4 bài toán về mặt cầu

BÀI GIẢNG: BÀI TỐN VỀ MẶT CẦU CHUN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Thầy giáo: Nguyễn Quốc Chí I/ Lý thuyết *) Phương trình mặt cầu Phương trình tắc ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 Phương trình tổng quát x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  Tâm mặt cầu I (a; b; c); R  a  b2  c  d (a  b2  c  d  0) Bài 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu sau: a x  y  z  8x  y   b x2  y  z  x  y  z   c x2  y  z  x  y  z  d x2  y  z  x  y  z  86  e ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  f ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1)2  81 Hướng dẫn giải: b I (2; 4;1); R   16    c I (1; 2; 2); R     e I (1; 2;3); R  Bài 2: Tìm m để mặt cầu sau xác định a x2  y  z  2(m  2) x  4my  2mz  5m2   b x2  y  z  2(3  m) x  2(m  1) y  2mz  2m2   Hướng dẫn giải: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! a I (m  2; 2m; m) Suy ra, để tồn mặt cầu  (m  2)2  (2m)2  m2  (5m2  9)   m  4m   m    m  5 b) x2  y  z    m  x   m  1 y  2mz  2m2   Ta có a   m; b  m  1; c  m; d  2m2  Để phương trình cho phương trình mặt cầu thì: a2  b2  c2  d  3  m   m  1  m  2m     6m  m  m  2m   m  2m    m  4m     m  1 m  3  m   m  Bài 3: Lập phương trình mặt cầu (theo cách) biết a I (1; 3;5), R  b I (5; 3;7), R  Hướng dẫn giải: a Chính tắc: ( x  1)2  ( y  3)2  ( z  5)2  Tổng quát: x2  y  z  x  y  10 z  32  Bài 4: Viết phương trình mặt cầu a Có tâm I (1; 2;1) qua điểm M (2;3; 4) b Có tâm O qua trung điểm A(1;4;1) B(1; 2;3) c Có tâm trọng tâm tam giác ABC qua gốc tọa độ Biết A(1;1;3), B(9;1;1), C (4;1; 2) d Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB biết A(4; 3; 3), B(2;1;5) Hướng dẫn giải: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! IM (1;5;3) a  IM   25   35  R  ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  1)  35 b Gọi trung điểm AB M (1;3; 2) Sau đó, làm tương tự ý (a) c Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G(2;1; 2) Sau đó, làm tương tự ý (a) d Mặt cầu có tâm trung điểm AB  I (3; 1;1), R  IA Bài 5: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua đỉnh) A(5;7; 2), B(3;1; 1), C(9;4; 4), D(1;5;1) Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi phương trình mặt cầu (S ) : x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  A  ( S ) : 25  49   10a  14b  4c  d  B  ( S ) :    6a  2b  2c  d  C  ( S ) : 81  16  16  18a  8b  8c  d  D  ( S ) :1  25   2a  10b  2c  d  111  a   10a  14b  4c  d  78 10 8a  4b  6c  51  6a  2b  2c  d  11 33 226      4a  8b  4c  16  b  d  10 18a  8b  8c  d  113 16a  2b  10c  86   2a  10b  2c  d  27  17 c   Bài 6: Viết phương trình mặt cầu qua điểm sau có tâm nằm mặt phẳng (P)  A(1; 2;0), B(1;1;3), C (2;0; 1) a  ( P)  (Oxz) Hướng dẫn giải: Gọi I (a;0; c) IA(1  a; 2; c) IB(1  a;1;3  c) IC (2  a;0; 1  c) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! (1  a)  22  c  (1  a)   (3  c)  IA  IB    2 2 (1  a)   c  (2  a)   (1  c)  IA  IC 4a  6c  a     I (3;0;3) 2a  2c  c   R  17 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... làm tương tự ý (a) d Mặt cầu có tâm trung điểm AB  I (3; 1;1), R  IA Bài 5: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua đỉnh) A(5;7; 2), B(3;1; 1), C(9 ;4; 4) , D(1;5;1) Hướng dẫn... Tổng quát: x2  y  z  x  y  10 z  32  Bài 4: Viết phương trình mặt cầu a Có tâm I (1; 2;1) qua điểm M (2;3; 4) b Có tâm O qua trung điểm A(1 ;4; 1) B(1; 2;3) c Có tâm trọng tâm tam giác ABC... A(1;1;3), B(9;1;1), C ( 4; 1; 2) d Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB biết A (4; 3; 3), B(2;1;5) Hướng dẫn giải: Truy cập trang http://tuyensinh 247 .com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –