Dãy số Jacobsthal và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 11/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 11/2019 i Mục lục Mở đầu 1 Dãy số Jacobsthal 1.1 Dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas 1.2 Một số tính chất 1.3 Dãy tổng riêng 10 Tổng bình phương tích số Jacobsthal 17 2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal số chẵn 17 2.2 Tổng bình phương số Jacobsthal số lẻ 21 2.3 Tích số Jacobsthal 25 2.4 Tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal số chẵn 28 2.5 Tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal số lẻ 31 2.6 Tổng đan dấu tích hai số Jacobsthal liên tiếp 34 Một số mở rộng dãy số Jacobsthal 38 3.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng 38 3.2 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Dãy số Jacobsthal {Jn } dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } xác định công thức truy hồi: J0 = 0, J1 = 1, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , j0 = 2, j1 = 1, jn = jn−1 + 2jn−2 , với n với n Khái niệm hai dãy số lần giới thiệu Horadam [3] năm 1988 Sau đó, hai dãy số nhiều người quan tâm nghiên cứu Năm 1996, Horadam [4] công bố thêm số kết hai dãy số ˇ Gần đây, năm 2007, Cerin [2] công bố số kết nghiên cứu tổng bình phương số Jacobsthal tổng tích hai số Jacobsthal liên tiếp Đây kết thú vị dãy số Jacobsthal Vừa rồi, năm 2018, Aydin [1] công bố số nghiên cứu việc mở rộng dãy số Jacobsthal Đầu tiên, ta thấy dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas có chung công thức truy hồi khác điều kiện ban đầu Từ hai dãy số này, Aydin định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng {Jn } cách cho điều kiện ban đầu tùy ý Cụ thể, dãy số Jacobsthal suy rộng xác định J0 = q, J1 = p + q, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , với n ≥ 2, đó, p, q hai số nguyên tùy ý Bên cạnh đó, Aydin định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng phức {Cn } số đối tượng khác mở rộng từ dãy số Jacobsthal Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số kết nói dãy số Jacobsthal, dãy số Jacobsthal–Lucas vấn đề liên quan Cụ thể, Chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas dựa theo hai báo [3] [4] ˇ Horadam Chương trình bày lại kết Cerin tổng bình phương tích số Jacobsthal Chương trình bày khái niệm số tính chất dãy Jacobsthal suy rộng dãy Jacobsthal suy rộng phức dựa theo bái Aydin [1] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, thầy giáo dạy cao học chun ngành Phương pháp tốn sơ cấp, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn người thân gia đình tất người bạn thân yêu thông cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho tơi để tơi học tập, nghiên cứu thực luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Người viết luận văn Nguyễn Quang Vinh Chương Dãy số Jacobsthal Mục đích chương trình bày lại khái niệm dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal - Lucas Đồng thời trình bày chứng minh cơng thức số hạng tổng qt, cơng thức Simson số tính chất thú vị hai dãy số Đặc biệt, trình bày số tính chất hai dãy số tổng riêng số hạng hai dãy số Các nội dung tham khảo hai báo [3] [4] Trước đó, chúng tơi trình bày sơ lược lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai để làm sở cho việc trình bày hai dãy số nói Nội dung chúng tơi tham khảo sách [5] 1.1 Dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas công thức tổng quát hai dãy số Thực chất hai dãy số nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với điều kiện ban đầu khác Chính vậy, trước tiên, nhắc lại khái niệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai đặc biệt chúng tơi trình bày cơng thức nghiệm phương trình trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Định nghĩa 1.1.1 Phương trình có dạng un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, , (1.1) A, B số, gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Để tìm nghiệm phương trình sai phân (1.1), xét phương trình bậc hai λ2 − Aλ − B = (1.2) Phương trình bậc hai gọi phương trình đặc trưng phương trình sai phân (1.1) Định lý sau cho công thức nghiệm phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt Định lý 1.1.2 ([5, Định lý 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α β Khi phương trình sai phân (1.1) có nghiệm un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, , (1.3) C1 C2 số Chúng ta cần ý rằng, biết điều kiện ban đầu u0 u1 số C1 C2 hồn tồn xác định Ví dụ 1.1.3 Tìm nghiệm phương trình sai phân un+1 = 5un − 6un−1 với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 Giải Phương trình đặc trưng phương trình (1.4) λ2 − 5λ + = (1.4) Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Do đó, nghiệm tổng quát phương trình (1.4) un = C1 2n + C2 3n , n = 0, 1, Từ điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 ta có hệ phương trình  C + C = 0, 2C1 + 3C2 = −1 Giải hệ phương trình ta C1 = 1, C2 = −1 Vậy nghiệm phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 un = 2n − 3n , n = 0, 1, Một cách tổng quát, trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α β , phương trình sai phân (1.1) với điều kiện ban đầu u0 , u1 xác định dãy số {un }∞ n=0 với aαn − bβ n , un = α−β a = u1 − u0 β, b = u1 − u0 α Bây giờ, nghiên cứu khái niệm dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas dựa lý thuyết chung phương trình sai phân Định nghĩa 1.1.4 a) Dãy số Jacobsthal {Jn } xác định J0 = 0, J1 = Jn+2 = Jn+1 + 