Triển khai Taylor Maclaurin

Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange f có đạo hàm cấp n+1 (a, b) chứa x0: KHAI TRIỂN TAYLOR f ( x)  f  x0   f   x0  f   x0   x  x0    x  x0 2 1! 2! f ( n )  x0     x  x0 n  Rn n! f ( n 1)  c  Rn   x  x0 n 1 , c nằm x x0 (n  1)! (khai triển Taylor đến cấp n lân cận x0) Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano f có đạo hàm cấp n x0:   f(x): biểu thức phức tạp f   x0  f   x0   x  x0    x  x0 2 1! 2! f ( x)  f  x0   f (n)  x0  x  x n  o ( x  x )n    0 n! Phần dư Peano x0 = 0: khai triển Maclaurin Ý nghĩa khai triển Taylor  cần tìm hàm số đơn giản gần f(x) để thuận tiện tính tốn Hàm đơn giản đa thức f(x) = sinx f(x) = sinx f ( x )  x  o( x ) f(x) = sinx f(x) = sinx x n 1 f ( x)   (1)  o( x ) (2n  1)! n 1 n f ( x )  x  o( x ) x3 f ( x )  x   o( x ) 3! f ( x )  x  o( x ) x3 f ( x )  x   o( x ) 3! Ví dụ f ( x)  Tìm khai triển Taylor đến cấp lân cận x = cho f ( x)  x f ( x)  (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa (x – 1) đến (x – 1)3) •Với phần dư Peano, cần tính đến đh cấp f (1) f (1) ( x  1)  ( x  1) 1! 2! f (1)  ( x  1)3  o ( x  1)3 3!   f (1)  x3 24 f (4) ( x)      f (1) x x4 f (1) f (1) f ( x)  f (1)  ( x  1)  ( x  1) 1! 2! f (1)  ( x  1)3  o ( x  1)3 3!  Nếu dùng phần dư Lagrange: f (x)  1 (x 1)  (x 1)2  (x 1)3  R3  f (x)  1 (x 1)  (x 1)2  (x 1)3  o (x 1)3 1! 2! 3!   f (1)  1 x f ( x)     1 (x 1)  (x 1)2  (x 1)3  o (x 1)3 f ( x)    •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp f ( x)  f (1)   f (1)  x  Phần dư Peano  f (4) 24 ( x)  x f ( ) (c )  R3  ( x  1) 4! 24 ( x  1) 4  ( x  1)  4! c5 c5 Ví dụ Ví dụ Viết khai triển Maclaurin đến cấp cho f(x) = tan x Biết f(x) đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = 1, f ( x)  tan x(1  tan x) f ( x)   tan x f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) f ( x)  2(1  tan x)  tan x(1  tan x) Vì f(x) đa thức bậc nên f(4)(x) = f (0) f (0) f ( x)  f (0)  ( x  0)  ( x  0) 1! 2! f (0) ( x  0)3  o ( x  0)3  3!  Khai triển Taylor f đên cấp khơng có phần dư  tan x  x  f (x)  f (2)   x  o( x ) f ( x)  f (2)  Khai triển Maclaurin hàm f (2) f (2) f (2) (x  2)  (x  2)2  (x  2)3 1! 2! 3! 12   ( x  2)  ( x  2)2  ( x  2)3 1! 2! 3! (x  2)  2(x  2)2  2(x  2)3  f ( x)  1  4( x  2)  6( x  2) f (2) f (2) f (2) ( x  2)  ( x  2)  ( x  2)3 1! 2! 3! (x0 = 0) f ( x)  e x f ( k ) (0) e  f (0)   ( x  0) k  o ( x  0) n k! k 1 n x f ( k ) ( x)  e x  f ( k ) (0)  n Biết (1) là1,đaf thức (1)  bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = 1,  f f(x) f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) k x  o( x n ) k 1 k ! e  1  x   f ( x)  (1  x) f ( x)  ln(1  x) f ( k ) (0) k ln(1  x)  f (0)   x  o xn k! k 1 n f (k )   (1) k 1 (k  1)! ( x)  (1  x) k f ( k ) (0) k (1  x)  f (0)   x  o xn k! k 1 k k 1 x ln(1  x)   (1)  o( x n ) k k 1 x  x    (  1) x2   1! 