Bài giảng môn học Lý thuyết thông tin - Bùi Văn Thành

Bài giảng môn học Lý thuyết thông tin do Bùi Văn Thành biên soạn hướng đến giới thiệu tới các bạn về mã vòng; các tính chất của mã vòng; ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã;... Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

BÀI GIẢNG MƠN HỌC LÝ THUYẾT THƠNG TIN Mã vòng 13.1 Giới thiệu 13.2 Các tính chất của mã vòng 13.3 Ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã  13.4 Mã BCH Trang 2 Giới thiệu n Định nghĩa n n n Đa thức mã n n Một mã tuyến tính C(n, k) được gọi là mã vòng nếu w =  a0a1…an–2an–1 là một từ mã thì v = an–1a0a1…an–2 cũng  là một từ mã Nghĩa là dịch vòng (sang trái hay phải) một từ mã thì kết quả  cũng là một từ mã. Ở đây qui ước dịch phải Nếu w = a0a1…an–2an–1 là một từ mã thì w(x) = a0 + a1x +  … + an–2xn ­ 2 + an–1xn ­ 1 là đa thức mã tương ứng với từ  mã w Ví dụ n Bảng sau đây trình bày một mã vòng C(7, 4) Trang 3 Ví dụ m w w(x) m w w(x) 0000 0000000 0001 0001101 x3 + x4 + x6 1000 1101000 1 + x + x3 1001 1100101 1 + x + x4 + x6 0100 0110100 x + x2 + x4 0101 0111001 x + x2 + x3 + x6 1100 1011100 1  +  x2  +  x3  +  1101 x4 1010001 1 + x2 + x6 0010 0011010 x2 + x3 + x5 0011 0010111 x2  +  x4  +  x5  +  x6 1010 1110010 1  +  x  +  x2  +  1011 x5 1111111 1 + x + x2 + x3  +  x4  +  x5  +  x6 Trang 4 0110 0101110 x  +  x3  +  x4  +  0111 0100011 x + x5 + x6 Giới thiệu (tt) n w(i), w(i)(x) n w(i) là từ mã do dịch từ mã w i bit, và w(i)(x) là đa thức mã  tương ứng của w(i). w(0) chính là w i w(i) w(i)(x) 1101000 1 + x + x3 0110100 x  +  x2  +  x4  =  x  *  (1  +  x  +  x3)  =  x  *  w(x) 0011010 x2 + x3 + x5 = x2 (1 + x + x3) = x2 *  w(x) 0001101 x3 + x4 + x6 = x3 (1 + x + x3) = x3 *  w(x) 1000110 Trang 5 1 + x4 + x5 = x4 + x5 + x7 mod 7  Giới thiệu (tt) n n n w(i)(x) = xi * w(x) tuy nhiên nếu w(i)(x) có xp với p ≥ n thì xp  được thay bằng xp mod n Mặc khác trên trường GF(2) chúng ta có xn + j = xj *  (xn + 1) + xj hay xn + j mod (xn + 1) = xj Bổ đề 13.1 * w(x)] mod (xn + 1) Trang 6 w(i)(x) = [xi  Các tính chất của mã vòng n Định lý 13.1 n n Đa thức mã khác 0 có bậc nhỏ nhất là duy nhất. Hay nói cách  khác khơng tồn tại hai đa thức mã khác 0, khác nhau và cùng  có bậc nhỏ nhất Chứng minh n Giả sử   hai đa thức mã khác nhau, cùng có bậc nhỏ nhất là r,  0