chương trình đào tạo trung cấp sư phạm Tiểu học không giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 8 và 125 cũng như không giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 11 tuy nhiên ta dễ dàng suy ra các dấu hiệu chia hết đó như sau: 3. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125. Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự trên ta rút ra được dấu hiệu chia hết cho 8 và 125 là: - Số tự nhiên a chia hết cho 8 ( hoặc cho 125 ) nếu số tạo thành bởi ba chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 8 ( hoặc cho 125). Và ta có nhận xét: - Số tự nhiên a chia hết cho 1000 nếu nó có 3 chữ số tận cùng là 0. - Số tự nhiên a chia hết cho 1000 thì chia hết cho 8 và 125 và ngược lại số tự nhiên a vừa chia hết cho 8 vừa chia hết cho 125 thì chia hết cho 1000. 4. Dấu hiệu chia hết cho 11. Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ là một bội của 11. Chứng minh: Trước hết, ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11q + 1 hoặc 11q – 1. Thật vậy, 10 n = (11 -1) n = ( ) ( ) n-1 n 1 n-1 n n-1 n n - + .+ 11 + -1 -1 C C 11 11 hay : 11 n = 11. ( ) ( ) ( ) n-1 n 1 n-1 n-1 n-2 n n - + .+ + -1 -1 C C 11 11 = 11q + (-1) n Vậy 10 n = 11 1, 2 11 1, 2 1, . q n k q n k k + =   − = + ∈Ν  Khi đó số tự nhiên a = n n-1 1 0 . c c c c được viết dưới dạng: a = C 0 + C 1 (11 - 1) + C 2 (11q 2 + 1) + …+ C n (11q n + (-1) n ) hay: a = (C 0 + C 2 + …) – (C 1 + C 3 + …) + 11q. Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 11 khi và chỉ khi (C 0 + C 2 + …) – (C 1 + C 3 + …) chia hết cho 11. (ĐPCM). Ngoài các dấu hiệu trên ta còn có thể chứng minh một số chia hết cho 2 hoặc 3, v.v…nhờ các bổ đề sau: Bổ đề1: Tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho n , (n ≥ 2 ). Khi đó ta có: - Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì số đó chia hết cho 2. - Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì số đó chia hết cho 3. - Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì số đó chia hết cho 4. - Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 5 số tự nhiên liên tiếp thì số đó chia hết cho 5. - v.v… Bổ đề 2:Biết a chia hết cho b và c, ƯCLN(b, c) = 1 thì a chia hết cho bc. Từ bổ đề 2 ta suy ra ngay: - Một số chia hết cho 2 và 5 thì chia hết cho 10. - Một số chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100. - Một số chia hết cho 8 và 125 thì chia hết cho 1000. - Một số chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6. - Một số chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho 15. - Một số chia hết cho 4 và 5 thì chia hết cho 20. - v.v… Bây giờ ta sẽ chứng minh các bổ đề. Bổ đề 1: Gọi n số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, … a + (n - 1) , (n ≥ 2). Đặt A = a.(a + 1).(a + 2)…(a + n - 1). Ta cần chứng minh A chia hết cho n với n ≥ 2. - Nếu a chia hết cho n coi như bài toán xong. - Nếu a chia n dư 1, a có dạng n.t + 1 suy ra a + (n – 1) chia hết cho n nên A chia hết cho n (bài toán đúng). - Nếu a chia n dư 2, a có dạng n.t + 2 suy ra a + (n - 2) chia hết cho n nên A chia hết cho n (bài toán đúng). - v.v - Nếu a chia n dư n – 1, a có dạng n.t + (n – 1) suy ra a + 1 chia hết cho n nên A chia hết cho n (bài toán đúng). (ĐPCM). Chứng minh bổ đề 2: Vì a M b . ,a b q q⇒ = ∈ Ν . (1) Vì a M c . ,a c p p⇒ = ∈ Ν . (2) Mặt khác: ƯCLN(b, c) = 1 . 1, .b c t t⇒ = + ∈ Ν (3) Thay (3) vào (1) ta được: a = (c.t + 1)q = c.p .( . )q c p t q c⇒ = − M . ,q c k k⇒ = ∈ Ν . (4) Thay (4) vào (1) ta được: . . ,a b c k k= ∈ Ν hay a chia hết cho b.c (ĐPCM). B. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Dạng 1: Chọn hoặc điền đáp án đúng dựa vào dấu hiệu chia hết. Ví dụ 1: Cho các số sau: 1234, 531, 2485, 2345, 2008, 1256, 1350. a. Những số chia hết cho 2 là: 1234 … 2008 …… 1256 …… 531 …… 1350 … b. Có tất cả các số chia hết cho 2 là: A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 c. Những số chia hết cho 5 là: 531 …… 2485 …… 2345 ……. 1350 …… 1256 …… d. Những số chia hết cho 2 và 5 là: 1350 ……. 1256 ……. 2345 …… e. Những số chia hết cho 4 là: 1234 ……. 1350 ……. 1256 …… 2008 ……. 2485 ……. f. Những số chia hết cho 3 là: 1350 …… 531 …… 2345 …… 1234 …… 2008 …… Ví dụ 2: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai? a. Một số không chia hết cho 2 thì có chữ số hàng đơn vị là 1, 3, 5, 7, 9. b. Những số chẵn thì chia hết cho 2. c. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3. d. Những số chia hết cho 2 và 4 thì chia hết cho 8. e. Những số không chia hết cho 4 mà có chữ số hàng đơn vị là 2 thì chữ số hàng chục có thể là 2, 4, 6, 8. f. Những số lẻ luôn chia cho 2 dư 1. g. Những số chia hết cho 2, 3 và 5 thì chia hết cho 30. h. Những số chia cho 5 dư 1 có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 6. 2. Dạng 2: Lập các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết. Ví dụ 3: Với 3 chữ số 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a. Chia hết cho 2 ? b. Chia hết cho 5 ? Lời giải: a. Theo bài ra thì số chia hết cho 2 phải có tận cùng là 4. Do đề bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau nên những số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 444 334 554 354 534 344 544 454 434. b. Theo bài ra số chia hết cho 5 phải có tận cùng là 5. Các số thỏa mãn là: 555 445 335 345 435 445 545 535 455. Ví dụ 4: Lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5, 9 thỏa mãn điều kiện: a. Chia hết cho 2 ; b. Chia hết cho 3 ; c. Chia hết cho 4 ; d. Chia hết cho 6; e. Chia hết cho 2 và 5 ? Lời giải: a. Theo bài ra những số chia hết cho 2 có tận cùng là 0 hoặc 4. Mặt khác, mỗi số gồm các chữ số khác nhau nên các số thỏa mãn đề bài là: 540 450 950 590 940 490 504 904 954 594. b. Theo bài ra những số chia hết cho 3 có tổng là 9 hoặc 18. Vì các chữ số phải khac nhau nên ta có các số thỏa mãn là: 450 540 405 504 459 495 549 594 954 945. c. Theo bài ra thì những số chia hết cho 4 phải có tận cùng là 04 hoặc 40. Những số cần tìm là: 540 940 904 504. d. Những số chia hết cho 6 là những số chia hết cho 2 và 3. Theo bài ra ta có các số cần tìm là; 450 540 504 594 954. 3. Dạng 3: Tìm số dựa vào dấu hiệu chia hết. Phương pháp: - Nếu số cần tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thì trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm chữ số hàng đơn vị. - Nếu số cần tìm chia hết cho 4 hoặc 25 thì dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm 2 chữ số cuối. - Tiếp đó dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết khác để xác định các chữ số còn lại của số cần tìm. Ví dụ 5: Tìm a biết a = 2009xy chia hết cho 2, 3 và 5. Lời giải: - Vì a chia hết cho 2 và 5 nên y = 0. - Mặt khác a chia hết cho 3 nên (2 + 0 + 0 + 9 + x + y ) = (11 + x) M 3 Do 0 x 9≤ ≤ nên { } 1, 4, 7x ∈ . Vậy các số cần tìm là: 200910, 200940, 200970. Ví dụ 6: Tìm tất cả các số tự nhiên a có 5 chữ số khác nhau biết: a = 534 12x y M . Lời giải: Vì 12 = 3.4 và ƯCLN(3, 4) = 1, a chia hết cho 12 nên a chia hết cho 3 và 4. - Vì a chia hết cho 4 nên 4 4y M . Do 0 9y≤ ≤ nên { } 0, 4, 8y ∈ . - Do 3 4 5x y≠ ≠ ≠ ≠ nên y chỉ có thể là 0 hoặc 8. - Mặt khác, a chia hết cho 3 nên (x + 3 + 4 + 5 + y) = (12 + x + y) M 3. + Nếu y = 0 thì x chỉ có thể bằng 6 hoặc 9. Khi đó ta có các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 65340, 95340. + Nếu y = 8 thì x chỉ có thể bằng 1 hoặc 7. Khi đó ta có