Chọn điểm rơi bđt cô si

chọn điểm rơi trong quá trình sử dụng bất đẳng thức cô si, chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cô si, chọn điểm rơi trong quá trình sử dụng bất đẳng thức cô si, chọn điểm rơi trong quá trình sử dụng bất đẳng thức cô si

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CÔ SI A MỢT SỚ VÍ DỤ: Bất đẳng thức Cơsi được nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy đưa ra, có dạng: Cho a 1, a2, , an là các số không âm thì: n a1 + a2 + L + an n a + a + L + an  ≥ a1a2 L an ( Hoặc a1a2 L an ≤  ÷) n n   Dấu đẳng thức xảy khi: a1 = a2 = = an Chúng ta thường sử dụng cho bộ hai số hoặc ba số, cụ thể là: Cho a, b, c là các số không âm, thì: a + b  ( a + b) a + b ≥ ab (Hoặc ab ≤  ) (Dấu “=” xảy khi: a = b) ÷ =   2 a + b + c  ( a + b + c) a + b + c ≥ abc (Hoặc abc ≤  ) ÷ = 27   3 (Dấu “=” xảy khi: a = b = c) Bài 1: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) S = a + a Giải Nhận xét: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cosi cho số dương a và ta được: S a = a + ≥ a =2 a a Dấu “ = ” xảy ⇔ a = ⇔ a = ⇒ vơ lí vì giả thiết là a ≥ a Do đó, cách làm là sai Cách làm sau: Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để cho áp a dụng bất đẳng thức Cosi, dấu “ = ” xảy a = Có các hình thức tách sau:  1   a; ÷  α a   1  α a; ÷ a  1   a, a ÷ ⇒       a; ÷  α a    a; α   a ÷  (1) (2) (3) (4) Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): (sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) thì tương tự) 1  a= α α  1 =  a Vậy ta có: S = ⇒ =1 ⇒ α = α a 3a a 3a 3.2 + + ≥2 + ≥ 1+ = a 4a 4 Dấu “ = ” xảy ⇔ a = Nhận xét: Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = để tìm α = Ở ta thấy tính đồng thời dấu “ = ” việc áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số a 3a , và đạt giá trị lớn nhất a = 2, tức là chúng a có điểm rơi là a = Bài 2: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: S = a + 12 a Nhận xét: Ta nhận thấy bài gần giống bài chỉ khác là 1 và a a đó hạng tử thêm vào để đảm bảo dấu bằng xảy là không giống hạng tử bài Dự đoán dấu bằng xảy a = Ta có sơ đồ chọn điểm rơi cosi sau: a  = α α a=2 ⇒ 1 =1  a ⇒ =1 ⇒ α = α Sai lầm thường gặp: Mặc dù đã chọn được điểm rơi đúng đánh giá thì lại đánh giá sai chiều S = a+  a  7a = + + a  a ÷ a 7a 7a + = + a2 8a 7.2 ≥ + = + = 8.2 4 ≥2 ⇒ MinS = Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù chọn điểm rơi a = và MinS = là đáp số đúng cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ thì 2 ≥ = 8a 8.2 là đánh giá sai Để thực lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S cho sau sử dụng BĐT Côsi khử hết biến số a mẫu số Lời giải đúng: S = a+ a2 a a  6a Côsi a a 6a 6a 6.2 + ÷+ ≥ 2+ = + ≥ + = 8 a 8 8 a  = + Với a = thì Min S = Bài 3: Cho a, b, c >0 thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a+b + b+c + c+a ≤ Nhận xét: Vì vai trò a, b, c nên chúng ta dự đoán dấu bằng  a = b = c = a = b = c ⇒ xảy khi:   a + b + c = a + b = b + c = c + a =  Từ đó, để “bảo toàn” được dấu bằng cho bài toán, ta đánh giá sau: Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành: 2 ( a + b) + ( a + b) + ( a + b) ≤ 3 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: + ( a + b) ( a + b) ≤ 3 2 + (b+ c) (b+ c) ≤ 2 + (c+ a ) (c+ a ) ≤ Cộng theo vế ba bất đẳng thức theo vế với chú ý: a + b + c = 1, ta thu được điều phải chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng ∀ a, b, c > thì Nhận xét: Ta cần thêm cho a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a +c a+b a2 một số m thỏa mãn: b+c 1) Rút gọn được mẫu số (b + c) sau áp dụng Bất đẳng thưc Cosi ( a2 a2 +m≥2 ×m ) b+c b+c a2 = m và 2) Dấu bằng bất đẳng thức Cosi xảy được nghĩa là b+c a = b = c suy m = b+c a2 b+c α =m= và để tính thì Vì vai trò a, b, c α b+c α nên dễ dàng suy được: Dấu “=” xảy a = b = c thì α = Chứng minh: Vì a, b, c >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương a b + c b2 c + a c a + b , , , , , ta được: b+c c+a a+b a2 b+c a2 b + c a2 + ≥2 × =2 =a b+c b+c 4 Chứng minh tương tự ta được: b2 c+a + ≥b c+a c2 a+b + ≥c a+b ⇒ a2 b+c b2 c+a c2 a +b + + + + + ≥ a+b+c b+c c+a a +b ⇒ a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ b+c c+a a+b Dấu “=” xảy khi: a = b = c Bài 5: Chứng minh rằng ∀ a, b, c > thì Nhận xét: Ta cần thêm cho a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a +c a+b a2 một số m thỏa mãn: b+c 1) Rút gọn được mẫu số (b + c) sau áp dụng Bất đẳng thưc Cosi ( a2 a2 +m≥2 ×m ) b+c b+c 2) Dấu bằng bất đẳng thức Cosi xảy được nghĩa là c suy m = a2 = m và a = b = b+c b+c a2 b+c α =m= và để tính thì Vì vai trò a, b, c α b+c α nên dễ dàng suy được: Dấu “=” xảy a = b = c thì α = Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương a b + c b2 c + a c a + b , , , , , thì ta có: b+c c+a a+b a2 b+c a2 b + c a2 + ≥2 × =2 =a b+c b+c 4 Chứng minh tương tự ta được: b2 c+a + ≥b c+a c2 a+b + ≥c a+b ⇒ a2 b+c b2 c+a c2 a +b + + + + + ≥ a+b+c b+c c+a a +b ⇒ a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ b+c c+a a+b Dấu “=” xảy khi: a = b = c a, b, c >  Bài 6: Cho  Tìm giá trị nhỏ nhất a + b + c ≤  S = a+b+c+ + + a b c Nhận xét: Khi nhìn thấy nhân các biểu thức vào mà rút gọn được mẫu, học sinh thường mắc sai lầm sau: 1 1 11 S = a + b + c + + + ≥ 6 a.b.c = a b c a b c ⇒ Min S = Nguyên nhân sai lầm : Min S = ⇔ a = b = c = = = = ⇒ a + b + c = > trái với giải a b c thiết Phân tích tìm tòi lời giải: Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi a =b=c= Sơ đồ điểm rơi: a =b=c=  a = b = c = 2 ⇒ ⇒ = α  = = = α a α b α c α ⇒ α =4 Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: a =b=c= α  α a = α b = α c = ⇒ 1 = = =  a b c ⇒ α =2 ⇒ α =4 Vậy ta có cách giải theo sơ đồ sau:  1 1 11 S =  4a + 4b + 