Đang tải... (xem toàn văn)
AB => Bµ > Cµ , góc ngồi đỉnh B nhỏ góc ngồi đỉnh C µ , góc ngồi đỉnh E nhỏ góc Ta có DE < DE => Fµ < E ngồi đỉnh F Vì AB < AC nên ·ACB < ·ABC · Lại có DBC = 90° − ·ABC · ECB = 90° − ·ABC , từ ta có · · DBC > ECB Trang 3B Vì AB < AC nên ·ACB < ·ABC , với ·ABC ·ACB · · ý IBC = , ICB = 2 · · Từ ta có IBC > ICB µ = 60°, C µ = 60°, Q µ AC < AB < BC B µ µA = 90° > Cµ BK < BC 5B 6A 6B Tương tự 5A, ta có MP < MQ · · Áp dụng 3A, ta có HBC => HB < HC > HCB · · Dùng kết 3B, ta có IBC => IB < IC > ICB 2 2 2 Mà HB = IB - IH , HC = IC - IH Suy HB < HC µA => AB > BC 10 Ta có AB < AC => ·ABC > ·ACB · Chú ý HAB = 90° − ·ABC · HAC = 90° − ·ACB , từ ta có · · HAB < HAC 11 · BAC Chú ý: ·ADB = ·ACB + · ·ADC = ·ABC + BAC Mà AB < AC => ·ABC > ·ACB nên ·ADB < ·ADC Trang 12 · · Tính DBC = 40°, BDC = 110° · DCB = 30° , từ ta có DB < DC < BC 13 · · Ta có DCM < BCA = 60° · Chú ý BMC góc ngồi tam giác ·AMC nên BMC · · > BAC = 60° · · · Do BMC > MBC > MCB MB < MC < BC 14 a) Ta có ∆ ABD = ∆ HBD (cạnh huyền - góc nhọn), từ BA = BH b) Chứng minh DA = DH, lại có tam giác DHC vng H nên DH < DC => DA < DC 15 · Chú ý DEC góc ngồi tam giác · · DAC nên DEC > DAC > 90° => DE < DC · · Tương tự ta có BDC > DAC > 90° => DC < BC, DE < DC < BC 16 Do Bx nằm BA BC nên · DBC < ·ABC , ý D nằm tam giác ABC nên CA nằm CD · CB, DCB > ·ACB · · Từ DCB > DB DCB =>DC < DB > DBC 17* Trên cạnh AC lấy điểm E cho AB = AE, chứng minh ∆ ABD = ∆ AED (c.g.c) Trang · · => DEC > xBD > ·ACB DB = DE Từ DB = DE < DC 18* Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD, chứng minh ∆ MAB = ∆ MDC (c.g.c) · · => , ý MAB = MDC · · CD = AB < AC => MAC < MDC · · Do MAB > MAC CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Quan hệ đường vng góc đường xiên Định lý Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn AH ⊥ a => AH < AC, AH < AD (Với C, D điểm thuộc a) Quan hệ đường xiên hình chiếu Định lý Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng Trang đến đường thẳng đó: • Đường xiên có hình chiếu lớn lớn AH ⊥ a, HD > HC => AD > AC • Đường xiên lớn có hình chiếu lớn AH ⊥ a, AD > AC => HD > HC • Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên AB = AC HB = HC (hình vẽ) II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng So sánh hai đường xiên hai hình chiếu Phương pháp giải: Vận dụng Định lý 1A Cho tam giác ABC có AB BN không? 2B Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, N (M nằm A, N) So sánh độ dài BM, BN, BC 3A Cho tam giác ABC có AB > AC Kẻ AH vng góc với BC H, điểm D thuộc đoạn AH So sánh: a) DB DC; b) DB AB 3B Cho tam giác MNP có MN < MP Kẻ MK vng góc với NP K Trên tia đối tia MK lấy điểm Q So sánh độ dài QN QP, Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên Phương pháp giải: Sử dụng định lý đường vng góc ngắn đường xiên (từ điểm đến đường thẳng) 4A Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C (BD khơng vng góc với AC) Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A C đến đường