2!  (  1) (  n  1) n  x  o( x n ) n! f ( x)  sin x Áp dụng cho  =  (1  x)   n (1  x)   n  (  1) f ( k ) (0)   (  1) (  k  1)   f ( k ) (0)  (1) k 1 (k  1)!  f ( k ) ( x)   (  1) (  k  1)(1  x)  k x2   1! 2!  (  1) (  n  1) n  x  o( x n ) n!   x  x  x3    (1) n x n  o( x n ) 1 x  f ( k ) ( x)  sin  x  k  2  f (2 p )     f ( k ) (0)  sin k f (1) (0)  1, f (3) (0)  1, f (2 p 1) (0)   1 sin x  f (0)  n 1  k 0 n sin x   (1) k 1 k 1 f ( k ) (0) k x  o x n 1 k!  x k 1  o x n 1 (2k  1)!     p 1 Bảng công thức kt Maclaurin Lưu ý cho hàm sin x 2n sin x  f (0)   k 0 x x2 xn e        o( x n ) n! 1! 2! x f ( k ) (0) k x  o x2n k!   n x x3 n 1 x ln(1  x)  x      (1)  o( x n ) n f(2n)(0) =  hệ số x2n n sin x   (1) k 1 k 1 x k 1  o x2n (2k  1)! (1  x)       hay  o  x  2n cos x   2n  (  1) x2   Khai triển Maclaurin arctan hyperbolic n 1 x3 x5 n 1 x sin x  x      (1)  o x n 1 3! 5! (2n  1)! x 1! 2!  (  1) (  n  1) n  x  o( x n ) n!   x  x  x3    (1) n x n  o( x n ) 1 x    x x x     (1) n  o x 2n 2! 4! (2n)!  hay  o  x  n 1  x3 x5 x n 1 sinh x  x       o x n 1 3! 5! (2n  1)!   x2 x4 x2n cosh x        o x 2n 2! 4! (2n)!   Giống sinx, cosx không đan dấu n 1 x3 x5 n 1 x arctan x  x      (1)  o x n 1 2n   Giống sinx, mẫu số khơng có giai thừa  Ví dụ áp dụng Tìm khai triển Taylor đến cấp lân cận x = cho: f ( x)  ln( x  2) Tìm khai triển Taylor đến cấp lân cận x = cho: f ( x)  x u= x–1 f ( x)  ln(3  u )  ln(1   u ) x0 =  0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – (2  u ) (2  u )3  2u   o (2  u )3    f ( x)    u  u  u3  o u3 1 u Trả biến cũ:  f ( x)   ( x  1)  ( x  1)  ( x  1)  o ( x  1)   Sai! (u + 2)  u = (hay x = 1) Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: f ( x)  ln(3  u ) x 1 f ( x)  u0 u u  ln 1    ln  ln 1    3  3 u u       u 3  u 3       ln   o     3    1  ln  u  u  u  o(u ) 18 81 Nhớ trả x n x2 x3 n1 x ln(1 x)  x    (1)  o(xn ) n f ( x)  x2 x  3x  1 x2   ( x  1)( x  4) 5( x  1) 5( x  4) 1  x  20  x Lưu ý: khai triển cho f+g, hàm phải khai triển đến bậc yêu cầu  1  x  20  x 1   x  x  x  o( x )   x 3     x  x  x  1              o       20             f ( x)   f ( x)   1 25  x  x2  x  o( x ) 32 128 ln(1  x)    x x  x x x x         x      2! 6!     3 lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao 2.Tính bậc khai triển cấp n cho tích f.g: g khai triển đến bậc (n – k)(và ngược lại) f ( x )  e ln(1  x ) x (0) khai triển cấp (1) Bậc thấp khai triển ex x0  ln(1 + x) khai triển đến x3 Bậc thấp khai triển ln(1+x) x1  ex khai triển đến x2 1.Khi tích khai triển, giữ lại tất Bậc thấp khai triển f k   x  x  x3    (1) n x n  o( x n ) 1 x ex Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: f ( x)  e x ln(1  x)   x2 f ( x)  1  x   o( x )   x  x  x  o( x3 )  2!     x x3  x    o( x ) Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp cho: f ( x)  sin x.ln(1  x) 2.Khai triển cấp 3: 2 f ( x)  sin x.ln(1  x) (1) (1) 1.Khai triển cấp 4: 3  f ( x )  x  o( x ) f ( x)  sin x.ln(1  x) (1) (1) x3  x   o( x ) 2   x x x  f ( x )   x   o( x )   x    o( x )  3!    x x  x    o( x ) 3 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: f ( x)  e x  x Đặt u(x) = x – x2 u(0) =  khai triển Maclaurin f theo u Khi khai triển u theo x, giữ lại tất lũy thừa từ x3 trở xuống   x2  x o x   ( )        2!  x  x2   o   x  x    3! x  x2 f ( x)  e x  x   x  x x  x2 x1   1   x  x  x  x3  x3  o x3     x  x  x3  o x3 Để tìm bậc khai triển f theo u phải xác định bậc VCB u theo x 2 cos x 1  ln(1  cos x 1)  cos x 1   o  cos x 1  Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: f ( x )  ln(cos x ) ln(cos x)  ln(1  cos x  1) u  cos x   x 2 khai triển f đến u2 Cần khai triển đến x cos x 1   o  cos x 1  ln(1  cos x 1)  cos x 1  Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: x2 f ( x)  x  3x  x2 x4  1   o x4 1 2! 4!   x2 x4  1    o x  1  o x 2 2! 4!      x2 x4     o x4 12     x2     o x  1 2 2!      x4 số hạng bình phương khơng sử dụng cos x cần khai triển đến x2   x   2  3  3x  x 3x  x 3x  x  1    o x3                (Mẫu số vô nghiệm) 1 f ( x)    x  3 x  x 1    x   2  3   x  x  x  x  x  x   o x3 1                        3x   x  1   x2  x3   o x3 4 16 64    11 13  x  x2  x  o x3 32 128   Cách 2: chia đa thức (xếp bậc từ thấp đến cao) x2 f ( x)  x  3x  4  3x  x 2 x 11 13  x  x2  x x  x2 32 128 2 11 x  x 8 13  x3 32   x2 x4    x2  4  sin x 1 1   o(x ) 1  1  o(x ) 1  o(x )   24        x3 x5  x   o( x )    x  x  o( x )  24 120     2  x  x  x  o( x ) 15 10 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: f ( x)  tan x sin x  sin x  tan x  cos x  cos x  (1) (0)    sin x  1  (cos x  1)  (cos x  1)  o (cos x  1)    2   x2 x4     x  sin x 1 1   o(x4) 1  1  o(x2) 1  o(x4)   24     Cách 2: x3 x5 x   o( x ) sin x 120 tan x   cos x x2 x4    o( x ) 24 x3 x5 x  120 x  x 30  x5 15 x2 x4 1  24 x  x3  x5 15 tan x  x  x3  x5  o( x5 ) 15 Bổ sung: tìm khai triển f(x) = arctan x f ( x)  arctan x f ( x)   g ( x)  x2 Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n g ( x)   x  x  x    (1) n x n  o( x n ) f (0)  f (0)  g (0)  1  2! f (0)  g (0)  f (2 k ) (0)  g (2 k 1) (0)  f (0)  g (0)  f (2 k 1) (0)  g (2 k ) (0)  (1) k (2k )! Các lưu ý viết khai triển Taylor tai x0 f ( x)  f (0)    f (0) f (0) f (0) x x  x  1! 2! 3! f (2 n ) (0) n f (2 n  ) (0) n 1 x  x  o x n 1 (2n)! (2n )!   