các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 15348, 75348. Tóm lại, các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 65340, 95340, 15348, 75348. Dạng 4: Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải bài toán có lời văn. Ví dụ 7 (SGK Toán 4): Một lớp học có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh. Nếu học sinh trong lớp xếp đều thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì không thừa, không thiếu bạn nào.Tìm số học sinh của lớp học đó. Lời giải: - Gọi số học sinh lớp học đó là a, a ∈ Ν . Theo bài ra ta có 20 < a < 35. - Vì số học sinh trong lớp xếp đều thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì không thừa, không thiếu bạn nào nên a chia hết cho 3 và 5. - Mặt khác, do ƯCLN (3, 5) = 1 nên a chia hết cho 15. Mà 20 < a < 35 nên a = 30. Vậy số học sinh của lớp đó là 30 em. Đáp số: 30 học sinh. Ví dụ 8: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và táo (mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104, 115, 132, 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số táo còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hành đó có bao nhiêu quả mỗi loại ? Lời giải: - Tổng số cam và táo của cửa hàng là: 104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả). - Số táo còn lại gấp 4 lần số cam nên số cam và táo còn lại chia hết cho 5. Tổng số cam và táo của cửa hàng ban đầu chia hết cho 5 nên số cam đã bán phải chia hết cho 5. Trong 5 rổ cam và táo trên chỉ có rổ có 115 quả là chia hết cho 5. Vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam. - Số cam còn lại bằng 1/5 số quả chưa bán nên số cam còn lại là: (635 – 115) / 5 = 104 (quả). Vậy rổ đựng 104 quả là rổ cam. Các rổ còn lại là rổ táo. Do đó số cam của cửa hàng là: 115 + 104 = 219 (quả). Số táo của cửa hàng là: 635 – 219 = 416 (quả). Đáp số: 219 quả cam; 416 quả táo. C. BÀI TẬP ĐỀ XUẤT. Bài 1(SGK 4 trang 98): Với bốn chữ số 0; 6; 1 ; 2. a. Hãy viết ít nhất ba số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 9. b. Hãy viết một số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Bài 2: Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Bài 3: Hãy viết vào bên phải và bên trái số 2009 mỗi bên một chữ số để được một số: a. Chia hết cho 2 ; b. Chia hết cho 3 ; c. Chia hết cho 4 ; d. Chia hết cho 5; e. Chia hết cho 30; f. Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Bài 4: Tìm a , b biết: a. a = 2345 12x y M ; b. b = 1507 60xy M . Bài 5: Trong các số 2485 ; 8553 ; 152007 ; 12408 ; 1948 ; 65308 ; 11200. a. Số nào chia hết cho 2 ? b. Số nào chia hết cho cả 2 và 5 ? c. Số nào chia hết cho 8 ? d. Số nào chia hết cho cả 3 và 4 ? e. Số nào chia hết cho 2 và 3 ? Bài 6: a. Một số có 2 chữ số chia hết cho 3 và 5 thì chữ số hàng chục của nó có thể là những số nào ? b. Một số có 3 chữ số chia hết cho 3 và 4 thì chữ số hàng trăm của nó có thể là những số nào ? Bài 7 (Đề thi học sinh giỏi lớp 5): Cho một số có hai chữ số, trong đó, chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục. Nếu đổi vị trí các số cho nhau thì số đó tăng thêm 36 đơn vị. Tìm số đó. Bài 8 (Đề thi học sinh giỏi lớp 5): Cho một số có hai chữ số. Nếu thêm số 0 vào giữa số đó ta được số mới gấp 9 lần số đã cho. Tìm số đã cho. Bài 9: Tìm các số chia hết cho 25 trong: a. 1000 số tự nhiên đầu tiên. b. 2009 số tự nhiên đầu tiên. Bài 10: a. Tìm dấu hiệu chia hết cho 2, 3 và cho 6 của các số ghi trong hệ 7 – phân. b. Tìm dấu hiệu chia hết cho 2, 4 và cho 8 của các số ghi trong hệ 9 – phân. Bài 11: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai ? a. Những số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng bằng 0. b. Những số nguyên tố lớn hơn 2 thì