4c + + + ÷− ( a + b + c ) ≥ 6 4a.4b.4c − ( a + b + c ) a b c a b c  15 15 ≥ 12 − = Với a = b = c = thì MinS = 2 2 Bài 7: Chứng minh rằng ∀ a, b, c > thì a b2 c2 + + ≥ a+b+c b a a Phân tích: Trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng bất đẳng thức Cosi thì cũng ko được kết quả Ta đánh giá xem dấu bằng xảy nào, dễ nhận thấy đó là a = b = c Khi đó: a2 a2 = a , vì ta thêm b vào phần tử đại diện b b để có chứng minh sau: Vì a, b, c >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương: a2 b2 c2 , b, , c, , a ta có: b c a a2 + b ≥ 2a b b2 + c ≥ 2b c c2 + a ≥ 2c a a2 b2 c2 + b + + c + + a ≥ 2a + 2b + 2c b c a 2 a b c ⇒ + + ≥ a+b+c b c a ⇒ Tuy nhiên câu hỏi đặt là tại lại thêm hạng tử b cho Giả sử cần thêm cho ≥2 a2 ? b a2 a2 số hạng m, sử dụng bất đẳng Cosi ta có: + m b b a2 ×m Vậy m cần chọn cho: b a2 ×m có thể triệt tiêu được b, hay là mất mẫu số vế trái bất đẳng 1) b thức không có mẫu; 2) Khi dấu “=” xảy thì a2 =m=a=b=c b Bài 8: Nếu a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = thì: a3 b3 c3 + + ≥ ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ c) ( 1+ a) ( 1+ a ) ( 1+ b) a3 Nhận xét: Ta thêm cho những hạng tử gì? Chắc chắn là có ( 1+ b) ( 1+ c) b +1 c +1 ; với α là một số dương nào đó Vấn đề α bằng bao nhiêu, ta nhận thấy α α rằng: Dấu bằng xảy a = b = c = 1; đó a3 b +1 c +1 = = , ta suy α ( 1+ b) ( 1+ c) α được α = Vì ta có chứng minh sau: a3 1+ b 1+ c a3 1+ b 1+ c + + ≥ 33 × × = a ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ b) ( 1+ c) 8 Chứng minh tương tự ta được: b3 1+ c 1+ a + + ≥ b ( 1+ c) ( 1+ a) c3 ( 1+ a) ( 1+ b) + 1+ a 1+ b + ≥ c 8 a3 b3 c3 3 + + + ≥ (a + b + c) ≥ (đpcm) Suy sa: ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ c) ( 1+ a) ( 1+ a ) ( 1+ b) a3 b3 + Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất P = với a, b là các số dương thỏa mãn 1+ b 1+ a điều kiện ab = Nhận xét: Vì vai trò a, b nên dễ dàng nhận thấy a = b = nên ta phải thêm cho 1+ b a3 số hạng Để tìm α ta thay a = b = vào biểu α 1+ b a3 1+ b 13 1+1 = = ⇔ = ⇒ α = Như nếu ta áp dụng thức ta được 1+ b α 1+1 α α bất đẳng thức Cosi cho số thì ta chỉ có 3 a vì ta thêm chứng minh sau: a3 + b + + ≥ a 1+ b 2 b 1+ a + + ≥ b 1+ a 2 ⇒ a3 b3 5 5 + + ≥ (a + b) ≥ ×2 ab = ×2 = 1+ b 1+ a 4 Vậy giá trị nhỏ nhất P là a = b = 1 để được a, b, c >  Bài 10: Cho  Tìm GTNN của: a + b + c ≤  S = a2 + 1 + b2 + + c2 + 2 b c a Nhận xét: Sai lầm thường gặp     S ≥ 33 a + 12 b2 + 12 c + 12 = 36  a + 12 ÷  b2 + 12 ÷  c + 12 ÷ b  c a  b     ≥ 36  a2 12 ÷÷  b2 12 ÷÷. c2 12 ÷÷ = 36 = b  c  a   c  a  ⇒ MinS = Nguyên nhân sai lầm: MinS = ⇔ a = b = c = = = = ⇒ a + b + c = > (trái a b c với giả thiết) Phân tích tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại a =b=c=  2 a = b = c =  ⇒   = = = α a α b2 α c α ⇒ = ⇒ α = 16 α Lời giải S = a2 + 1 + + + 2 16 b 44 16 14 4b 16 ≥ 