thẳng BD So sánh AC với tổng AE + CF 4B Cho tam giác ABC, điểm M nằm B C Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ M đến đường thẳng AB AC So sánh BC tổng MH + MK Cho tam giác ABC không vng Kẻ BD vng góc với AC D, kẻ CE vng góc với AB E Chứng minh BD + CE < AB + AC III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho tam giác ABC vuông B Trên cạnh BC lấy điểm D E (D nằm B E) a) So sánh độ dài đoạn thẳng AB, AD, AE, AC b) Vẽ BI, BK, BH vng góc với AD, AE, AC So sánh góc Trang ABH, ABK, ABI Cho tam giác OMN vuông O Lấy điểm P cạnh OM, điểm Q cạnh ON Chứng minh PQ < MQ < MN Cho tam giác ABC cân A Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, điểm D thuộc cạnh BC (D khác H) Chứng minh AH < AD < AB Cho tam giác ABC có Bµ Cµ góc nhọn Gọi D điểm thuộc cạnh BC, gọi H K chân đường vng góc kẻ từ B c đến đường thẳng AD So sánh: a) BH BD Có BH BD không? b) HC BK BD < 10 Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A C đến đường thẳng BM a) Chứng minh ME = MF b) So sánh AB 11 BC BE + BF Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CB lấy điểm D a) So sánh AD AB b) Vẽ BE ⊥ AC DF ⊥ AB So sánh BE DF HƯỚNG DẪN 1A 1B Đường xiên AB < AC nên hình chiến HB < HC Đường xiên MN < MP nên hình chiếu KN < KP 2A Hình chiếu AM < AB nên đường xiên MN < BN Hình chiếu AN < AC nên đường xiên BN < BC Bởi MN < BN < BC b) Khơng M B khác 2B Tương tự 2A, ý: AM < AN < AC 3A a) Đường xiên AB > AC nên hình chiếu HB > HC Hình chiếu HB > HC nên đường xiên DB > DC b) BA BD có hình chiếu AH DH Mà AH > BH => BA > BD Trang 3B Tương tự 3A, ý KN < KP 4A AE đường vng góc, AD đường xiên nên AE < AD CF đường vng góc, CD đường xiên nên CF < CD Do AE + CF < AD + CD = AC 4B Tương tự 4A, ý MH < MB, MK < MC Chứng minh được: BD < AB, CE < AC Do BD + CE < AB + AC a) Tương tự 2B, ta có: AB < AD < AE < AC b) Chứng minh ·ADB > ·AEB > ·ACB Mà ·ADB = ·ABI ; ·AEB = ·ABK ; ·ACB = ·ABH Suy ·ABH < ·ABK < ·ABI · · Do = POQ 90° nên MPQ góc tù · Xét ∆ MPQ có MPQ lớn nên MQ > PQ · Xét ∆ MQN có MQN tù nên MN > MQ Ta có AH < AD (quan hệ đường vng góc, đường xiên) Nếu D thuộc đoạn HC => HD < HC, AD < AC = AB Nếu D thuộc đoạn HB => HD < HB => AD < AB Bởi AH < AD < AB a) Ta có BH ≤ BD (đương vng góc ngắn đường xiên) BH = BD H ≡ D AD ⊥ BC b) Xét ∆ MPQ có BK2 = BH2 + HK2 Xét ∆ CHK có CH2 = CK2 + HK2 Mà BD < 10 BC nên BH < CK Vậy BK < HC a) Chứng minh ∆ MAE = ∆ MCF (ch- gn) => ME = MF Trang b) Do ME = MF nên BE + BF = BM - ME + BM + MF = 2BM Mặt khác AB < BM => AB < 11 BE + BF a) Kẻ AH ⊥ BC H Ta có AB = AC => HB = HC Lại có D thuộc tia đối tia CB Vậy HD > HC =HB => AD > AB b) Diện tích ∆ ABC = Diện tích ∆ ABD = AH BC; AH.BD Mà BC < BD Suy Diện tích ∆ ABC < Diện tích ∆ ABD Lại có: 1 AC.BE; Diện tích ∆ ABD = AB.DF 2 1 Suy AC.BE < AB.DF Từ đó, ta có: BE < DF 2 Diện tích ABC = CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong tam giác, độ dài cạnh lớn giá trị tuyệt đối hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại Cụ thể: |AB - AC| < BC < AB + AC II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Khẳng định có tồn hay không tam giác biết độ dài ba cạnh Phương pháp giải: - Tồn tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c nếu: a < b + c b < a + c |b - c | < a < b + c c < a + b - Trong trường hợp xác định a số lớn ba số a, b, c điều kiện để tồn tam giác cần: a < b + c 1A Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam giác? a) cm; 10 cm; 12 cm, b) m; m; m Trang c) m; m; m 1B Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam giác? a) cm; cm; cm b) m; m; m c) m; 10 m; 15 m 2A Một tam giác cân có cạnh cm Tính hai cạnh lại, biết chu vi tam giác 20 cm 2B Tính chu vi tam giác cân biết độ dài hai cạnh 3,9 cm 7,9 cm 3A Cho tam giác ABC có BC = cm, AC = cm Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài số nguyên (cm) 3B Cho tam giác MNP có MN = m, NP = m, độ dài cạnh MP số nguyên Tính độ dài MP Dạng Chứng minh bất đẳng thức độ dài Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác biến đổi bất đẳng thức - Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a< b => a + c < b + c - Cộng vế hai bất đẳng thức chiều: a < b => a + c < b + d c < d 4A 4B 5A tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB a) So sánh MC với AM + AC b) Chứng minh MB + MC < AB + AC Cho tam giác ABC, tia đối tia AC lấy điểm K a) So sánh AB với KA + KB b) Chứng minh AB + AC < KB + KC Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác a) So sánh MB + MC với BC b) Chứng minh MA + MB + MC > 5B Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC a) So sánh AD với BA + BD b) Chứng minh AD < 6A 6B III 10 AB + BC + CA AB + BC + CA Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BA Chứng minh DC > AB Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CA lấy điểm D Chứng minh DB > DC BÀI TẬP VỀ NHÀ Có hay khơng tam giác với độ dài cạnh a) m; m; m? b) cm; cm; 10 cm? Tìm chu vi tam giác cân, biết hai cạnh bằng: a) cm cm; b) cm cm Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, độ dài cạnh BC số nguyên Tính độ dài BC Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác, tia BO cắt cạnh AC Trang 10 · SMR = 25° 3B a) Chú ý I trực tâm ∆ ABC · b) Tính ·AIE = 50°, DIE = 130° 4A Chú ý AB ⊥ AC, từ DK ⊥ AC Bởi K trực tâm ∆ ADC, suy AK ⊥ CD 4B 5A Chú ý Q trực tâm ∆ PNO a) Gọi S giao điểm PQ · · NR Tính SPR = SRP = 45° , từ PQ ⊥ NR b) Từ kết ý a, ta có Q trực tâm ∆ PNR => RQ ⊥ NP 5B 6A · · a) Chú ý FEC = FCE = 45° ∆ BDF vuông cân b) Dùng kết ý a, để có D trực tâm ∆ EBC Từ CD ⊥ BE Chú ý AD đường cao ∆ ABC, từ H trực tâm ∆ ABC suy CH ⊥ AB 6B 7A Tương tự 6A, chứng minh K trực tâm ∆ MNP Chú ý H trực tâm ∆ ABC, từ AH vừa đường cao vừa đường phân giác 7B 8A 8B Tương tự 7A, chứng minh AI đường trung tuyến ∆ ABC, từ IE = IF Chú ý tam giác ABD cân B nên BM đường phân giác đường Cao, từ BM ⊥ AD b) Chú ý AK, BM, DH ba đường cao ∆ AMD a) Chứng minh ∆ ABD = ∆ AED(c.g.c) Từ ·AED = 90° => DE ⊥ AC b) Chú ý AB, ED, CF Trang 61 ba đường cao ∆ ADC 10 11 12 13 14 Học sinh tự làm a) Tương tự 3A · b) OS cắt MN Q, ý ∆ ONQ vng, từ OSK = 70° Tương tự 6A, chứng minh M trực tâm ∆ ABC · Tính BAC = 180° - 140° - 40° => ·ABM = 90° - 40° = 50° · Suy BMD = 40° Chú ý AM đường cao, từ dùng Định lý Pytago tính AM = 12 cm a) Tam giác ABE cân B có BI phân giác nên đường cao, từ BI ⊥ AE Tương tự CI ⊥ AD b) Từ kết ý a, chứng minh I trực tâm ∆ AMN, từ AI ⊥ MN Ta có tam giác AMN cân A, AE ⊥ MN Từ d, MD, AE ba đường cao ∆ AMP, chúng đồng quy Chú ý: Điểm P M N chứng minh khơng thay đổi 15 Dùng tính chất đường trung bình cho ∆ AHB ta có: MN // AB => MN ⊥ AC Chứng minh N trực tâm ∆ AMC, từ dẫn đến AM ⊥ CN ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ Trang 62 I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xem phẩn Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài II BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1A Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = AB Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = AC So sánh: a) ·ADC ·AEB ; b) AD AE 1B Cho tam giác ABC có góc A tù, AB < AC Trên cạnh BC lấy M N cho BN = BA, CM = CA a) So sánh ·AMC ·ANB b) So sánh AM AN c) Cho biết ·ABC = 40°, ·ACB = 30° Tính ba góc ∆ AMN 2A Cho tam giác ABC, trung tuyến AM trọng tâm G Trên tia đối tia BC lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho BE = CF a) Chứng minh G trọng tâm tam giác AEF b) Gọi N trung điểm AF Chứng minh ba điểm E, G, N thẳng hàng c) Gọi H trung điểm GA, I trung điểm GE Chứng minh IH // MN IH = MN 2B Cho tam giác ABC, trung tuyên AM Trên tia đối tia MA lấy D cho MD = MA a) Chứng minh AB // CD AB = CD b) Gọi E F trung điểm AC BD AF cắt BC I, DE cắt BC K Chứng minh I trọng tâm tam giác ABD, K trọng tâm tam giác ACD c) Chứng minh BI = IK = KC d) Chứng minh E, M, F thẳng hàng 3A Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy M cho BM = BA Trên tia đối tia CB lấy N cho CN = CA Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt P · a) Chứng minh MA tia phân giác PMB , NA tia phân giác · PNC · b) Chứng minh PA tia phân giác MNP c) Gọi D trung điểm AM, E trung điểm AN, đường thẳng BD, CE cắt Q Chứng minh QM = QN d) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng 3B Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B đường phân giác C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC E, F Trang 63 a) Chứng BEI, CFI tam giác cân b) Chứng minh BE + CF = EF c) Gọi M trung điểm IB, N trung điểm IC, đường thẳng EM, FN cắt O Chứng minh OB = OC d) Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng 4A Cho tam giác ABC cân A ( µA < 90°), đường phân giác AD Kẻ đường cao BE, gọi H giao điểm BE AD a) Chứng minh CH ⊥ AB b) Gọi F giao điểm CH AB Chứng minh AD trung trực EF c) Kẻ EI ⊥ HC, FJ ⊥ HB với I ∈ HC, J ∈ HB Chứng minh đường thẳng EI, FJ,AD qua điểm, kí hiệu điểm O d) Chứng minh AC - AF > OF - OC 4B Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Kẻ DE vng góc với BC E a) Chứng minh DA = DE b) Chứng