chia cho 2 dư 1. c. Hiệu của hai số chia hết cho 2 thì 2 số đó có cùng chữ số hàng đơn vị. d. Hiệu của hai số chia hết cho 10 thì hai số đó có cùng chữ số hàng đơn vị. e. Một số chia hết cho 25 thì chia hết cho 5. f. Một số chia hết cho 3 thì bình phương số đó chia hết cho 9. g. Một số chia hết cho 5 thì bình phương số đó chia hết cho 25. Bài 12: Chứng minh rằng: a. A = m 3 + 5m M 6 b. B = m 5 - m M 30. c. C = p 2 – 1 M 3 , với p là số nguyên tố lớn hơn 3. Bài 13: a. Cho a là số tự nhiên có 2 chữ số. Viết các số a theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên b. Hỏi hiệu của hai số đó có chia hết cho 3 không ? Vì sao ? b. Cho a là số tự nhiên có 3 chữ số. Viết các số của a theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên b. Hỏi hiệu của hai số đó có chia hết cho 9 không ? Vì sao ? Bài 14: Hai bạn Hải và Linh đi mua 9 gói bánh và 6 gói kẹo để liên hoan. Linh đưa cho cô bán hàng 100.000 đồng và cô bán hàng trả lại 36.000 đồng. Hải nói ngay: “Cô tính sai rồi!” Bạn hãy cho biết Hải nói đúng hay sai biết số tiền mỗi gói bánh, kẹo là một số nguyên đồng. Hướng dẫn: Bài 1: a. Tương tự các ví dụ của dạng 2. b. Viết số có 3 chữ số khác nhau có tổng chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Bài 2: Số tự nhiên nhỏ nhất có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Đáp số: 102345. Bài 3: Dựa vào các dấu hiệu chia hết cho 2; 3 ; 4 ; 5. Bài 4: a. Tìm x; y để a chia hết cho 3 và 4. b. Tìm x; y để a chia hết cho 3; 4 và 5. Bài 5: Dựa vào các dấu hiệu chia hết. Bài 6: Dựa vào các dấu hiệu chia hết. Bài 7: Chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục nên chữ số hàng đơn vị chia hết cho 3. Do đó, chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là 3; 6 hoặc 9. Đáp số: 26. Bài 8: Thêm 0 vào giữa số phải tìm được số mới gấp 9 lần số đã cho nên số mới chia hết cho 9. Do đó tổng các chữ số của số ban đầu chia hết cho 9. Đáp số: 45. Bài 10: a. Biểu diễn số tự nhiên a trong hệ 7 – phân từ đó suy ra kết quả. b. Biểu diễn số tự nhiên a trong hệ 9 – phân từ đó suy ra kết quả. Bài 12: a. Chứng minh A chia hết cho 2 và 3 (dựa vào bổ đề 1 và 2). b. Chứng minh B chia hết cho 2; 3 và 5 (dựa vào bổ đề 1 và 2). Bài 13: a. Gọi số có hai chữ số là xy . Khi đó số viết theo thứ tự ngược lại là yx . Ta có: xy = 10x + y yx = 10y + x. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b. Tương tự ý a. Bài 14: Gọi số tiền một gói bánh là a (đồng). Số tiền một gói kẹo là b (đồng). Tổng số tiền mua bánh và kẹo là : 9a + 6b. Như vậy số tiền mua bánh kẹo là một số chia hết cho 3. Vì 100.000 không chia hết cho 3 nên số tiền trả lại phải là một số không chia hết cho 3. Nhưng 36.000 chia hết cho 3. Do đó, bạn Hải nói đúng. Bài viết trên của tôi có sự tham khảo của các tài liệu sau: 1. Nguyễn Tiến Tài – Vũ Quốc Chung – Chu Văn Quang. Toán tập 1. Giáo trình dùng trong các trường sư phạm đào tạo giáo viên Tiểu học. NXB Bộ GD và ĐT – Vụ Giáo viên 1992. 2. Trần Diên Hiển. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 4 – 5 tập 1.NXB Giáo dục 2000. 3. Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài. Tập hợp và logic số học. Giáo trình đào tạo giáo viên Tiểu học hệ CĐSP và SP 12 + 2. 4. Sách giáo khoa lớp 4. NXB Giáo dục 2007. 5. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ. . không giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 11 tuy nhiên ta dễ dàng suy ra các dấu hiệu chia hết đó như sau: 3. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125. Với cách chứng. một số: a. Chia hết cho 2 ; b. Chia hết cho 3 ; c. Chia hết cho 4 ; d. Chia hết cho 5; e. Chia hết cho 30; f. Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.