1717 a 1 + + + 16 c 44 4 1643 c2 14 16 c2 + 1 + + 2 16 4a 44 16 4a 16 1 1 1 + 1717 b + 1717 c 2 16 b 4164b3 16 c 4164c3 16 a 41643 a2 44 44 44 16 = 1717 b2 + 16 16  a2 b2 c2 a b c 17 17 + 17 + 17 = 17  17 16 + 17 16 + 17 16 16 32 16 32 16 32  16 b 16 b 16 c 16 a 16 c 16 a   ÷ ÷   ≥ 17 3 17   ≥ = a 17 b 17 c  a 17 = 17 17 5 = 16 16 16 16 b 16 c 16 a  16 a b c 2.17 2a 2b2c  ( ) 17 15  2a + 2b + 2c  2.17  ÷   ≥ 17 Dấu “ = ” xảy a = b = c = ⇒ Min S 17 Việc chọn điểm rơi cho bài toán giải quyết một cách đúng đắn mặt toán học cách làm tương đối cồng kềnh Nếu chúng ta áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán nhanh gọn đẹp Trong bài toán chúng ta dùng một kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng, chiều dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm mẫu số hay tử số Bài 11: Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: S= a b c d b+c +d c + d +a a +b+d + + + + + + b+c+d c+ d +a a +b+d a +b+c a b c a+b+c + d Nhận xét: Sai lầm thường gặp  a b+c+d + ≥2  b + c + d a   b c+d +a  + ≥2 b c + d + a  c a +b+d  ≥2 a + b + d + c   d a +b+c + ≥2  d a + b + c a b+c+d =2 b+c+d a b c+d +a =2 c+d +a b ⇒S≥2+2+2+2=8 c a +b+d =2 a +b+d c d a +b+c =2 a+b+c d Sai lầm thường gặp: Sử dụng BĐT Côsi cho số: S ≥ 88 a b c d b+c +d c +d +a a +b+d a +b+c =8 b+c+d c+d + a a +b+d a +b+c a b c d Nguyên nhân sai lầm: a = b + c + d  b = c + d + a Min S = ⇔  c = d + a + b d = a + b + c  ⇒ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) ⇒ = ⇒ Vô lý Phân tích tìm tòi lời giải Để tìm Min S ta cần chú ý S lá một biểu thức đối xứng với a, b, c, d đó Min S nếu có thường đạt tại “điểm rơi tự do” là : a = b = c = d > 0.(nói là điểm rơi tự vì a, b, c, d không mang một giá trị cụ thể) Vậy ta cho trước a = b = c = d dự đoán Min S = 40 + 12 = Từ đó suy các đánh giá các BĐT bộ 3 phận phải có điều kiện dấu bằng xảy là tập điều kiện dự đoán: a = b = c = d > Ta có sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > ta có: a b c d   b + c + d = c + d + a = a + b + d = a + b + c =  b + c + d = c + d + a = a + b + d = a + b + c =  a b c d α ⇒ = ⇒ α = α Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có:  a b+c+d  b+c+d + ∑ ≥ ÷ 9a  a,b,c,d 9a S= + ∑ a ,b,c,d  b + c + d ≥ 88 a b c d b+c + d c + d +a a +b+d a +b+c b+c +d c +d +a a +b+d a +b+c 9a 9b 9c 9d 8b c d c d a a b d a b c  +  + + + + + + + + + + + ÷≥ 9a a a b b b c c c d d d  b c d c d a a b d a b c  8 8 40 ≥ + 12.12  ÷ = + 12 = a a a b b b c c c d d d  Với a = b = c = d > thì Min S = 40 Bài 12: Chứng minh rằng với x, y, z > 0: x3 y z + + ≥ x2 + y + z y z x x3 Phân tích: Ta thấy với hạng tử có thể có hướng sau: y Cách 1: Học sinh thêm x3 + xy ≥ x y y3 + zy ≥ y z z3 + xz ≥ z x Cộng các bất đẳng thức và sau đó chứng minh bất đẳng thức quen thuộc: x + y + z ≥ xy + yz + zx ta suy điều phải chứng minh Cách 2: x3 x3 + + y ≥ 3x y