Áp dụng phương pháp không lưới cho tính toán cọc đơn trong môi trường đất đàn hồi ba chiều

Bài viết trình bày quy trình cụ thể của phương pháp không lưới bình phương di chuyển nhỏ nhất (MLS) áp dụng cho bài toán địa kỹ thuật, đồng thời phát triển phương pháp này để phân tích bài toán tương tác của cọc đơn và nền đất đàn hồi ba chiều.

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHƠNG LƯỚI CHO TÍNH TỐN CỌC ĐƠN TRONG MÔI TRƯỜNG ĐẤT ĐÀN HỒI BA CHIỀU LÊ ĐỖ KIÊN, VƢƠNG VĂN THÀNH NGHIÊM MẠNH HIẾN* The meshless method for single pile behavior in tri-dimentioned elastic medium Abstract: This paper presents a novel method to analyze the behavior of the pile-soil system in a linear elastic soil medium based on the meshless method The meshless method used in this study is Moving Least Square (MLS) Results of an analysis of single pile under vertical load using meshless method are good agreement with the results from finite element analysis ĐẶT VẤN ĐỀ * Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phƣơng pháp phổ biến áp dụng vào học tính tốn nhiều thập kỷ qua, phƣơng pháp có đóng góp đáng kể cho phát triển khoa học kỹ thuật Tuy nhiên, phƣơng pháp PTHH khơng hồn tồn phù hợp với vấn đề có lƣới biến dạng phức tạp vật liệu hay trƣờng hợp xuất biến dạng không liên tục nhƣ lan truyền vết nứt dọc theo đƣờng vết nứt phức tạp Bên cạnh đó, phƣơng pháp PTHH gặp khó khăn liên quan đến việc chia lƣới chia lại lƣới vấn đề tối ƣu hóa lƣới phần tử phân tích ảnh hƣởng vật liệu đa miền Khác với phƣơng pháp PTHH, phƣơng pháp không lƣới sử dụng tập hợp điểm nút, xấp xỉ hàm dạng đƣợc xây dựng hoàn toàn dựa nút, không sử dụng lƣới phần tử phƣơng pháp Điều hạn chế đƣợc khó khăn liên quan đến hệ lƣới đƣa cách tiếp cận linh hoạt ứng dụng vào tính tốn học Phƣơng pháp không lƣới bắt đầu đƣợc phát triển từ năm 1980, đến có nhiều * Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội DĐ: 0972056219 Email: kienlicogi86@gmail.com 46 phƣơng pháp không lƣới khác đƣợc xây dựng nhƣ: Phƣơng pháp khơng lƣới bình phƣơng di chuyển nhỏ MLS, phƣơng pháp không lƣới cục Petrov-Galerkin (MLPG), phƣơng pháp khơng lƣới sử dụng tích phân điểm PIM [3] … Trong báo, tác giả trình bày quy trình cụ thể phƣơng pháp khơng lƣới bình phƣơng di chuyển nhỏ (MLS) áp dụng cho toán địa kỹ thuật, đồng thời phát triển phƣơng pháp để phân tích tốn tƣơng tác cọc đơn đất đàn hồi ba chiều PHƢƠNG PHÁP KHÔNG LƢỚI ÁP DỤNG TRONG BÀI TỐN BA CHIỀU Quy trình phƣơng pháp khơng lƣới bình phƣơng di chuyển nhỏ MLS giống nhƣ phƣơng pháp không lƣới khác, bao gồm bƣớc [2],[4]: - Bƣớc 1: Lập hàm dạng - Bƣớc 2: Phân tích khơng lƣới 2.1 Lập hàm dạng Hàm dạng không lƣới đƣợc xây dựng thơng qua hàm xấp xỉ hồn tồn dựa nút Xét hàm vô hƣớng chƣa xác định biến trƣờng u(x) miền Các xấp xỉ bình phƣơng di chuyển nhỏ MLS u(x) đƣợc xác nghĩa nhƣ sau [4]: m u h ( x )   pi ( x ).a i ( x)  pT ( x).a( x) (1) i 1 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 Trong đó: - p(x): hàm sở không gian tọa độ x, hàm sở p(x) đƣợc xây dựng từ tam giác Pascal - pt : hàm chuyển p Trong không gian ba chiều, hàm sở T p ( x ) bậc đƣợc định nghĩa nhƣ sau [2]: pT ( x)  1, x, y, z, x , y , z , xy, yz, zx  - m: số lƣợng hàm sở - a(x) : hệ số tƣơng ứng hàm tọa độ không gian x Số lƣợng hệ số a(x) phụ thuộc vào bậc kích thƣớc hàm sở Hệ số a(x) đƣợc xác định theo phƣơng trình tuyến tính sau [2],[4]: A(x)a(x)=B(x)U hay a(x) = A-1(x).B(x)U U  {u1 ,u , ,u n }T (2) (3) n A   WI ( x)p( xI )pt ( xI ) (4) I 1 B  {W1 ( x)p( x1 ),W2 ( x)p( x2 ), ,Wn ( x)p( xn )} (5) Wi ( x) : hàm trọng số nút thứ I Tác giả lựa chọn miền hỗ trợ có dạng hình chữ nhật, kích thƣớc miền hỗ trợ theo hƣớng x, y z tƣơng ứng dsx , dsy dsz Hàm trọng số tƣơng ứng với miền hỗ trợ hình chữ nhật đƣợc xác định nhƣ sau: Wi(x)= W ix(x) W iy(x) W iz(x) = W rx W ry W rz (6) với W ix(x), W iy(x) W iz(x) hàm trọng số tiêu chuẩn theo hƣớng x, y z Các hàm trọng số có dạng đƣờng cong bậc đƣợc xác định theo GR Liu Liu [2],[4]: 1  6rix2  8rix3  3rix4 víi  rix  W(rix )   víi rix   1  6riy2  8riy3  3riy4 víi  riy  W(riy )   víi riy   ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015  1  6riz  8riz  3riz W(riz )     Với rix  riz  víi  riz  víi riz  x  xi y  yi ; riy  dsx dsy z  zi dsz Kết hợp (1) (2), xấp xỉ u(x) đƣợc biểu diễn nhƣ sau: u h ( x )  p ' ( x ) A 1 ( x ) B(x) U  ( x ) U (8) đó: ( x )  p ' ( x ) A 1 ( x ) B(x) hàm dạng 2.2 Phân tích khơng lƣới Xét vấn đề học vật rắn đàn hồi tuyến tính miền Ω đƣợc giới hạn biên Γ Hệ phƣơng trình vi phân phần điều kiện biên đƣợc viết dƣới dạng sau [1],[2]: - Phƣơng trình cân bằng: LT   b  Ω - Điều kiện biên tự nhiên:  n  t Γt (10) - Điều kiện biên cần thiết: u  u Γu (11) Trong đó: -  : Véc tơ ứng suất - u: Véc tơ chuyển vị, vấn đề chiều, u x    u  v y     z - b: Véc tơ lực khối - t : Lực kéo quy ƣớc lực kéo biên (biên tự nhiên) - u : Chuyển vị quy ƣớc chuyển vị biên (biên cần thiết) - n: Các véc tơ đơn vị điểm biên (7) tự nhiên - L: Toán tử khác biệt, vấn đề chiều 47 0   x   y     z   L  z  y     z  x      y  x Các biến phân tiêu chuẩn hình thức dạng yếu phƣơng trình (9) có dạng sau [2]: T T T  ( L u) ( DLu)d     u bd     u td   (12)   t D ma trận ứng suất – biến dạng, vật liệu đẳng hƣớng:  2 2  2    D  1  0 0 0 0  0 0 E (1   ) với 1  ; (1   )(1  2 ) 0 3 0 0 0 3 2  0 0  0  0 0  3   3    2 2(1   ) Sử dụng hàm dạng không lƣới MLS n nút miền hỗ trợ cục bộ: u  I n   h h u ( x )    I ( x )uI u  v      I I      h n I 0   uI    n   v I     I uI  I I  I  I (13) uI h Sử dụng phƣơng trình (13), Lu trở thành: n Lu  L  I uI = h I n  I 0   x   y      z   I      z   y     z  x       y  x  I , x    I ,y   n I ,z    u   I  BI uI   I I ,z I ,y   I ,z I , x    I ,y I , x  I 0  uI  I  (14) Trong I , x , I ,y I ,z đạo hàm hàm dạng MLS x, y z 48 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 BI ma trận biến dạng nút I Thay phƣơng trình (13) (14) vào phƣơng trình (12) trở thành: T T T  n   n   n   n   B u D B u d     u b d      I I    J I    I I      I uI  t d    I   J   I   - Xét thành phần thứ phƣơng trình (15)  t  I  (15) T  n   n   n T T  n   B u D B u d    D BJ uI  d    I I I   J J I    I uI BI   J  n = n  u  B DB d .u T I I J T I J J  n n I J   uIT KIJ uJ KIJ =  u1T K11u1   u2T K12 u2    uNT K1 N uN +  u2T K21u1   u2T K22 u2    u2T K2 N uN +….+  uNT K N 1u1   uNT K N 2u2    uNT K NN uN =  U T KU (16) Với K: ma trận độ cứng tổng thể đƣợc xây dựng từ ma trận độ cứng nút U: véc tơ chuyển vị tổng thể đƣợc xây dựng từ véc tơ chuyển vị nút - Tiếp theo, xét thành phần thứ hai phƣơng trình (15): T T   u bd  =      I uI  bd    uIT  TI b d    uIT FIb n    I n  n  I (17) I FIb với F1 véc tơ lực khối nút, FIb    TI bd  b  n Vế phải phƣơng trình (17) :  u T I FIb =  u1T F1b   u2T F1b    uNT FNb I =  u1T F    = U T F b  uNT (1 x N )   F b   N (2 Nx1) b Fb véc tơ lực khối tổng thể đƣợc tập hợp từ vectơ lực khối tất nút tồn miền tính toán Thực tƣơng tự với thành phần thứ phƣơng trình (15), véc tơ lực khối đƣợc thay véc tơ lực kéo biên tự nhiên tích phân miền biên tự nhiên Γ Các véc tơ lực kéo nút là: FIt    TI t d   Kết hợp phƣơng trình (16), (18) (19), phƣơng trình (15) trở thành: U T KU  U T F ( b)  U T F ( t )  Hoặc U T  KU  F ( b )  F ( t )   ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 (20) (18) Do  U bất kỳ, phƣơng trình (20) thỏa mãn khi: KU  F ( b )  F ( t )  KU  F với F véc tơ lực khối tổng thể: F  F (b)  F (t ) Các chuyển vị nút thu đƣợc cách giải phƣơng trình (20), sau thơng qua mối quan hệ tuyến tính ứng suất – biến dạng (19) xác định đƣợc trạng thái ứng suất điểm môi trƣờng đất đàn hồi Tác giả xây dựng chƣơng trình tính hàm dạng đạo hàm hàm dạng, bổ sung vào phần mềm SSI3D để tính tốn chuyển vị ứng suất điểm hệ cọc – đất 49 VÍ DỤ MINH HỌA Tính tốn cọc đơn có đƣờng kính 1,0m ; chiều dài 30m chịu tải trọng đứng đỉnh cọc P= 1000 Các đặc trƣng vật liệu cọc môi trƣờng mà cọc nằm đƣợc trình bày bảng bảng Do tính đối xứng nên 1/4 mơ hình thực tế đƣợc xây dựng để giảm thời gian tính tốn, mơ hình tính tốn đƣợc trình bày hình a) a) không gian Điểm 16178 15777 15376 14975 14574 14173 50 Đặc trƣng Mô đun đàn hồi Hệ số Poisson Trọng lƣợng riêng Đặc trƣng Mô đun đàn hồi Hệ số Poisson Trọng lƣợng riêng -1 -2 -3 -4 -5 0,017144468 0,016591175 0,016167579 0,015735774 0,015327275 0,014934254 Giá trị 2700000 0.2 2.5 Đơn vị T/m2 T/m3 Giá trị 4000 0.3 1.9 c) c) mặt đứng toán thu đƣợc đỉnh cọc 0.017 m mũi cọc 0.01 m, kết phù hợp với kết tính tốn theo phƣơng pháp không lƣới phần mềm SSI3D Tọa độ Tọa độ Chuyển vị thẳng điểm (X) điểm (Y) đứng UY (m) 0 0 0 Đơn vị T/m2 T/m3 Bảng 2: Đặc trƣng đất b) Hình 1: Vị trí nút b) mặt Kết tính tốn chuyển vị cọc theo độ sâu đƣợc trình bày hình Mơ hình tƣơng tự đƣợc xây dựng phần mềm Plaxis 2D theo toán đối xứng trục Kết chuyển vị tính STT Bảng 1: Đặc trƣng vật liệu làm cọc STT 16 17 18 19 20 21 Tọa độ Tọa độ Điểm điểm điểm (X) (Y) 10163 -15 9762 -16 9361 -17 8960 -18 8559 -19 8158 -20 Chuyển vị thẳng đứng UY (m) 0,01186453 0,011636637 0,011422201 0,011221083 0,011033172 0,010858398 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 Tọa độ Tọa độ Chuyển vị thẳng điểm (X) điểm (Y) đứng UY (m) Tọa độ Tọa độ Chuyển vị Điểm điểm điểm thẳng đứng (X) (Y) UY (m) STT Điểm 13772 -6 0,014558229 22 7757 -21 0,010696728 13371 -7 0,014198372 23 7356 -22 0,010548174 12970 -8 0,013854434 24 6955 -23 0,010412801 10 12569 -9 0,013526035 25 6554 -24 0,010290737 11 12168 -10 0,013212843 26 6153 -25 0,010182188 12 11767 -11 0,012914536 27 5752 -26 0,01008744 13 11366 -12 0,012630816 28 5351 -27 0,010007087 14 10965 -13 0,012361406 29 4950 -28 0,009941257 15 10564 -14 0,012106053 30 4549 -29 0,009892469 16 10163 -15 0,01186453 31 4035 -30 0,00986384 STT cho kết tính tốn phù hợp với kết tính tốn theo phần mềm Plaxis 2D TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình 2: Chuyển vị nút theo độ sâu KẾT LUẬN Trong báo, tác giả trình bày quy trình cụ thể phƣơng pháp khơng lƣới bình phƣơng di chuyển nhỏ vận dụng phƣơng pháp cho tốn tính tốn cọc đơn mơi trƣờng đất đàn hồi tuyến tính Ví dụ tính tốn cọc đơn chịu tải trọng đứng G.R Liu (2003); “Meshfree Method: Moving beyond the finite element Method” National University of Singapore, Singapore G.R Liu and Y.T Gu, (2003); “An Introduction to Meshfree Methods and Their Programming” National University of Singapore, Singapore Huafeng Liu and Pengcheng Shi, (2003); “Meshfree Particle Method” Department of Electrical and Electronic Engineering Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong Youping Chen, James D Lee and Azim Eskandarian, (2006); “Meshless Methods in Solid Mechanics” Springer Science+Business Media, Inc., 233 Spring Street, New York, USA Người phản biện: GS.TS ĐỖ NHƢ TRÁNG ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 51 ... phƣơng pháp khơng lƣới bình phƣơng di chuyển nhỏ vận dụng phƣơng pháp cho tốn tính tốn cọc đơn mơi trƣờng đất đàn hồi tuyến tính Ví dụ tính tốn cọc đơn chịu tải trọng đứng G.R Liu (2003); “Meshfree... ứng suất điểm hệ cọc – đất 49 VÍ DỤ MINH HỌA Tính tốn cọc đơn có đƣờng kính 1,0m ; chiều dài 30m chịu tải trọng đứng đỉnh cọc P= 1000 Các đặc trƣng vật liệu cọc môi trƣờng mà cọc nằm đƣợc trình... Giá trị 2700000 0.2 2.5 Đơn vị T/m2 T/m3 Giá trị 4000 0.3 1.9 c) c) mặt đứng toán thu đƣợc đỉnh cọc 0.017 m mũi cọc 0.01 m, kết phù hợp với kết tính tốn theo phƣơng pháp khơng lƣới phần mềm SSI3D