CHUYỂN ĐỘNG của các vật có KHỐI LƯỢNG THAY đổi l16

Chuyên đề Hội thảo khoa học Hội trường chuyên Khu vực Duyên hải Đồng Bắc Bộ năm 2019 CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT CÓ KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chuyển động vật có khối lượng thay đổi theo th ời gian m ột n ội dung có tính ứng dụng thực tế cao Kể từ năm 40 kỷ tr ước, v ới s ự phát triển khoa học công nghệ, cụ thể khoa học khơng gian, tốn chuyển động vật có khối lượng thay đổi quan tâm ngày quan tâm mà vấn đề xuất hi ện ngày nhi ều đề thi chọn học sinh giỏi Vật lý THPT Tuy nhiên, l ại n ội dung khó, dễ bị ngộ nhận, nhầm lẫn đa số học sinh Trong SGK sách tham khảo Vật lý THPT, vi ệc kh ảo sát đ ộng l ực h ọc vật có khối lượng thay đổi theo thời gian chưa đề cập nhi ều ho ặc đề cập cách chưa có hệ thống gây khó khăn cho giáo viên tr ẻ b ước đầu tiếp cận công tác đào tạo học sinh giỏi Vật lý THPT Bên cạnh đó, h ệ th ống tập vận dụng giúp học sinh, học sinh gi ỏi V ật lý THPT rèn luy ện kỹ giải toán chưa nhiều II MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Thiết lập hệ thống lý thuyết, phương trình liên quan đến chuy ển động vật có khối lượng thay đổi Cung cấp số tập vận dụng phương pháp giải tập v ận dụng B NỘI DUNG I HỆ THỐNG LÝ THUYẾT Công thức Meshersky Giả sử thời điểm t, vật có khối lượng m, chuyển động với vận tốc r v có khối lượng dm (rất nhỏ) chuyển động với vận tốc r v1 đến sát nhập vào hệ Sau khoảng thời gian nhỏ dt, khối lượng vật biến thiên từ m đến m + dm, vận tốc vật biến thiên từ r v đến r v r v +d Để khảo sát chuyển động vật m có khối lượng bi ến thiên, ta quy v ề khảo sát chuyển động hệ có khối lượng khơng biến thiên thân vật xét phần khối lượng thêm vào (hệ gồm m dm) r dp Trong khoảng thời gian dt, động lượng hệ biến thiên lượng : r r r r r r r r r r r dp = (m+ dm).(v + dv) − (mv + dm.v1 ) = mv + mdv + dm.v + dmdv − mv − dm.v1 r dm.dv Bỏ qua lượng nhỏ ta được: r r r r dp ≈ mdv + dm(v − v1 ) Áp dụng định luật II Newton cho hệ m + dm: r r r dp dv r r dm r Fext = = m + ( v − v1 ) F dt dt dt ext với tổng ngoại lực tác dụng lên hệ r r r v1 − v = u Đặt vận tốc tương đối dm so với m suy ra: r r dv r dm Fext = m − u dt dt (1) Hay: r r r dm r r ma = Fext + u = Fext + µu dt µ= (2) với dm dt Phương trình (1) (2) định luật II Newton áp dụng cho vật có khối lượng biến thiên theo thời gian gọi công thức Meshersky (Mét-séc-ski) Trường hợp đơn giản áp dụng cho hệ thống có khối lượng thay đổi động tên lửa Đây ví dụ tương tác hai đối tượng: tên l ửa µ =− nhiên liệu từ Trong tốc độ nhiên li ệu dm dt > khối lượng tên lửa giảm dần theo thời gian r r F' = µu + có thứ ngun lực, lực đẩy dm tác dụng vào m tách khỏi m r r F' = µu + Lực phụ thuộc vào hai yếu tố: a) b) dm dt r u tốc độ nhiên liệu khỏi m vận tốc tương đối dm so với m Công thức Tsiolkovsky Trong trường hợp hệ không chịu tác dụng ngoại lực (tên lửa chuyển động không gian cách xa thiên th ể) thời gian phóng nhiên li ệu r ất ngắn để coi ngoại lực chưa có tác dụng đáng kể r m dv r dm m =u v = u.ln dt dt m → (3) r r Fext = : (3) gọi công thức Tsiolkovsky (Xi-ôn-cốp-xki) Công thức Meshersky áp dụng cho máy bay phản lực Cơng thức (2) mở rộng cho trường hợp có nhiều nguồn lực đ ẩy khác nhau: n r r r ma = Fext + ∑ µ i ui i =1 (4) Một ví dụ áp dụng cho trường hợp máy bay phản lực bay theo phương ngang với vận tốc r v hút không khí với tốc độ µ > 0, vận tốc tương đối khơng khí máy bay r r u1 = −v Khơng khí đốt cháy nhiên liệu với tốc độ thải với tốc độ µ = µ1 + µ n với vận tốc tương đối r u2 µn > sau khí máy bay Từ (4) suy phương trình mơ tả q trình nêu là: r r dv r r r r r m = Fdrag + µ1u1 + µ2 u2 = Fdrag − µ1v + (µ1 + µ n)u2 dt r Fdrag (5) lực cản khơng khí tác dụng lên máy bay đóng vai trò ngo ại lực Lưu ý khối lượng máy bay lúc là: m = m0 − µ t II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Một vật có khối lượng m = 1000kg cần gia tốc chuyển động tròn gần bề mặt trái đất Hãy đánh giá khối lượng ban đầu m tên lửa Cho gia tốc rơi tự gần bề mặt trái đất g = 9,8m/s 2, bán kính trái đất R = 6400km vận tốc tương đối nhiên liệu (tức thời) so với tên lửa u = 5km/s Hướng dẫn giải: Vận tốc vũ trụ cấp I gần mặt đất là: v = gR v = u.ln Áp dụng công thức Tsiolkovsky: Suy ra: m0 m gR v m0 = m.exp( ) = m.exp( ) ≈ 4,87.103 kg u u Bài Một sợi dây xích có chiều dài AB = l, có phần nằm mặt bàn nhẵn nằm ngang phần nằm lơ lửng phía ngồi mép bàn có độ cao h so với mặt đất Đầu B dây xích chạm nhẹ vào mặt đất, đầu A giữ căng bàn Thả đầu nhẹ đầu A xích, tìm vận tốc đầu A vừa rời khỏi mép bàn Hướng dẫn giải: Đoạn xích chuyển động có khối lượng giảm dần: sau thời gian dt, đoạn xích dài dx có khối lượng dm nằm lại mặt đất, vận tốc tương đối phần so với xích u = Khi đầu A đoạn đường x có vận tốc v kh ối lượng đo ạn xích m= chuyển động m0 ( l − x) l , với m0 khối lượng tồn dây xích Fext = Ngoại lực tác dụng trọng lực phần buông thõng: ma = Fext + u Áp dụng công thức Meshersky: → m0 dv m0 l − x) = gh → l − x dv = ghdt ( ( ) l dt l gh ghdx → vdv = vdt = l−x l−x → v2 l = ghln h v l−h 0 → v = 2ghln → dx ∫ vdv = gh ∫ l − x l h dm dt m0 hg l Bài Một thùng có khối lượng M chứa đầy nước có khối lượng m ban đầu đứng yên Thùng kéo lên từ giếng sợi dây thừng với l ực khơng đ ổi F Nước bị rò rỉ ngồi với tốc độ không đổi thùng tr ống sau th ời gian T Tìm vận tốc thùng thời điểm mà rò rỉ Hướng dẫn giải: Xét thời điểm t, khối lượng thùng nước là: M' = M + m − m t T Phương trình Meshersky: r r r dm r M 'a = M 'g + F + u dt r Trong u vận tốc tương đối nước thùng, u = Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên ta được: M' ⇒ dv = ( dv = F − M 'g dt F F − g)dt = ( − g)dt m M' M+m− t T Vận tốc thùng thời điểm rò là: T v = ∫( F M+m− m t T − g)dt = FT M + m ln − gT m M Bài Một tên lửa có khối lượng tổng cộng ban đầu m 0, sau phóng lên đến độ cao trì trạng thái lơ lửng Nhiên li ệu phóng với độ lớn vận tốc u không đổi so với tên lửa Tìm hàm tốc đ ộ tiêu th ụ nhiên li ệu theo thời gian để đạt trạng thái Coi độ cao không l ớn, gia tốc trọng trường