y y3 y3 + + z2 ≥ 3y2 z z z z3 + + x ≥ 3z x x Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh Bài 13: Chứng minh rằng với a, b, c > ta có: a b2 c a b c + + ≥ + + b2 c2 a b c a Với bài toán này dễ dàng nhận thấy: Dấu “=” xảy a = b = c a2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương và 1, ta được: b a2 a2 a (1) + ≥ =2 2 b b b Chứng minh tương tự ta có: b2 b +1 ≥ (2) c c c2 c +1 ≥ (3) a a Lại có: a b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ × × = (4) b2 c a b2 c a Từ (1), (2), (3) và (4) ta suy ra: điều phải chứng minh Bài 14: Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1, ta có: x3 + y + z ≥ x + y + z Phân tích: Ta nhận thấy, dấu bằng xảy x = y = z = 1, vì ta thêm vào x3 hai số hạng 1; để sử dụng bất đẳng thức Cosi hợp lí x3 + + ≥ 3x y3 + + ≥ y z + + ≥ 3z Lại có: 2(x3 + y3 + z3 ) ≥ Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh Bài 15: Cho x ≥ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức y = 3x + 2x Nhận xét: Nếu ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cosi thì: y = 3x + 1 ≥ 3x × = xảy 2x 2x Do đó, giá trị nhỏ nhất y là Lời giải là sai vì đánh giá trên, dấu bằng bài toán chỉ xảy 3x = 1 ⇒ 6x2 = ⇒ x = 2x Tuy nhiên, giá trị này lại không nằm miền xác định bài toán là x ≥ 1 < ) Như chọn “điểm rơi” bài toán là chưa đúng (vì Dự đoán dấu đẳng thức xảy x = 1, để dấu bằng xảy ra, ta chọn số α cho: αx = Thay x = vào biểu thức ta được: α = 2x Từ đó, ta có lời giải bài toán: 5x x = +( + ) 2x 2 2x 5x x 5x ≥ +2 × = +1 2 2x ≥ +1 = 2 y = 3x + Vậy giá trị nhỏ nhất y là x = Bài 16: Cho a ≥ 10, b ≥ 100, c ≥ 1000 Tìm giá trị nhỏ nhất P =a+ 1 +b+ +c+ a b c Nhận xét: Bài toán này thực chất có thể tách thành ba bài toán nhỏ là: với a ≥ 10 a Tìm giá trị nhỏ nhất P1 = a + Tìm giá trị nhỏ nhất P2 = b + Tìm giá trị nhỏ nhất P3 = c + Trước hết, ta xét biểu thức: P1 = a + với c ≥ 1000 c a Dự đoán, giá trị nhỏ nhất P1 = điểm rơi α cho: với b ≥ 100 b 101 đạt được a = 10 Khi đó, ta chọn 10 a = α a Với a = 10, ta có α = 100 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a+ 99a  a  99a a = + + ÷≥ +2 × a 100  100 a  100 100 a 99a 99.10 101 = + ≥ + = 100 100 10 Chứng minh tương tự ta được: P2 ≥ 100 + 1 ; P3 ≥ 1000 + 100 1000 Từ đó, ta đến kết luận: MinP = 1110 + 111 1000 Dấu bằng xảy a = 10, b = 100, c = 1000 Bài 17: Cho các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện ≤ a ≤ 3, b ≤ b ≤ 11 và a + b =11 Tìm giá trị lớn nhất tích M = ab Nhận xét: Từ giả thiết ≤ a ≤ 3, b ≤ b ≤ 11 và a + b + c = 11, ta dự đoán dấu bằng xảy a = và b = 11 (khi đó, 8a = 3b) Vậy ta sử dụng bất đẳng thức Cosi một cách khéo léo sau: 1 (8a + 3b) [ 3(a + b) + 5b ] M = ×(8a ) ×(3b) ≤ × = 24 24 96 (33 + 5a) ( 33 + ×3) = ≤ = 24 96 96 Vậy giá trị lớn nhất M là 24 a = và b = Bài 18: Cho các số thực a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: abc ≤ 27 