PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH hàm t25

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM GIÁO VIÊN: TỔ: TOÁN -TIN ., tháng năm 2019 CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI .2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU .2 B NỘI DUNG .3 KHAI THÁC TÍNH ĐƠN ÁNH-TOÀN ÁNH CỦA HÀM SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ PHÉP THẾ 20 PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO GIÁ TRỊ CỦA ĐỐI SỐ VÀ HÀM SỐ 36 C KẾT LUẬN .46 D TÀI LIỆU THAM KHẢO .45 CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 A MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các tốn phương trình hàm lớp hàm tự thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi toán Các toán thường yêu cầu học sinh cần phải hiễu rõ định nghĩa hàm số ( theo nghĩa ánh xạ) đồng thời đỏi hỏi kĩ biến phù hợp, nhiều lần phức tạp nhằm tìm số tính chất đặc biệt hàm qua phép ta thu phương trình đơn giản Chính tác giả định chọn đề tài “ Phương pháp giải phương trình hàm” , hy vọng củng cố lại ba phương pháp chủ yếu để giải lớp tốn này: - Phương pháp Khai thác tính chất đơn ánh, toàn ánh hàm; - Phương pháp Sử dụng phép thế; - Phương pháp Dựa vào giá trị đối số giá trị hàm số MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu các phương pháp hay sử dụng để giải phương trình hàm lớp hàm tự tập số thực: Phương pháp sử dụng tính đơn ánh, toàn ánh hàm; Phương pháp sử dụng phép ; Phương pháp dựa vào giá trị đối số giá trị hàm số; - Hiểu rõ khái niệm ánh xạ, rèn kĩ biến nhằm phát huy khả tư toán học cho học sinh CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 B NỘI DUNG KHAI THÁC TÍNH ĐƠN ÁNH-TỒN ÁNH CỦA HÀM SỐ 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐƠN ÁNH-TOÀN ÁNH Định nghĩa hàm đơn ánh, toàn ánh, song ánh: x2 o Hàm số f : X � Y đơn ánh � x1 , x2 �D mà x1 � f  x1  f  x2  o Hàm số f : X � Y đơn ánh � ( lấy x1 , x2 �X mà f  x1   f  x2  ta suy x1  x2 ) o Hàm số f : X � Y toàn ánh � y �Y x �X : f  x   y o Hàm số f : X � Y toàn ánh � f  X   Y o Đơn ánh + Toàn ánh = Song ánh Một số định hướng: o Biến đổi phương trình hàm cho dạng f  g  x    f  h  x   tính đơn ánh hàm số nên g  x   h  x  phương trình đơn giản tính f   o Sử dụng tính tồn ánh để tồn a cho f  a   f  a   1; 1; 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN �x  u �y  v Kí hiệu P  u, v  : phép � Bài tập 1.1 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  y  f  x    f  f  y    x, x, y �� Dự đốn có tính chất đơn ánh hay khơng? Việc chứng minh đơn ánh dựa vào định nghĩa: “ Giả sử có f  a   f  b  ta chứng minh a  b ” ta thấy phương trình xuất 2x đo thay x  a, x  b ta có biểu thức mà a, b đứng độc lập Đồng thời phương trình có f  x  , f  y  nên x  a, b y  a, b ta có biểu thức f  f  a    f  f  b   , f  x  y  f  a    f  x  y  f  b   CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Hơn x  y biểu thức đối xứng nên thay x  a, y  b ngược lại ta ln có a  b  b  a Từ điều ta dự đoán f đơn ánh Kĩ thuật chứng minh đơn ánh gì? Giả sử có f  a   f  b  thực hai phép thế: P  a , b  : f  a  b  f  a    f  f  b    2a P  a, b  : f  b  a  f  b    f  f  a    2b Kết hợp với f  a   f  b  suy 2a  2b � a  b � f đơn ánh Lời giải chi tiết: Giả sử có f  a   f  b  thực hai phép thế: P  a , b  : f  a  b  f  a    f  f  b    2a P  a, b  : f  b  a  f  b    f  f  a    2b Kết hợp với f  a   f  b  suy 2a  2b � a  b � f đơn ánh Thực phép P  0, x  : f  x  f     f  f  x   , x �� (2) Từ (2) sử dụng tính chất đơn ánh suy f  x   x  C , x �� Thay lại vào (1) suy  1 � x  y  x  C  C  y  C  C  x Vậy f  x   x  C , x �� với C số tùy ý Bình luận sau lời giải: - Ta thấy thay x  phương trình đưa dạng f  u   f  v  f đơn ánh ta suy phương trình đơn giản u  v Như ta cần chứng minh f đơn ánh CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 - Việc chứng minh đơn ánh x  a, x  b vào phương trình chưa suy a  b Do vế trái xuất x  y nên cách tự nhiên ta nghĩ phép P  a, b  P  b, a  Các toán tương tự Bài tập 1.1.a ( Bài tác giả) � y � �� Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  y  f  x    f �f � �� x, x, y �� � �2 � � Hướng dẫn: P  a, 2b  � � �� a  b � f đơn ánh P  b, a  � P  0, x  : suy hàm số cần tìm Bài tập 1.1.b ( Bài tác giả) Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  y   f  f  x    y, x, y �� Hướng dẫn: P  a  b, a  � � �� a  b � f đơn ánh P  a  b, b  � P  x,  : suy hàm số cần tìm Nếu ta chọn hàm số f  x   x  3, x ��, sử dụng tính chất f đơn ánh từ f  u  x, y    f  v  x, y   � u  x, y   v  x, y  Chọn u  x, y   xf  y   x suy f  u  x, y    f  xf  y   x   f  xy  x    xy  x    xy   x  3  Dựa ý tưởng ta có tốn sau: Bài tập 1.1.c ( Bài tác giả) Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  xf  y   x   xy  f  x   3, x, y �� CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Hướng dẫn: P  1, y  : f  f  y   1  y  f    đến thay y  a, y  b suy f đơn ánh ( f song ánh) P  x,  : suy hàm số cần tìm Bài tập 1.2 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn điều kiện f  f  x   y   3x  y  7, x, y �� 1 Hướng dẫn:  f đơn ánh  Do tính đối xứng vế phải nên ta có f  f  x   y   3x  y   f  f  y   x  nên f  x   x  f  y   y, y ��  Nên cố định y giá trị cụ thể chẳng hạn y  ta có f  x   x  f   , x �� hay f  x    x  C , x ��  Thử lại ta có f   x  C  y   x  y  C  C  3x  y  không thoả mãn với x, y �� nên loại  Vậy phương trình cho vô nghiệm Nhận xét: - � � � � Nếu đk đổi thành f �f  x   y � x  y  7, x, y �� phương trình có nghiệm 4 f  x    x  14 - Khơng thiết sử dụng tính đối xứng để giải tốn này, thay y  x ta có f  f  x   x   7, x ��, tính đơn ánh nên f  x   x  C - Có thể giải theo cách thay y f  x  suy f  x   ? - Có thể giải theo cách cho x  1 sau lại cho y  x  f  1 CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Bài tập 1.3 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn điều kiện f  f  x   y   x  y  3, x, y �� 1 Hướng dẫn: � x �  Thay y  ta có f �4 f  x   x � 3, x �� � � 3  Do f đơn ánh, nên ta có f  x   x  4C , x ��� f  x   x  C , x ��  Thử lại không thoả mãn Nhận xét: - Hãy tìm a, b để tốn f  f  x   y   ax  by  3, x, y �� có nghiệm (Đáp số a - 9 ,b  y ) 16 Giải toán tổng quát: f  af  x   by   cx  dy  e, x �� Bài tập 1.4 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn điều kiện f  xf  x   f  y    f  x   y , x, y �� 1 Hướng dẫn: o Sử dụng tính tồn ánh để f     suy f  f  x    x �f  x   x o Sử dụng phép x f  