2Jn , với n ≥ (1.5) b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } xác định j0 = 2, j1 = jn+2 = jn+1 + 2jn , với n ≥ (1.6) Từ công thức (1.5) and (1.6) ta có bảng số hạng dãy số Jn jn sau: n Jn jn 10 · · · 1 11 21 43 85 171 341 · · · 17 31 65 127 257 511 1025 · · · Từ công thức (1.5) (1.6) ta dễ dàng thấy rằng, với n ≥ 1, tất giá trị Jn jn số lẻ Đây đặc trưng hai dãy số Từ định nghĩa dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas, ta thấy rằng, hai dãy số xác định phương trình sai phân khác điều kiện ban đầu Phương trình sai phân xác định hai dãy số có phương trình đặc trưng x2 − x − = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt α = 2, β = −1 Do vậy, theo Định lý 1.1.2 hai dãy có số hạng tổng quát dạng C1 2n + C2 (−1)n , n = 0, 1, 2, Với điều kiện ban đầu J0 = J1 = ta tìm C1 = 13 , C2 = −1 Do cơng thức tổng qt cho Jn αn − β n Jn = = (2n − (−1)n ) , với n ≥ 3 Tương tự, với điều kiện ban đầu j0 = j1 = ta thu C1 = C2 = Do đó, cơng thức tổng qt cho jn jn = αn + β n = 2n + (−1)n , với n ≥ Hai công thức tổng quát gọi cơng thức Binet cho dãy Jacobsthal công thức Binet cho dãy Jacobsthal–Lucas Do vậy, ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.1.5 (Công thức Binet) Với số nguyên n ≥ 0, ta có Jn = n (2 − (−1)n ) jn = 2n + (−1)n 1.2 Một số tính chất Ở mục trước ta có định nghĩa cơng thức Binet xác định số hạng tổng quát hai dãy số Jn jn Trong mục chúng tơi trình bày số tính chất hai dãy số Trước tiên công thức Simson cho hai dãy số Mệnh đề 1.2.1 (Công thức Simson) Với số nguyên n ≥ 1, ta có Jn+1 Jn−1 − Jn2 = (−1)n 2n−1 jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 Chứng minh Theo cơng thức Binet, ta có Jn = 31 (2n − (−1)n ) Suy n+1 − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2 9 = 2n+1 − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2 2n − (−1)n−1 2n+1 − (−1)n+1 2n−1 + − 22n + (−1)n 2n+1 − = = (−1)n 2n−1 23 + = (−1)n 2n−1 Jn+1 Jn−1 − Jn2 = Tương tự, sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas ta chứng minh jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 Suy jn+1 jn−1 − jn2 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 Mệnh đề sau cho ta tổng số hạng đầu dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas Mệnh đề 1.2.2 a) Với n ≥ 2, ta có n Ji = i=2 Jn+2 − (1.7) 31 Đẳng thức Bổ đề 2.4.2 Giả sử (2.22) với n = r Khi 2(r+1)+1 2r+1 i (−1) · J2k+2i = J2k+4r+4 (−1)i · J2k+2i − i=0 i=0 2r+1 = J2k+4r+4 − J2k+4r+6 (−1)i · J2i − J2k [4ηn∗ J2k−2 + βn∗ ] + i=0 2(r+1)+1 ∗ ∗ (−1)i · J2i − J2k 4ηn+1 J2k−2 + βn+1 = i=0 Ta sử đụng Bổ đề 2.4.4 với n = r + bước cuối Vậy đẳng thức với n = r + nên với n theo nguyên lý quy nạp 2.5 Tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal số lẻ Trong mục này, chúng tơi trình bày tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal số lẻ Chúng ta bắt đầu với số bổ đề thú vị sau Bổ đề 2.5.1 Với k ≥ 0, ta có = + 8J2k [2J2k−2 + 1] J2k+1 (2.23) Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta dùng phương pháp quen thuộc, sử dụng công thức Binet khhai triển hai vế sử dụng kí hiệu M, P Sau chứng minh khác hai vế Cụ thể ta tìm khác hai vế (P − 1)(P + 1) 8M − 5P + Ta dễ dàng thấy với P = (−1)k biểu thức Vậy VT = VP 32 Bổ đề 2.5.2 Với k ≥ 0, ta có 2 = + 8J2k (30J2k−2 + 13) − J2k+1 J2k+3 (2.24) Chứng minh Chứng minh Bổ đề 2.5.2 tương tự chứng minh Bổ đề 2.5.1 Ta tìm khác hai vế (P − 1)(P + 1) 13M − 10P + Dễ thấy biểu thức ∗∗ − τ ∗∗ = 101 · 24n+1 + 25 · 24n+3 24n − với n = 0, 1, 2, Đặt τ0∗∗ = τn+1 n Bổ đề 2.5.3 Với k ≥ 0, m ≥ sử dụng kí hiệu ta ∗ ∗∗ 2 2 8J2k γn+1 − γn∗ J2k−2 + τn+1 − τn∗∗ = J2k+4n+5 − J2k+4n+3 − J4n+5 + J4n+3 (2.25) Chứng minh Để chứng minh bổ đề trên, ta sử dùng phương pháp chứng minh khai triển hai vế theo công thức Binet đồng thời sử dụng kí hiệu A, B, C xác định phần trước Sau chứng minh sử khác VT VP Cụ thể ta thấy khác VT VP 16 1600 (−1)1+2k + AB + (−1)4n+2k+1 + AC+ 3 320 16 4(−1)4k + 5(−1)1+2k + B + (−1)2k+1 + (−1)4n C 3 Dễ thấy tất hệ số biểu thức Vì VT = VP ∗∗ − β ∗∗ = 401 · 24n+3 + 100 · 24n+5 24n − với n = Đặt β0∗∗ = 13 βn+1 n 0, 1, 2, Bổ đề 2.5.4 Với k ≥ 0, n ≥ sử dụng kí hiệu ta ∗ ∗∗ 2 2 8J2k ηn+1 − ηn∗ J2k−2 + βn+1 − βn∗∗ = J2k+4n+7 − J2k+4r+5 + J4n+5 − J4r+7 (2.26) 33 Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 2.5.3 Cụ thể ta tìm khác hai vế 64 25600 (−1)1+2k + AB + (−1)4n+2k+1 + AC+ 3 5120 64 4k 1+2k 4(−1) + 5(−1) +1 B+ (−1)2k+1 + (−1)4n C 3 Dễ thấy tất hệ số biểu thức Tiếp theo trình bày định lý nội dung mục Định lý 2.5.5 Với m ≥ k ≥ 0, ta có m m (−1)i J2k+2i+1 = (−1)i J2i+1 + 8J2k [2γn∗ J2k−2 + τn∗∗ ] (2.27) (−1)i J2i+1 − 8J2k [2ηn∗ J2k−2 + βn∗∗ ] (2.28) i=0 i=0 m = 2n với n = 0, 1, 2, m m (−1)i J2k+2i+1 = i=0 i=0 m = 2n + với n = 0, 1, 2, Chứng minh Để chứng minh định lý trên, ta sử dụng phương pháp quy nạp theo n Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (2.27).Với n = đẳng thức (2.27) có dạng J2k+1 = J12 + 8J2k (2γ0∗ J2k−2 + τ0∗∗ ) Đẳng thức Bổ đề 2.5.1 Giả sử đẳng thức (2.27) với n = r 2(r+1) 2r (−1)i J2k+2i+1 = J2k+4r+5 i=0 − J2k+4r+3 (−1)i J2k+2i+1 + i=0 2r (−1)i J2i+1 + 8J2k [2γn∗ J2k−2 + τn∗∗ ] 2 = J2k+4r+5 − J2k+4r+3 + i=0 2(r+1) ∗ ∗∗ (−1)i J2i+1 + 8J2k 2γn+1 J2k−2 + τn+1 = i=0 34 Ta sử đụng Bổ đề 2.5.3 với n = r + bước cuối Vậy đẳng thức với n = r + nên với n theo nguyên lý quy nạp Tiếp theo ta chứng minh đằng thức (2.28) Với n = đẳng thức (6.6) có dạng 2 = J12 − J32 − 8J2k [2η0∗ J2k−2 + β0∗∗ ] Đẳng thức Bổ đề − J2k+3 