Nhận xét: Vì a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ và a + b + c = nên ta dự đoán a = b = , c = Khi đó, a + b = c Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được: c ( a + b) a + b a + b (a + b + c ) abc ≤ = ×c ×(a + b) ≤ × = (a + b) 4 4 Mặt khác, theo giả thiết thì a + b + c = và c ≥ nên ta suy a + b ≤ Do đó: ab ≤ 9 27 (a + b) ≤ ×3 = 4 Bài toán được chứng minh xong Bài 19: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: P = a2 + b2 + c3 Nhận xét: Quan sát bài toán, điều trước tiên mà ta thấy được, đó là có thể dự đoán rằng Min P đạt được a = b (do vai trò đối xứng chúng) Lại quan sát tiếp, ta thấy rằng giả thiết bài toán liên quan đến những biểu thức bậc nhất, còn P lại có lũy thừa bậc và 3, ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cosi để chuyển những bất đẳng thức này dạng nhất (cụ thể, với lũy thừa bậc 2, ta sử dụng Cosi hai số đưa được dạng bậc nhất và với lũy thừa bậc 3, ta sử dụng Cosi ba số đưa được dạng bậc nhất) Tuy nhiên, bài toán này ta không thể dự đoán được điểm rơi nó là tại đâu Do vậy, cách tốt nhất để vượt qua khó khăn lúc này là sử dụng điểm rơi gia định Giả sử tại a = b = x > và c = y > (2x + y = 3) thì P đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó, sử dụng bất đẳng thức Cosi sau: a a + x ≥ 2ax (1) b + x ≥ 2bx (2) c3 + y + y ≥ y 2c (3) 2 Cộng ba bất đẳng thức này lại, ta suy được: (a2 + b2 + c3) + 2x2 + 2y3 ≥ 2x(a + b) + 3y2c, Do đó: P ≥ [2x(a + b) + 3y2c] – 2x2 – 2y3 Khi đứng trước một bài toán, điều mà ta mong muốn là làm để có thể tận dụng được tối đa giả thiết đề bài Ở bài này cũng vậy, là vô nghĩa nếu giả thiết a + b + c = không sử dụng được vào Do đó, ý tưởng ta chọn các số x, y thích hợp cho ta có thể sử dụng đượcgiả thiết Muốn thì hệ số a + b và c phải bằng nhau, tức là: 2x = 3y2 Vậy điểm rơi thực sự bài toán là nghiệm hệ phương trình 2 x + y =  2 x = y Giải hệ này, ta tìm được x = 19 − 37 37 − Khi đó: ,y= 12 P ≥ 2x(a + b + c) – 2x2 – 2y3 = 6x – 2x2 – 2y3  19 − 37   19 − 37   37 −  =  − − ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  12   12    = 541 − 37 37 108 19 − 37 12 Đẳng thức này xảy a = b = x = và c = y = 37 − Bài 20: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a2+2b2+3c =1 Tìm GTNN biểu thức P=2a3 +3b3 +4c3 Nhận xét: Cũng giống bài trước, ý tưởng ta cho bài này đó là tìm cách đánh giá bất đẳng thức Cosi giúp đưa từ lũy thừa lũy thừa (và bất đẳng thức thích hợp đó là Cosi cho số , cụ thể là dạng x3 + x3 + y3 ≥ 3x2y) Ở bài này không có sự đối xứng nào nên ta không cần phải phân tích gì thêm mà cứ giả định rằng P đạt a = x, b = y, c = z Khi đó, vì a, b, c >0 và a2+2b2+3c2=1 nên ta phải có x, y, z > và x2+2y2+3z3=1 (1) Vì a, b, c, x, y, z > sử dụng bất đẳng thức Cosi, ta được a3+a3+x3 ≥ 3xa2, b3+b3+y3 ≥ 3yb2, c3+c3+z3 ≥ 3zc2 Đến đây, nếu cộng trực tiếp ba bất đẳng thức lại với nhau, ta chẳng thu được điều gì quan trọng vì hệ số a3, b3, c3 bất đẳng thức nhận được khác với hệ số chúng P (mà ta lại cần tìm P) Như vậy, ta cần một phép chuyển nhỏ để giúp đưa hệ số a3, b3, c3 dạng giống chúng P Ta viết lại các bất đẳng thưc lại thành 2a3+x3 ≥ 3xa2 (2) (2b3+y3) ≥ yb2 2 3 2(2c +z ) ≥ 6zc2 (3) (4) Cộng ba bất đẳng thức (2),(3),(4) lại theo vế ta suy được 2a3 + 3b3 + 4c3 + x3 +   Hay là: P ≥  xa + 3  2 y + 2z3 ≥  xa + yb + zc  2   3  yb + zc  − x − y − z 2  Ta cần sử dụng giả thiết để suy kết quả bài toán đó các sớ x,y,z thích hợp phải là những số nào cho hệ số a2,b2,c2 tương ứng tạo thành tỉ lệ 1: 2: 3,tức là y x 2z = =  x + y + 3z =  Vậy ta được hệ phương trình:  2z x = y =  Giải hệ này ta tìm được x = ,y= ,z= Từ đó suy 407 407 407 3 3 2 3 3 P ≥ x(a + 2b + 3c ) − x − y − z = x − x − y − z 2 3   3    12 −   −   − 2  = = 407  407   407  407  407  Đẳng thức xảy a = ,b= và c = 407 407 407 325 Bài 21: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b2 + c3 = Tìm GTNN biểu thức: P=a2+b3+c4 Nhận xét: Giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất tại a = x, b = y và c = z Khi đó ta phải có x + y2 + z3 = 325 Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta được a + x ≥ xa, b3 + b + y ≥ yb , Từ đó suy c + c + c + z ≥ 3zc a + x ≥ xa 2b3 + y ) ≥ yb ( 2 3c + z ) ≥ zc ( 3 Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế, ta có y3 z 4 + ≥ xa + yb + zc 3 3 4 y z   P ≥  xa + yb + zc ÷− x − − Hay 3   Để sử dụng giả thiết, ta cần chọn x, y, z cho: x = y = z 325  x + y + z =  Khi đó ta được hệ phương trình  2 x = y = z  Giải hệ này, ta tìm được x = 2, y = và z = Từ đó suy y z 650 y3 z 2 P ≥ 2x ( a + b + c ) − x − − = x−x − − 3 8  ÷ 34 2807 650 = − −   − = 27 Đẳng thức xảy a = 2, b = và c = a + b3 + c + x + Bài 22: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 3x2 + 4y2 + 5z2 = 2xyz Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức: P = 3x + 2y + z Nhận xét: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương, ta được: xyz = 3.x + y + 5.z ≥ 1212 ( x ) (y ) (z ) = 1212 x y z Từ đó, suy ra: x3 y z ≥ 66 Từ kết quả trên, áp dụng bất đẳng thức Cosi thêm mợt lần nữa, ta được: P = ×x + ×y + ×z ≥ 6 x y z ≥ 6 66 = ×6 = 36 Đẳng thức xảy và chỉ khi: x = y = z = Bài 23: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4a + 3b +4c = 22 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P = a + b + c + + + 3a b c Nhận xét: Quan sát bài toán, ta thấy giả thiết là những đại lượng bậc nhất còn biểu thức cần tìm cực trị lại có chứa các phân thức Như vậy, ý tưởng ta cho bài này đó là tìm cách đánh giá đưa những phân thức dạng bậc nhất Có có thể sử dụng được giả thiết bài toán Ngoài ra, có thể thấy cơng cụ thích hợp được dùng để đánh giá là bất đẳng thức Cosi (chắc hẳn bạn đọc biết đến đánh giá quen thuộc x+ 1 ≥ 2, ∀x > Từ bất đẳng thức này, ta