PP giai bai tap hinh 7 HK 1

CHUN ĐỀ I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG CHỦ ĐỀ HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc Tính chất hai góc đối đỉnh Hai góc đối đỉnh Chú ý: - Mỗi góc có góc đối đỉnh với nó; - Hai góc chưa đối đỉnh II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Nhận biết hai góc đối đỉnh Phương pháp giải: Xét cạnh góc tia đối để tìm cặp góc đối đỉnh 1A Cho hình a, b, c, d e Cặp góc đối đỉnh? Cặp góc khơng đối đỉnh? Vì sao? 1B Vẽ hai đường thẳng aa' bb' cắt O hình vẽ Hãy điền vào chỗ trống ( ) phát biểu sau: a) Góc aOb góc hai góc đối đỉnh cạnh Oa tia đối cạnh Oa' cạnh Ob cạnh Ob' b) Góc a'Ob góc aOb' cạnh Oa tia đối cạnh cạnh tia đối cạnh Ob' 2A Vẽ bốn đương thẳng xx', yy', zz', tt' đì qua điểm O Hãy viết tên cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt) 2B Vẽ ba đường thẳng aa', bb' cc' cắt A Hãy viết tên cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt) Trang · · · 3A Vẽ góc vuông xAy Vẽ x ' Ay ' đối đỉnh với xAy Hãy viết tên hai góc vng khơng đối đỉnh 3B Vẽ hai góc có chung đỉnh có số đo 60°, khơng đối đỉnh Dạng Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: - Hai góc đối đỉnh nhau; - Hai góc kề bù có tổng 180° · 4A Cho hình, vẽ bên Tính xOy ' · · biết xOy - yOx ' = 30° · · 4B Cho hình vẽ bên Biết AOC + BOD = 140° · · · · Hãy tính số đo góc AOC , COB, BOD DOA 5A Cho góc xOy có số đo 45°, Vẽ hai tia Om, On tia đối tia Oy, Ox Tính số đo góc lại hình 5B.Vẽ hai đường thẳng cắt cho góc tạo thành có góc 150° Tính số đo góc lại · · 6A Cho hai góc kề xOy yOz có tổng 150° xOy − yOz = 90° · · a) Tính số đo xOy yOz · · b) Gọi Oz' tia đối tia Oz Hãy so sánh xOz yOz · · 6B Cho hai góc kề xOy yOz có tổng 110° xOy − yOz = 30° · · a) Tính số đo xOy yOz · · b) Gọi Oz' tia đối tia Oz Hãy so sánh xOz yOz · 7A Đường thẳng xx' cắt đường thẳng yy' O Vẽ tia phân giác Ot xOy · · a) Gọi Ot' tia đối tia Ot So sánh xOt ' t ' Oy · · b) Vẽ tia phân giác Om xOy Tính góc mOt · · · 7B Vẽ x ' Ay ' đối đỉnh với xAy Vẽ tia phân giác Az xAy tia đối At · · tia Az So sánh x ' At y ' At Dạng Chứng minh hai góc đối đỉnh Trang · · Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai góc xOy x ' Oy ' hai góc đối đỉnh ta dùng hai cách sau: Cách Chứng minh tia Ox tia đối tia Ox' (hoặc Oy') tia Oy tia đối tia Oy' (hoặc Ox'), tức hai cạnh góc tia đối hai cạnh góc lại · · Cách Chứng minh xOy = x ' Oy ' tia Ox tia Ox' (hoặc Oy') đối hai tia Oy Oy' (hoặc Ox') nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng xOx' (hoặc xOy') 8A Trên đường thẳng xx' lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ xx’, vẽ tia Oy · cho xOy = 45°, Trên nửa mặt phẳng lại, vẽ tia Oz cho Oz ⊥ Ox Gọi Oy' · phân giác x ' Oz · · a) Chứng minh xOy x ' Oy ' hai góc đối đỉnh b) Trên nửa mặt phẳng bờ xx' chứa tia Oy, vẽ tia Ot cho Ot vng góc với · Oy Hãy tính x ' Ot 8B Cho hình vẽ bên: · · a) Tính xOm xOn · b) Vẽ tia On' cho xOn ' đối · đỉnh với x ' On Trên nửa mặt · · phẳng bờ xx' chứa tia On', vẽ tia Oy cho n ' Oy = 90° Hai góc mOn n· ' Oy có đối đỉnh khơng? Vì sao? · 9A Hai đường thẳng AB CD cắt O cho AOC = 60° a) Tính số đo góc lại · b) Vẽ tia Ot phân giác AOC Ot' tia đối tia Ot Chứng minh Ot' · tia phân giác BOD · · 9B Cho hai góc kề bù xOy yOz Gọi Om On tia phân · · giác góc xOy yOz · a) Tính số đo mOn · · b) Vẽ zOy ' đối đỉnh vói xOy Om' tia đối tia Om Chứng minh Om' · · On tia phân giác góc y ' Oz mOm ' · · · · 10A Cho góc aOb Vẽ bOc kề bù với aOb ; aOd kề bù với aOb Vẽ Of tia · · · · phân giác bOc ; Oe tia phân giác dOa Khi cOf aOe có phải hai góc đối đỉnh khơng? Vì sao? · 10B Cho góc mOn Vẽ Ox tia phân, giác mOn Vẽ Ox' tia đối tia · · · · Ox Vẽ nOt kề bù với mOn Khi góc x ' Ot mOx có phải hai góc đối đỉnh khơng? Vì sao? Trang III BÀI TẬP VỀ NHÀ · 11 Hai đường thẳng AB CD cắt M tạo thành AMC có số đo 30° · a) Tính số đo góc BMD ·AMD b) Viết tên cặp góc đối đỉnh cặp góc bù 12 Chứng minh hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với · · · · · · 13 Cho góc mOn Vẽ nOt kề bù với mOn ; mOz kề bù vói mOn Khi mOn ¶ tOz có phải hai góc đối đỉnh khơng? · 14 Hai đường thẳng xx' yy' cắt A, biết xAy = 40° · · · a) Tính số đo góc yAx ' , x ' Ay ' y ' Ax · · b) Vẽ tia phân giác At xAy tia phân giác At' x ' Ay ' Chứng minh hai tia At At' hai tia đối HƯỚNG DẪN BÀI HAI GĨC ĐỐI ĐỈNH 1A Các cặp góc đố i đỉnh: hình a e Các cặp góc khơng đối đỉnh: hình b (khơng chung đỉnh), hình c (một cặp cạnh không hai tia đối nhau) hình d (hai góc khơng nhau) · 1B a) a ' Ob ' / tia đối; b) hai góc đối đỉnh/ Oa'/ Ob 2A Ta có hình vẽ: Các cặp góc đối đỉnh gồm: · · xOy x ' Oy ' ·yOz · y ' Oz ' · · zOt z ' Ot ' · ' · tOx t ' Ox · · xOz x ' Oz ' ·yOt · y ' Ot ' · ' · zOx z ' Ox · ' · tOy t ' Oy · · xOt x ' Ot ' ·yOx ' · y ' Ox · ' · xOy z ' Oy · ' · tOz t ' Oz 2B Tương tự 2A Trang 3A Hai góc vng không đối đỉnh là: · · xAy xAy ' (hoặc cặp góc xAy · x· ' Ay x· ' Ay x· ' Ay ' xAy x· ' Ay ' ; ; ) 3B · · · · · 4A Ta có: xOy + yOx ' = 180° xOy − yOx ' = 30° => yOx ' = 75° · Suy xOy ' = 75° (hai góc đối đỉnh) · · · · 4B Tính xOy ' = BOD = 70°; AOD = BOC = 110° · · 5A Ta có: mOn = xOy = 45° · · Do xOy xOm kề bù nên: · · xOy + xOm =180° · xOm Suy · = 180° - xOy = 135° · · Mà yOn xOm đối đỉnh nên ·yOn · = xOm = 135° 5B Tương tự 5A Tính được: µ =O ¶ = 150°; O ¶ =O ¶ = 30° O 6A a) Ta có : 150° + 90° · xOy = = 120° · => yOz = 150° - 120° = 30° ·yOz ' ·yOz ' b) Ta có ·yOz ' · + yOz = 180° ·yOz ' => kề bù nên: = 150° - 30° = 150° · · · · · Mà xOz = xOy + yOz = 150° Vậy xOz = yOz ' 6B Tương tự 6A Trang · · Tính xOy = 70°, yOz = 40° · · · · Tính xOz = 110°, yOz ' = 140° => xOz < yOz ' · µ = xOy O 7A a) Ta cú: ả ã ã M O1 = O2 (đối đỉnh), xOy = x ' Oy ' (đối đỉnh) ¶ =O ¶ O Lại có: ·xOt ' = xOy · '+O ¶ · · ¶ t ' Oy = x ' Oy + O4 = ¶ ¶ · · mà xOy ' = x ' Oy (đối đỉnh) O4 = O5 Lại có · ' = xOy · '+O ¶ · · ¶ xOy t ' Oy = x ' Oy + O4 · ' = x· ' Oy xOy Mà (đối đỉnh) ¶ ¶ · · Và O5 = O4 => xOt ' = t ' Oy 1· · µ = xOy · xOm = xOy ', O 2 b) Vì nên: · · µ = ( xOy · · ) mOt = xOm +O '+ xOy = 90° x· ' At = ·y ' At 7B Tương tự 7A Ta · 8A a) Vì Oy' phân giác x ' Oz nên 1 x· ' Oy ' = x· ' Oz = 2 90° = 45° · xOy = x· ' Oy ' => Mà Ox Ox' hai tia đối nhao nên · · xOy x ' Oy ' đối đỉnh · · · b) x ' Oy ' = 45°, y ' Ot = 90° => Ox' phân giác tOy ' · Do x ' Ot = 45° · · xOm + x· ' On xOm x· ' On 8B = 90° => x = 15° => = 50°, = 40° Hai góc mOn n'Oy hai góc đối đỉnh · · 9A a) BOD = AOC = 60° (đối đỉnh.) · · · · => COB + AOC = 180° (kề bù), => BOC = 180° − AOC = 120° · · => AOD = BOC = 120° (đối đỉnh), b) Vì Ot phân giác góc AOC nên ·AOt = ·AOC = 30° · ' = ·AOt BOt => Tương tự: = 30° (đối đỉnh) Trang · · ' = DOt · DOt ' = 30° ⇒ BOt ' · Do Ot' phân giác BOD · 9B a) Tính mOn = 90° b) Tương tự ý b) 9A 10A Vì góc bOc kề bù với góc aOb nên Oa Oc hai tia đối nhan Tương tự Ob Od hai tia đối · · Do hai góc bOc aOd đối đỉnh => bOc = aOd 1· 1· · · cOf = bOc , aOe = aOd · · 2 Lại có: nên cOf = aOe · · Mà Oa Oc hai tia đốì nên cOf aOe đối đỉnh · x· ' Ot mOx 10B Tương tự 10A Hai góc ·AMC đối đỉnh · · a) Tính BMD = 30°, AMD = 150° · · · b) Các cặp góc đối đỉnh: BMD AMC , ·AMD MBC · · · · · Các cặp góc kề bù: AMC ·AMD , ·AMD BMD , BMD BMC , BMC · · 12 Gọi hai góc kề bù aOb bOc , nhận Ox Oy hai tia phân giác · xOy = · · ( aOb Dễ dàng chứng minh: + bOc ) = 90° => Ox ⊥ Oy · ¶ mOn tOz 13 Tương tự 10A · · hai góc đối đỉnh, · 14 a) Tính yAx ' = y ' Ax = 140°; x ' Ay ' = 40° ¶ · b) Ta chứng minh xAt = x ' At = 20° Do Ax Ax' hai tia đối nhau, At