J2k+1 2.5.2 η0∗ = 15 β0∗∗ = 13 Giả sử đẳng thức (2.28) với n = r Khi 2(r+1)+1 2r+1 (−1)i J2k+2i+1 = J2k+4r+5 − J2k+4r+7 (−1)i J2k+2i+1 + i=0 2r+1 i=0 (−1)i J2i+1 − 8J2k [2ηn∗ J2k−2 + βn∗∗ ] 2 + − J2k+4r+7 = J2k+4r+5 i=0 2(r+1)+1 ∗ ∗∗ (−1)i J2i+1 − 8J2k 2ηn+1 J2k−2 + βn+1 = i=0 Ta sử đụng Bổ đề 2.5.4 với n = r + bước cuối Vậy đẳng thức với n = r + nên với n theo nguyên lý quy nạp 2.6 Tổng đan dấu tích hai số Jacobsthal liên tiếp Trog mục trình bày tổng đan dấu tích hai số Jacobsthal liên tiếp Trước tiên đến với số bổ đề sau Bổ đề 2.6.1 Với k ≥ 0, ta có J2k+3 J2k+2 − J2k+1 J2k = + J2k [120J2k−2 + 49] (2.29) Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta dùng phương pháp quen thuộc, sử dụng cơng thức Binet khai triển hai vế sử dụng kí hiệu M, P Sau chứng minh khác hai vế Cụ thể ta tìm khác hai vế biểu thức: (P − 1)(P + 1) 49M − 40P + 35 Ta dễ dàng thấy khác hai vế Do VT = VP Bổ đề 2.6.2 Với k ≥ n ≥ 0, ta có ∗∗∗ ∗ − τn∗∗∗ = J2k+4n+5 J2k+4n+4 − J2k+4n+3 J2k+4n+2 − γn∗ J2k−2 + τn+1 J2k γn+1 − J4n+5 J4n+4 + J4n+3 J4n+2 Chứng minh Để chứng minh bổ đề trên, ta sử dùng phương pháp chứng minh khai triển hai vế theo công thức Binet đồng thời sử dụng kí hiệu A, B, C xác định phần trước Sau chứng minh sử khác VT VP Cụ thể ta thấy khác VT VP 800 (−1)1+2k + AB + (−1)4n+2k − AC+ 3 160 4(−1)4k + 5(−1)1+2k + B + (−1)2k + (−1)4n+1 C 3 Dễ thấy tất hệ số biểu thức Vì bổ đề chứng minh Với n = 0, 1, 2, , đặt: ∗∗∗ β0∗∗∗ = 49 βn+1 − βn∗∗∗ = 799 · 24n+4 + 25 · 24n+9 24n − Bổ đề 2.6.3 Với k ≥ , n ≥ sử dụng kí hiệu ta có ∗ ∗∗∗ J2k ηn+1 − ηn∗ J2k−2 + βn+1 − βn∗∗∗ = J2k+4n+6 J2k+4n+7 − J2k+4n+4 J2k+4n+5 + J4n+5 J4n+4 − J4n+6 J4n+7 (2.30) Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta khai triểm hai vế kết hợp sử dụng kí hiệu A, B, C từ ta tìm khác VT VP 12800 16 (−1)1+2k + AB + (−1)4n+2k − AC+ 3 2560 16 4(−1)4k + 5(−1)1+2k + B + (−1)2k + (−1)4n+1 C 3 Ta dễ thấy tất hệ số biểu thức Vì VT = VP 36 Tiếp theo chúng tơi trình bày chứng minh định lý nội dung mục Định lý 2.6.4 Với m ≥ k ≥ ta có m m i (−1) J2k+2i J2k+2i+1 = i=0 (−1)i J2i J2i+1 + J2k [8γn∗ J2k−2 + τn∗∗∗ ] , (2.31) (−1)i J2i J2i+1 − J2k [8ηn∗ J2k−2 + βn∗∗∗ ] (2.32) i=0 m = 2n với n = 0, 1, 2, m m i (−1) J2k+2i J2k+2i+1 = i=0 i=0 m = 2n + với n = 0, 1, 2, Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp theo n Trước tiên chứng minh đẳng thức (2.31) Với n = đẳng thức (2.31) có dạng J2k J2k+1 = J0 J1 + J2k [8γ0∗ J2k−2 + τ0∗∗∗ ] = J2k [8J2k−2 + 3] Đẳng thức (2.11) Bổ đề 2.3.1 J0 = 0, J1 = 1, γ0∗ = τ0∗∗∗ = Giả sử đẳng thức (2.31) với n = r Khi 2(r+1) (−1)i J2k+2i J2k+2i+1 i=0 2r (−1)i J2k+2i J2k+2i+1 + J2k+4r+4 J2k+4r+5 − J2k+4r+2 J2k+4r+3 = i=0 2r (−1)i J2i J2i+1 + J2k [8γn∗ J2k−2 + τn∗∗∗ ] = J2k+4r+4 J2k+4r+5 − J2k+4r+2 J2k+4r+3 + i=0 2(r+1) ∗ ∗∗∗ (−1)i J2i J2i+1 + J2k 8γn+1 J2k−2 + τn+1 , = i=0 đó, ta sử đụng Bổ đề 2.6.2 với n = r + bước cuối Vậy đẳng thức với n = r + nên với n theo nguyên lý quy nạp 37 Tiếp theo ta chứng minh đẳng thức (2.32) Với n = đẳng thức (2.32) có dạng J2k J2k+1 − J2k+2 J2k+3 = J0 J1 − J2 J3 − J2k [8η0∗ J2k−2 + β0∗∗∗ ] = −3 − J2k [120J2k−2 + 49] Đẳng thức Bổ đề 2.6.1 Giả sử đẳng thức (2.32) với n = r Khi 2(r+1)+1 2r+1 (−1)i J2k+2i J2k+2i+1 + J2k+4r+4 J2k+4r+5 − i (−1) J2k+2i J2k+2i+1 = i=0 i=0 2r+1 (−1)i J2i J2i+1 − J2k+4r+6 J2k+4r+7 = J2k+4r+4 J2k+4r+5 J2k+4r+7 + i=0 2(r+1)+1 J2k [8ηn∗ J2k−2 + βn∗∗∗ ] = ∗ ∗∗∗ (−1)i J2i+1 − J2k 8ηn+1 J2k−2 + βn+1 , i=0 đó, ta sử đụng Bổ đề 2.6.3 với n = r + bước cuối Vậy đẳng thức với n = r + nên với n theo nguyên lý quy nạp 38 Chương Một số mở rộng dãy số Jacobsthal Trong chương này, trình bày khái niệm số tính chất hai mở rộng dãy số Jacobsthal: dãy số Jacobsthal suy rộng dãy số Jacobsthal suy rộng phức Các nội dung tham khảo từ báo [1] 3.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm dãy số Jacobsthal suy rộng với phương trình sai phân xác định dãy Jacobsthal thay đổi điều kiện ban đầu Định nghĩa 3.1.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng, kí hiệu Jn , định nghĩa công thức truy hồi J0 = q, J1 = p + q, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , (n ≥ 2), (3.1) p, q số nguyên tùy ý Theo định nghĩa, số giá trị ban đầu dãy số Jacobsthal suy rộng là: q, p + q, p + 3q, 3p + 5q, 5p + 11q, 11p + 21q, , (p + q)Jn + 2qJn−1 , (3.2) 39 Dễ dàng thấy với p = q = ta dãy Jacobsthal; với p = −1 q = ta dãy Jacobsthal–Lucas Mệnh đề 3.1.2 Với số nguyên n, đẳng thức sau đúng: Jn = pJn + qJn+1 , Jn+1 = (p + q)Jn+1 + 2qJn , (3.3) Jn+2 = (p + 3q)Jn+1 + 2(p + q)Jn Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức thứ phương pháp quy nạp theo n Hai đẳng thức lại chứng minh tương tự Từ (3.2), ta thấy đẳng thức với n = 0, 1, Giả sử đẳng thức với n ≥ 2, ta chứng minh đẳng thức với n + Thật vậy, sử dụng (3.1) giả thiết quy nạp, ta có Jn+1 = Jn + 2Jn−1 = (pJn + qJn+1 ) + 2(pJn−1 + qJn ) = p(Jn + 2Jn−1 ) + q(Jn+1 + 2Jn ) = pJn+1 + qJn+2 Suy điều phải chứng minh Đặt n = r (3.3)và sử dụng (3.1), ta có hệ sau: Hệ 3.1.3 Với số nguyên r, đẳng thức sau đúng: Jr+3 = (3p + 5q)Jr+1 + 2(p + 3q)Jr = J3 Jr+1 + 2J2 Jr , (3.4) Jr+4 = (5p + 11q)Jr+1 + 2(3p + 5q)Jr = J4 Jr+1 + 2J3 Jr Tổng quát hóa, ta thấy mối quan hệ dãy số Jacobsthal Jacobsthal suy rộng sau: Mệnh đề 3.1.4 Với n ≥ r ≥ 0, ta có Jn+r = Jn Jr+1 + 2Jn−1 Jr (3.5) 40 Chứng minh Ta chứng minh (3.5) phương pháp quy nạp theo n Từ (3.3) (3.4) ta thấy đẳng thức với n = 1, 2, Giả sử đẳng thức với n ≥ Ta chứng minh đẳng thức với n + Thật vậy, sử dụng (3.1) giả thiết quy nạp, ta có Jn+1+r = Jn+r + 2Jn+r−1 = (Jn Jr+1 + 2Jn−1 Jr ) + 2(Jn−1 Jr+1 + 2Jn−2 Jr ) = (Jn + 2Jn−1 )Jr+1 + 2(Jn−1 + 2Jn−2 )Jr = Jn+1 Jr+1 + 2Jn Jr Suy điều phải chứng minh Ngoài ra, từ cơng thức (3.1) ta thu Jn+2 − 3Jn − 2Jn−1 = (3.6) Tương tự Chương 1, sử dụng lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, ta dễ dàng tìm cơng thức tổng qt xác định số Jacobsthal suy rộng sau: Mệnh đề 3.1.5 (Công thức Binet) Công thức tổng quát dãy Jacobsthal suy rộng là: Jn = (q − p)(−1)n + (p + 2q)2n Mệnh đề sau cho ta giới hạn tỷ số Jn+1 Jn Mệnh đề 3.1.6 Nếu Jn số Jacobsthal suy rộng, Jn+1 (p + q)α + 2q = , n→∞ Jn qα + p lim với α = Chứng minh Với dãy số Jacobsthal Jn , ta có Jn+1 = α, n→∞ Jn lim (3.7) 41 α = Với dãy số Jacobsthal suy rộng Jn , sử dụng (3.3), ta có (p + q)Jn+1 + 2qJn (p + q)α + 2q Jn+1 = lim = n→∞ n→∞ Jn pJn + qJn+1 qα + p (3.8) lim Sử dụng công thức Binet trên, ta dễ dàng chứng minh tính chất sau dãy Jacobsthal suy rộng: Mệnh đề 3.1.7 Các đẳng thức sau đúng: (Jn )2 + (Jn−1 )2 = (2p + q)J2n−1 − eJ J2n−1 , (3.9) (Jn+1 )2 − (Jn−1 )2 = (2p + q)J2n − eJ J2n , (3.10) Jn−1 Jn+1 − (Jn )2 = (−1)n 2n−1 eJ , (3.11) Jn−r Jn+r − (Jn )2 = (−1)n−r+1 2n−r Jr2 eJ , (3.12) (Jn )2 + 2eJ Jn+1 = 2pJ2n+1 (3.13) Jm Jn+1 + 2Jm−1 Jn = (2p + q)Jm+n − eJ Jm+n , (3.14) Jm Jn−1 − Jm−1 Jn = (−1)n 2n−1 eJ Jm−n , (3.15) đó, eJ = p2 + pq − 2q Chứng minh Ở đây, chứng minh đẳng thức (3.9), đẳng thức lại chứng minh tương tự Theo cơng thức Binet, ta có Jn = (q − p)(−1)n + (p + 2q)2n (q − p)(−1)n−1 + (p + 2q)2n−1 Jn−1 = 3 Suy J2n = (q − p)2 + (q − p)(p + 2q)(−1)n 2n+1 + (p + 2q)2 22n J2n−1 = (q − p)2 + (q − p)(p + 2q)(−1)n−1 2n + (p + 2q)2 22n−2 42 Do J2n + 2J2n−1 = (q − p)2 + (p + 2q)2 22n−1 Mặt khác, theo cơng thức Binet, ta lại có J2n−1 = (q − p)(−1)2n−1 + (p + 2q)22n−1 22n−1 − (−1)2n−1 J2n−1 = 3 Suy (q − p)(−1)2n−1 + (p + 2q)22n−1 2n−1 − (−1)2n−1 − (p2 + pq − 2q ) 2 2n−1 = (q − p) + (p + 2q) (2p + q)J2n−1 − eJ J2n−1 = (2p + q) Từ suy đẳng thức (3.9) 3.2 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức Định nghĩa 3.2.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức kí hiệu Cn định nghĩa sau: Cn = Jn + iJn+1 , n ≥ (3.16) Như vậy, số phần tử dãy Jacobsthal suy rộng phức là: q + i(p + q), (p + q) + i(p + 3q), (p + 3q) + i(3p + 5q) (3.17) (3p + 5q) + i(5p + 11q), , (p + i2q)Jn + (q + i(p + q))Jn+1 , , đó, p, q hai số nguyên tùy ý • Trường hợp đặc biệt 1: Từ dãy Jacobsthal suy rộng Cn , cho p = 1, q = (3.17), ta dãy Jacobsthal phức sau: (Cn ) : i, + i, + i3, + i5, + i11, , Jn + iJn+1 , • Trường hợp đặc biệt 2: Từ dãy Jacobsthal suy rộng (Cn ) cho p = −1, q = (3.17) ta dãy Jacobsthal - Lucas phức (Cn = j−1+4i,2+i ) sau: + i, + i5, + i7, + i17, 