có ≥ − x Đây là mợt ví dụ cụ thể x x nhất việc chuyển từ phân thức dạng bậc nhất thông qua bất đẳng thức Cosi) Do không thể dự đoán được điểm rơi bài toán là đâu nên ta sử dụng kỹ thuật điểm rơi giả định để giải bài toán này Giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất a = x, b = y, c = z Khi đó ta có x, y, z > và 4x + 3y + 4z = 22 Ta thấy a = x, b = y, c = z thì 1 a 2 2b 3 3c = = 2, = = 2, = = 3a x x b y y c z z Do đó các đánh giá sau đảm bảo được điều kiện đẳng thức: a a + ≥2 = , 3a 3x 3a 3x 3x 2b 2b + ≥2 = , b y b y2 y 3c 3c + ≥2 = c z c z z Suy ra: a ≥ − 3x x x 2b ≥ − b y y2 3c ≥ − c z z2 Như vậy, ta chuyển được các phân thức dạng bậc nhất và thu được: a   2b   3c   P ≥ a + b + c +  − ÷+  − ÷+  − ÷  3x 3x   y y   z z      3  =  − ÷a + 1 − ÷b + 1 − ÷c + + + 3x y z  3x   y   z  Vấn đề còn lại là ta phải chọn các số x, y, z thích hợp làm để có thể sử dụng được giả thiết 4a + 3b + 4c = 22 Muốn thì các hệ số a, b, c đánh giá phải lập thành tỉ lệ : : 4, tức là 1− 1− 1− y 3x = z2 = 4 Vậy, điểm rơi thực sự bài toán là nghiệm hệ phương trình  x + y + z = 22  1 − − − 32 y z  3x = =  4 (1) Giải hệ này, ta tìm được x = 1, y = và z = Khi đó ta có: 2  3  1  P ≥  − ÷a + 1 − ÷b + 1 − ÷c + + + 3  3     4a + 3b + 4c 14 22 14 25 = + = + = 6 3 Đẳng thức xảy a = x = 1, b = y = 2, c = z = B MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG: 10 x Bài 2: Cho x ≥ Chứng minh rằng: x + ≥ x ≤ Bài 3: Cho a, b, c > và a + b + c Chứng minh rằng: 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ac c + 2ba Bài 4: Cho x, y, z > với x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: 1 P= + + xy + yz + zx + Bài 1: Cho x ≥ Chứng minh rằng: x + ≥ Bài 5: Cho x, y, z > thỏa mãn: xyz = thì: + x3 + y3 + y3 + z + z + x3 + + ≥3 xy yz zx a + b2 b2 + c c2 + a2 + + ≥ a+b+c Bài 6: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2c 2a 2b Bài 7: Cho a, b, c > và abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a (b + c) b (a + c ) c (b + a ) 2 Bài 8: Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥1 b+2 c+2 a+2 Bài 9: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Chứng minh rằng: a+b+c+ + + ≥ 13 a 2b c Bài 10: Chứng minh rằng nếu a, b là các số dương thỏa mãn a2 + b2 = thì a3 + b6 ≥ ... thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S cho sau sử dụng BĐT C si khử hết biến số a mẫu số Lời giải đúng: S = a+ a2 a a  6a C si a a 6a 6a 6.2 + ÷+ ≥ 2+ = + ≥ + = 8 a 8 8 a  = + Với... c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi a =b=c= Sơ đồ điểm rơi: a =b=c=  a = b = c = 2 ⇒ ⇒ = α  = = = α a α b α c α ⇒ α =4 Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: a =b=c= α  α a = α b = α... Việc chọn điểm rơi cho bài toán giải quyết một cách đúng đắn mặt toán học cách làm tương đối cồng kềnh Nếu chúng ta áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài