Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập tất cả các đề thi toán quốc gia từ trước đến giờ của Việt Nam. Đề thi toán tất cả các năm từ 1962 đến 2020 trừ năm 1973 nước ta không tổ chức kì thi này. Tài liệu soạn word, trên dưới trăm trang, tùy ý sữa chữa. Các bạn có thể trích làm tài liệu tham khảo, tài liệu ôn thi. Lời giải cụ thể sẽ được trình bày ở một tài liệu khác. Xin cảm ơn
Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 1962 Chứng minh với số dương a, b, c, d ta có bất đẳng thức 1 + ≤ 1 1 1 + + + a b c d a+c b+d Hãy xác định đạo hàm bậc tương ứng với giá tr ị x =1 hàm số f ( x ) = ( + x ) + x 3 + x3 Cho tứ diện ABCD A’, B’ hình chiếu đỉnh A, B lên mặt đối diện Chứng minh AA’ BB’ cắt hai đường AC = AD = BC = BD thẳng AB CD vng góc với Nếu hai đường thẳng AA’ BB’ có cắt khơng? Đường cao hình chóp tứ giác h Mặt bên tạo với đáy α góc Qua cạnh đáy ta dựng thiết diện vng góc với mặt đối diện Tính thể tích hình chóp tạo thành biện luận cơng th ức tìm Giải phương trình sau với ẩn số thực x: 0358968434 1 sin x + cos x = Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 1963 Ba học sinh lớp X tên Dần, Mão, Thìn ch nhìn th m ột ng ười lái m ột xe ô tô vi phạm luật lệ giao thông, không nh s ố xe bao nhiêu, người nhớ đặc điểm số xe Dần nhớ hai chữ số đầu giống nhau, Mão nhớ hai chữ số cuối gi ống Thìn số xe có bốn chữ số số phương Chúng ta thử tìm số xe đó? x3 − x −b − a −b lim ; lim x − x + x →a x2 − a2 x→ Hãy xác định giá trị giới hạn sau cos x + cos 2 x + cos x + cos x = Giải phương trình Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Người ta cắt hình hộp mặt phẳng qua ba đỉnh A, B’, D’ Chứng minh đường chéo A’C hình hộp cắt thiết diện tam giác tạo thành tạo trọng tâm tam giác Đáy hình lăng trụ đứng hình thoi ABCD cạnh a góc nhọn 600 Ta nối đỉnh B’ với điểm M AD, đỉnh D’ với điểm N α AB Hai đường thẳng B’M D’N cắt theo góc B’OD’ Tìm thể tích hình lăng trụ Hội nghị đại biểu niên bàn công tác ch ống h ạn m ột huy ện gồm 47 nam nữ niên Cơ Lê nhận quen 16 nam, Đào nhận quen 17 nam, Mận quen 18 nam, , cô Cam người nữ cu ối quen tất nam có mặt Hỏi hội ngh ị có nam nữ niên? (a) Hãy xác định giá trị m cho phương trình x + ( 2m + ) x + 4m + 12 = có hai nghiệm số hai lớn f ( u) = (b) Tính đạo hàm hàm số sau 0358968434 u + u2 +1 1+ u2 − u + 1+ u2 − u u + u2 + −1 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 sin x cos x + cos x sin x = 8 Giải phương trình Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt SCB vng góc với đáy, cạnh SC = SB = góc phẳng đỉnh 600 Hãy xác định thể tích hình chóp 10 Tính cạnh a diện tích S tam giác biết hai góc A B nửa chu p ≈ 23.6; A ≈ 520 42 '; B = 46 016 ' vi p Hãy xác định S với Năm 1964 Gọi α góc tùy ý Hãy xác định giá trị bi ểu thức 2π cosα + cos α + Vẽ u= đường (x 4π ÷+ cos α + cong − 1) ; y = x + x+ phương trình (x (x ÷ biểu − 1) diễn đường − 1) = m Trong x∈¡ Biện luận số nghiệm tùy theo giá trị tham số m Từ điểm O nằm mặt phẳng (P), ta hạ đường vng góc OH xuống đường thẳng ( P), qua điểm cố định A Hãy xác định quỹ tích (c) điểm H Gọi (C) mặt nón nghiên có đỉnh O đáy (c) Chứng