giải toán trên máy tính casio

Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thi chÝnh thøc Kú thi chän häc sinh giái tØnh Giải toán máy tính Casio Khối 12 THPT - Năm học 2007-2008 Thi gian lam bai: 150 phỳt Ngay thi: 01/12/2007 Thí sinh làm trực tiếp vào đề thi Điểm toàn bài thi Bằng số Bằng chữ Các giám khảo (Họ, tên chữ ký) Giám khảo 1: Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, cơng thức áp dụng, kết tính tốn vào trống liền kề tốn Các kết tính gần đúng, khơng có định cụ thể, ngầm định xác tới chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài (5 điểm) Cho hàm số f ( x) = ax −2 − x + 2, ( x ≠ 0) g ( x) = a sin x Giá trị a thoả f [ f ( −1)] − g [ f (2) ] = mãn hệ thức Cách giải Bài (5 điểm) Tính gần tọa độ điểm uốn đồ thị hàm số f ( x) = Cách giải Kết 2x2 + x + 3x + Kết Bài (5 điểm) Tìm nghiệm gần (độ, phút, giây) pt sin 2 x + 4(sin x + cos x) = Cách giải Kết Bài (5 điểm) Cho dãy số { u n } { } với : MTBT12THPT-Trang  u1 = 1; v1 =  un +1 = 22vn − 15un với n = 1, 2, 3, ……, k, …  v = 17v − 12u n n  n +1 Tính u5 , u10 , u15 , u18 , u19 ; v5 , v10 , v15 , v18 , v19 Viết quy trình ấn phím liên tục tính un +1 +1 theo un Lập cơng thức truy hồi tính un+1 theo un un-1; tính vn+1 theo vn-1 Cách giải Kết Bài (5 điểm) Xác định hệ số a, b, c hàm số f(x) = ax + bx2 + cx – 2007 biết f(x) chia cho (x – 16) có số dư 29938 chia cho (x – 10x + 21) có đa thức số dư 10873 x − 3750 (Kết 16 lấy xác) Tìm khoảng cách điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số f(x) với giá trị a, b, c vừa tìm được Cách giải Kết Bài (5 điểm) Theo sách tín dụng Chính phủ cho học sinh, sinh viên vay vốn để trang trải chi phí học đại học, cao đẳng, THCN: Mỗi sinh viên được vay tối đa 800.000 đồng/tháng (8.000.000 đồng/năm học) với lãi suất 0,5%/tháng Mỗi năm lập thủ tục vay hai lần ứng với hai học kì được nhận tiền vay đầu mỡi học kì (mỡi lần được nhận tiền vay triệu đồng) Một năm sau tốt nghiệp có việc làm ởn định bắt đầu trả nợ Giả sử sinh viên A thời gian học đại học năm vay tối đa theo sách sau tốt nghiệp năm có việc làm ởn định bắt đầu trả nợ Nếu phải trả xong nợ vốn lẫn lãi năm mỡi tháng sinh viên A phải trả tiền ? Nếu trả mỡi tháng 300.000 đồng sinh viên A phải trả năm hết nợ ? Cách giải Kết MTBT12THPT-Trang Bai (5 im) Tìm chiều dài bé thang để tựa vào tờng mặt đất, ngang qua cột đỡ cao m, song song cách tờng 0,5 m kể từ tim cột đỡ (hình vẽ) Cỏch gii Kt qu Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 3) cố định, đỉnh B C di chuyển đường thẳng qua điểm M(-3 ; 1), N(4 ; 1) Biết góc ·ABC = 300 Hãy tính tọa độ đỉnh B Cách giải Kết Bài (5 điểm) Cho hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 3,65 cm Tính diện tích (có tơ màu) giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính AB cạnh ngũ giác đều đường tròn (O) (hình vẽ) Cách giải Kết MTBT12THPT-Trang S Bài 10 (5 điểm) Cho hình chóp thập diện đều có đáy nội tiếp đường tròn có bán kính r = 3,5 cm, chiều cao h = cm a) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp b) Tìm thể tích phần ở hình cầu nội tiếp hình cầu ngoại tiếp hình chóp đều cho O A M B Cách giải Kết HẾT - MTBT12THPT-Trang HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Cách giải f ( f (−1)) = f (t ) = t = f (−1) = a + a − 3t + với t2 a g [ f (2) ] = g (u ) với u = f (2) = − 4 - Giải phương trình tìm a (dùng chức SOLVE): Kết f ( f (−1)) = a ( a + 5) Điểm − 3a − 13 (a ≠ −5) 1,5 a  g [ f (2)] = a sin  − ÷ 2  1,5 a ≈ −5,8122 2,0 f [ f (−1)] − g [ f (2) ] = ⇔ a ( a + 5) a  − 3a − 13 − a sin  − ÷ = 2  Tính đạo hàm cấp để tìm điểm uốn đồ thị hàm số f '( x ) = f "( x) = Giải phương trình f "( x) = để tìm hồnh độ điểm uốn ( x + x − 5) (x + 3x + ) 1,0 −6 ( x + x − 15 x − 19 ) 1,0 x2 ≈ −2,9507 , y2 ≈ 5,8148 3,0 ( x + 3x + ) x1 ≈ 2, 6607 , y1 ≈ 1,0051 x3 ≈ −1, 2101 , y3 ≈ 4,3231 Theo cách giải phương trình lượng giác Đặt t = sin x + cos x = cos ( x − 45 ) Dùng chức SOLVE , lấy giá trị đầu X − 2; ta được nghiệm t, loại bớt nghiệm −2, 090657851 < − Giải pt cos( x − 450 ) = 0, 676444288 0, 676444288 ⇔ cos( x − 450 ) = a) u5 , u10 , u15 , u18 , u19 ; v5 , v10 , v15 , v18 , v19 b) Qui trình bấm phím: Shift STO A, Shift STO B, Shift STO D, Alpha D Alpha = Alpha D +1, Alpha :,C Alpha = Alpha A, Alpha :, Alpha A Alpha = 22 Alpha B - 15 Alpha A, Alpha :, Alpha B, Alpha =, 17 Alpha B - 12 Alpha A, = = = c) Công thức truy hồi: sin x = t − 1,0 Phương trình tương đương: ( t − 2t + 4t − = | t |≤ ) Giải pt được nghiệm: t ≈ 0, 676444288 x1 ≈ 1060 25' 28"+ k 3600 x2 ≈ −106 25' 28"+ k 360 2,0 2,0 o u5 = -767 v5 = -526; u10 = -192547 v10 = -135434 u15 = -47517071 v15 = -34219414 u18 = 1055662493 v18 = 673575382 u19 = -1016278991 v19 = -1217168422 2,5 1,5 un + = 2un +1 − 9un + = 2vn +1 − 9vn 1,0 MTBT12THPT-Trang Tìm hệ số hàm số bậc 3: f ( x ) = ax + bx + c x − 2007 , ( a ≠ ) a = 7; điểm c= − b = 13 3,0 55 16 Tìm điểm cực trị, tìm khoảng cách kc ≈ 11, 4210 chúng a) Sau nửa năm học ĐH, số tiền vay (cả Shift STO A, Shift STO D, D Alpha = vốn lẫn lãi): Alpha D + 1, Alpha : Alpha A Alpha = (Alpha A + 4000000) × 1.0056 Sau năm (8 HK), số tiền vay (cả vốn Ấn phím = nhiều lần D = ta được lẫn lãi): A = 36698986 Sau năm tìm việc, vốn lãi tăng Alpha A Alpha = Alpha A × 1.00512 thêm: A = 38962499 + Gọi x số tiền hàng tháng phải trả Ln − n n −1 n sau năm vay, sau n tháng, nợ (L = P = AL − xL ( + L + L + + L ) = AL − xL L − 1,005): AL59 ( L − 1) P = ⇔ x = ≈ 749507 + Sau năm (60 tháng) trả hết nợ P L60 − =0 0,005 × 1,005x-1A-300000(1.005x - 1) = b) Nếu mỡi tháng trả 300000 đồng, Dùng chức SOLVE, giải được x = 208,29, phải giải phương trình: tức phải trả 209 tháng (17 năm tháng) hết nợ vay Bài Cách giải Kết AB = AC + CB =   π  +  x ∈  0; ÷÷ sin x cos x    −4 cos x sin x −8cos3 x + sin x f '( x ) = + = sin x cos x 2sin x cos x f '( x) = ⇔ sin x = 8cos x ⇔ tgx = 1,0 1,0 1,0 2,0 Điểm 1,0 CH CI + sin x cos x f ( x ) = AB = Cho AB = l lµ chiỊu dµi cđa thang, HC = m cột đỡ, C giao điểm cột đỡ thang, x góc hợp mặt đất thang (hình vẽ) Ta có: 2,0 1,0 1,0 1,0 x0 = tan −1 (2) ≈ 630 26 '6" ABmin = Min f ( x) = f ( x0 ) ≈ 5,5902 (m) 1,0 Pt đường thẳng MN 2x − y −1 = ⇔ y = x− 7 1,0 Hệ số góc đường thẳng AB là: ( ( ( ) ( ) )  k = tan tan −1 + 300 ≈ 1, 0336   −1  k = tan tan + 150 ≈ −0, 2503  2,0 ) Gán giá trị k cho biến A Vì đường thẳng AB qua điểm A(-1; 3) nên: b = + A, gán giá trị cho biến B Giải hệ pt: MTBT12THPT-Trang  2x − y = ta được tọa độ điểm B:   − Ax + y = B B1 ( −5,5846; − 1, 7385 ) B2 ( 5,3959;1,3988 ) + Tính bán kính nửa đường tròn + Tính diện tích viên phân giới hạn bởi AB (O) + Hiệu diện tích nửa đường tròn viên phân: 10 a) Tính độ dài cạnh trung đoạn hình chóp r = AI = R sin 360 = 2,1454 (cm) , gán cho A Svp = S= π R2 − R sin 720 = 2, 0355 cm , gán cho B π r2 − Svp = 5,1945 cm 2 2,0 2,0 1,0 a) a = AB = 2r sin180 = 2,1631(cm) , gán cho A OM = r cos180 = 3,3287 (cm) , gán cho B SM = d = OM + h = 8, 6649 (cm) , gán cho C S xq = 10 × ad = 93, 7159 cm 2 0,5 0,5 0,5 1 Vchop = ×10 × AB × OM × h = 96, 0049 cm3 b) b) Phân giác góc SMO cắt SO tại I, mặt cầu nội tiếp hình chóp đều có tâm I, bán kính IO Trung trực đoạn SA mặt phẳng SAO cắt SO tại J Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có tâm J, bán kính SJ Lưu y: gán kết trung gian cho biến để kết cuối khơng có sai số lớn 2,0 1   r1 = IO = OM tan  tan −1  ÷÷ = 2, 2203(cm)  OM   2 0,5 1,0 SK SO SA2 = ⇒ R = SJ = = 4, 7656 (cm ) SJ SA SO Hiệu thể tích: 1,0 V = V2 − V1 = π ( R − r13 ) = 407,5157 cm3 1,0 MTBT12THPT-Trang ... điểm uốn ( x + x − 5) (x + 3x + ) 1,0 −6 ( x + x − 15 x − 19 ) 1,0 x2 ≈ −2,9 507 , y2 ≈ 5,8148 3,0 ( x + 3x + ) x1 ≈ 2, 6 607 , y1 ≈ 1,0051 x3 ≈ −1, 2101 , y3 ≈ 4,3231 Theo cách giải phương trình lượng... vn+1 theo vn-1 Cách giải Kết Bài (5 điểm) Xác định hệ số a, b, c hàm số f(x) = ax + bx2 + cx – 2 007 biết f(x) chia cho (x – 16) có số dư 29938 chia cho (x – 10x + 21) có đa thức số dư 10873 x −... x2 ≈ −106 25' 28"+ k 360 2,0 2,0 o u5 = -767 v5 = -526; u10 = -192547 v10 = -135434 u15 = -4751 7071 v15 = -34219414 u18 = 1055662493 v18 = 673575382 u19 = -1016278991 v19 = -1217168422 2,5 1,5