At' thuộc hai nửa mặt phẳng đối nên At At' hai tia đối Trang Trang CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa - Hai đường thẳng xx', yy' cắt góc tạo thành có góc vng gọi hai đường thẳng vng góc - Kí hiệu: xx' ⊥ yy' Tính chất hai đường thẳng vng góc Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc vói đường thẳng cho trước Đường trung trực đoạn thẳng Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm gọi đường trung trực đoạn thẳng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Vẽ hình 1A Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = cm Lấy ba điểm A, B, C phân biệt đưòng tròn Vẽ dây AB, BQ CA Vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB, BC, CA 1B Cho ba điểm A, B, C Hãy vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB, BC, CA · 2A.Vẽ góc xOy có số đo 45° Lấy điểm A nằm xOy Qua A vẽ đường thẳng d vng góc với tia Ox B, đường thẳng d' vng góc với tia Oy C đường thẳng d" qua A vng góc với BC 2B Vẽ đường thẳng a Trên đường thẳng a vẽ đoạn AB = cm Vẽ tiếp đường thẳng d qua điểm A vng góc với a Vẽ đường thẳng d' qua điểm B vng góc với a Hai đương thẳng d d' có cắt không? Dạng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai đường thẳng xx' yy' vng góc với ta sử dụng cách sau: Cách Chứng minh bốn góc tạo thành hai đường thẳng góc vng Cách Chứng minh hai góc kề bù nhau, từ suy có góc 90° Cách Chứng minh hai tia Ox Oy hai tia phân giác hai góc kề bù với O giao điểm xx' yy', · · 3A Cho xOy = 120° Vẽ tia Oz Ot nằm xOy cho Oz vng góc với Ox Ot vng góc với Oy a ) Tính số đo góc zOt Trang · · b) Gọi Om On hai tia phân giác hai góc xOt yOz Chứng minh tia Om ⊥ On · 3B Cho góc mOn có số đo 150° Vẽ tia Oa Ob góc cho Oa, Ob vng góc với tia Om On · · a) Chứng tỏ aOn = bOm · b) Vẽ tia Ox tia Oy theo thứ tự tia phân giác góc aOn · · bOm Tính xOy · 4A Cho hai tia Ox Oy vng góc với Trong góc xOy , ta vẽ hai tia · · Oa Ob cho aOx = bOy = 30° Vẽ tia Oc cho tia Oy tia phân giác · · aOc Chứng tỏ tia Oa phân giác bOx hai tia Ob, Oc vng góc với · 4B Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng bờ xy, ta vẽ ba tia gồm · · · Om, On cho xOm = yOn < 90° Ot phân giác mOn Chứng minh Ot vng góc với xy Dạng Các tốn vận dụng tính chất hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng vng góc để giải tập liên quan · 5A Cho xOy = 120° Ở phía ngồi góc vẽ hai tia Oc Od cho Od ⊥ · · Ox Oc ⊥ Oy Gọi Om On theo thứ tự phân giác xOy dOc ; Oy' tia đối tia Oy Chứng minh: · a) Ox tia phân giác y ' Om ; b) Oy' nằm hai tia Ox Od; c) Góc mOn góc bẹt · 5B Cho xOy = 100° Về phía ngồi góc vẽ hai tia Oz Ot cho Oz · Ot vng góc với Ox Oy Gọi Om tia phân giác xOy Om' tia đối tia Om · a) Chứng minh Om' tia phân giác zOt · · b) So sánh số đo hai góc mOz yOm · 6A Cho góc nhọn xOy Trên nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, kẻ tia Ox' vng góc với Ox Trên nửa mặt phẳng bờ Oy chứa tia Ox, vẽ tia Oy' vng · · góc với Oy Chứng minh hai góc xOy x ' Oy ' có tia phân giác tổng số đo hai góc 180° 6B Cho góc xOy tù Bên ngồi góc dựng hai tia Oz Ot vng · · góc với Ox Oy Chứng minh hai góc xOy zOt bù III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho góc aOb có số đo 50° Trên nửa mặt phẳng bờ Ob chứa tia Oa, vẽ tia Om vng góc với Ob Trên nửa mặt phẳng lại vẽ tia On vng góc với Oa a) Chứng minh hai góc aOm bOn b) Vẽ Om' tia đối tia Om Tính số đo góc m'On 10 Trang 10 Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng cân có độ dài cạnh huyền bằng: a) cm; b) cm · Cho tam giác ABC có BAC > 90° Kẻ AH vng góc với BC H Biết AB = 15 cm; AC = 41 cm, BH = 12 cm Tính độ dài cạnh HC 10 Cho tam giác ABC nhọn, cân A Kẻ BH vng góc với AC H Tính độ dài cạnh BC biết a) HA = cm, HC = cm b) AB = cm, HA = cm 11 Cho tam giác ABC cân A có