17 + i31, , jn + ijn+1 , 43 Tương tự dãy số xét, tính tốn, ta dễ dàng kiểm tra tính chất sau dãy Jacobsthal phức suy rộng: Mệnh đề 3.2.2 Các đẳng thức sau đúng: Cn−1 Cn+1 − C2n = (−1)n 2n−1 (3 + i)eJ , (3.18) C2n + 2C2n−1 = [(2p + q) + i(p + 5q)]C2n−1 − (3 + i)eJ J2n−1 , (3.19) C2n+1 + 2C2n = [(2p + q) + i(p + 5q)]C2n+1 − (3 + i)eJ J2n+1 , (3.20) C2n+1 − 4C2n−1 = [(2p + q) + i(p + 5q)]C2n − (3 + i)eJ J2n , (3.21) đó, eJ = p2 + pq − 2q Chứng minh Chúng tơi trình bày chứng minh cho đẳng thức (3.18), đẳng thức khác chứng minh tương tự Theo định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng phức ta có Cn−1 Cn+1 − C2n = (Jn−1 + iJn )(Jn+1 + iJn+2 ) − (Jn + iJn+1 )2 = (Jn−1 Jn+1 − J2n ) + (J2n+1 − Jn Jn+2 ) + (Jn−1 Jn+2 − Jn Jn+1 )i Áp dụng đẳng thức (3.11), ta có Jn−1 Jn+1 − J2n = (−1)n 2n−1 eJ J2n+1 − Jn Jn+2 = (−1)n 2n eJ Mặt khác, ta có Jn−1 Jn+2 − Jn Jn+1 = Jn−1 (Jn+1 + 2Jn ) − Jn (Jn + 2Jn−1 ) = Jn−1 Jn+1 − J2n = (−1)n 2n−1 eJ Thay vào đẳng thức ta Cn−1 Cn+1 − C2n = (−1)n 2n−1 (3 + i)eJ Vậy đẳng thức (3.11) 44 Kết luận Dựa theo tài liệu tham khảo, luận văn trình bày số vấn đề sau: Khái niệm số tính chất dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas Một số tính chất dãy tổng riêng phần tử hai dãy số Một số tính chất tổng bình phương số Jacobsthal với số chẵn với số lẻ; tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal với số chẵn với số lẻ; tổng tổng đan dấu tích hai số Jacobsthal liên tiếp Khái niệm số tính chất hai mở rộng dãy số Jacobsthal 45 Tài liệu tham khảo [1] F.T Aydin (2018), “On generalization of the Jacobsthal sequence”, Note on Number Theory and Discrete Mathematic, 120–135 ˇ [2] Z Cerin (2007), “Sums of Squares and Product of Jacobsthal Numbers”, Journal of Integer Sequences , Vol.10, Article 07.2.5 [3] A.F Horadam (1988), “Jacobsthal and Pell curves”, Fibonacci Quarterly 26, 79–83 [4] A.F Horadam (1996), “Jacobsthal representation numbers”, Fibonacci Quarterly 34, 40–52 [5] T Koshy (2001), Fibonacci and Lucas numbers with Applications, John Wiley & Sons, Inc., Toronto ... phương số Jacobsthal số chẵn 28 2.5 Tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal số lẻ 31 2.6 Tổng đan dấu tích hai số Jacobsthal liên tiếp 34 Một số mở rộng dãy số Jacobsthal 38 3.1 Dãy. .. rộng từ dãy số Jacobsthal Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số kết nói dãy số Jacobsthal, dãy số Jacobsthal Lucas vấn đề liên quan Cụ thể, Chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm số tính... dấu bình phương số Jacobsthal với số chẵn lẻ, tổng tổng đan dấu tích hai số Jacobsthal liên tiếp 2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal số chẵn Nhắc lại dãy số Jacobsthal {Jn } dãy số Jacobsthal Lucas