g thay đổi không đáng kể so với mặt đất Hướng dẫn giải: µ=− Đặt dm dt tốc độ nhiên liệu khỏi tên lửa; u độ lớn vận tốc tương đối m Áp dụng công thức Meshersky: Để tên lửa treo lơ lửng v = → dv = −mg + µu dt = −mg + µu Đạo hàm hai vế theo t ta được: dm dµ g= u dt dt → dµ g = − dt µ u µ → t dµ g ∫µ µ = − u ∫0 dt Lưu ý thời điểm ban đầu t = µ= → µ = µ exp(− → dv =0 dt gt ) u µ0 = nên: m0g u m0g gt exp(− ) u u Dễ thấy tốc độ khí giảm theo thời gian Bài Một tên lửa có khối lượng tổng cộng ban đầu m mặt đất Nhiên liệu phóng với độ lớn vận tốc u khơng đổi so với tên lửa v ới t ốc đ ộ tiêu thụ nhiên liệu µ (kg/s) khơng đổi theo th ời gian Coi đ ộ cao không lớn, gia tốc trọng trường g thay đổi không đáng k ể so v ới m ặt đ ất Tìm bi ểu thức phụ thuộc tốc độ tức thời tên lửa theo th ời gian Hướng dẫn giải: Do tốc độ thiêu thụ nhiên liệu µ khơng đổi nên Áp dụng cơng thức Meshersky: (m0 − µt) dv = −(m0 − µt)g + µu dt dv = (−g + → µu )dt m0 − µt v = −gt − uln(1 − → u t) m0 m = m0 − µt Bài Lúc t = 0, xe đựng cát có khối lượng tổng c ộng c xe cát m đứng yên mặt phẳng ngang, nhẵn chịu tác dụng lực F khơng đổi theo phương ngang Do có lỗ thủng sàn xe nên cát chảy xu ống với tốc độ không đổi µ (kg/s) Xác định vận tốc gia tốc xe thời điểm t Hướng dẫn giải: Chọn chiều dương chiều chuyển động xe Khi cát rời khỏi xe tốc độ cát so v ới xe u = Kh ối l ượng c xe th ời điểm t m = m0 - µt Áp dụng cơng thức Meshersky: F r r r dm a = ma = F + u t m0 − µt dt → Mặt khác: a= v dv F F = → dv = dt dt m0 − µt m0 − µt t F dt ∫0 dv = µ ∫0 m0 −t µ → v= → m0 F ln µ m0 − µt Bài Một tàu vũ trụ khối lượng M0 chuyển động theo quán tính xa thiên thể với vận tốc không đổi v0 Muốn thay đổi hướng chuyển động tàu người ta cho hoạt động động phản lực đ ể lu ồng khí có tốc độ u không đổi tàu, đồng th ời luồng khí có hướng ln vng góc với hướng chuyển động tàu Khi kết thúc thời gian hoạt động c đ ộng khối lượng tàu M Xác định góc lệch α hướng chuyển động tàu so với hướng ban đầu Hướng dẫn giải: dv Do khơng có ngoại lực nên cơng thức Meshersky có dạng: r dv r dm r r dm m =u → dv = u dt dt m v0 u dα v’0 Chiếu lên chiều r dv dv = − u ta dm m Do luồng khí có hướng ln vng góc với hướng chuy ển động tàu nên tốc độ tàu không đổi v0, hướng vận tốc thay đổi Trong thời gian nhỏ dt phương vận tốc biến đổi dα: dv = v0dα u dm → dα = − v0 m →α= α ∫ dα = − → M u dm v0 M∫0 m u M0 ln v0 M Bài Một xe gng có khối lượng m0 chuyển động vận tốc ban đầu v0 chuyển động đường nằm ngang vào vòi nước thẳng đứng Nước chảy vào thùng xe với tốc độ khơng đổi µ (kg/s) Tìm vận tốc xe thời điểm t, lực cản lên xe tỉ lệ với vận tốc theo công th ức F = b.v, v ới b h ệ s ố t ỉ lệ không đổi Hướng dẫn giải: Khối lượng xe thời điểm t m = m + µt; vận tốc tương đối nước so với xe u = -v Chọn chiều dương chiều chuyển động xe, phương trình Meshersky: = − bv − µv = − ( b + µ ) v ( m + µt) dv dt → dv dt = − ( b+ µ ) v ( m0 + µt) Tích phân hai vế: v t dv dt ∫v v = − ( b + µ ) ∫0 m0 + µt ( b + µ ) ln m0 + µt = ln( m0 ) v → ln = − v0 µ m0 m0 + àt b+à b 1+ ữ µ  m0  → v = v0  ÷  m0 + µt  Bài (Đề thi chọn ĐT Olympic 2015) Một giọt mưa hình thành rơi xuyên qua đám mây chứa hạt nước nhỏ li ti, phân bố nằm lơ lửng khơng trung Trong r ơi, gi ọt mưa tích dần nước việc nhập tất hạt nước nhỏ đường mà quét qua đám mây Ta giả thiết cách lí tưởng hóa tốn này: Khơng khí khơng làm ảnh hưởng đến chuyển động giọt mưa, kích thước ban đầu giọt mưa nhỏ khơng đáng kể giọt mưa ln có dạng hình cầu Kh ối l ượng riêng giọt mưa đám mây nước tương ứng ρ, ρo coi số a) Bán kính giọt mưa r phụ thuộc vào thời gian t theo m ột hàm s ố r(t) Lập phương trình vi phân hàm α ρ  r(t) = A  o ÷ gβt γ  ρ  b) Giả thiết r(t) có dạng: , A, α, β, γ hệ số không thứ nguyên A số không phụ thu ộc vào tham s ố nào; g gia t ốc trọng trường Xác định giá trị hệ số A, α, β, γ c) Tìm gia tốc giọt mưa chuyển động đám mây Hướng dẫn giải: a) Phương trình Meshersky cho chuyển động giọt mưa: r r r r dm dv m = mg + (v1 − v) dt dt với v1 = Chiếu lên phương thẳng đứng hướng xuống: 10 m dv dm dv dm = mg − v ⇒ =g−v dt dt dt mdt (1) Lại có: khối lượng giọt mưa tăng thêm th ời gian dt b ằng kh ối l ượng nước nhập vào giọt mưa thời gian quét qua đám mây 4ρ dr dv 4ρ d 2r dm = ρ4πr dr = ρo πr vdt ⇒ v = ⇒ = ρo dt dt ρo dt (2) 2 Thay (2) vào (1) ta được: 4ρ d r 4ρ dr ρ4πr 2dr 12ρ  dr  =g− =g−  ÷ ρo dt ρo dt ρπr 3dt ρo r  dt  d 2r  dr  ρo ⇒ 2+  ÷ − g=0 r  dt  ρ dt (3) α ρ  r(t) = A  o ÷ gβt γ  ρ  b) Từ biểu thức: α α  ρo  β γ−1 ρ  dr d 2r ⇒ = Aγ  ÷ g t ⇒ = Aγ( γ − 1)  o ÷ g βt γ− dt dt  ρ   ρ  Thế vào phương trình (3): α α  ρ  ρ  ρo Aγ ( γ − 1)  o ÷ gβ t γ− + 3γ 2A  ÷ gβ t γ− − g=0 ρ  ρ   ρo  α ρ  ρo ⇒ (4 γ − 1)A  o ÷ gβt γ−2 − g =0 ρ  ρ    γ = γ − =   ⇒ α = β = ⇒ α = β =  γ − γ A = A =    56 Đồng hệ số ( ) α ρ  4ρ dr 4ρ v = = γA  o ÷ gβ.t γ−1 = gt ρo dt ρo  ρ  c) Theo ý ta có: 11 Do gia tốc giọt mưa chuyển động đám mây là: a= dv g = dt Bài 10 (Đề thi Olympic vương quốc Anh) Một tên lửa không chịu tác dụng lực hấp dẫn vũ tr ụ, chuyển động nhanh dần theo quỹ đạo thẳng Khối lượng vỏ tên lửa với thiết bị gắn vào M Ở thời điểm t, kh ối l ượng c nhiên li ệu ch ứa tên lửa m = m o e − kt ( k số dương), vận tốc tương đối (so với tên lửa) − kt u = u e o lượng khí nhiên liệu Giả sử m o = M , chứng minh mou o vận tốc cuối tên lửa lớn vận tốc đầu lượng xấp xỉ 2M x x3 x4 ln(1 + x) = x − + − + Cho biết: Hướng dẫn giải: Do khơng có ngoại lực tác dụng lên tên lửa nên: r dv dm r (M + m) = u dt dt Chiếu lên chiều dương chiều chuyển động tên lửa: (M + m) dv dm =− u dt dt ⇒ (M + m o e − kt ) dv = km o u oe −2kt dt − kt − kt Đặt x = e ⇒ dx = − ke dt = − kxdt Thời điểm ban đầu: t = ⇒ x = Thời điểm hết nhiên liệu : t = +∞ ⇒ x = Ta có: dv dv dx dv dv km o u o x −m o u o x M = = −kx ⇒ =− = = −u o (1 − ) dt dx dt dx dx kx M + m o x M + m o x M + mox 12 Lấy tích phân vế: v M ∫ dv = −u ∫ (1 − M + m x )dx o vo o v − v o = − u o ( −1 − M M Mu o m ln ) = uo − ln(1 + o ) mo M + mo mo M mo mo ) ( ) Mu o m o = uo − ( − M + M + ) mo M ( Vì m o = M nên bỏ qua số hạng từ bậc ba trở lên mo ) Mu o m o mu v − vo ≈ u o − ( − M )= o o mo M 2M Do ( Bài 11 Một máy bay phản lực bay ngang với tốc độ 250m/s Trong giây động hút vào 75kg khơng khí đốt hết 3kg nhiên liệu Động nén khí đốt sau máy bay với tốc độ 500m/s so với máy bay Hãy tính lực đẩy động Hướng dẫn giải: Chọn chiều dương chiều chuyển động máy bay Fd = µ1u1 + µ2 u2 = −µ1v + ( µ1 + µ n ) u2 µ1 = 75 kg kg m m ;µ n = ;v = 250 ;u2 = 500 s s s s với → Fd = 20250N Bài 12 Một tên lửa bay xa trái đất Khi đạt đ ộ cao 2651km động lại hoạt động để khí đốt với tốc độ 500m/s (so với tên lửa) Biết thời điểm tên lửa có khối lượng 25 thu gia tốc a = 1,5m/s2 Xác định tốc độ tiêu thụ nhiên liệu Cho bán kính trái đất R = 6400km gia tốc rơi tự mặt đát g = 9,8m/s2 Bỏ qua sức cản khơng khí Hướng dẫn giải: 13 Phương trình Meshersky: r r r ma = F + µu Chiếu lên chiều dương chiều chuyển động tên lửa: ma = − mg'+ µu → µ = m(a + g') u Gia tốc rơi tự độ cao h: g' = GM g = 2 (R + h) µ= → m(a + 0,5g) kg = 320 u s C KẾT LUẬN 14 Do hạn chế mặt thời gian nên chuyên đề đề cập số vấn đề chuyển động vật có khối lượng thay đổi Số lượng tập giới thiệu hạn chế, chủ yếu xét chuy ển đ ộng t ịnh ti ến vật Nội dung chun đề mở rộng nữa, ví dụ chuy ển động vật có khối lượng thay đổi chuy ển động quay (sự thay đổi mơmen qn tính mơmen động lượng), tốn dao động có th ể học tương đối tính Vì vậy, chun đề sử dụng tiếp cận ban đầu trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh gi ỏi Vật lý, để từ người dạy người học có tìm tòi, bổ sung cao h ơn phù hợp với kỳ thi Rất mong nhận góp ý, bổ sung quý thầy cô đồng nghiệp để chuyên đề hồn thiện hơn, trở thành tài liệu hữu ích bồi d ưỡng h ọc sinh giỏi 15 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Tô Giang – Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT Cơ học , NXB Giáo dục Việt Nam, 2009 PGS.TS Phan Hồng Liên (chủ biên)…, Tuyển tập tập vật lý đại cương tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2015 Vũ Thanh Khiết, Phạm Khánh Hội – Đề thi học sinh giỏi Vật lí THPT, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016 Janusz Wolny, Radosław Strzałka - Momentum in the dynamics of variable-mass systems: classical and relativistic case, University of Science and Technology, Krakow, Poland Nguyễn Ngọc Tuấn – Tuyển tập đề thi Olympic Vật lí đặc sắc th ế gi ới , NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, 2016 http://thuvienvatly.com 16 ... đề chuyển động vật có khối lượng thay đổi Số lượng tập giới thiệu hạn chế, chủ yếu xét chuy ển đ ộng t ịnh ti ến vật Nội dung chun đề mở rộng nữa, ví dụ chuy ển động vật có khối lượng thay đổi. .. tốc vật biến thiên từ r v đến r v r v +d Để khảo sát chuyển động vật m có khối lượng bi ến thiên, ta quy v ề khảo sát chuyển động hệ có khối lượng khơng biến thiên thân vật xét phần khối lượng. .. thời điểm t, vật có khối lượng m, chuyển động với vận tốc r v có khối lượng dm (rất nhỏ) chuyển động với vận tốc r v1 đến sát nhập vào hệ Sau khoảng thời gian nhỏ dt, khối lượng vật biến thiên