AB =10cm, BC = 12cm Gọi M trung điểm BC Tính độ dài AM 12 Tam giác tam giác vuông tam giác có độ dài ba cạnh sau: a) 6cm, 10cm, 8cm; b) 10dm, 24dm, 26dm; c) 3m, 3m, 5m HƯỚNG DẪN 1A Sử dụng định lý Py-ta-go Hình 1: x2 = 52 +122 => x = 13 Hình 2: x2 + 32 = 52 => x = 1B Làm tương tự 1A Hình 1: x = 10 Hình 2: x = 2A Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác 5k 12k với k> Dùng định lý Py-ta-go tính độ dài cạnh huyền 13k, 5k +12k + 13k = 30 => k = Từ độ dài cạnh huyền 13 cm 2B Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác 3k 4k với k>0 Dùng định lý Py-ta-go tính độ dài cạnh huyền 5k, 5k = 20 => k = Từ độ dài cạnh góc vng 12 cm 16 cm 3A Dùng định lý Py-ta-go, ta có AC2 = AH2 + HC2 => AC = 20 cm AB2 = AH2 + BH+2 => BH = cm Từ BC = HB + HC = 21 cm 3B Làm tương tự 3A, ta có AB = 13 cm, BC = 21 cm Từ đó, chu vi tam giác ABC 54 cm 4A a) 152 = 92 +122 nên tam giác vuông 72 Trang 72 b) 132 = 52 +122 nên tam giác vuông c) l02 ≠ 72 +72 nên tam giác không vuông · 4B Kiểm tra BC2 = AB2 + AC2 => BAC = 90° Gọi độ dài cạnh góc vng cần tính x, ta có x2 + 242 = 262 => x =10 cm Độ dài đường chéo cần tính + = 10 cm Làm tượng tự 2A, tìm độ dài cạnh tam giác là: cm, cm, 10 cm Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác vng cân x, dùng định lý Py-ta-go ta có a) x2 + x2 = 22 => x = cm b) x2 + x2 = ( )2 => x =l cm 2 Dùng định lý Py-ta-go, ta có AB2 = AH2 + BH2 => AH = cm AC2 = AH2 + HC2 => HC = 40 cm 10 AB = AC = HB + HC = cm Dùng định lý Py-ta-go ta có BC2 = BH2 + HC2 = AB2 - AH2 + HC2 Từ BC = cm b) Tương tự câu a, tính HC = cm => BC = 10 cm 11 Chứng minh ∆ AMB = ∆ AMC (c-c-c) => ·AMB = 90° Từ tính AM = cm 12 102 = 62 + 82 nên tam giác vuông b) 262 = l02 + 242 nên tam giác vuông c) 52 ≠ 32 + 32 nên tam giác không vuông 73 Trang 73 CHỦ ĐỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VNG I TĨM TẮT LÝ THUYẾT  Ngoài trường hợp biết hai tam giác vng, có trường hợp theo cạnh huyền - cạnh góc vng  Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh hai tam giác vuông Phương pháp giải: - Xét hai tam giác vuông - Kiểm tra điều kiện hai tam giác vng (ưu tiên nhìn cạnh trước) - Kết luận hai tam giác 1A.Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx,Cy cho Bx ⊥ BA Cy ⊥ CA Gọi D giao điểm tia Bx Cy Chứng ∆ ABD = ∆ A CD 1B Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc với BC (H ∈ BC) Chứng ∆ minh AHB = ∆ AHC 2A Cho góc xOy Tia Oz tia phân giác góc xOy Lấy điếm A thuộc tia Oz (A ≠ O) Kẻ AB vng góc với Ox, AC vng góc với Oy (B ∈ Ox, C ∈ Oy) Chứng minh ∆ OAB = ∆ OAC 2B Cho tam giác ABC Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC điểm D Kẻ DM vng góc với AB, DN vng góc với AC (M ∈ AB, N ∈ AC) Chứng minh ∆ ADM = ∆ ADN Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Phương pháp giải: 74 Trang 74 - Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh - Tìm thêm hai điều kiện nhau, có điều kiện cạnh, để kết luận hai tam giác - Suy hai cạnh (góc) tương ứng 3A Cho góc xOy, Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Qua A kẻ đường thẳng vng góc với Ox, qua B kẻ đường thẳng vng góc vói Oy, chúng cắt M Chứng minh: a) MA = MB b) OM tia phân giác góc xOy 3B Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc vói BC (H ∈ BC) Chứng minh: · · a) HB = HC; b) BAH = CAH 4A Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ ID ⊥ AB (D ∈ AB) kẻ IE ⊥ AC (E ∈ AC) kẻ IF ⊥ BC (F ∈ BC) Chứng minh: a) ID = IF IE = IF; b) AI tia phân giác góc A 4B Cho tam giác ABC cân A ( µA < 90°) Kẻ BH vng góc với AC, CK vng góc với AB (H ∈ AC, K ∈ AB) a) Chứng minh AH = AK b) Gọi I giao điểm BH CK Chúng minh AI tia phân giác góc A III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho tam giác DEF cân D Kẻ DH ⊥ EF (H∈ EF) · · = HDF a) Chứng minh HDE b) Kẻ HM ⊥ DE (M ∈ DE) HN ⊥ DF (N∈ DF) Chứng minh HM = HN c) Chứng minh ∆ HME = ∆ HNF Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lây điểm M,N (M nằm B N) cho BM = CN Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) NK ⊥ AC (K ∈ AC) Chứng minh: a) ∆ MHB = ∆ NKC; b) AH = AK; c) ∆ AMN cân A Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm M Kẻ MD ⊥ BC (D ∈ BC) a) Chứng minh BA = BD b) Gọi E giao điểm hai đường thẳng DM BA Chứng minh ∆ ABC = ∆ DBE c) Kẻ DH ⊥ MC (H ∈ MC) AK ⊥ ME (K ∈ ME) Gọi N giao điểm hai tia DH AK Chứng minh MN tia phân giác góc HMK d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm M, tia đối tia tia CB lấy điểm N cho BM = CN a) Chứng minh tam giác AMN cân b) Kẻ BE ⊥ AM (E∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN) Chứng minh ∆ BME = ∆ CNF c) EB FC kéo dài cắt O Chứng minh AO tia phân giác góc MAN d) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vng góc với AN, chúng cắt H Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng HƯỚNG DẪN 75 Trang 75 1A Do tam giác ABC cân A nên AB = AC, từ ∆ ABD = ∆ ACD (cạnh huyền - cạnh góc vng) 1B Làm tương tự 1A, chứng minh ∆ AHB = ∆ AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng) · 2A Do Oz tia phân giác xOy nên ·AOB = ·AOC , từ ∆ OAB = ∆ OAC (cạnh huyền - góc nhọn) 2B Làm tương tự 2A, chứng minh ∆ ADM = ∆ ADN (cạnh huyền - góc nhọn) 3A Chứng minh ∆ OAM = ∆ OMB (cạnh huyền - cạnh góc vng) từ => ĐPCM 3B Chứng minh ∆ AHB = ∆ AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng) từ => ĐPCM 4A a) Chứng minh ∆ BID = ∆ BIF ∆ CIE = ∆ CIF (cạnh huyền - cạnh góc nhọn), từ ID = IF = IE b) Từ kết câu a) chứng minh ∆ AID = ∆ AIE (cạnh huyền - cạnh góc vng) => ĐPCM 4B a) Chú ý AB = AC, từ chứng minh ∆ AHB = ∆ AKC (cạnh huyền - góc nhọn) => AH = AK b) Từ kết câu a) chứng minh ∆ AIK = ∆ AIH (cạnh huyền - cạnh góc vng) => ĐPCM Ta có ∆ DHE = ∆ DHF (cạnh huyền cạnh góc vng) · · = HDF b) Từ kết câu a) HDE (góc tương ứng) c) Từ kết câu b) chứng minh ∆ DHM = ∆ DHN (cạnh huyền - góc 76 Trang 76 nhọn), từ HM = HN · · a) Chú ý HBM = KCN , ta có ∆ MHB - ∆ NKC (cạnh huyền - góc nhọn) b) Từ kết câu a) ta có BH = CK, mà AB = AC suy AH = AK c) Chú ý MH = NK => ∆ AHM = ∆ AKN (c-g-c) suy AM = AN (ĐPCM) Ta có ∆ BMA = ∆ BMD (cạnh huyền - góc nhọn), từ BA = BD b) Từ kết câu a) chứng minh ∆ ABC = ∆ DBE (g-c-g) c) Chú ý MA = MD, từ ∆ MAK = ∆ MDH (cạnh huyền - góc nhọn) => MK = MH Do ∆ MKN = ∆ MH N (cạnh huyền - cạnh góc vng) · · KMN = HMN => ĐPCM · · ·AMB = AMD = KMH = HMN · 2 d) Chứng minh ·AMB + ·AMN = HMN · + ·AMN Do = 180° => ĐPCM Chứng minh ∆ ABM = ∆ ACN (c-g-c) => ĐPCM b) Từ kết câu a) chứng minh ∆ BME = ∆ CNF (cạnh huyền - góc nhọn) c) Từ kết câu b) ta có ME = NF, mà AM = AN (do ∆ AMN) => AE = AF Bởi ∆ AEO = ∆ AFO (c.h-c.g.v) => ĐPCM e) Chứng minh ∆ AMH = ∆ ANH f) (cạnh huyền - cạnh góc vng), từ suy g) AH phân giác góc MAN Mặt khác AO phân giác góc MAN nên AH AO trùng hay A, O, H thẳng hàng 77 Trang 77 ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ II I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Xem lại Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài II BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1A Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm cạnh BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh AB = CD AB //CD b) Chứng minh BD// AC c) Chứng minh ∆ ABC = ∆ DCB d) Trên đoạn thẳng AB,CD lấy điểm E, F cho AE = DF Chứng minh, ba điểm E, M, F thẳng hàng 1B Cho tam giác ABC vng A có Bµ = 55° Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Cx vng góc với AC Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB · a)Tính số đo ACB b) Chứng minh ∆ ABC = ∆ CDA AD//BC c) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) CK ⊥ AD (K AD) Chứng minh BH = DK d) Gọi I trung điểm AC Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng đường thẳng AC, HK, BD gặp I 2A Cho ∆ AMN cân A Trên cạnh đáy MN lấy hai điểm B C cho MB = NC a) Chứng minh ∆ ABC cân b) Vẽ MH vuông góc với đường AB Vẽ NK vng góc với đường AC Chứng ∆ minh MBH = ∆ NCK c) Các đường thẳng HM KN cắt O Tam giác OMN tam giác gì? Tại sao? · d) Khi BAC = 60° BM = CN = BC, tính số đo góc tam giác AMN xác định dạng tam giác OBC e) Kẻ AD ⊥ BC (D ∈ BC), biết AB =10 cm, BC = 16 cm Tính độ dài AD 2B Cho góc xOy 100°, tia Oz tia phân giác góc xOy Lấy điểm H thuộc tia Oz, đường thẳng vng góc với OH H cắt tia Ox, Oy A, B a) Chứng minh HA = HB, OA = OB b) Tính số đo góc tam giác OAB · c) Trên tia Oz lấy điểm C cho HBC = 60° Chứng minh tam giác ABC d) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BO Chứng minh AB = OE e) Cho AH = cm Tính độ dài HC II BÀI TẬP VỂ NHÀ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm M cho DM = DA 78 Trang 78 a) Chứng minh AC = BM AC // BM b) Chứng minh ∆ ABM = ∆ MCA c) Kẻ AH ⊥ BC, MK ⊥ BC (H, K ∈ BC) Chứng minh BK = CH d) Chứng minh HM // AK Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm AB, E trung điểm BC Trên tia đối tia DE lấy điểm K cho DK = DE a) Chứng minh ∆ BDE = ∆ ADK AK // BC b) Chứng minh ∆ AKE = ∆ ECA µ c) Cho µA = 65°, C = 55° Tính số đo góc ∆ DAK d) Gọi I trung điểm AE Chứng minh I trung điểm CK Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC M a) Chứng minh ∆ AMB = ∆ AMC b) Kẻ ME ⊥ AB (E ∈ AB),MF ⊥ AC (F ∈ AC) Chứng minh tam giác AEF cân c) Chứng minh AM ⊥ EF d) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng FM I Chứng minh BE = BI · Cho tam giác ABC vuông A, ACB = 30° Tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC M Lấy điểm K cạnh BC cho BK = BA a) Chứng minh ∆ ABM = ∆ KBM b) Gọi E giao điểm đường thẳng AB KM Chứng minh tam giác MEC cân c) Chứng minh tam giác BEC d) Kẻ AH ⊥ EM (H ∈ EM) Các đường thẳng AH EC cắt N Chứng minh KN ⊥ AC Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC cho AD = AE a) Chứng minh BE = CD b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh tam giác KBC cân c) Chứng minh AK tia phân giác góc A d) Kéo dài AK cắt BC H Cho AB =5 cm, BC = cm Tính độ dài AH Cho tam giác ABC có Bµ = 60°, AB = cm, BC = cm Trên cạnh BC lấy điểm D cho BA = BD a) Chứng minh tam giác ABD b) Gợi H trung điểm BD Chứng minh AH ⊥ BD c) Tính độ dài cạnh AC · d) So sánh BAC với 90° HƯỚNG DẪN 1A a) Chứng minh ∆ MAB = ∆ MDC (c-g-c) Từ kết ta có AB = CD · · MAB = MDC =>AB//CD b) Tương tự câu a) Chứng minh ∆ BMD = ∆ CMA 79 Trang 79 c) Dùng kết chứng minh ∆ ABC = ∆ DCB (c-g-c) d) Chứng minh ∆ AEM = ∆ DFM (c-g-c), từ ta có · · · · ·AME = DMF · mà DMF + AMF = 180° => AME + AMF = 180° => ĐPCM · 1B a) ACB = 35° b) chứng minh ∆ ABC = ∆ CDA ( c - g- c) · · => ACB = CAD , từ AD//BC c) Từ kết câu b) chứng minh ∆ AHB = ∆ CKD (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM d) Chứng minh AH // CK ý AH = CK, từ · ∆ IAH = ∆ ICK (c-g-c) => ·AIH = CIK · · => AIH = CIK = 180° => ĐPCM Tương tự với ∆ ABI ∆ CDI suy B,I, D thẳng hàng => ĐPCM 2A a) Ta có ∆ ABM = ∆ CAN (c-g-c) => ĐPCM b) Dùng kết câu a) chứng minh, ∆ BHM = ∆ CKN (cạnh huyền - góc nhọn) · · c) Từ kết câu b) ta có HBM = KCN , từ chứng minh ·OBC = OCB · nên tam giác OBC cân O d) Chú ý tam giác ABM, CAN cân tam giác ABC đều, từ tính ·AMN = ·ANM = 30°; MAN · = 120° · OBC Cũng có = 60° nên tam giác OBC tam giác e) Chứng minh DB = DC = ,từ dùng định lý Py- ta-go tính AD = cm 2B Chứng minh ∆ OHA = ∆ OHB (g-c-g) => ĐPCM · · · b) OAB = OBA = 40°; AOB =100° c) Dùng kết câu a) chứng minh CA = CB, ý · HBC = 60° => ĐPCM · d) Tính OBE = 100°, từ ∆ BOE = ∆ OBA (c-g-c) =>AB = OE e) Ta có AC = AB = 2AH = cm, dùng định lý Py- ta-go tính HC = cm a) Chứng minh 80 Trang 80 ∆ ADC = ∆ MDB (c.g.c) Từ kết · · DAC = DMB ta có AC = BM => AC //BM b) ∆ ABM = ∆ MCA (c-g-c) c) Chứng minh ∆ BKM = ∆ CHA (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM d) Chú ý ∆ HDM = ∆ KDA => ĐPCM ∆ BDE = ∆ ADK (c-g-c) · · = DBE Chú ý DAK => AK // BC b) Chú ý AK = EB = EC, từ ∆ AKE = ∆ ECA (c.g.c) c) Từ kết câu b) chứng minh DE // AC, tính · · · DBE = 60°, BDE = 65°, BED = 55° Suy góc ∆ DAK d) Chứng minh ∆ AIK = ∆ EIC ( c- g-c) => IK= IC · · · · Cũng có AIK = EIC => AIK + AIC = 180° , từ ba điểm K,I,C thẳng hàng => ĐPCM a) ∆ AMB = ∆ AMC ( c- g-c) b) Ta có ∆ AME = ∆ AMF ( cạnh huyền góc nhọn) từ AE = AF => ĐPCM · 180° − BAC · F = ABC · AE = c) Ta có từ EF//BC, mà AM ⊥ BC => ĐPCM · · · · d) Chú ý BIM = 90°, EBM = FCM = IBM chứng minh ∆ BEM = ∆ BIM (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM a) ∆ ABM= ∆ KBM (c-g-c) b) Từ kết câu a) ta có · · MKB = MAB = 90° , MA = MK Bởi ∆ MAE = ∆ MKC (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM c) Từ a) b) suy BE = BA + AE = BK + KC= BC · Lại có EBC = 60° = ∆ ABEC EC d) Chứng minh AE = KC = AE · ý AN // BC => ∆ AEN => NE = AE = => CN = CK, mà KCN = 60° · · => ∆ CKN => CKN = CBE = 60° => KN // AE=> ĐPCM a) Chứng 81 Trang 81 ∆ AEB = ∆ ADC (c-g-c) => BE = CD b) Từ kết câu a) ta có ·ABE = ·ACD · · , mà ABC = ACB nên · · KBC = KCB => ĐPCM c) Từ kết câu b) ta có KB = KC Từ ∆ AKB = ∆ AKC (c-c-c) => ĐPCM d) Chứng minh AH ⊥ BC, HB = HC = 3cm, từ dùng định lý Py-ta-go tính AH = cm a) Do Bµ = 60°, BA = BD nên tam giác ABD b) Chứng minh ∆ AHB = ∆ AHD (c-c-c) => ĐPCM c) Chú ý BD = AB nên tính HB = HD = cm => HC = cm, AH = cm Dùng định lý Py- ta-go tính AC = 19 cm d) Ta có AB2 + AC2 = 23, BC2 = 25, từ tam giác ABC tam · giác vuông BAC góc tù (Trên BC lấy CP = 23 < => P nằm B C, · · PAC = 90° BAC > 90 HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu D Câu B Câu C PHẦN II TỰ LUẬN a) Vì ∆ ABC cân A nên AB =AC ∆ ABH = ∆ ACH (c - c - c) · · => AHB + AHC = 180° · · => AHB = AHC = 90° => AH ⊥ BC Câu C BC b) Ta có HB = HC = = (cm) Áp dụng định lí Pitago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 Từ tính AH = 32 (cm) · · c) Từ a) b) suy BH = CH; IH chung, BIH = CIH = 90° => ∆ BIH = ∆ CIH => IB = IC => ∆ BIC cân I · · · · d) Cách 1: ∆ BIH = ∆ CIH nên BIH = CIH = AIM = AIN · · Mà NM//BC nên IH ⊥ BC IA ⊥ NM hay = IAN = IAM = 90° 82 Trang 82 ∆ NAI = ∆ MAI (c.g.c) nên AN = AM mà A, M, N thẳng hàng nên A trung điểm MN, · · Cách 2: Ta có MN// BC => AMB = MBC ; · · · · = ABM Mà MBC = ABM Do AMB => ∆ ABM cân A => AB = AM (1) · · Chúng minh ACN = BCN , ∆ ANC cân A =>AN = AC (2) Hơn AB = AC (3 Từ (1), (2) (3) suy AM = AN Mà N, A, M thẳng hàng Do A trung điểm MN e) Chứng minh cặp tam giác vuông ∆ IBE = ∆ IBH ∆ ICF = ∆ ICH =>IE = IH = IF · · f) Cách Ta có MN// BC nên AMC + HCM = 180° · · · · · Mà AMC = ACM; HCM = HCI + ICF = 2.ICF ; Do 180° · · · · 2.ACM + 2.ICF = 180° => ·ACM + ICF = => ICM = 90° Vậy IC ⊥ MC Cách Theo câu d) AM = AB = AC = AN µ · Suy ∆ NAM cân A => N = ACN ; · ∆ MAC cân A => ·AMC = ACM ; µ · · · · Suy N + AMC = ACN + ACM = NCM Vậy ∆ MCN vuông C 83 Trang 83 ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II Thời gian làm đề 45 phút ĐỀ SỐ l PHẨN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỀM) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Hai tam giác chúng thỏa mãn điều kiện sau: A Có cặp cạnh hai cặp góc B Có ba góc C Có cặp góc cặp cạnh D Có cặp cạnh hai cặp góc kề với cạnh Câu Cho ∆ ABC = ∆ MNP, Pµ = 60°, µA = 50° Tính số đo góc B ? Kết sau đúng? A Bµ = 60° B Bµ = 70° C Bµ = 80° D Bµ = 90° Câu Cho tam giác ABC vng B có AB = 6cm, BC = 8cm Độ dài cạnh AC là: A cm B cm C 10 cm D cm Câu Cho tam giác ABC có AB = AC Tam giác ABC không tam giác thỏa mãn điều kiện: A Bµ = 60° B AB = BC C AB < BC D µA = 60° PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Cho ∆ ABC cân A, AB > BC, H trung điểm BC a) Chứng minh: ∆ ABH = ∆ ACH Từ suy AH vng góc với BC b) Tính độ dài AH BC = cm, AB = cm c) Tia phân giác góc B cắt AH I Chứng minh tam giác BIC cân d) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia BI, CI M, N Chứng minh A trung điểm đoạn thẳng MN e) Kẻ IE vng góc với AB E, IF vng góc với AC F Chứng minh IH = IE = IF f) Chứng minh: IC vng góc với MC (Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận: 1,0 điểm) HƯỚNG DẪN Bài a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng; Bài 84 Trang 84 Vì ∆ MNP cân M (GT) µ µ nên N = P = 50° Trong ∆ MNP có tổng ba góc ¶ 180° nên M = 80° Bài a) Vì AH ⊥ BC H (GT) nên ·AHB = ·AHC = 90° ∆ ABH = ∆ ACH (cạnh huyền cạnh góc vng) Suy HB = HC nên H trung điểm BC BC 12 = = 6(cm) b) Ta có HB = HC = Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm) c) Vì HK ⊥ AC K nên ·AKH = ·AKE = 90° Do ∆ AKH = ∆ AKE (cạnh - góc - cạnh) => AH = AE d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do AD = AE => ∆ ADE cân A Gọi giao điểm, AH DE F, chứng minh ∆ DAF = ∆ EAF nên AH ⊥ DE F Suy DE / / BC e) Ta có AD = AE nên để A trung điểm DE phải có D,A, E thẳng · hàng hay DAE = 180° Chú ý rằng: · · · · DAB = BAH = CAH = CAE · · · · · DAB + BAH + CAH + CAE = DAE Do · · · · · DAB = BAH = CAH = CAE = 180° : = 45° => BAC = 90° Do ∆ ABC tam giác vng cân A ĐỀ SỐ Bài (2,0 điểm) Các câu sau, câu đúng, câu sai? a) Góc ngồi tam giác lớn góc tam giác b) Nếu ∆ ABC ∆ DEE có AB = DF, BC = EF, AC = DE ∆ ABC = ∆ DEF c) Tam giác cân có góc 60° tam giác d) Nếu ∆ ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm ∆ ABC vng B Bài (1,0 điểm) Cho ∆ MNP cân M có Pµ = 50° Tính góc lại ∆ MNP Bài (7,0 điểm) Cho ∆ ABC có AB=AC = l0cm, BC = l2cm Kẻ AH ⊥ BC H 85 Trang 85 a) Chứng minh ∆ ABH = ∆ ACH Từ suy H trung điểm đoạn thẳng BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Kẻ HI ⊥ AB I HK ⊥ AC K Vẽ điểm D E cho I, K trung điểm HD HE Chứng minh: AE = AH d) Tam giác ADE tam giác gì? Vì sao? Chứng minh DE // BC e) Tìm điều kiện ∆ ABC để A trung điểm DE HƯỚNG DẪN Bài a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng; Bài Vì ∆ MNP cân M (GT) µ µ nên N = P = 50° Trong ∆ MNP có tổng ba góc ¶ 180° nên M = 80° Bài a) Vì AH ⊥ BC H (GT) nên ·AHB = ·AHC = 90° ∆ ABH = ∆ ACH (cạnh huyền cạnh góc vng) Suy HB = HC nên H trung điểm BC BC 12 = = 6(cm) b) Ta có HB = HC = Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm) c) Vì HK ⊥ AC K nên ·AKH = ·AKE = 90° Do ∆ AKH = ∆ AKE (cạnh - góc - cạnh) => AH = AE d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do AD = AE => ∆ ADE cân A Gọi giao điểm, AH DE F, chứng minh ∆ DAF = ∆ EAF nên AH ⊥ DE F Suy DE / / BC e) Ta có AD = AE nên để A trung điểm DE phải có D,A, E thẳng · hàng hay DAE = 180° Chú ý rằng: · · · · DAB = BAH = CAH = CAE · · · · · DAB + BAH + CAH + CAE = DAE Do · · · · · DAB = BAH = CAH = CAE = 180° : = 45° => BAC = 90° ∆ Do ABC tam giác vuông cân A 86 Trang 86 ... 3A Ta có a //b nên B1 = A1 = 75 ° (hai góc đồng vị) µ µ =B µ A3 = µA1 = 75 °; B =75 (cp gúc i nh) ả Lại có A1 + A2 = 18 0° (hai góc kề bù) ¶ => A2 = 18 0°- 75 ° = 10 5° ¶ = ¶A B = 10 5° (hai góc đồng... Tính được: M = M =11 0°; M = M = 70 °; N = N = 95° ¶ ¶ N1 = N3 = 85°; ¶ =B ¶ = 75 °  ¶A2 = ¶A4 = B  µ µ µ µ 3A Tính  A1 = A3 = B1 = B3 = 18 0° − 75 ° = 10 5° 3B a) Tương tự 1A µ =P µ =Q ¶ =Q ¶... xAn = xAt = 2 12 0° = 60° (2) · · xOm = xAn Từ (1) (2) suy Do Om // An 3B Tương tự 3A µ µ µ µ 4A Tính được: L1 = T2 = 42°; T1 = T3 = 18 0° - 42° = 13 8° µ Tính B1 = 18 0° -10 8° = 72 ° 5A Kẻ Oz' tia