n 1 x3 x5 n 1 x arctan x  x      (1)  o x n 1 2n    Cách viết khai triển cho arctan cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung Áp dụng tính đạo hàm Luôn chuyển khai triển Maclaurin Áp dụng công thức biểu thức u(x) với điều kiện u(x0) = Khai triển cho tổng hiệu: hàm phải khai triển đến bậc yêu cầu Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ bậc thấp kt hàm để biết bậc kt hàm lại Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x) Bài tốn: tìm đạo hàm cấp n f x0 B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n B2: Xác định hệ số (x – x0)n khai triển B3: Giả sử hệ số B2 a f(n)(x0) = a.n! Ví dụ Tìm đh cấp x = 0, với f(x) = ex.sinx Khai triển Maclaurin đến cấp f  x2 x3   f ( x)  1  x   o( x )  x   o( x )  2! 3!    3 x x Các số hạng chứa x3 là:   3! 2! 1  Hệ số x3 là:    3! 2!  f (0)   3!  3 Tìm đh cấp 12, 13 x = 0, f ( x)   x3 Khai triển Maclaurin đến cấp 13 f f ( x)   2  1   x3   x3   x3    1         x3        1    x3   x3         o           x12   1      o x13   16    Tìm đh cấp x = 0, f ( x)  ln(1  x  x ) Khai triển Maclaurin đến cấp f ( x  x ) ( x  x )3 f ( x)  x  x    o( x3 ) 1 Các số hạng chứa x3 là:   x3   x3 2  Hệ số x là:  2  f (0)    3!  4   x12 f ( x)   1      o x13   16     Hệ số x12 là: 32 Hệ số x13 là:  f (12) (0)   12! , f (13) (0)   13! 32 Áp dụng khai triển Taylor tính giới hạn 1.Thơng thường áp dụng kt Tayor để tính gh pp khác (gh bản, VCB, L’Hospital) tính dài khơng tính 2.Đa số dùng Taylor rơi vào trường hợp thay VCB VCL qua tổng, hiệu gặp triệt tiêu Do biểu thức khai triển đến hết triệt tiêu phần đa thức dừng, phần VCB bậc cao bỏ tính lim 1.Tìm số a,p để VCB (x)  axp x → a /  ( x)  x  sin x   x3  x   x   o( x )  3!   x   o( x ) 3! x3 3! a ,p3 c /  ( x)  sin x  x cos x b /  ( x)  x  e x  e x  x  2sinh x   x3  x   x   o( x )  3!   Ví dụ x3 2  x2 x3   x   o( x )  x    o( x )    x3   o( x ) x3 2.Tính giới hạn: e x  e tan x b / lim x 0 x  x x2 a / lim x 0  x  x  x2  lim 1 11  x 0 2  x    1  x   o( x )  x  2!    lim x 0 x2  x2  o( x ) e x  tan x   lim e x 0 x3 x  tan x  lim1 x 0 x3 x3 x  x   o( x )  lim   x 0 x3 tan x x2  lim   x 0  x 2 ... ex Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: f ( x)  e x ln(1  x)   x2 f ( x)  1  x   o( x )   x  x  x  o( x3 )  2!     x x3  x    o( x ) Tìm khai triển Maclaurin đến cấp... o( x )  3!    x x  x    o( x ) 3 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp cho: f ( x)  e x  x Đặt u(x) = x – x2 u(0) =  khai triển Maclaurin f theo u Khi khai triển u theo x, giữ lại tất lũy... k 1 f ( k ) (0) k x  o x n 1 k!  x k 1  o x n 1 (2k  1)!     p 1 Bảng công thức kt Maclaurin Lưu ý cho hàm sin x 2n sin x  f (0)   k 0 x x2 xn e        o( x n ) n! 1! 2!