x  để có f  x   x , x ��� � �f  x    x , x �� � �f  a   a � mẫu thuẫn �f  b   b o Giả sử a, b �0 : cho � o KL: f  x   x, x �� f  x    x, x �� Bài tập 1.5 Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn f  xf  x  y    f  yf  x    x , x, y �� (1) CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Ở (1) thay x  y  ta có f    f   � �f   � �suy f    � �f   � � � f   � 1;  * Trường hợp � �f   � � Cho y  suy f  x   f    k  const � 1;  Thử lại thấy thỏa mãn * Trường hợp f    Ở (1) thay x  y  ta có f  1  f  1 � �f  1 � �suy f  1  � �f  1 � � Nếu � �f  1 � � suy f   x    f  x  , x �� (1) lại thay x  2, y  suy � �1 � � f  1  f   �f � � � � �2 � � �1 � �� �f   � Ở (1) lại thay x  , y  suy f    f � � � � � �f   � � � Ở (1) lại thay x  2, y  suy f    Ở (1) lại thay x  4, y  suy f    � f  1  lại thay x  suy f  y   f  1 � �f  y  � � , với y Vậy f  x   0, x �� f  x   k  const � 1;  Bài tập 2.13 Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn phương trình x  y  f  xy   f  x  f  y  f  x  y  với x, y �� Lời giải: Cho x  y  suy f    Nhận thấy hàm f  x   với số thực x hàm thỏa mãn CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 35 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Xét hàm không đồng 0, tồn a �0 cho f  a   từ (1) thay x  a suy f  ax   0, với số thực x , suy vô lý Vậy f  x  �0 với số thực x Ở (1) thay y  suy f  x   cx, với x  �1 � Với x  (1) lại thay y suy f � � c x x x �� Suy f  x   cx, x  Ở (1) lại thay y  1 suy f   x   kx, với số thực x  �f    � Như ta có �f  x   cx, x �0, c  � �f  x   kx, x �0, k  Suy có hàm thỏa mãn f  x   0, f  x   x, f  x    x, f  x   x , f  x    x với số thực x Bài tập 2.14 Tìm hàm số f : �� � thỏa mãn f  x  f  x  f  y    xf  x  y  , x, y �� (1) Giải: Ở (1) thay x  suy f  f   f  y    0, y �� Suy tồn a cho f  a   Ở (1) lại thay x  a, y  suy f  a   Ở (1) lại thay x  a, y  a suy f  a   af   a0 � Suy af    � � �f    � f    suy f  x   � x  2 Ở (1) lại thay y  x suy f  x  f  x  f   x    � x  f  x  f   x   0, x �� (*) CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 36 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Ở (1) thay y  suy f  x   xf  x  , x ��(2) Ở (2) thay x  x ta f  x    xf   x  Suy xf  x    xf   x  � f  x    f   x  , x �0 mà f    suy f  x    f   x  , x �� (**) 2 Từ (*) (**) suy f  x   x , x �� (***) Giả sử tồn a, b �0 cho f  a   a, f  b   b thay vào (1) sử dụng (***) ta điều vô lý Suy f  x   x, x �� f  x    x, x �� thử lại có hàm f  x   x, x �� thỏa mãn Bài tập 2.15 �x � Tìm tất hàm số f : 0; � � � thỏa mãn f  x   f  x  y   f � �f  x  y  , x, y  y �� Lời giải: * TH Nếu   cho f     1 Khi đó, (1) thay x  y suy f   y   f   y  y    f   y  y  , y  suy f   y   0, y  suy f  x   0, x  vô lý với   cho f     1 1,  x � * TH Do đó, ta ln có f  x   Suy f  x  y  f  x �x � f � � �y � , x, y  �x � f � � 1, x, y �y � (2) thay đổi x � y ta có � �x � � � �y � � f  x  �f � � 1� f  y  �f � � 1� , , x, y  (3) y x � � � � ��� � CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 37 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 f  x �x � f � � f  x  y f  x �y � f  x  y  z    , x, y, z  Từ (2) ta suy (4) �x  y � �x � x � �x � � f� f�� f � � f � � � �z � �z �  �z � �y � �x � f � � �y � Tương tự ta có f  x  y  z  f  y  x  z  f  y �y � f � � �z � �x � �� �y � f � � �x � , x, y , z  (5) �y � �� Từ (3), (4), (5) ta có f  y  f � � f  x  f � �, x, y, z  (6) z z Ở (6) thay y xy thay z x ta f  xy  f  1  f  x  f  y  , x, y  (7) + Nếu f  1  suy f  x  f  y   0, x, y  Giả sử tồn a cho f  a  �0 (7) thay x  a  y ta có f  a  f  a   � f  a   vô lý Vậy f  x   0, x  + Nếu f  1 �0 ta f  1  có f  xy   f  x  f  y  , x, y  f  x  y  f  x f  y f  x  f  y  � 1  , x , y  1  f  x  y f  x f  y Đặt g  x   f x , x  suy g  xy   g  x  g  y  , x, y    g  x  y   g  x   g  y  , x, y  suy g  x  vừa hàm cộng tính, vừa hàm nhân tính x x Suy g  x   x, x  � f  x   , x  Vậy f  x   0, x  f  x   , x  PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO GIÁ TRỊ CỦA ĐỐI SỐ VÀ HÀM SỐ 3.1 QUAN ĐIỂM TIẾP CẬN Xét toán tổng quát: CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 38 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Tìm tất hàm số f : X � Y thoả mãn biểu thức F  x   F ( x, y )  Hướng tiếp cận: Để xác định f  x   ?, x �X ta tiến hành theo ba bước lớn sau: Bước Từ F  x   F ( x, y )  ta biến đổi dạng VT  VP khẳng định hai vế có tập giá trị X từ đặc điểm phương trình ta � u �X : x  g  u   * g  u  , g  u, v  hàm một, hai biến phù hợp x �X � u , v �X : x  g  u , v  � Bước Thay cho việc xác định f  x   ? với x �X , ta xác định �f  g  u    ? �  ** � f g u , v  ?    � Bước Từ  *  ** ta có f  x   ?, x �X 3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN Bài tập 3.1 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn điều kiện f  x  f  y    f  x   f  f  y    xf  y   f  y  , x, y �� (1) Lời giải:  Giả sử f  x   0, x �� thay vào điều kiện  1 ta  (luôn đúng) � f  x   0, x �� nghiệm cần tìm  Giả sử tồn hàm số f  x  khác hàm số thoả mãn toán �ιa �: f  a   Trong  1 thay y a ta thu f  x  f  a    f  x   2 f  a  x  f  f  a    f  a  , x ��   Nhận thấy VP   hàm số bậc theo biến x , nên miền giá trị VP    �; � từ đặc điểm phương trình   CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 39 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v   *  Trong  1 thay x f  x  ta thu f  f  x   f  y    f  f  x    f  f  y    f  x  f  y   f  y  , x, y ��  3 Trong  1 thay x f  y  ta thu f  f  y   f  y  f  y  f  0 hay f  f  x    f  x   f  x   , y �� f  0 , x ��   Từ  3   ta thu f� �f  x   f  y  � � � �f  x   f  y  � � � �f  x   f  y  � � f   , x, y ��  **  Từ  *  ** ta thu � f  x  f � �f  u   f  v  � � � �f  u   f  v  � � � �f  u   f  v  � � f    x  x  f   , x �� 2 hay � f  x   x  x  f   , x ��    Từ     ta suy f  0  f  0 � f  0  � f  x   x  x, x ��  Thử lại với f  x   x  x, x �� thấy thoả mãn toán  Kết luận: Phương trình có nghiệm hàm f  x   x  x, x �� f  x   0, x �� Nhận xét: Ở tập 3.1 thay tìm f  x   ? với x ��, ta khẳng định � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v  ta định hướng đến việc phải tìm f� �f  x   f  y  � � � �f  x   f  y  � � � �f  x   f  y  � � f   , x, y �� Bài tập 3.2 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  f  y    f  x   f  y   x, x, y ��  1 CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 40 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Lời giải:  Ở (1) thay y  ta thu f  x  f     f  x   2 x  f   , x �� � f  x   f  x  f     x  f   , x ��   Nhận thấy VP   hàm số bậc nhất, nên miền giá trị VP   � từ đặc điểm phương trình   � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v   *  Ở  1 thay x   f  x   f  y  ta f  f  y   f  x    f  f  y   f  x    f  x   f  y  , x, y ��  3  Ở  1 thay x   f  x   f  y  ta f  f  y   f  x    f  f  y   f  x    f  x   f  y  , x, y ��    Ở  1 thay x   f  x  ta f  f  y   f  x    f   f  x    f  x   f  y  , x, y ��  5  Ở  1 thay x   f  y  ta f    f   f  y    f  y  , y �� Hay f   f  x     f  x   f  0  6  Thế   a   a   a  3 ta f  f  y   f  x    f  y   f  x   f   x, y �� Hay f  f  x   f  y    f  x   f  y   f   x, y ��  **  Từ (*) (**) ta thu f  x   f  f  u   f  v    f  u   f  v   f    x  f   , x �� Hay f  x   x  f   , x ��    Từ     ta có f    � f  x   x, x �� CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 41 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019  Thử lại thấy thoả mãn  Kết luận: Phương trình có nghiệm hàm f  x   x, x �� Nhận xét: Ở tập 3.2 thay tìm f  x   ? với x ��, ta khẳng định � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v  ta định hướng đến việc phải tìm f  f  x   f  y    f  x   f  y   f   x, y �� Như điểm khác ví dụ Ví dụ việc khẳng định mệnh đề x  f  u   f  v  x  f  u   f  v  Tuy nhiên lựa chọn không nhất, chẳng hạn ví dụ hồn tồn khẳng định mệnh đề � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v  có lời giải khác sau Lời giải khác  Ở (1) thay x y  f  y  ta thu f  y  f  y    f  y   y, y �� Hay f  x  f  x    f  x   x, x ��   Nhận thấy VP   hàm số bậc nhất, nên miền giá trị VP   � từ đặc điểm phương trình   � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v   *  Ở  1 thay x  f  x   f  y  ta f  f  x   f  y    f  f  x   f  y    f  x   f  y  , x, y ��  3  Ở  1 thay x  f  x  ta f  f  x   f  y    f  f  x    f  x   f  y  , x, y ��    Ở  1 thay x  f  x   f  y  ta f  f  x    f  x  , x ��  5  Thế   a   a  3 ta f  f  x   f  y    f  x   f  y  x, y ��  **  Từ (*) (**) ta thu f  x   f  f  u   f  v    f  u   f  v   x, x �� CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 42 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Hay f  x   x, x ��  Thử lại thấy thoả mãn  Kết luận: Phương trình có nghiệm hàm f  x   x, x �� Bài tập 3.3    Tìm tất hàm số f : � � �   0; � thoả mãn f  f  x    yf  yf  x   x, y ��  1 Lời giải:  Ta có f  f  x    yf  yf  x   x, y ��� f  f  y    xf  xf  y   x, y ��    Do tập giá trị hàm số f  x  nằm tập � � f  x   0, x �� �x f  f  y  f  xf  y   , x, y ��  3 Nhận thấy VP  3 có tập giá trị � từ đặc điểm  3 ta suy x �� � u, v �� : x  f  u  * f  v Ở   thay x  f x ta   f  f  y   �f  y  � f� � � � f  x � �f  x  � �f  y  � f�  f x f f y , x, y ��   �f  x  � �      � � f  1 , y ��   Ở   thay x f y ta thu f  f  y      f  y �f  y  f� Từ     ta � �f  x  � f  1  , x, y ��  ** � � f  y � f  x �f  u  f  x  f � �f  v  Từ  *  ** ta suy � � f  1 f  1   , x �� � � f  u x � f  v  Thử lại thấy thoả mãn với f  1 �� CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 43 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 a x  Kết luận: Phương trình có nghiệm hàm f  x   , x �� , a  const  Nhận xét: Ở tập 3.3 thay tìm f  x   ? với x  , ta khẳng định x �� � u , v �� : x  �f  y  f� �f  x  � f  u f  v ta định hướng đến việc phải tìm � f  1  , x, y �� � � f  y Ngồi ví dụ giải theo cách sau: � f  x Lời giải khác ( tập 3.3)   Từ  1 � f  f  y    xf  xf  y   x, y ��    Ở   thay y  ta f  xf  1   f  f  1  x , x ��  3 Ở  3 thay x  f ta f  1  f  1 f  f  1  � f  f  1       Từ  3   ta f  xf  1   f  1  , x ��   x xf  1  Do tập giá trị xf  1 x �� � nên từ  5 � f  x   C , x ��   x  Thử lại ta thoả mãn với số thực dương C  KL: f  x   C , x �� x Nhận xét: Ở tập 3.3 thay tìm f  x   ? với x  , ta định hướng đến việc phải tìm f  xf  1   f  1  , x �� kết hợp với việc xf  1 có tập giá trị � x xf  1 Bài tập 3.4 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  f  y    x  f  y   xf  y   2019, x, y ��  1 CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 44 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Lời giải:  Nếu f  x   1, x ���  1 trở thành 1  x   x  2019 �  2019 (vơ lí) �ιa �: f  a   Ở  1 thay y a ta thu f  x  f  a      f  a   x  2019, x ��    Nhận thấy VP   hàm bậc theo biến x � tập giá trị VP   � từ đặc điểm phương trình   ta x ��� u ��: x  f  u   *  Ở  1 thay x  ta f  f  y    f  y   2019, x ��  **  Từ  *  ** ta suy f  x   f  f  u    f  u   2019  x  2019, x ��  Thử lại thấy với  1 � x  y  2019  2019  x  y  2019  x  y  2019   2019, x, y �� � x  y  2019   0, x, y �� (vơ lí)  Kết luận: Khơng tồn hàm số thoả mãn toán Nhận xét: Chúng ta giải tốn pp thông thường sau: Thay y  suy f  x  f       f    x  f   (2) Ở (2) lại thay x x  f   suy f  x   cx  d (3) Thử lại thấy vơ lý Vậy khơng có hàm số thỏa mãn Bài tập 3.5 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  f  y    f  f  y    xf  y   f  x   1, x, y �� (1) Lời giải CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 45 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019  Giả sử f  x   0, x �� thay vào điều kiện  1 ta  1 (vơ lí) �ιa �: f  a   Trong  1 thay y a ta thu f  x  f  a    f  x   f  a  x  f  f  a    1, x ��   Nhận thấy VP   hàm số bậc theo biến x , nên miền giá trị VP    �; � từ đặc điểm phương trình   � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v   *  Trong  1 thay x f  x  ta thu f  f  x   f  y    f  f  y    f  x  f  y   f  f  x    1, x, y ��  3 Trong  1 thay x f  y  ta thu f  f  y     f  y   f  f  x    f  0  , y �� hay f  0 1 f  x  , x ��   2 Từ  3   ta thu f � �f  x   f  y  � �  � �f  x   f  y  � � f   , x, y ��  **  Từ  *  ** ta thu 1 � f  x  f � �f  u   f  v  � �  � �f  u   f  v  � � f     x  f   , x �� 2 Hay � f  x    x  f   , x ��    Từ     ta suy f  0  2  f   � f    � f  x    x  1, x �� 2  Thử lại với f  x    x  1, x �� thấy thoả mãn toán  Kết luận: Phương trình có nghiệm hàm f  x    x  1, x �� CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 46 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Bài tập 3.6 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  f  y    f  y   xf  y   f   x  , x, y �� (1) Lời giải: Giả sử f  x   0, x �� thay vào điều kiện  1 ta  (luôn đúng) � f  x   0, x �� nghiệm cần tìm Giả sử tồn hàm số f  x  khác hàm số thoả mãn toán �ιa �: f  a  Trong  1 thay y a ta thu f  x  f  a    f   x   f  a  x  f  a  , x ��   Nhận thấy VP   hàm số bậc theo biến x , nên miền giá trị VP    �; � từ đặc điểm phương trình   � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v   * Trong  1 thay x  f  x  ta thu f   f  x   f  y    f  y   f  x  f  y   f  f  x   , x, y �� Hay f  f  x   f  y    f  x   f  x  f  y   f  f  y   , x, y ��  3 Trong  1 thay x ta thu f  f  y    f  y   f   , y �� hay f  f  x    f  x   f   , x ��   Từ  3   ta thu f � �f  x   f  y  � � � �f  x   f  y  � � f   , x, y ��  ** Thử lại với  1 với f   �� thấy thoả mãn toán Kết luận: Phương trình có nghiệm hàm f  x   x  C , x ��, f  x   0, x �� Bài tập 3.7 Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn f  x  f  y    f  x   f  f  y    xf  y   f  y   3, x, y �� CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 47 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 Lời giải Giả sử f  x   0, x �� thay vào điều kiện  1 ta  (vơ lí) �ιa �: f  a  Trong  1 thay y a ta thu f  x  f  a    f  x   2 f  a  x  f  f  a    f  a   3, x ��   Nhận thấy VP   hàm số bậc theo biến x , nên miền giá trị VP    �; � từ đặc điểm phương trình   � x ��� u , v ��: x  f  u   f  v   * Trong  1 thay x f  x  ta thu f  f  x   f  y    f  f  x    f  f  y    f  x  f  y   f  y   3, x, y ��   Trong  1 thay x f  y  ta thu f  f  y    f  y   f  f  x   f  x  f  x  f  0  f  y  f  0  , y �� hay , x ��   Từ  3   ta thu � �f  x   f  y  � � f , x, y �� ** � � � f� f x  f y  f x  f y              � �� � x 2 Từ  *  ** ta thu � f  x   x   f   , x ��   Từ     ta suy f  0  x  f   � f    3 � f  x   x   3, x �� x Thử lại với � f  x   x   3, x �� thấy thoả mãn tốn x Kết luận: Phương trình có nghiệm hàm � f  x   x   3, x �� C KẾT LUẬN Chuyên đề đề cấp đến ba vấn đề giải tốn phương trình hàm tự tập số thực Qua giúp học sinh tiếp cận hình thành phương pháp giải tốn dạng này, đồng thời tăng thêm tính say mê tích cực tìm tòi, sáng tạo em Vì kiến CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 48 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 thức thời gian nghiên cứu hạn chế nên chuyên đề hẳn tồn thiếu sót Tơi mong đón nhận trao đổi, góp ý Q Thầy Cơ để chun đề ngày hồn thiện sâu sắc Tơi xin chân thành cảm ơn! D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Trọng Tuấn , Bài toán hàm số qua kì thi Olimpic, NXB Giáo dục, 2005 [2] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, 2000 [3] Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục [4] Các đề thi kì dành cho học sinh giỏi tồn quốc, khu vực quốc tế CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: 49 ...GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI Trang số: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2019 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM GIÁO VIÊN: TỔ: TOÁN -TIN... Phương pháp giải phương trình hàm , hy vọng củng cố lại ba phương pháp chủ yếu để giải lớp toán này: - Phương pháp Khai thác tính chất đơn ánh, tồn ánh hàm; - Phương pháp Sử dụng phép thế; - Phương. .. - Phương pháp Dựa vào giá trị đối số giá trị hàm số MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu các phương pháp hay sử dụng để giải phương trình hàm lớp hàm tự tập số thực: Phương pháp sử dụng