minh mặt phẳng song song với (P) hay vng góc với OA cắt (C) theo đường tròn (C) có hai mặt phẳng đối xứng cắt theo hai góc hệ 0358968434 α β α , β Hãy xác định quan Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Một đâm nhánh sau: mọc lên năm b đ ầu đâm nhánh, sau hai năm lại đâm nhánh Quy lu ật c thân áp dụng cho nhánh m ọc ra, tức m ỗi nhánh sau mọc năm đâm nhánh nhánh hai năm lại đâm nhánh Coi thân nhánh đ ặc bi ệt, tính s ố nhánh năm thứ năm Gọi số nhánh năm thứ n Gọi a>b S n Chứng minh hai số thỏa mãn đẳng thức Sn = qui nạp S n = S n −1 + S n− a + b = 1; ab = −1 Chứng minh a n +1 − b n +1 ) ( Năm 1965 Tại thời điểm ban đầu t = 0, tầu thủy hải quân ta vị trí ban đầu O phát tầu thủy địch v ị trí ban đ ầu A, cách OA = a tầu ta chạy với vận tốc v không đổi đường thẳng vng góc với OA Để đuổi bắn qn địch ta mở máy chạy v ới v ận tốc u khơng đổi đường thẳng làm góc nhọn (a) Khi ϕ ϕ với OA chọn trước, hỏi khoảng cách cực ti ểu đạt tầu ta tầu địch bao nhiêu? Các vận tốc u v ph ải th ỏa mãn ều ki ện cực tiểu triệt tiêu? (b) Nếu điều kiện khơng thỏa mãn phải chọn góc ϕ để khoảng cách bé có thể? Khi đạt khoảng cách bé hướng ta phải bắn vào tầu địch góc vào đường địch? 0358968434 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Cho vòng tròn lớn với hai dây cung AB CD song song v ới G ọi M điểm chạy vòng tròn Đường thẳng MD cắt đường th ẳng AB Q (a) Khi M tiến tới D hay tới C tâm vòng tròn tam giác MCQ ti ến t ới đâu? Hãy xác định quỹ tích tâm vòng tròn (MCQ) (b) Người ta lấy điểm E cố định ngồi mặt phẳng hình vẽ Ta phải chọn điểm E quỹ tích tâm mặt cầu (MCQE) trùng với quỹ tích tâm vòng tròn (MCQ) (a) Cho hai số khơng âm x, y có tổng a không đổi Hãy xác đ ịnh giá tr ị x, y để tổng xm + y m bé nhất, m số tự nhiên cho trước Cho n số khơng âm có tổng không đổi, muốn cho tổng x1m + x2m + L + xnm bé x1 = x2 = L = xn phải có (b) Người ta muốn chứa mét khối bột hóa chất vào thùng g ỗ hình l ập phương mà mặt phẳng gỗ có bề dày định khơng đáng kể Giá tiền gỗ vuông với bề dày tỉ lệ với bình phương diện tích Hỏi phải chọn cạnh thùng gỗ mà đỡ tốn tiền gỗ nhất? x1 , x2 ,L , x8 Năm 1966 Người ta tính khơng kể sức cản khơng khí m ỗi viên đ ạn bắn từ nòng súng vạch không gian m ột đường parabol nằm mặt phẳng đứng qua trục nòng súng Nếu lấy vị trí súng mặt đất làm gốc O, lấy đường thẳng nằm ngang làm trục hoành Ox lấy đường thẳng đứng làm trục tung Oy 0358968434 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 y=− phương trình đường parabol g x + x tan α 2v cos 2α α v0 góc nòng súng với mặt đất, g gia tốc trọng trường, vận tốc ban đầu viên đạn α (a) Với viên đạn xa nhất? α (b) Với góc viên đạn trúng điểm có tọa độ X ≥ 0, Y ≥ 0? Những điểm bắn tới phạm vi không gian nào? Trong mặt phẳng (P) người ta cho hai đường thẳng cố định a b hai đường thẳng biến thiên x y; biến thiên x y song song với theo thứ tự qua hai ểm A B nằm đường thẳng a; x cắt b điểm C; y cắt b điểm D Qua giao điểm M AB CD người ta dựng đường thẳng song song với x, cắt a L b N (a) Có nhận xét ba điểm L, M, N? Chứng minh nhận xét Hãy xác định quỹ tích điểm M (b) Cho mặt phẳng thứ hai (P’) không song song với (P) điểm O nằm (P) (P’) Các đường thẳng Oa, Ob, Ox, Oy cắt (P’) song song với (P’), trường hợp chúng cắt (P’) giao điểm với (P’) theo thứ tự gọi a’, b’, x’, y’ Như mặt phẳng (P’) có tốn quỹ tích đối v ới giao ểm M’ đường thẳng M với mặt phẳng (P’) Hãy phát biểu tốn quỹ tích (c) Tìm xem x y phải vị trí x’ y’ song song với nhau, vị trí A’D’ B’C’ song song với nhau? Cho ba số x, y, z không thỏa mãn đẳng thức x + by ≤ 36; x + z ≤ 72 b số dương cho trước Chứng minh tổng 36 max 36; 24 + b x+ y+z lớn Ứng dụng: Người ta vận chuyển hàng điểm A đến điểm M có ba cách vận chuyển sau 0358968434 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 (a) Chuyển xe theo đường ACM (b) Chuyển đường thuyền theo ADM (c) Chuyển xe từ A đến B chuyển tiếp thuyền từ B đến M Tổng số xe dùng để vận chuyển chiếc, tổng số thuy ền 45 chi ếc Mỗi xe chạy đường AB đảm bảo trung bình ngày chuyển bốn hàng từ A đến B chạy đường ACM ngày hai hàng từ A đến M Mỗi thuyền đường BM 15 đảm bảo ngày vận chuyển hàng từ B đến M Hỏi tổ chức vận chuyển (bao nhiêu ngày theo cách 1, theo cách theo cách 3) tổng s ố v ận chuy ển đ ược nhiều nhất? Nếu xe chạy đường ACM đảm bảo khơng tới 0358968434 ngày nên tổ chức vận chuyển nào? Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 1967 y= x − x2 − x − x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Cho hai bờ sơng hai đường thẳng song song nằm ngang Dòng n ước chảy song song với bờ từ trái sang phải với vận tốc u Một phà có vận tốc riêng không đổi v, xuất phát từ điểm O bờ lấy làm trục Ox chở xe sang bờ α (a) Biết đường thực tế phà làm góc với Ox, hỏi vận tốc thực tế V phà bao nhiêu? Biện luận α (b) Phải chọn góc để thời gian nhất? Cho đường tròn (L) có tâm O nội tiếp hình thoi ABCD Một tiếp tuyến biến thiên đường tròn (L) cắt đường thẳng AB, AD, BC, CD theo thứ tự điểm M, N, P, Q (a) Hãy đoán nhận hệ thức hai đoạn thẳng BM DN; chứng minh hệ thức Trên hình vẽ có hệ thức đáng ý (phát nhiều tốt) (b) Bốn đường tròn qua điểm O theo thứ tự có tâm A, B, C, D cắt bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA tám điểm Hãy xét xem hình tám cạnh lồi nhận tám điểm làm đỉnh có tính chất đặc biệt, chứng minh tính chất Sử dụng vào việc dựng hình tám cạnh (c) Hãy phát biểu tốn khơng gian cách cho hình vẽ tốn quay quanh trục AC 0358968434 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 1968 Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a ≥ b > 0, a + b = (a) Chứng minh m, n số nguyên dương thỏa mãn m>n a m − a n ≥ b m − b n > (b) Với số nguyên dương n người ta thiết lập tam thức bậc hai f n ( x ) = x − bn x − a n biệt nằm −1 Chứng minh tam thức fn ( x ) có hai nghiệm phân Cho đường tròn cố định O bán kính r Một tam giác biến thiên ∆ABC ln ngoại tiếp đường tròn có đỉnh A chạy đường thẳng cố định x, hai đỉnh chạy đường thẳng cố định y song song với x (a) Cho trước đường tròn O, hai đường thẳng x, y góc A dựng tam giác ∆ABC Biện luận (b) Tính góc tam giác ∆ABC theo góc A, bán kính r khoảng cách h hai đường thẳng x, y Biện luận (c) Có nhận xét mối quan hệ hai đoạn thẳng IB IC (I tiếp điểm đường tròn O với