minh BD trung trực AE c) Kẻ CK vng góc với BD K, đường thẳng CK, BA cắt F Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng d) Chứng minh BC - BA > DC - DA III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh AB = CD, AB // CD · · b) So sánh MAB MAC c) So sánh ·AMB ·AMC Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy E cho AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy D cho BD = BC a) Chứng minh A trọng tâm ∆ CDE b) Gọi F trung điểm DE Chứng minh ba điểm C, A, F thẳng hàng c) Chứng minh BE + CF > EC Cho tam giác ABC, đường phân giác Bµ Cµ cắt I Kẻ ID ⊥ AB, IE ⊥ AC với D ∈ AB, E ∈ AC a) Chứng minh ∆ ADE cân A b) Chúng minh AI trung trực DE · · c) Biết BAC = 60° Tính số đo BIC Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE a) Chứng minh ∆ ADE cân A · b) Chứng minh AM tia phân giác DAE c) Kẻ BH ⊥ AD, CK ⊥ AE với H ∈ AD, K ∈ AE Chứng minh · · DBH = ECK Trang 64 d) Gọi N giao điểm HB KC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng Cho tam giác ABC cân A ( µA < 90°), kẻ đường phân giác AD Trên tia đối tia DC lấy điểm M cho MD = AD a.) Chứng minh ∆ DAM vuông cân D b) Kẻ BN vng góc với AM N, đường thẳng BN AD cắt O Chứng minh OM ⊥ AB c) Chứng minh OB = OC d) Chứng minh AM // OC 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH đường phân giác BD · cắt I Tia phân giác HAC cắt cạnh BC E a) Chứng minh ∆ BAE cân B b) Chứng minh I trực tâm ∆ ABE, c) Chứng minh EI //AC d) Cho biết ·ACB = 40° Tính góc ∆ IAE 11 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M cho BA = BM · a) Chứng minh AM tia phân giác HAC b) Gọi K hình chiếu vng góc M AC Chứng minh AM trung trực HK c) Gọi I hình chiếu vng góc C tia AM Chứng minh AH, KM, CI đồng quy d) Chứng minh AB + AC < AH + BC 12* Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AD Vẽ điểm M cho AB trung trực DM, vẽ điểm N cho AC trung trực DN a) Chứng minh ∆ AMN cân A b) Đường thẳng MN cắt AB, AC F, E Chứng minh DA · tia phân giác EDF · c) Chứng minh EB tia phân giác DEF d) Chứng minh BE ⊥ AC e) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy HƯỚNG DẪN 1A a) Chú ý tam giác BAD, CAE cân, từ ta có · · ·ADC = ABC , ·AEB = ACB 2 Lại có AB < AC => ·ABC > ·ACB => ·ADC > ·AEB b) Dùng kết ý a, ·ADC > ·AEB =>AD < AE Trang 65 1B a) Chú ý tam giác BAN, CAM · ACB cân, từ ·AMC = 90° − · ·ANC = 90° − ABC 2A Mà AB < AC => ·ABC > ·ACB => ·AMC > ·ANB b) Dùng kết ý a, ·AMC > ·ANB =>AM < AN · c) ·ABN = 40° => ·ANB = 70°.·ACM = 30° => AMC = 75° · Vậy MAN = 35° a) Ta có ME = NF nên AM đường trung tuyến ∆ AEE, ý AG = 2GM => G trọng tâm ∆ AEF b) EN đường trung tuyến ∆ AEF nên EN qua G, E,G,N thẳng hàng c) Ta có GH = GM = GI = GN= 2B GA GE Từ ta chứng minh được: ∆ GMN= ∆ GHI ( c-g-c) => IH = MN, IH //MN a) Chứng minh ∆ AMB = ∆ DMC (c-g-c) =>AB = CD, AB//CD b) Chú ý AF, BM đường trung tuyến ∆ ABD DE, CM đường trung tuyến ∆ ACD => ĐPCM c) Dùng kết ý b, ta có 2 MB = MC = CK 3 1 Lại có IK = MI + MK = MB + MC = MB=> ĐPCM 3 d) ME đường trung bình ∆ ABC => EM //AB MF đường trung bình ∆ BDA => EM //AB BI = 3A Vậy E, M, F thẳng hàng a) Chứng minh được: · ·AMB = BAM = ·AMP · = ·ANP ·ANC = CAN Từ MA tia phân giác · · , NA tia phân giác PNC PMB b) Xét ∆ PMN, dùng kết câu a, · ta có PA tia phân giác MPN c) Chú ý tam giác ABM cân B, tam giác ACN cân C, BD CE trung trực AM Trang 66 3B 4A 4B AN=> QM = QA = QN d) Gọi Ax tia đối tia AP, chứng minh · · · · · => PA phân giác BAC xAB = MPA = NPA = xAC Xét ∆ ABC, ý BD, CE đường phân giác · đỉnh B, C => AQ phân giác BAC Từ ba điểm P,A,Q thẳng hàng · · · Ta có EIB = IBC = EBI · · · Từ BEI,CFI FIC = ICB = FCI tam giác cân E F b) Dùng kết ý a, ta có: EF = IE + IF = BE + CF c) Chú ý EM, FN trung trực IB, IC, từ OB = OI = OC c) Xét ∆ AEF, ý EO, BO d) đường phân giác · e) đỉnh E, F => AO phân giác BAC · Mà AI phân giác BAC A, I, O thẳng hàng a) Chứng minh H trực tâm ∆ ABC => CH ⊥ AB b) Ta có ∆ AEB = ∆ AFC (ch - gn) Từ suy AE = AF Do ∆ AEF cân, ý AD phân giác µA => AD trung trực đoạn thẳng EF c) Chú ý EI , FJ, AD ba đường cao ∆ EHF d) Chú ý: AF = AE, FO = OE Vậy AC - AF = EC > OF - OC a) Chú ý ∆ BAD = ∆ BED (ch - gn) Từ DA = DE b) Vì BA = BE, DA = DE nên BD trung trực AE c) Chứng minh D trực tâm ∆ FBC, từ FD ⊥ BC, lại có DE ⊥ BC => E, D, F thẳng hàng d) Chứng minh được: BC - BA = EC > DC - DE = DC - DA a) Chứng minh ∆ AMB = ∆ DMC (c-g-c) Từ suy AB = CD, AB // CD · · b) Chú ý MAB = MDC CD = AB < AC · · · Từ ta có MAB = MDC > MAC µ µ c) Dùng kết ý a, ý B > C => ·AMB < ·AMC a) Chú ý BE đường trung tuyến ∆ CED AE = 2AB, từ A Trang 67 trọng tâm ∆ CDE b) Ta có CF đường trung tuyến ∆ CDE => C, A, F thẳng hàng c) Chứng minh BE + CF = 3 (AE + AC) > EC 2 a) Chứng minh AI tia · phân giác BAC , từ ta có: ∆ AID = ∆ AIE (ch - gn) => AD = AE => ĐPCM b) Ta có ∆ ADE cân A có AI · phân giác DAE => AI trung trực DE ·ABC + ·ACB · · c) Ta có IBC + ICB = = 60° 10 · từ BIC = 120° a) Chứng minh MD = ME AM ⊥ BC => ∆ ADE cân A (AM vừa đường cao vừa đường trung tuyến) b) Dùng kết ý a, ta có · AM tia phân giác DAE · · c) Chú ý HDB => ĐPCM = KEC d) Dùng kết ý c, chứng minh NB = NC, ý AB = AC nên AN trung trực BC, từ ba điểm A, M, N thẳng hàng a) Chứng minh AD ⊥ BC, mà DM = DA nên ∆ DAM vuông cân D b) Chứng minh B trực tâm ∆ AOM, từ OM ⊥ AB c) Ta có AD trung trực BC, từ suy OB = OC · · d) Tính OBC = 45° = MBN · Từ BOC = 90° => OC ⊥ ON => AM //OC · · a) Chú ý HAE , từ = EAC · · chứng minh BAE = BEA nên ∆ BAE cân B b) Dùng kết ý a, với ý BI phân giác ·ABE suy BI ⊥ AE Từ I trực tâm ∆ ABE c) Dùng kết ý b, ta có IE ⊥ AB => IE //AC Trang 68 11 12 · · · d) ·ACB = 40° => HAC = 90° − 40° = 50° => IAE = IEA = 25° Suy ·AIE = 180° - 50° = 130° · · a) Chú ý BAM = BMA · · Từ CAM = HAM nên AM · tia phân giác HAC b) Dùng kết ý a, chúng minh AH = AK, MH = MK Do AM trung trực HK c) Chú ý AH, KM, CI ba đường cao ∆ MAC d) Chú ý AH = AK, AB = BM, từ ta có: AC - AH = CK < CM = BC - BA => AB + AC < AH + BC a) Vẽ DH ⊥ AB lấy HM = HD Suy AB trung trực DM Thực tương tự với N Dùng tính chất đường trung trực, ta có: AM = AD = AN Từ ta có ∆ AMN cân A b) Chứng minh được: ·ADE = ·ANE , ·ADF = ·AMF Mặt khác dùng kết ý a, ta có ·AME = ·ANF Từ DA phân giác · EDF c) Do DB ⊥ DA nên DB đường phân giác đỉnh D ∆ DEF Vậy B cách hai cạnh DF ED Do FB phân giác đỉnh F ∆ DFE nên B cách FE DF · Suy B cách FE DE, EB phân giác DEF d) Chú ý EB, EC đường phân giác phân giác đỉnh E ∆ DEF, từ BE ⊥ AC e) Tương tự ý d, ta có CF ⊥ AB, AD, BE,CF ba đường cao ∆ ABC, từ chúng đồng quy Trang 69 ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ Thời gian làm cho đề 45 phút ĐỀ SỐ l PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Khoanh vào chữ cáỉ đứng trước câu trả lời đúng; Câu Độ dài hai cạnh tam giác cm 10 cm Trong số đo sau đây, số đo sau độ dài cạnh thứ ba tam giác đó? A cm B cm C cm D cm Câu Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Gọi G điểm nằm A D cho AG = AD Tia BG cắt AC E, tia CG cắt AB F Khẳng định sau sai? BG =2 EG FG = C CG A Câu B E trung điểm cạnh AC D F trung điểm cạnh AB µ +C µ Hai đường phân giác góc A Cho tam giác ABC có µA = B · góc C cắt O Khi số đo BOC bằng: A 85° B 90° C 135° D 150° Trang 70 Tam giác ABC có góc A tù, Bµ > Cµ Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A BC >AC >AB B AC >AB >BC C BC >AB > AC D AB > AC > BC Câu Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vng góc AH đường xiên AB,AC đến đường thẳng d (H, B, C thuộc d) Biết HB < HC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau: A AB > AC B AB < AC C AB = AC D AH > AB Câu Cho góc xOy có số đo 60° Điểm M nằm góc cách Ox, Oy khoảng cm Khi đoạn thẳng OM bằng: A cm B cm C cm D cm Câu Trên đường trung trực đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M,N Khi khẳng định sau đúng? · A ·AMN ≠ BMN B ∆ AMN = ∆ BMN · · · · C MAN D MNA ≠ MBN ≠ MNB Câu Cho tam giác ABC vuông A Gọi P, Q, K trung điểm ba cạnh AB, AC, BC Gọi O giao điểm ba đường phân giác ∆ ABC Khỉ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là: A O B P C Q D R PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Bài (2,5 điểm) Cho ∆ ABC cân A có AD đường phân giác a) Chứng minh ∆ ABD = ∆ ACD b) Gọi G trọng tâm ∆ ABC Chứng ba điểm A, D, G thẳng hàng c) Tính DG biết AB = 13 cm, BC = 10 cm Bài (3,5 điểm) Cho ∆ ABC Gọi E, F trung điểm AB,AC Trên tia đối tia FB lấy P cho PF = BF Trên tia đối tia EC lấy điểm Q cho QE = CE a) Chứng minh A trung điểm PQ b) Chứng minh BQ // AC CP // AB c) Gọi R giao điểm hai đường thẳng PC QB Chứng minh chu vi ∆ PQR hai lần chu vi ∆ ABC d) Chứng minh AR, BP,CQ đồng quy điểm Câu HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu D Câu B Câu C Câu C Câu C Câu B Câu A Câu D PHẦN II TỰ LUẬN Bài a) ∆ ABD = ∆ ACD (c.g.c) Trang 71 b) ∆ ABD = ∆ ACD => BD = CD nên AD đường trưng tuyến Do G trọng tâm nên G ∈ AD Vậy A, D, G thẳng hàng c) Ta có: BD = 1 BC = 10 = 5cm 2 Do tam giác ABC cân A nên trung tuyến AD đồng thời đường cao, ∆ ABD vng D Theo định lí pytago: AB2 = AD2 + BD2 => AD = 12 cm Vì G trọng tâm ∆ ABC nên DG = 1 AD = 12 = cm 3 Bài a) ∆ AEQ = ∆ BEC (c.g.c), suy ra: AQ = BC AQ// BC Tương tự, ta có: AP = BC AP//BC Từ suy AP = AQ A, P, Q thẳng hàng Vậy A trung điểm PQ · b) ∆ BEQ = ∆ ABC (c.g.c) => BDE = ·ACE => BQ // AC Tương tự ta có: CP // AB c) Chứng minh ∆ APC = ∆ CBA (g.c.g) Chứng minh ∆ APC = ∆ BCR (g.c.g) Từ đó, suy AB = CP = CR nên PK = 2AB Tương tự, ta có QR = AC Từ câu a), suy PQ = 2BC Vậy chu vi ∆ PQR hai lần chu vi ∆ ABC d) ∆ PQR có RA, PB, QC đường trung tuyến nên AR, BP, CQ đồng quy Trang 72 ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Câu (1,0 điểm) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai? A Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn B Trong tam giác, cạnh đối diện với góc nhọn cạnh nhỏ C Trong tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn D Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc tù Cân (1,0 điểm) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: µ = 40°, E = 60° thì: a) Tam giác DEF có D A DF < EF < DE B EF < DF < DE C DE < EF < DF C EF < DE < DF b) Trực tâm tam giác thường là: A Giao điểm đường trung tuyến tam giác B Giao điểm đường trưng trực tam giác C Giao điểm đường cao tam giác D Giao điểm đường phân giác tam giác PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Cho tam giác ABC vuông B, BC < BA Lấy điểm E cho B trung điểm CE a) Chứng minh AB tia phân giác góc CAE b) Vẽ CM vng góc với AE M, CM cắt AB H Vẽ HN vng góc với CA N Chứng minh ∆ MAN cân MN song song với CE c) So sánh HM HC d) Tìm điều kiện ∆ ABC để ∆ CMN cân N HƯỚNG DẪN Trang 73 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Câu A Đúng B Sai C Đúng D Sai Câu a) B b) C PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) HS tự ghi giả thiết, kết luận a) Chứng minh được: ∆ ABC = ∆ ABE (c.g.c) · · Suy CAB = EAB · Vậy AB tia phân giác CAE b) Chứng minh được: ∆ AHM = ∆ AHN (ch- gn) Suy AM = AN Do ∆ AMN cân A · Mà AB phân giác EAC nên AB ⊥ MN, Khi MN song song với CE (cùng vng góc vói I) c) Do ∆ AHM = ∆ AHN nên HN = HM Mặt khác, tam giác vng CNH có HC > HN Do HC > HM · · d) ∆ CMN cân N NCM = NMC · · Mà MN // CE nên NMC (so le trong) = MCE · · Suy NCM = MCE Chứng minh ∆ CME = ∆ CMA (g.c.g) Suy CE = CA Như CA = CE = AE nên ∆ ACE tam giác · = 60° BCA · Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện BCA = 60° ∆ CMN cân N Chứng minh lại: · Khi ∆ ABC có BCA = 60° ∆ CMN vừa đường cao, vừa phân · · · giác ECA nên HCN = 30° Suy ∆ CMN cân N = CMN Trang 74 Trang 75 ... có BK2 = BH2 + HK2 Xét ∆ CHK có CH2 = CK2 + HK2 Mà BD < 10 BC nên BH < CK Vậy BK < HC a) Chứng minh ∆ MAE = ∆ MCF (ch- gn) => ME = MF Trang b) Do ME = MF nên BE + BF = BM - ME + BM + MF = 2BM... đẳng thức tam giác) 2 2 BD, GC = CE nên: BD + CE > BC 3 3 Do BD + CE > BC Mà GB = 1B Tương tự 1A Trang 17 = 12 cm a) Vì G trọng tâm ∆ ABC BD + CE > 2A 2B 3A nên BG = 2GP, CG = 2GQ Lại có PE = PG,... < AB + AC, ∆ ABG vuông G nên : AB2 = AG2 + BG2 = 32 + 42 = 25 Suy AB = cm Trang 21