Chuyên đề bồi dưỡng HSG (Toán 8)

1 Chuyên đề : Đa thức Baứi 1: Tớnh giaự trị biểu thức: a A = x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 taïi x = 16 b B = x − 15 x + 16 x − 29 x + 13 x taïi x = 14 c C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 taïi x = d D = x15 − x14 + x13 − x12 + − x + x − x = Bài 2: Tính giá trị biểu thức: 1 650 4 − − + 315 651 105 651 315.651 105 546 − − b N = 547 211 547 211 547.211 a M = Bài 3: Tính giá trị biểu thức: 2 3 a A = x ( x − y ) + y ( x − y ) với x = 2; y = b M.N với x = Biết rằng:M = −2 x + 3x + ; N = x − x + Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5: a x ( x + ) + y ( y − ) − xy + 65 b x + y ( y − x ) + 75 Bài 5: Tính giá trị đa thức: x ( + y ) − y ( xy − 1) − x y bieát x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a ( x − a ) ( x − b ) + ( x − b ) ( x − c ) + ( x − c ) ( x − a ) = ab + bc + ca − x ; biết 2x =a+b+c 2 b 2bc + b + c − a = p ( p − a ) ; biết a + b + c = 2p Baøi 7: a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia hết cho b Cho số tự nhiên a b số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hỏi tích ab có chia hết cho không? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M = a ( a + b) ( a + c) ; N = b ( b + c) ( b + a) ; P = c ( c + a) ( c + b) Bài 9: Cho biểu thức: M = ( x − a ) ( x − b ) + ( x − b ) ( x − c ) + ( x − c ) ( x − a ) + x 1 Tính M theo a, b, c, biết x = a + b + c Baøi 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13 Bài 11: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a Rút gọn biểu thức 7A – 2B b Chứng minh rằng: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17 Bài 12: Chứng minh rằng: a 817 − 279 − 913 chia hết cho 405 b 122 n +1 + 11n + chia hết cho 133 Bài 13: Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…, n ( n + 1) ,… Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số phương Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = = a1 + a + + a + 2(a1a + a1a + + a 1a n + a 2a + + a 2a n + + a n −1a n ) ; n 3 (a ± b) = a ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k + b2k) ; II Bảng hệ sè khai triĨn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal Đỉnh Dòng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dòng ta có = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, Khai triển (x + y) n thành tổng hệ số hạng tử số dòng thứ n bảng Ngời ta gọi bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n không lớn Chẳng hạn, với n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II Các ví dụ Ví dụ Đơn giản biểu thức sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 4b) Tính giá trị biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) b) c) d) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) VÝ dụ Chứng minh đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lời giải Vì x + y + z = nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = z) Tơng tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm) Bài tËp: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh giá trị biểu thức : B = (x 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y khác a b = x y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 a b c x, y, z khác = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Chứng minh đằng thøc sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính giá trị biểu thức : C = a2 + b9 + c1945 11 Hai sè a, b lần lợt thỏa mÃn hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị biểu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyªn đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö a, x −5 x +6 d, x −13 x +36 b, 3x −8 x +4 e, x +3 x −18 c, x +8 x +7 f, x −5 x −24 g , 3x −16 x +5 h, 8x +30 x +7 i, 2x −5 x −12 k, 6x −7 x 20 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x3 x + x − 2, x + x − 3, x3 + x + x + 4, x − x + 5, x3 − x + x + 16 6, 4x3 −13 x + x −18 7, x3 − x − x + 8, − x − x + x +1 9, 6x − x − 486 x + 81 10, x − x − 11, x3 − x + 12, x3 − x + 3x + 13, x3 + x + 17 x + 10 14, x + x + x + 15, x3 − x − 16, 2x3 − 12 x + 17 x − 17, x3 + x + 18, x + x + x + 19, x + x + 26 x + 24 20, 2x − x + x −1 21, 3x3 −14 x + x + 22, x + x + x + x + (Đa thức đà cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) II- Phơng pháp thêm bớt hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phơng: A2 B2 = (A B)(A + B) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, (1 + x ) − x(1 − x ) 2, ( x − ) + 36 3, x + 4, x + 64 5, 64x + 6, 81x + 7, 4x + 81 8, 64x + y 9, x + y 10, x + x + 2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất thừa số chung Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x + x + 2, x + x5 + 3, x5 + x + 4, x + x + 5, x8 + x + 6, x − x − 7, x5 + x − 8, x10 + x5 + III- Phơng pháp đổi biến Bài 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1, x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128 2, (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3, ( x + x + 8) + x( x + x + 8) + x 4, ( x + x) + x + x − 12 5, x + xy + y + x + y − 15 6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a 7, x − 11x + 8, ( x + x) + 3( x + x) + 9, x − xy + y + x − y − 10 10, ( x + x) + x + 18 x + 20 11, x − xy + y − x + y − 35 12, (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16 Bµi 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1, x + x3 + x − x +1 2, ( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) IV- Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a, P = x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) b, Q =a(b + c − a) + b(c + a − b) + c(a + b − c) + (a + b − c) (b + c − a)(c + a − b) Gi¶i a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = y ( y − z ) + y ( z − y ) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y z, thay z x P không đổi(ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh biến x, y, z) Do P đà chúa thùa số x y chóa thõa sè y – z, z – x VËy P phải có dạng P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải số(không chúa biến) P có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x y)(y – z)(z – x) cịng cã bËc ba ®èi víi tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x ( y − z ) + y ( z − x) + z ( x − y ) = k ( x − y )( y − z )( z − x) ®óng víi mäi x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta đợc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) Các toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M = a (b + c − a ) + b(c + a − b) + c (a + b − c ) + (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) N = a (m − a ) + b( m − b) + c(m − c) − abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử: a ) A = (a + b + c)(ab + bc + ca ) − abc b) B = a (a + 2b)3 − b(2a + b)3 c)C = ab(a + b) − bc(b + c) + ac(a − c ) d ) D = (a + b)( a − b ) + (b + c)(b − c ) + (c + a)(c − a ) e) E = a (c − b ) + b3 (a − c ) + c (b − a ) + abc(abc − 1) f ) f = a (b − c)3 + b(c − a)3 + c(a − b)3 g )G = a 2b (a − b) + b 2c (b − c) + a 2c (c − a ) h) H = a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) V-Phong pháp hệ số bất định Bi 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ) A = x − x3 + 12 x − 14 x + b) B = x + x + x + x + c)C = x + 22 xy + 11x + 37 y + y + 10 d ) D = x − x + 14 x − x + e) E = x − x + 63 Bài tập: Ví dụ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i Đặt S = a + b P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Chuyên đề : Xác định đa thức * Định lí Beout (BêZu) ứng dụng: 1) Định lí BêZu: D phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a f(a) (giá trị f(x) t¹i x = a): f ( x) = ( x − a)q( x) + f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp) Hệ quả: Nếu a nghiệm đa thừc f(x) f(x) chia hết cho x - a áp dụng: Định lí BêZu dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh sau: Bớc 1: Chọn giá trị x = a thử xem x = a có phải nghiệm f(x) không Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x) = ( x − a) p( x) §Ĩ t×m p(x) thùc hiƯn phÐp chia f(x) cho x - a Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử phân tích đợc Sau viết kết cuối cho hợp lí Dạng 1: Tìm đa thức thơng phơng pháp đồng hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau : Nếu hai đa thức P(x) Q(x) nhau: P(x) = Q(x) hạng tử bậc hai đa thức phải có hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng VÝ dơ: P( x) = ax + 2bx − ; Q( x) = x − x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2) 2b = - (hƯ sè cđa lịy thõa bËc 1) - = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do) *Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th¬ng d phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt M(x) N(x) Khi ta có: P( x) = Q( x).M ( x) + N ( x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) với x nên ta cho x lấy giá trị : x = ( số) Sau ta giải phơng trình hệ phơng trình để tìm hệ số hạng tử đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d) Ví dụ: Bài 1(Phần tập áp dụng) Gäi th¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã: a x + 3ax − x − 2a = ( x + 1).Q ( x ) Vì đẳng thức với x nên cho x = -1 ta dược: a = −2 − a + 3a + − 2a = ⇒ −a + a + = ⇒   a =3 Với a = -2 Với a = A = x − x − x + 4, Q ( x ) = x − 10 x + A = x + x − x − 6, Q ( x) = x *Phơng pháp 3:Thực phép chia đa thức (nh SGK) Bài tập áp dông Bài 1: Cho đa thức A( x) = a x + 3ax − x − 2a(a ∈ Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bài 2: Phân tích đa thức P( x) = x − x3 − x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x + dx + Bài 3: Với giá trị a b đa thøc : x3 + ax + x + b chia hÕt cho ®a thøc: x + x + HÃy giải toán nhiều cách khác Bài 4: Xác định giá trị k ®Ó ®a thøc: f ( x) = x − x3 + 21x + x + k chia hÕt cho ®a thøc: g ( x) = x − x − Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k đa thức: f (k ) = k + 2k + 15 chia hết cho nhị thức: g (k ) = k + Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f ( x) = x − 3x3 + 3x + ax + b chia hết cho đa thức: g ( x) = x − 3x + Bài 7: a) Xác định giá trị a, b c để đa thức: P( x) = x + ax + bx + c Chia hết cho ( x −3)3 b) Xác định giá trị a, b để đa thức: Q( x) = x − x3 + ax + 3x + chia hết cho đa thức M ( x) = x − x + b c) Xác định a, b để P( x) = x + x − x + a chia hết cho M ( x) = x + x + b Bài 8: Hãy xác định số a, b, c để có đẳng thức: x − ax + bx − c = ( x − a )( x − b)( x − c ) (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x − x + a chia hết cho x − b) x + ax + chia cho x − dư c) ax + x − chia hết cho x −1 Bài 10: Xác định số a b cho: a) x + ax + b chia hết cho x − x + b) ax + bx + x − 50 chia hết cho x + x + 10 c) ax + bx + chia hết cho ( x −1) d) x + chia hết cho x + ax + b Bài 11: Tìm hăng số a b cho x + ax + b chia cho x +1 dư 7, chia cho x − dư -5 Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax + bx + c chia hết cho x + , chia cho x −1 dư x + (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: P( x) = x + x − x + ax + b Q( x) = x + x − Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a b cho đa thức P( x) = ax + bx + chia hết cho đa thức Q( x) = ( x −1) Bài 15: Cho đa thức P( x) = x − x + ax + 3x + Q( x) = x − x + b Xác định a b để P(x) chia hết cho Q(x) (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C3 ,, C n +1 ta biểu diễn P(x) dạng: P( x ) = b0 + b1 ( x − C1 ) + b2 ( x − C1 )( x − C ) +  + bn ( x − C1 )( x − C )  ( x − C n ) Bằng cách thay x giá trị C1 , C , C3 ,, C n +1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 , b1 , b2 , , bn Bài tập áp dụng Bi 1: Tỡm a thc bc hai P(x), biết: P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = −9 Giải P ( x) = b0 + b1 x + b2 x( x −1) (1) Đặt b0 = 25 Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: = 25 + b1 ⇔ b1 = −18 − = 25 − 18.2 + b2 2.1 ⇔ b2 = Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P ( x) = 25 − 18 x + x( x − 1) ⇔ P ( x) = x − 19 x + 25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P (0) = 10, P(1) = 12, P (2) = 4, P (3) = Hướng dẫn: Đặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x −1) + b3 x( x −1)( x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x −1), ( x − 2), ( x − 3) dư P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x) = b0 + b1 ( x −1) + b2 ( x −1)( x − 2) + b3 ( x −1)( x − 2)( x − 3) (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P (−1) = P ( x ) − P ( x −1) = x ( x +1)( x +1), (1) a) Xác định P(x) b) Suy giá trị tổng S =1.2.3 + 2.3.5 + + n(n +1)(2n +1), (n ∈ N * ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P ( −1) − P ( −2) = ⇔ P ( −2) = 0, P (0) − P ( −1) = ⇔ P (0) = P (1) − P (0) = 1.2.3 ⇔ P (1) = P ( 2) − P (1) = 2.3.5 ⇔ P ( 2) = 36 Đặt P ( x) = b0 + b1 ( x +1) + b2 ( x + 1) x + b3 ( x + 1) x( x −1) + b4 ( x +1) x( x −1)( x − 2) (2) Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 10 = b0 = b1 ⇔b1 = 0, = b2 2.1 ⇔b2 = 3, 36 = 3.3.2 + b3 3.2.1 ⇔b3 = = 3.( −1)(−2) + 3.(−1)( −2)(−3) + b4 ( −1)(−2)(−3)(−4) ⇔b4 = Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P ( x ) = 3( x + 1) x + 3( x + 1) x( x −1) + 1 ( x + 1) x( x −1)( x − 2) = x ( x + 1) ( x + 2) 2 (Tuyển chọn thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x) = ax + bx + c, (a, b, c ≠ 0) Cho biết 2a + 3b + 6c = 1  P (0), P , P (1) 2  1  rằng: P (0), P , P (1)   1) Tính a, b, c theo 2) Chứng minh dương P (0) =19 Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: Chuyªn ®Ị: khơng thể âm P (1) = 85 P ( 2) =1985 Biển đổi phân thức hữu tØ VÝ dơ a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n + phân số tối giản nN ; 5n + n2 + b) Cho ph©n sè A = (n∈N) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhỏ n +5 2009 cho phân số A cha tối giản Tính tổng tất số tự nhiên Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay  d ⇒ d = 3n + VËy ph©n sè phân số tối giản 5n + 29 29 b) Ta cã A = n - + Để A cha tối giản phân số phải cha n +5 n +5 tèi gi¶n Suy n + phải chia hết cho ớc dơng lớn 29 Vì 29 số nguyên tè nªn ta cã n +  29 ⇒ n + =29k (k ∈ N) hay n=29k – Theo điều kiện đề n = 29k – < 2009 11 ⇒ ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} VËy cã 69 số tự nhiên n thỏa mÃn điều kiện đề Tổng số : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 VÝ dô Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1 + + = a b c a +b +c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã hai sè ®èi Tõ ®ã suy r»ng : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 =0 Ta cã : + + = ⇔ + + a b c a +b +c a b c a +b +c a +b a +b c(a + b + c) + ab + = ⇔ (a + b) =0 ⇔ ab c(a + b + c) abc(a + b + c) é +b =0 é =- b a a ê ê b b ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ ê + c = ⇔ ê =- c ⇒ ®pcm ê ê ê +a = ê =- a c c ë ë 1 + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 a b c a + b + c2009 Ví dụ Đơn giản biểu thøc : ư ỉ ỉ ỉ 1ử ỗ1 + ữ ỗ1 + ữ ỗ1 + ữ A= + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố (a + b)3 ỗa b ứ (a + b)4 èa b ø (a + b)5 èa b ø Lời giải Đặt S = a + b P = ab Suy : a + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a +b S 1 a + b S - 2P = ; 2+ 2= 2 = Do ®ã : + = ; a b ab P a b ab P2 1 a + b S - 3SP + 3= 3 = a3 b ab P3 S - 3SP S - 2P S Ta cã : A = + + S P3 S P2 S P = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S2P3 S4P2 S P S4P3 S P Tõ ®ã suy : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + 12 1 = 3 P ab VÝ dơ Cho a, b, c lµ ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lời giải Cách x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca S(x) = + + = Ax2 (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) – Bx + C 1 + + víi : A = ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a +b b +c c +a B= + + ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b - a +c - b +a - c =0 ; Ta cã : A = (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) B= (a - b)(b - c)(c - a) 2 2 b - a + c - a + a - c2 = =0 ; (a - b)(b - c)(c - a) Hay A = ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = =1 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1∀x (®pcm) Cách Đặt P(x) = S(x) đa thức P(x) đa thức có bậc không vợt Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiƯm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = ∀x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm VÝ dô Cho x + = TÝnh giá trị biểu thức sau : x 1 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; d) D = x + x x x x Lêi gi¶i C= 13 ỉ 1ư a) A = x + = ỗx + ữ ữ ỗ ữ ç è xø x ỉ 1ư b) B = x + = ỗx + ữữ ỗ ữ ỗ ố xứ x 2 =9- =7 ; ổ 1ử 3ỗx + ữ 27 - = 18 ; = ữ ỗ ữ ỗ ố xứ ỉ 1ư c) C = x + = çx + ÷ - = 49 - = 47 ; ữ ỗ ữ ỗ ố x x ø ỉ2 ư ổ ỗ = d) A.B = ỗx + ÷x + ÷ x + + x + = D + ⇒ D = 7.18 – = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố è x ø x ø x x 123 ax + b c = + VÝ dơ X¸c định số a, b, c cho : (x +1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x +1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) + = = x +1 x - (x +1)(x - 1) (x +1)(x - 1) Đồng phân thức với phân thức , ta đợc : (x +1)(x - 1) ỡ a + c = ì a =- ï ï ï ï - x- 1 ï ï = + í b - a = Û í b =- VËy ï (x +1)(x - 1) x +1 x - ï c - b = ï c =1 ï ï ï ï ù ợ ợ Chuyên đề: Giải phơng trình I/Phương trình ax+b=0 (1) phương trình đưa dạng (1) *Cách giải: (Biến đổi đưa hết vế sau rút gọn thành dạng ax+b=0) 14 TH1:a=0 b ≠ phương trình (1)vơ nghiệm b=0 phương trình (1) vơ số nghiệm TH2:a ≠ phương trình (1) có nghiệm x= −b a *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: x= −12 =3 −4 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) ⇔ 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 ⇔ x+3,8=0 ⇔ x= -3,8 *Các tập tương tự: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0 g) x − = b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0 h) −5 x + = x − 10 i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x k)5-3x=6x+7 m)2(1-1,5x)+3x=0 o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)     v)  x + ÷ = −  + x ÷ 5  5  s) 13 7x 20 x + 1,5 − 5( x − 9) = x−3 1− 2x = 6− 3x − − 2( x + 7) −5 = w) 5( x − 1) + x − 2(2 x + 1) − = −5 y) II/Phương trình tích: A = *Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒  (A=0 (1) B=0 (2) ) B = Ta có pt (1),(2) phương trình bậc cách giải tương tự phần (Chú ý phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0  x − 10 = (1) ⇔  24 + x = (2) 15 Từ (1) x= 10 = (2) ⇒ x= −24 Vậy phương trình có nghiệm x= 10 −24 = x= b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) ⇔ (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 ⇔ (x-1)(2x+11)=0 ⇔ x =1  x −1 =  ⇔  x + 11 = ⇔ x = −11  *Các tập tương tự: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0  x + 2(1 − x)  + ÷=   e) (2 x − 7)( x 10 + 3) =  2( x + 3) x −  − ÷=   b)(3x-2)  c)(3,3-11x)  d) ( − x 5)(2 x + 1) = g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 n)x3+1=x(x+1) p)x3+x2+x+1=0 r)4x2-12x+5=0 t)2x2+5x+3=0 f) (2 − 3x 5)(2,5 x + 2) = h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 q)x2-3x+2=0 s)-x2+5x-6=0 y) ( x − ) + 3( x − 2) = 16 ... Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…, n ( n + 1) ,… Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số phửụng Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2... x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài... 1, x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128 2, (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3, ( x + x + 8) + x( x + x + 8) + x 4, ( x + x) + x + x − 12 5, x + xy + y + x + y − 15 6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)(