đường thẳng y)? Có cách để đốn nhận mối quan hệ mà chưa cần chứng minh cả? Chứng minh ều đốn nh ận Từ hệ thức IB IC cố gắng phát hệ thức đáng ý khác (phát nhiều tốt) 0358968434 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 1969 Trong trạm lưới liên lạc hai điểm A B có n trạm vùng A k trạm vùng B Mỗi trạm vùng A liên lạc với k−p n p < k trạm vùng B Chứng minh có trạm vùng B liên lạc với trạm vùng A Hãy xác định góc x biết Cho số 0< x 0, y1 > 0, x2 < 0, y2 > 0, x3 < 0, y3 < 0, x4 > 0, y4 > ( xi − a ) i = 1, + ( yi − b ) ≤ c Biết a + b2 ≤ c với ta có Hãy chứng minh Phát biểu kiện dạng mệnh đề hình học phẳng Cho hai vòng tròn O, O’ bán kính R, R’ tương ứng cắt hai điểm P, Q ( ∆) đường thẳng biến thiên ln bị hai vòng tròn nói cắt thành hàng điểm hòa (a) Từ hai tâm O O’người ta hạ đường vng góc OH O’H’ xuống ( ∆) đường thẳng Hãy dùng suy luận logic mà đốn nhận quỹ tích điểm H H’ (càng đốn nhận xác tốt) (b) Chứng minh điều đoán nhận quỹ tích hai ểm H H’và xác định giới hạn quỹ tích Trong trường hợp quỹ tích qua hai điểm O O’ (c) Với giả thiết ( ∆) OO ' < R + R '2 xác định đường thẳng điểm M cho tổng đoạn thẳng MO MO’ ngắn so với đường khác nối O O’ có điểm qua điểm 0358968434 10 ( ∆) Chứng Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 2014 Ngày đầu Cho hai dãy số dương xn+1 yn+1 − xn = xn+1 + yn = ( xn ) , ( yn ) n = 1, 2, với tìm giới hạn chúng Cho đa thức P ( x ) = ( x2 − x + 6) xác định x1 = 1, y1 = Chứng minh hai dãy số hội tụ 2n + 13 với n số nguyên dương Chứng P ( x) n +1 minh biểu diễn dạng tích đa thức khác số với hệ số nguyên Cho đa giác có 103 cạnh Tơ màu đỏ 79 đỉnh đa giác tơ màu xanh đỉnh lại Gọi A số cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề (a) Tìm tất giá trị nhận cặp (b) Xác định số cách tô màu đỉnh đa giác đ ể ( A, B ) B = 14 Biết rằng, hai cách tô màu xem chúng có th ể nhận từ qua phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác 0358968434 76 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Gọi I trung IK = IC điểm cung BC không chứa A Trên AC lấy điểm K khác C cho Đường thẳng BK cắt (O) D (D khác B) cắt đường thẳng AI E Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC F EF = BC (a) Chứng minh (b) Trên DI lấy điểm M cho CM song song với AD Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt O tạo P ( P ≠ B) Chứng minh đường thẳng PK qua trung điểm đoạn thẳng AD Ngày sau Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), B, C cố định A thay đổi (O) Trên tia AB AC lấy điểm M N cho MA = MC , NA = NB P ( P ≠ A) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ABC cắt Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC Q (a) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng (b) Gọi D trung điểm BC Các đường tròn có tâm M, N qua A cắt K (K khác A) Đường thẳng qua A vng góc với AK cắt BC E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) F (F khác A) Chứng minh đường thẳng AF qua điểm cố định Tìm giá trị lớn bi ểu thức T= x3 y z ( x + y ) ( xy + z ) + y z x3 ( y + z ) ( yz + x ) + z3x4 y3 ( z + x ) ( zx + y ) Tìm tất số gồm 2014 số hữu tỷ không thi ết phân bi ệt, thỏa mãn điều kiện: bỏ số số 2013 s ố lại chia thành ba nhóm rời cho nhóm gồm 671 s ố tích tất số nhóm 0358968434 77 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 2015 Ngày đầu Cho a số thực không âm ( un ) dãy số xác định n u1 = 3, un +1 = un + un2 + 4n + a a) Với a = 0, 0358968434 với n ≥ chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 78 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 a ∈ [ 0;1] , b) Với chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh ( a + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c ) ( ) ab + bc + ca + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ ( a + b + c ) 2 2 Cho số nguyên dương k Tìm số số tự nhiên n không vượt i) mãn đồng thời điều kiện sau: n chia hết cho 3; 10k thỏa { 2, 0,1,5} ii) chữ số biểu diễn thập phân n thuộc tập hợp Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O), BC khơng đường kính Điểm A thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC Cho (I) đường tròn thay đổi qua E, F có tâm I DB cot B = DC cot C (a) Giả sử (I) tiếp xúc với BC điểm D Chứng minh (b) Giả sử (I) cắt cạnh BC hai điểm M, N Gọi H trực tâm tam giác ABC P, Q giao điểm (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Đường tròn (K) qua P, Q tiếp xúc với (O) điểm T (T phía A PQ) Chứng minh đường phân giác góc qua điểm cố định ∠MTN Ngày sau Cho fn ( x ) dãy đa thức xác định f ( x ) = 2, f1 ( x ) = x, f n ( x ) = 3xf n −1 ( x ) + ( − x − x ) f n− ( x ) Tìm tất số nguyên dương n để fn ( x ) chia hết cho Với a, n số nguyên dương, xét phương trình x, y, z số tự nhiên 0358968434 79 với n ≥ x − x + x a x + 6ay + 36 z = n, Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 (a) Tìm tất giá trị a để với nghiệm tự nhiên (b) Biết a >1 n ≥ 250, phương trình cho ln có ( x, y , z ) nguyên tố với Tìm giá trị lớn n theo a để phương trình cho khơng có nghiệm Có m học sinh nữ n học sinh nam ( m, n ≥ ) ( x, y , z ) tham gia liên hoan song ca Tại liên hoan song ca, buổi bi ểu diễn m ột chương trình văn ngh ệ Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm số hát song ca nam-nữ mà đó, đôi nam nữ hát với không m ỗi h ọc sinh hát Hai chương trình gọi khác có cặp nam-nữ hát với chương trình khơng hát với chương trình Liên hoan song ca ch ỉ k ết thúc t ất c ả chương trình khác có biểu diễn, chương trình biểu diễn lần a) Một chương trình gọi lệ thuộc vào học sinh X nh hủy tất c ả song ca mà X tham gia có h ọc sinh khác không đ ược hát chương trình Chứng minh tất chương trình lệ thuộc vào X số chương trình có số lẻ hát s ố chương trình có số chẵn hát b) Chứng minh ban tổ chức liên hoan có th ể s ắp x ếp bu ổi bi ểu di ễn cho số hát hai buổi bi ểu diễn liên ti ếp b ất kì khơng tính chẵn lẻ 0358968434 80 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Năm 2016 Ngày đầu Giải hệ phương trình (a) Cho dãy số ( an ) 6 x − y + z = 2 ( x, y , z ∈ ¡ ) x − y − z = −1 6 x − y − y − z = xác định an = ln ( 2n + 1) − ln ( n + n + 1) , { an } < Chứng minh có hữu hạn số n cho (b) Cho dãy số ( bn ) xác định (a) (b) bn = ln ( 2n + 1) + ln ( n + n + 1) , { bn } < với n = 1, với n = 1, 2016 Chứng minh tồn vô hạn số n cho Cho tam giác ABC có B, C cố định, A thay đổi cho tam giác ABC nhọn Gọi D trung điểm BC E, F tương ứng hình chiếu vng góc D đường thẳng AB, AC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC EF cắt AO BC M N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua điểm cố định Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF E, F cắt T Chứng minh T thuộc đường thẳng cố định Người ta trồng hai loại khác mi ếng đất hình ch ữ nhật m× n kích thước vuông (mỗi ô trồng cây) Một cách trồng gọi ấn tượng 0358968434 81 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Số lượng trồng hai loại nhau; Số lượng chênh lệch hai loại c ột không nh ỏ h ơn m ột số ô cột i) ii) m = n = 2016 a) Hãy cách trồng ấn tượng b) Chứng minh có cách trồng ấn tượng c ả m n bội Ngày sau Tìm tất số thực a để tồn hàm số f :¡ → ¡ f ( 1) = 2016; i) f ( x + y + f ( y ) ) = f ( x ) + ay thỏa mãn: x, y ∈ ¡ ii) với Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (với tâm O) có góc đỉnh B C nhọn Lấy điểm M cung BC không chứa A cho AM khơng vng góc với BC AM cắt trung trực BC F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT cắt (O) N ( N ≠ A) ∠BAM = ∠CAN a) Chứng minh b) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp G chân đường phân giác góc A tam giác ABC AI, MI, NI cắt đường tròn (O) D, E, F Gọi P Q tương ứng giao điểm DF với AM DE với AN Đường tròn qua P tiếp xúc với AD I cắt DF H ( H ≠ D) , đường tròn qua Q tiếp ( K ≠ D) xúc với AD I cắt DE K Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC Số nguyên dương n gọi số hoàn chỉnh n tổng ước số ngun dương (khơng kể nó) (a) Chứng minh n số hồn chỉnh lẻ có dạng n = p s m2 , 4k + 1, s p số nguyên tố có dạng số nguyên dương có dạng m số nguyên dương không chia hết cho p (b) Tìm tất số nguyên dương n >1 số hoàn chỉnh 0358968434 82 cho n −1 n ( n + 1) 4h + Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán 12 1962-2020 Năm 2017 Ngày đầu Cho a số thực xét dãy số thực u1 = a, un +1 = (a) Khi a = 5, ( un ) 2n + + un + , ∀n ∈ ¥ * n +1 chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn (b) Tìm tất giá trị số a để dãy số hạn 0358968434 xác định 83 ( un ) xác định có giới hạn hữu Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 Tồn hay không đa thức ( ) P 1+ = 1+ ( P ( x) với hệ số nguyên thỏa mãn ) P 1+ = 1+ ? Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( O) Gọi H trực tâm tam giác ABC E, F chân đường cao hạ từ đỉnh B, C; AH cắt (O) D (D khác A) a) Gọi I trung điểm AH; EI cắt BD M FI cắt CD N Chứng minh MN ⊥ OH b) Các đường thẳng DE, DF cắt (O) P, Q (P Q khác D) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) AO R S (R S khác A) Chứng minh BP, CQ RS đồng qui Cho số nguyên n > n×n n2 Bảng vng ABCD kích thước gồm ô vuông đơn vị, ô vuông đơn vị tô ba màu: đen, tr ắng, xám Một cách tô màu gọi đối xứng có tâm đường chéo AC tơ màu xám cặp ô đối xứng qua AC tô màu đen màu trắng Người ta điền vào ô xám s ố 0, m ỗi ô tr ắng m ột số nguyên dương ô đen số nguyên âm Một cách ền v ậy gọi k- cân đối (với k nguyên dương) thỏa mãn điều kiện sau i) Mỗi cặp đối xứng qua AC điền số nguyên thuộc đoạn [ −k , k ] ii) Nếu hàng cột giao đen tập s ố ngun dương điền hàng tập số nguyên dương ền cột khơng giao nhau; hàng c ột giao t ại trắng tập số ngun âm điền hàng tập số nguyên âm điền cột khơng giao a) Với n = 5, tìm giá trị nhỏ k để tồn cách ền s ố k- cân đối cho cách tơ màu đối xứng hình bên 0358968434 84 Giáo viên Lê Văn Tho b) Với Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Tốn 12 1962-2020 n = 2017, tìm giá trị nhỏ k để cách tô màu đối xứng, tồn cách điền số k- cân đối Ngày sau Tìm tất hàm f ( xf ( y ) − f ( x ) ) = f ( x ) + xy Chứng minh 1008 ∑ kC k =0 k 2017 số f :¡ →¡ thỏa mãn hệ thức với số thực x, y ≡ ( mod 2017 ) a) 504 ∑ ( −1) k =0 k k C2017 ≡ ( 22016 − 1) ( mod 2017 ) b) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) G điểm thuộc » BC cung khơng chứa O đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác OBC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABG cắt AC E, đường tròn ngoại tiếp tam giác ACG cắt AB F (E F khác A) a) Gọi K giao điểm BE CF Chứng minh AK, BC, OG đồng quy b) Cho D điểm thuộc cung ¼ BOC chứa O đường tròn (I); GB cắt CD M, GC cắt BD N Giả sử MN cắt (O) hai điểm P, Q Chứng minh 0358968434 85 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 » BC G thay đổi cung không chứa O đường tròn (I), đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ qua điểm cố định Năm 2018 Ngày đầu Cho dãy số ( xn ) xác định (a) Chứng minh dãy số ( xn ) x1 = xn +1 = xn + − xn + 3, ∀n ≥ có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n ≤ x1 + x2 + L + xn ≤ n + (b) Với số nguyên dương n, chứng minh Cho tam giác nhọn không cân ABC D điểm cạnh BC Lấy điểm E cạnh AB lấy điểm F cạnh AC cho Các đường thẳng DF, DE cắt AB, AC M, N Gọi ∠DEB = ∠DFC ( I1 ) , ( I ) ứng đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM, DFN Ký hiệu đường tròn tiếp xúc với đường tròn tiếp xúc với điểm ( I1 ) ( I2 ) , ( I1 ) ( I2 ) D tiếp xúc với AB K, tương ( J1 ) ( J2 ) là D tiếp xúc với AC H, P giao Q giao điểm ( J1 ) ( J2 ) (Q, P khác D) (a) Chứng minh D, P, Q thẳng hàng (b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK đường thẳng AQ G L (G, L khác A) Chứng minh tiếp tuyến D đường tròn ngoại tiếp tam giác DQG cắt đường thẳng EF điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DLG Một nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật, mảnh đất đ ều có kích thước 0358968434 120m ×100m 86 Giáo viên Lê Văn Tho Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn 12 1962-2020 (a) Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây ngơi nhà có n ền hình 25m × 35m chữ nhật kích thước xây bên ngồi bồn hoa đường kính m Chứng minh dù xây trước bồn hoa đâu phần đất l ại đủ chỗ xây ngơi nhà (b) Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây m ột h cá hình m ột đa giác lồi cho từ điểm phần đất lại có th ể khơng q 5m đến bờ hồ Chứng minh chu vi hồ không nhỏ 440 − 20 2m ( C) Trong mặt phẳng Oxy, cho đồ thị hàm số thẳng d không đổi cho d cắt x1 , x2 , x3 (a) Đại lượng ( C) y = x2 Một đường ba điểm phân biệt có hồnh độ Chứng minh x2 x3 xx xx + 3 + 22 x1 x2 x3 số 2 x x x 15 +3 +3